보존벡터장

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1. 개요
2. 정의
3. 경로 독립성
4. 비회전 벡터장 (Irrotational Vector Field)
- 4.1. 와도 (Vorticity)
5. 보존력 (Conservative Force)
- 5.1. 중력 (Gravity)
6. 한국의 관점
7. 추상화
참조

1. 개요

보존 벡터장은 어떤 스칼라장의 그래디언트로 표현될 수 있는 벡터장으로 정의된다. 보존 벡터장의 선적분은 경로의 양 끝점에만 의존하며, 경로 독립성을 가진다. 보존 벡터장은 비회전 벡터장이기도 하며, 단일 연결 공간에서는 비회전 벡터장이 보존 벡터장이 된다. 보존력은 보존 벡터장과 관련된 힘을 의미하며, 중력과 정전기력이 그 예시이다.

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보존벡터장
보존 벡터장
정의	어떤 스칼라 함수의 기울기인 벡터장
다른 이름	기울기 장
예시
중력장	물체가 받는 중력은 물체의 위치 에너지의 기울기의 음수
전기장	보존적인 전기장은 전기 퍼텐셜의 기울기의 음수
성질
선적분	보존 벡터장의 선적분은 경로에 의존하지 않고, 시작점과 끝점의 위치에만 의존
폐경로 적분	보존 벡터장의 폐경로 적분은 항상 0
회전	보존 벡터장의 회전은 항상 0 (3차원 공간에서)
퍼텐셜 함수	보존 벡터장은 스칼라 퍼텐셜 함수를 가짐
수학적 정의
정의	벡터장 F가 어떤 스칼라 함수 φ의 기울기와 같으면 (F = ∇φ), F를 보존 벡터장이라고 함
퍼텐셜 함수	이때, 함수 φ를 F의 퍼텐셜 함수라고 함
필요충분조건	'F: ℝⁿ → ℝⁿ인 벡터장일 때, 다음 조건들은 모두 동치 F는 보존 벡터장 F는 경로 독립적인 선적분을 가짐 F는 폐경로에 대한 선적분이 0 F는 정확한 미분형식 F의 각 성분은 연속적인 1차 편미분 계수를 가지며, 회전이 0 (∇ × F''' = 0)
응용
물리학	고전역학, 전자기학 등 다양한 분야에서 보존력을 기술하는 데 사용
컴퓨터 그래픽스	벡터장을 이용한 유체 시뮬레이션 등에 응용

2. 정의

벡터장 $\mathbf{v}: U \to \R^n$ ( $U$ 는 $\R^n$ 의 열린 부분 집합)이 다음 조건을 만족하는 $C^1$ (연속 미분 가능) 스칼라장 $\varphi$ ^[3]가 $U$ 에 존재하면, $\mathbf{v}$ 를 보존적이라고 한다.

$\mathbf{v} = \nabla \varphi.$

여기서 $\nabla \varphi$ 는 $\varphi$ 의 그래디언트를 나타낸다. $\varphi$ 가 연속 미분 가능하므로, $\mathbf{v}$ 는 연속이다. 위 식이 성립할 때, $\varphi$ 는 $\mathbf{v}$ 에 대한 스칼라 퍼텐셜이라고 불린다.

3. 경로 독립성

보존 벡터장의 가장 중요한 특징 중 하나는 선적분 값이 경로에 의존하지 않고 시작점과 끝점에만 의존한다는 것이다. 이는 중력장 내에서 물체를 이동시킬 때 경로에 상관없이 중력이 한 일은 위치 에너지 차이와 같다는 사실에서 직관적으로 이해할 수 있다.^[4]

적분을 위한 두 개의 가능한 경로 묘사. 녹색은 가장 간단한 경로이고, 파란색은 더 복잡한 곡선을 보여줍니다.

2차원 및 3차원 공간에서 두 점 사이의 적분을 취할 때, 두 점 사이에는 무수히 많은 경로가 존재하기 때문에 모호성이 발생한다. 예를 들어, 그림과 같이 두 점을 잇는 직선 대신 더 긴 곡선 경로를 선택할 수 있다. 일반적으로 적분 값은 선택한 경로에 따라 달라진다. 그러나 보존 벡터장의 경우에는 적분 값이 선택한 경로와 무관하다. 이는 두 점 사이의 직선을 따라 성분이 없는 모든 요소들이 상쇄되기 때문이라고 생각할 수 있다.

이러한 경로 독립성은 절벽을 오르는 두 사람을 예시로 들어 시각적으로 이해할 수 있다. 한 사람은 수직으로 절벽을 오르고, 다른 사람은 더 길지만 완만한 경사의 구불구불한 길을 따라 걷는다. 두 사람은 서로 다른 경로를 택했지만, 절벽 꼭대기에 도달했을 때 얻는 중력 위치 에너지는 동일하다. 이는 중력장이 보존적이기 때문이다.

M. C. 에셔의 석판화 ''오르내리기''는 비보존적인 벡터장을 보여주는 예시이다. 이 그림에서는 계단을 따라 움직이는 사람들의 높이 변화가 중력 위치 에너지의 기울기처럼 보이지만, 실제로는 불가능한 구조를 가지고 있다. 계단을 오르내리는 사람이 경험하는 힘장은 비보존적인데, 이는 한 사람이 내려가는 것보다 더 많이 오르거나 그 반대로 하여 시작점으로 돌아갈 수 있으며, 중력이 0이 아닌 일을 하기 때문이다. 실제 계단에서는 지면 위의 높이는 스칼라 전위장인데, 동일한 장소로 돌아가기 위해 내려가는 만큼 정확히 올라가야 하며, 이 경우 중력에 의한 총 일의 양은 0이 된다. 이는 계단에서 행해진 일의 경로 독립성을 시사한다. 즉, 경험하는 힘장은 보존적이다(자세한 내용은 경로 독립성과 보존 벡터장 참조).

벡터장

\mathbf{v}

의 선적분이 경로 독립적이라는 것은, 두 적분 경로의 끝점 두 개에만 의존하고 그 사이의 어떤 경로를 선택하든 관계없이 다음이 성립한다는 것을 의미한다.^[4]

:

\int_{P_1} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{r} = \int_{P_2} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{r}

:

U

내의 주어진 경로 끝점 쌍 사이의 임의의 적분 경로

P_1

과

P_2

에 대해.

경로 독립성은 다음과 같이 동등하게 표현될 수도 있다.

:

\int_{P_c} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{r} = 0

:

U

내의 임의의 조각별 매끄러운 닫힌 경로

P_c

에 대해, 여기서 두 끝점은 일치한다.

그래디언트 정리에 따르면, 벡터장

\mathbf{v}

가 어떤 스칼라 함수

\varphi

의 기울기, 즉

\mathbf{v} = \nabla \varphi

로 표현될 수 있다면, 선적분은 다음과 같이 계산된다.

:

\int_{P} \mathbf{v} \cdot d{\mathbf{r}} = \varphi(B) - \varphi(A).

여기서

A

와

B

는 각각 경로

P

의 시작점과 끝점이다. 이 식은 선적분이 경로에 의존하지 않고 시작점과 끝점의 스칼라 함수 값에만 의존함을 보여준다.

결론적으로, 연속 벡터장

\mathbf{v}

에 대해 선적분이 경로 독립적일 때, 즉 선적분이 경로의 양 끝점만을 의존하고 그 사이의 어떤 경로를 선택하든 상관없을 때, 그 벡터장은 보존적이다.^[4]

4. 비회전 벡터장 (Irrotational Vector Field)

3차원 공간에서, 벡터장의 회전(curl)이 0이면 그 벡터장을 비회전 벡터장이라고 한다. 이러한 이유로, 이러한 벡터장은 컬이 없는 벡터장 또는 컬리스 벡터장이라고도 불리며, 종적 벡터장이라고도 한다.^[6]

모든 보존 벡터장은 비회전 벡터장이다.

U

에서 정의된

C^2

(2차 미분까지 연속 미분 가능) 스칼라장

\varphi

에 대해, 그래디언트의 회전은 항상 0이므로 (

\nabla \times (\nabla \varphi) \equiv \mathbf{0}

), 모든

C^1

보존 벡터장은 비회전 벡터장이다.

하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 벡터장이 정의된 영역이 단일 연결 영역이라면, 비회전 벡터장은 항상 보존 벡터장이 된다. 즉, ''단일 연결 열린 공간에서 모든 비회전 벡터장은 보존 벡터장이다.''

단일 연결이 아닌 경우에는 위의 명제가 일반적으로 참이 아니다. 예를 들어

z

축을 제외한

\R^3

공간에서 정의된 벡터장

\mathbf{v}(x,y,z) = \left( - \frac{y}{x^2 + y^2},\frac{x}{x^2 + y^2},0 \right)

는 회전이 0이지만, 극좌표계에서 단위 원에 대한 적분은

2 \pi

이므로 보존적이지 않다.

단일 연결 열린 영역에서 무회전 벡터장은 경로 독립성을 가지며, 이는 스토크스 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

4. 1. 와도 (Vorticity)

벡터장

\boldsymbol{\omega}

의 와도는 다음과 같이 정의할 수 있다.

\boldsymbol{\omega} \stackrel{\text{def}}{=} \nabla \times \mathbf{v}.

비회전장의 와도는 모든 곳에서 0이다.^[6] 켈빈의 순환 정리는 비점성 유동에서 비회전인 유체는 비회전 상태를 유지한다고 말한다. 이 결과는 나비에-스토크스 방정식의 컬을 취하여 얻은 와도 수송 방정식으로부터 유도될 수 있다.

2차원 장의 경우, 와도는 유체 요소의 "국소적인" 회전을 측정하는 지표로 작용한다. 와도는 유체의 전반적인 거동에 대해 아무것도 함축하지 않는다. 유체가 직선으로 이동하더라도 와도를 가질 수 있으며, 원을 그리며 움직이는 유체가 비회전일 수도 있다.

5. 보존력 (Conservative Force)

어떤 힘

\mathbf{F}

와 관련된 벡터장이 보존적이면, 그 힘을 보존력이라고 한다.

보존력의 가장 두드러진 예는 중력(중력장과 관련)과 전기력(정전기장과 관련)이다.

보존력의 경우, ''경로 독립성''은 점

A

에서 점

B

로 이동하는 데 수행된 일이 선택된 이동 경로에 관계없이(점

A

와

B

에만 의존) 단순 폐루프

C

를 한 바퀴 도는 데 수행된 일

W

가

0

임을 의미한다.

:

W = \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d{\mathbf{r}} = 0.

보존력의 영향을 받는 입자의 총 에너지는 보존되며, 위치 에너지의 손실은 동일한 양의 운동 에너지로 변환되거나 그 반대도 성립한다.

5. 1. 중력 (Gravity)

만유인력의 법칙에 따르면, 질량

M

으로부터 거리

r

에 위치한 질량

m

에 작용하는 중력

\mathbf{F}_{G}

는 다음 방정식을 따른다.

:

\mathbf{F}_{G} = - \frac{G m M}{r^2} \hat{\mathbf{r}}

여기서

G

는 중력 상수이고,

\hat{\mathbf{r}}

은

M

에서

m

을 향하는 ''단위'' 벡터이다. 중력은

\mathbf{F}_{G} = - \nabla \Phi_{G}

이므로 보존력이다. 여기서

:

\Phi_{G} ~ \stackrel{\text{def}}{=} - \frac{G m M}{r}

는 중력 위치 에너지이다. 즉, 중력

\mathbf{F}_{G}

와 관련된 중력장

\frac{\mathbf{F}_{G}}{m}

는 중력 위치 에너지

\Phi_{G}

와 관련된 중력 잠재력

\frac{\Phi_{G}}{m}

의 기울기이다.

F(r)

이 적분 가능하다면

\mathbf{F}=F(r) \hat{\mathbf{r}}

형태의 모든 벡터장은 보존적임을 보일 수 있다.

스칼라장, 스칼라 잠재력:
* '''V_G''', 중력 잠재력
* '''W_pot''', (중력 또는 정전기) 위치 에너지
* '''V_C''', 쿨롱 잠재력
벡터장, 기울기장:
* '''a_G''', 중력 가속도
* '''F''', (중력 또는 정전기) 힘
* '''E''', 전기장 세기

6. 한국의 관점

현재 주어진 원본 소스에는 보존벡터장에 대한 한국의 관점을 다루는 내용이 없습니다. 따라서 이 섹션에 작성할 내용이 없습니다.

7. 추상화

미분 형식의 관점에서, 보존 벡터장은 완전 1-형식(exact 1-form)에 해당하고, 비회전 벡터장은 닫힌 1-형식(closed 1-form)에 해당한다. 모든 완전 형식은 닫혀 있으므로, 모든 보존 벡터장은 비회전적이다. 반대로, $U$ 가 단순 연결 공간이면 모든 닫힌 1-형식은 완전하다.

참조

_[1] 서적 Vector calculus W.H.Freedman and Company
_[2] 서적 Mathematical Methods for Physicists Elsevier Academic Press
_[4] 서적 Calculus Cengage Learning
_[3] 문서
_[6] 간행물 Elements of Gas Dynamics Courier Dover Publications
_[5] 문서

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