단순 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 르베그 적분과의 관계
- 4.1. 르베그 적분 구성 과정 (예시)
5. 예
참조

1. 개요

단순 함수는 가측 공간에서 바나흐 공간으로 가는 특정 형태의 함수이다. 단순 함수는 가측 집합의 지시 함수의 유한한 선형 결합으로 정의되며, 가측 함수이다. 두 단순 함수의 합, 차, 곱은 단순 함수이며, 상수를 곱해도 단순 함수는 유지된다. 르베그 적분은 단순 함수의 적분을 확장하여 정의되며, 모든 음이 아닌 가측 함수는 음이 아닌 단순 함수의 점별 극한으로 나타낼 수 있다. 지시 함수와 계단 함수는 단순 함수의 예시이다.

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단순 함수

2. 정의

다음이 주어졌다고 하자.

K|ㅋ^영어∈R|ㄹ^영어, C|ㅋ^영어
K|ㅋ^영어- 바나흐 공간 V|ㅍ^영어
가측 공간 (X, Σ)|(X, Σ)^영어

그렇다면, X|ㅋ^영어에서 V|ㅍ^영어로 가는 '''단순 함수'''는 다음과 같은 꼴의 함수이다.

:f: X → V|f: X → V^영어

:f = Σᵢ₁ⁿ vᵢχ_Sᵢ|f = Σᵢ₁ⁿ vᵢχ_Sᵢ^영어

:vᵢ|vᵢ^영어 ∈ V|V^영어

:Sᵢ|Sᵢ^영어 ∈ Σ|Σ^영어

:n|n^영어 ∈ N|N^영어

여기서 χ|ㅋ^영어는 지시 함수이다.

형식적으로, 단순 함수는 가측 집합의 지시 함수의 유한한 선형 결합이다. 좀 더 정확히 말하면, (''X'', Σ)를 시그마 대수(가측 공간)라고 하자. ''A''₁, ..., ''A''_''n'' ∈ Σ 를 서로소인 가측 집합의 수열로 하고, ''a''₁, ..., ''a''_''n'' 을 실수 또는 복소수의 수열이라고 하자. ''단순 함수''는 다음과 같은 형태의 함수 f: X → C|f: X → C^영어이다.

:f(x) = Σ_k=1ⁿ a_k1_{A_k}(x)|f(x) = Σ_k=1ⁿ a_k1_{A_k}(x)^영어

여기서 1_A|1_A^영어는 집합 ''A''의 지시 함수이다.

더 정확하게 말하면, 집합 ''X'' 위의 실수 값 단순 함수는 1_A|1_A^영어를 ''A''의 지시 함수로, ''X''의 유한한 분할

: X = A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n|X = A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n^영어

과 적당한 실수 상수 α₁, …, α_n|α₁, …, α_n^영어을 사용하여

: f(x) = Σᵢ₁ⁿ αᵢ1_Aᵢ(x)|f(x) = Σᵢ₁ⁿ αᵢ1_Aᵢ(x)^영어

형태로 나타낼 수 있는 함수 f: X → R|f: X → R^영어을 말한다. 종종, αᵢ|αᵢ^영어 안에 ±∞ 값을 허용한다(확장된 실수 값 단순 함수). 또한 위의 상수를 복소수로 취하면, 복소수 값 단순 함수도 정의할 수 있다.

단순 함수를 가측 공간 (''X'', Σ) 위에서 생각할 때, 이 형태의 단순 함수가 Σ-가측이기 위한 필요충분조건은 임의의 ''A''_''i''가 Σ에 속하는 것이다. 따라서 가측 함수만을 생각하는 경우에는, 단순 함수를 "서로 교차하지 않는 가측 집합의 유한 수열 ''A''₁, …, ''A''_''n'' ∈ Σ로, 그들의 합이 ''X''를 덮는 것"에 관한 지시 함수의 선형 결합으로 정의한다.

3. 성질

모든 단순 함수는 가측 함수이다. 따라서 단순 함수의 열의 점별 극한은 (만약 존재한다면) 가측 함수이다. 페티스 가측성 정리에 따라, 만약 공역 $V$ 가 분해 가능 바나흐 공간일 경우, 가측 함수는 단순 함수의 열의 점별 극한과 동치이다. 그러나 일반적인 바나흐 공간 값 함수의 경우 단순 함수의 열의 점별 극한이 아닌 가측 함수가 존재할 수 있다.

두 개의 단순 함수의 합, 차 및 곱은 다시 단순 함수이며, 상수를 곱해도 단순 함수는 단순 함수로 유지된다. 따라서 주어진 가측 공간의 모든 단순 함수의 집합은 $\mathbb{C}$ 위에 있는 가환 대수를 형성한다. 이는 가측 함수 전체가 이루는 가환 대수의 부분 대수이다. 더욱이 적절한 순서에 따라 리스 공간 (벡터 격자)을 이룬다.

4. 르베그 적분과의 관계

측도 $\mu$ 가 공간 $(X, \Sigma)$ 위에서 정의될 때, 단순 함수 $f: X \to \mathbb R$ 의 $\mu$ 에 대한 적분은 다음과 같이 정의된다.^[1]

: $\int_X f d \mu = \sum_{k=1}^na_k\mu(A_k),$

여기서 모든 합은 유한하다.

어떤 음이 아닌 가측 함수 $f\colon X \to\mathbb{R}^{+}$ 는 음이 아닌 단순 함수의 단조 증가 수열의 점별 극한으로 주어진다.

4. 1. 르베그 적분 구성 과정 (예시)

단순 함수의 위 적분은 더 일반적인 함수 클래스로 확장될 수 있으며, 이것이 르베그 적분이 정의되는 방식이다. 이러한 확장은 다음 사실을 기반으로 한다.

: '''정리'''. 모든 음이 아닌 가측 함수

f\colon X \to\mathbb{R}^{+}

는 음이 아닌 단순 함수의 단조 증가 수열의 점별 극한이다.

(X, \Sigma,\mu)

의 측도 공간에서 정의된 음이 아닌 가측 함수

f

가 있다고 하자. 각

n\in\mathbb N

에 대해

f

의 공역을

2^{2n}+1

개의 구간으로 세분하는데, 이 중

2^{2n}

개는 길이가

2^{-n}

이다. 즉, 각

n

에 대해

:

I_{n,k}=\left[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}\right)

for

k=1,2,\ldots,2^{2n}

, 그리고

I_{n,2^{2n}+1}=[2^n,\infty)

를 정의하는데, 이들은 서로소이며 음이 아닌 실수선(

\mathbb{R}^{+} \subseteq \cup_{k}I_{n,k}, \forall n \in \mathbb{N}

)을 덮는다.

이제 집합

:

A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k}) \,

for

k=1,2,\ldots,2^{2n}+1,

를 정의하는데,

f

가 가측으로 가정되었으므로 이들은 가측(

A_{n,k}\in \Sigma

)이다.

그러면 단순 함수의 증가 수열

:

f_n=\sum_{k=1}^{2^{2n}+1}\frac{k-1}{2^n}{\mathbf 1}_{A_{n,k}}

는

n\to\infty

일 때

f

로 점별 수렴한다.

f

가 유계일 때 수렴은 균등 수렴이다.

5. 예

모든 지시 함수 또는 계단 함수는 단순 함수이다.

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