불변량 이론

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 19세기 기원
- 2.2. 힐베르트의 정리
3. 현대 불변량 이론
4. 예시
참조

1. 개요

불변량 이론은 선형 변환의 군 작용에 대한 불변 대수 형식을 연구하는 분야이다. 19세기 후반 주요 연구 분야였으며, 대칭군, 대칭 함수, 가환대수, 모듈러스 공간 및 리 군의 표현과 관련된 현대 이론의 뿌리가 되었다. 다비트 힐베르트는 불변식 환이 유한 생성됨을 증명하며 고전적 불변량 이론에 기여했다. 현대 불변량 이론은 유한군, 무한군, 기하 불변량 이론으로 발전했으며, 기하 불변량 이론은 군 작용에 의한 몫 구성을 강조하며 모듈라이 공간 구성에 중요한 역할을 했다.

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불변량 이론
분야
세부 분야	수학
관련된 분야	대수학 기하학 표현론
역사
주요 기여자	에미 뇌터 데이비드 힐베르트 아서 케일리 제임스 조지프 실베스터 시므옹 드니 푸아송 알프레트 클레브슈 폴 고르단 마사키 가시와라
개념
주요 개념	불변량 공변량 반변량 불변 다항식 고전 불변량 이론 모듈 형식
응용
응용 분야	기하학적 불변량 이론 모듈 공간 특이점 이론 끈 이론 암호학

2. 역사

아서 케일리는 1845년 〈선형 변환 이론에 관하여〉라는 논문에서 불변량 이론을 처음으로 확립하였다.^[2] 케일리는 이 논문의 서두에서 1841년 조지 불이 발표한 논문에 영향을 받았다고 밝혔다.^[2] 불변량 이론은 19세기 중반 미네르바에 비유될 정도로 급격히 발전했으며, 선형 대수학의 발전과 사영 기하학에 큰 영향을 주었다.

19세기 후반, 다비트 힐베르트의 연구는 추상 대수학의 발전으로 이어졌다. 특히 힐베르트는 불변량 대수의 유한 생성 문제를 해결하여, 고전 불변량 이론을 종식시키는 듯 보였다. 그러나 이 주제는 알프레드 영의 마지막 출판물까지 50년 이상 지속되었고, 20세기 후반에는 잔-카를로 로타와 그의 학파에 의해 고전적 구성적 및 조합적 방법이 다시 주목받게 되었다.

2. 1. 19세기 기원

아서 케일리는 1845년 〈선형 변환 이론에 관하여〉라는 논문에서 불변량 이론을 처음으로 확립하였다.^[2] 케일리는 이 논문의 서두에서 1841년 조지 불이 발표한 "동일한 주제에 대한 매우 우아한 논문에 의해 저에게 조사가 제안되었습니다... 불 씨에 의해"라고 언급하며 자신의 연구가 불의 논문에 영향을 받았음을 밝혔다.^[2] 불의 해당 논문은 '선형 변환의 일반 이론의 해설'로, 케임브리지 수학 저널에 게재되었다.

고전적 "불변량 이론"은 선형 변환의 작용에 대한 불변 대수 형식(또는 대칭 텐서)을 연구하는 것을 의미하며, 19세기 후반에 활발하게 연구된 주요 주제였다.

가장 많이 연구된 경우는 n = 2인 이진 형식의 불변량이었다.

펠릭스 클라인은

\mathbf{C}^2

에 대한 유한군 작용의 불변량 환을 계산하는 연구를 진행했는데, 이는 이진 다면체 군과 ADE 분류에 의해 분류되었으며, 듀 발 특이점의 좌표 환이다.

2. 2. 힐베르트의 정리

David Hilbert^영어는 ''V''가 복소 대수군 ''G'' = SL_''n''(''C'')의 유한 차원 표현일 때, 다항식 환 ''R'' = ''S''(''V'')에 작용하는 ''G''의 불변식 환이 유한 생성됨을 증명했다.^[1] 그의 증명은 ''R''에서 ''R''^''G''로의 레이놀즈 연산자 ρ를 사용했다. 레이놀즈 연산자는 다음 성질을 갖는다.

''ρ''(1) = 1
''ρ''(''a'' + ''b'') = ''ρ''(''a'') + ''ρ''(''b'')
''ρ''(''ab'') = ''a'' ''ρ''(''b'') (여기서 ''a''는 불변식이다.)

힐베르트는 케일리 오메가 과정 Ω를 사용하여 레이놀즈 연산자 ρ를 명시적으로 구성했지만, 현재는 ρ를 간접적으로 구성하는 것이 더 일반적이다. 콤팩트 군 ''G''에 대해 레이놀즈 연산자는 ''G''에 대한 평균을 취함으로써 주어지며, 비콤팩트 환원 가능 군은 바일의 유니타리 트릭을 사용하여 콤팩트 군의 경우로 축소할 수 있다.

레이놀즈 연산자가 주어지면 힐베르트의 정리는 다음과 같이 증명된다. 환 ''R''은 다항식 환이므로 차수에 의해 등급이 매겨지며, 아이디얼 ''I''는 양의 차수를 갖는 동차 불변식에 의해 생성되는 아이디얼로 정의된다. 힐베르트 기저 정리에 의해 아이디얼 ''I''는 (아이디얼로서) 유한 생성된다. 따라서 ''I''는 유한하게 많은 불변식에 의해 유한 생성된다. ''i''₁,...,''i''_''n''을 ''I''를 생성하는 (아이디얼로서) ''G''의 유한 집합이라고 하자. 여기서 핵심 아이디어는 이들이 불변식 환 ''R''^''G''을 생성함을 보이는 것이다.

''x''가 차수 ''d'' > 0인 동차 불변식이라고 가정하면, 다음 식이 성립한다.

:''x'' = ''a''₁''i''₁ + ... + ''a''_n''i''_n

이 식은 ''x''가 아이디얼 ''I''에 속하므로 환 ''R''에 있는 어떤 ''a''_''j''에 대해 성립한다. 이때 모든 ''j''에 대해 ''a''_''j''가 차수 ''d'' - deg ''i''_''j''를 갖도록 가정할 수 있다. 이제 레이놀즈 연산자를 위 식에 적용하면, 다음을 얻는다.

:''x'' = ρ(''a''₁)''i''₁ + ... + ''ρ''(''a''_''n'')''i''_''n''

여기서 ''x''가 ''i''₁,...,''i''_''n''에 의해 생성된 ''R''-대수에 속함을 보이기 위해, 먼저 요소 ρ(''a''_''k'')가 모두 ''d''보다 작은 차수를 갖는 경우를 고려한다. 이 경우, 이들은 모두 ''i''₁,...,''i''_''n''에 의해 생성된 ''R''-대수에 속한다. 따라서 ''x'' 또한 이 ''R''-대수에 속한다.

일반적인 경우, 요소 ρ(''a''_''k'')가 모두 ''d''보다 작은 차수를 갖는다고 확신할 수 없다. 하지만 각 ρ(''a''_''k'')를 차수 ''d'' - deg ''i''_''j''의 동차 성분으로 대체할 수 있다. 그 결과, 수정된 ρ(''a''_''k'')는 여전히 ''G''-불변식이며 ''d''보다 작은 차수를 갖는다. 따라서 ''x'' = ρ(''a''₁)''i''₁ + ... + ρ(''a''_n)''i''_n은 수정된 ρ(''a''_''k'')에 대해서도 여전히 성립하므로, ''x''가 ''i''₁,...,''i''_''n''에 의해 생성된 ''R''-대수에 속한다고 결론 내릴 수 있다.

따라서 차수에 대한 귀납법에 의해 ''R''^''G''의 모든 요소는 ''i''₁,...,''i''_''n''에 의해 생성된 ''R''-대수에 속한다.

3. 현대 불변량 이론

$G$ 를 군, $V$ 를 체 $k$ 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하자(고전 불변량 이론에서는 일반적으로 $k$ 를 복소수로 가정했다). $V$ 에서 $G$ 의 군 표현은 군 준동형사상 $\pi:G \to GL(V)$ 이며, 이는 $V$ 에서 $G$ 의 군 작용을 유도한다. $k[V]$ 가 $V$ 위의 다항식 함수 공간이면, $G$ 의 $V$ 에 대한 군 작용은 다음 공식을 통해 $k[V]$ 에 대한 작용을 생성한다.

: $(g \cdot f)(x) := f(g^{-1} (x)) \qquad \forall x \in V, g \in G, f\in k[V].$

이 작용을 통해 이 군 작용에 불변인 모든 다항식 함수, 즉 모든 $g\in G$ 에 대해 $g\cdot f = f$ 를 만족하는 다항식 집합을 고려하는 것이 자연스럽다. 이 '''불변 다항식''' 공간은 $k[V]^G$ 로 표시된다.

'''불변량 이론의 첫 번째 문제'''^[1]는 $k[V]^G$ 가 $k$ 위에서 유한 생성 대수인가 하는 것이다.

예를 들어, $G=SL_n$ 이고 $V=M_n$ 이 정사각 행렬의 공간이며, $G$ 의 $V$ 에 대한 작용이 왼쪽 곱셈으로 주어지면, $k[V]^G$ 는 한 변수의 다항식 대수와 동형이며, 행렬식에 의해 생성된다. 즉, 이 경우 모든 불변 다항식은 행렬식 다항식의 거듭제곱의 선형 조합이다. 따라서 이 경우, $k[V]^G$ 는 $k$ 위에서 유한하게 생성된다.

답이 '예'라면, 다음 질문은 최소 기저를 찾고, 기저 요소 간의 다항식 관계의 모듈(시너지)이 $k[V]$ 위에서 유한하게 생성되는지 묻는 것이다.

다비트 힐베르트의 불변량 대수의 유한 생성 문제에 대한 연구(1890)는 새로운 수학 분야인 추상대수학의 창조를 가져왔다. 힐베르트의 후기 논문(1893)은 동일한 질문을 보다 구성적이고 기하학적인 방식으로 다루었지만, 데이비드 검포드가 1960년대에 그의 기하학적 불변량 이론에서 이러한 아이디어를 훨씬 더 일반적이고 현대적인 형태로 되살리기 전까지는 사실상 알려지지 않았다. 검포드의 영향으로 불변량 이론은 선형 대수적 군의 아핀 다양체 및 사영 다양체에 대한 작용 이론을 포괄하는 것으로 간주된다. 19세기의 고전적 구성적 및 조합적 방법에 거슬러 올라가는 불변량 이론의 독특한 흐름은 잔-카를로 로타와 그의 학파에 의해 개발되었다. 이 일련의 아이디어의 두드러진 예는 표준 단항식 이론으로 주어진다.

3. 1. 유한군의 불변량 이론

유한군의 불변량 이론은 갈루아 이론과 밀접하게 관련되어 있다. 최초의 주요 결과 중 하나는 변수의 순열에 의해 대칭군

S_n

이 다항식 링

R[x_1, \ldots, x_n

]에 작용하는 불변량을 설명하는 대칭 함수에 대한 기본 정리였다.^[1] 슈발레-셰퍼드-토드 정리는 불변량 대수가 다항식 링인 유한군을 특징짓는다. 유한군의 불변량 이론에 대한 현대 연구는 생성자의 차수에 대한 명시적 경계와 같은 "효과적인" 결과를 강조한다. 표수가 양수인 경우는 모듈러 표현 이론과 이념적으로 가깝고 대수적 위상수학과 연관되어 활발하게 연구되는 분야이다.

3. 2. 무한군의 불변량 이론

무한군의 불변량 이론은 선형대수학, 특히 이차 형식 및 행렬식 이론과 밀접하게 관련되어 있다.^[1] 사영 기하학은 불변량 이론이 중요한 역할을 할 것으로 예상되는 분야이며, 기호 방법은 이 관계의 중요한 예시이다.^[1] 반단순 리 군의 표현론은 불변량 이론에서 비롯되었다.^[1]

3. 3. 기하 불변량 이론 (GIT)

데이비드 멈포드는 군 작용에 의한 몫 구성을 강조하여 기하 불변량 이론(GIT)을 현대적으로 공식화했다.^[1] 이는 '나쁜' 궤도를 제외하고 '좋은' 궤도를 식별하여 불변 정보를 포착하는 미묘한 이론이다. 별도의 개발 과정에서, 겉보기에 휴리스틱한 조합적 표기법인 불변량 이론의 기호 방법이 재활성화되었다.

대수 기하학에서 모듈라이 공간 구성은 표시된 객체를 매개변수화하는 스킴의 몫으로, GIT의 중요한 동기 중 하나였다. 1970년대와 1980년대에 이 이론은 심플렉틱 기하학 및 동변환 위상수학과 상호작용을 발전시켰으며, 인스턴톤과 모노폴과 같은 미분 기하학 객체의 모듈라이 공간을 구성하는 데 사용되었다.

4. 예시

군 작용으로부터 불변 단항식을 계산하는 것은 불변량 이론의 간단한 예시이다. 예를 들어, 복소수 다항식 환 $\mathbb{C}[x,y]$ 에 작용하는 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 작용을 생각해 볼 수 있다. 이 작용은 다음과 같이 정의된다.

: $\begin{align}x\mapsto -x && y \mapsto -y\end{align}$

이 변환에서 $x^2, xy, y^2$ 는 불변인 가장 낮은 차수의 단항식이다. 따라서 다음이 성립한다.

: $\mathbb{C}[x,y]^{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \cong \mathbb{C}[x^2,xy,y^2] \cong \frac{\mathbb{C}[a,b,c]}{(ac - b^2)}$

이 예시는 여러 계산을 수행하는 데 기초가 된다.

참조

_[1] 서적 Essays in the History of Lie groups and algebraic groups American mathematical society and London mathematical society 2001
_[2] 논문 George Boole and the origins of invariant theory Elsevier BV

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