사차원 운동량

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1. 개요

사차원 운동량은 특수 상대성 이론에서 사용되는 4차원 벡터로, 에너지와 3차원 운동량을 결합한 개념이다. 사차원 운동량의 민코프스키 노름은 입자의 고유 질량의 제곱과 관련되며, 로렌츠 불변량이다. 사차원 운동량은 4차원 속도와 질량의 곱으로 표현되며, 전자기장 내에서는 전자기 포텐셜을 포함하는 정준 운동량으로 확장된다. 4차원 운동량은 에너지 보존과 3차원 운동량 보존을 포함하는 보존 법칙을 따르며, 굽은 시공간에서는 일반화된 형태로 표현된다.

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사차원 운동량
일반 정보
이름	사차원 운동량
로마자 표기	sachawon undongnyang
분야	상대성이론
관련 개념	운동량, 에너지, 4차원 벡터, 상대론적 질량
정의
정의	에너지-운동량 4차원 벡터. 고전적인 운동량과 에너지를 상대론적으로 확장한 개념이다.
수식 표현	pμ = (E/c, px, py, pz) = (E/c, p)
설명	여기서 E는 에너지, c는 광속, p는 3차원 운동량 벡터이다. μ = 0, 1, 2, 3
성질
변환	로렌츠 변환에 따라 변환됨
불변량	pμpμ = (E/c)^2 - \|p\|^2 = (mc)^2 (상대론적 질량 불변량)
보존	닫힌 계에서 보존됨
활용
활용	입자 물리학, 핵물리학, 천체물리학 등
예시	입자 충돌 실험에서의 에너지와 운동량 보존 분석
참고
참고	사차원 위치, 사차원 속도, 사차원 가속도 등

2. 민코프스키 노름

사차원 운동량의 민코프스키 노름은 로렌츠 불변량으로, 로렌츠 변환이나 다른 기준틀로 부스팅을 해도 그 값이 변하지 않는다. 이는 입자의 고유 질량 제곱과 관련되며, 광속 ''c''를 곱한 값을 제외하면 고유 질량 제곱과 같다.^[10]^[11] 민코프스키 노름의 음수 값은 운동량이 질량이 있는 입자의 시간꼴 사차원 벡터임을 나타낸다.

뉴턴 극한(에서 )이므로, 공간 성분은 질량과 속도의 곱으로 주어지는 뉴턴 역학에서의 운동량과 일치한다. 또한, 테일러 전개를 통해 시간 성분이 뉴턴적인 운동 에너지임을 알 수 있으며, 운동량이 0일 때 입자가 갖는 운동 에너지인 는 정지 에너지라고 불린다.

2. 1. 수학적 표현

사차원 운동량의 민코프스키 노름 제곱을 계산하면 입자의 고유 질량 제곱과 같은 로렌츠 불변량 값을 얻는다. (여기서 광속 c는 1로 둔다.)

:

p \cdot p = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = p_\nu p^\nu = -E^2 + |\mathbf p|^2 = -m^2

여기서

:

\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 0\\

0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

는 특수 상대성 이론의 계량 텐서이며, 계량 부호는 (–1, 1, 1, 1)로 선택한다. 노름의 음수 값은 운동량이 질량이 있는 입자의 시간꼴 사차원 벡터임을 나타낸다.

민코프스키 노름은 로렌츠 불변량이다. 즉, 로렌츠 변환이나 다른 기준틀로의 부스팅에 의해 그 값이 변경되지 않는다.

4원 속도 U로 운동하는 질량 m인 입자의 4원 운동량은

:

p^\mu =mU^\mu

로 주어진다^[10]^[11].로렌츠 인자 γ를 사용하면

:

p^\mu =(\gamma mc, \gamma m\boldsymbol{v})

로 나타낼 수 있다^[11].

4원 운동량의 민코프스키 노름은

:

p^2 =p^\mu p_\mu =-m^2c^2

이 된다^[11]. 이 조건은 부호를 무시하면, 운동량이 반지름 mc의 4차원 구면 위에 제한됨을 의미하며, 질량 껍질 조건이라고 불린다.

공간 성분과 시간 성분을 나누어 쓰면 질량 껍질 조건을

:

\frac{E^2}{c^2} -\boldsymbol{p}^2 =m^2c^2

:

E =\sqrt{m^2c^4+\boldsymbol{p}^2c^2}

로 변형할 수 있다. 뉴턴 극한에서 제곱근을 테일러 전개하여 근사하면

:

E =mc^2 +\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m} +O\left( \frac{\boldsymbol{p}^4}{m^4c^4} \right)

를 얻을 수 있으며, 시간 성분이 뉴턴적인 운동 에너지임을 알 수 있다. mc²는 운동량이 0일 때 입자가 갖는 운동 에너지이며, 정지 에너지라고 불린다.

2. 2. 로렌츠 불변성

사차원 운동량의 민코프스키 노름 제곱을 계산하면 입자의 고유 질량 제곱과 같은 로렌츠 불변량 값을 얻는다(단,

c

를 곱한 요소는 제외). 민코프스키 노름은 로렌츠 변환에 의해 그 값이 변하지 않는다. 즉, 다른 기준틀로 부스팅을 해도 불변한다. 더 일반적으로, 두 사차원 운동량

p

와

q

에 대해, 값

p \cdot q

는 불변량이다.^[10]^[11]

4원 속도

U

로 운동하는 질량

m

인 입자의 4원 운동량은

:

p^\mu =mU^\mu

로 주어진다. 로렌츠 인자

\gamma

를 사용하면

:

p^\mu =(\gamma mc, \gamma m\boldsymbol{v})

로 나타낼 수 있다. 4원 운동량의 민코프스키 노름은

:

p^2 =p^\mu p_\mu =-m^2c^2

이 된다. 이 조건은 부호를 무시하면, 운동량이 반지름

mc

의 4차원 구면 위에 제한됨을 의미하며, 질량 껍질 조건이라고 불린다.

3. 4차원 속도와의 관계

질량이 있는 입자의 경우, 사차원 운동량은 입자의 불변 질량 ''m''에 입자의 사차원 속도를 곱한 값으로 주어진다.^[10]^[11]

: $p^\mu =mU^\mu$

로렌츠 인자를 사용하면

: $p^\mu =(\gamma mc, \gamma m\boldsymbol{v})$

로 나타낼 수 있다.^[11] 뉴턴 극한에서 $\gamma \to 1$ 이므로, 공간 성분은 질량과 속도의 곱으로 주어지는 뉴턴 역학에서의 운동량과 일치한다.

4원 운동량의 민코프스키 노름은

: $p^2 =p^\mu p_\mu =-m^2c^2$

이 된다.^[11] 이 조건은 부호를 무시하면, 운동량이 반지름 $mc$ 의 4차원 구면 위에 제한됨을 의미하며, 질량 껍질 조건이라고 불린다.

질량 껍질 조건을 공간 성분과 시간 성분으로 나누어 쓰면

: $\frac{E^2}{c^2} -\boldsymbol{p}^2 =m^2c^2$

: $E =\sqrt{m^2c^4+\boldsymbol{p}^2c^2}$

로 변형할 수 있다. 뉴턴 극한에서 제곱근을 테일러 전개하여 근사하면

: $E =mc^2 +\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m} +O\left( \frac{\boldsymbol{p}^4}{m^4c^4} \right)$

를 얻을 수 있으며, 시간 성분이 뉴턴적인 운동 에너지임을 알 수 있다. 에너지의 원점을 이동시키는 상수항 $mc^2$ 는 운동량이 0일 때 입자가 갖는 운동 에너지이며, 특히 정지 에너지라고 불린다.

3. 1. 4차원 속도

사차원 속도는 다음과 같이 정의된다.

u = \left(u^0 , u^1 , u^2 , u^3\right) = \gamma_v \left(c , v_x , v_y , v_z\right),

여기서

\gamma_v := \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

는 속도

v

와 관련된 로렌츠 인자이며,

c

는 광속이다.^[10]^[11]

4. 유도

사차원 운동량은 최소 작용의 원리와 라그랑주 역학을 사용하여 유도할 수 있다.^[2] 사차원 속도 를 정의하고 로 정의할 수도 있지만, 최소 작용의 원리를 이용하는 접근 방식이 더 바람직하다.

4. 1. 작용과 정준 운동량

최소 작용의 원리에서 시작하여 라그랑주 프레임워크를 사용하면 에너지 표현식을 포함한 사차원 운동량을 유도할 수 있다.^[2] 일반화 좌표와 정준 운동량를 가진 닫힌 시스템의 경우,^[3]

p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} = \frac{\partial S}{\partial x_i}, \quad E = -\frac{\partial S}{\partial t} = - c \cdot \frac{\partial S}{\partial x_0},

이것은 즉시

p_\mu = -\frac{\partial S}{\partial x^\mu} = \left({E \over c}, -\mathbf p\right)

로 표현 가능하다. 여기서 세 벡터 부분은 (음의) 정준 운동량인 공변 사차원 벡터이다.

위의 방정식에서

p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}

를 사용하여

H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L

을 사용하면 해밀턴-야코비 방정식이 생성된다.^[4]

라그랑지안을 통해서도 유도가 가능하다. 정의에 의해,^[5]

\begin{align}\mathbf p &= \frac{\partial L}{\partial \mathbf v}= \left({\partial L\over \partial \dot x}, {\partial L\over\partial \dot y}, {\partial L\over\partial \dot z}\right)= m(\gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) = m\gamma \mathbf v= m \mathbf u , \\[3pt]E &= \mathbf p \cdot \mathbf v - L = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}},\end{align}

이는 닫힌 (시간 독립 라그랑지안) 시스템의 정준 운동량 및 에너지에 대한 표준 공식이다.

상대론적 입자의 고전역학을 라그랑주 형식으로 기술할 때, 좌표의 미분

\dot{X}

에 의한 라그랑주 함수의 편미분 계수로서 공액 운동량이

:

P_\mu =\frac{\partial L}{\partial\dot{X}^\mu}

로 정의된다. 공액 운동량의 시간 성분은 시간에 공액인 역학적 에너지이다.

예를 들어 전자기장과 상호작용하는 입자의 경우 공액 운동량은

:

P_\mu =\frac{\partial L}{\partial\dot{X}^\mu} =p_\mu +qA_\mu(X)

가 되어, 자유 입자의 운동량에 4원 포텐셜가 더해진 형태가 된다.

4. 2. 라그랑지안으로부터의 유도

최소 작용의 원리에서 시작하여 라그랑주 프레임워크를 사용하여 에너지 표현식을 포함한 사차원 운동량을 유도할 수 있다.^[2] 자유 입자의 상대론적 라그랑지안을 사용하면 사차원 운동량을 직접 유도할 수 있다.

일반적으로 일반화 좌표와 정준 운동량를 가진 닫힌 시스템의 경우,^[3]

p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} = \frac{\partial S}{\partial x_i}, \quad E = -\frac{\partial S}{\partial t} = - c \cdot \frac{\partial S}{\partial x_0},

이것으로부터 (현재의 메트릭 규칙에서 , , , 및 , , , 을 기억하면서)

p_\mu = -\frac{\partial S}{\partial x^\mu} = \left({E \over c}, -\mathbf p\right)

를 얻을 수 있다. 여기서 세 벡터 부분이 (음의) 정준 운동량인 공변 사차원 벡터이다.

작용 는 다음과 같다.

S = -mc\int ds = \int L dt, \quad L = -mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}},

여기서 는 자유 입자에 대한 상대론적 라그랑지안이다. 이로부터,

\delta S = \left[ -mu_\mu\delta x^\mu\right]_{t_1}^{t_2} + m\int_{t_1}^{t_2}\delta x^\mu\frac{du_\mu}{ds}ds = -mu_\mu\delta x^\mu = \frac{\partial S}{\partial x^\mu}\delta x^\mu = -p_\mu\delta x^\mu,

여기서 두 번째 단계에서는 장 방정식 , 및 을 사용한다. 이제 마지막 세 표현을 비교하여 다음을 찾는다.

p^\mu = -\partial^\mu[S] = -\frac{\partial S}{\partial x_\mu} = mu^\mu = m\left(\frac{c}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \frac{v_x}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \frac{v_y}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \frac{v_z}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right),

여기서 노름은 이다.

이를 통해 상대론적 에너지에 대한 유명한 결과를 얻을 수 있다.

:

E = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = m_{r}c^2,

여기서 은 현재 유행하지 않는 상대론적 질량이다. 운동량과 에너지에 대한 표현을 직접 비교함으로써,

:

\mathbf p = E\frac{\mathbf v}{c^2},

를 얻을 수 있으며, 이는 질량이 없는 입자에도 적용된다. 에너지와 삼차원 운동량의 표현을 제곱하여 관련시키면 에너지-운동량 관계

:

\frac{E^2}{c^2} = \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2c^2.

를 얻을 수 있다.

정의에 의해,^[5]

\begin{align}\mathbf p &= \frac{\partial L}{\partial \mathbf v}= \left({\partial L\over \partial \dot x}, {\partial L\over\partial \dot y}, {\partial L\over\partial \dot z}\right)= m(\gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) = m\gamma \mathbf v= m \mathbf u , \\[3pt]E &= \mathbf p \cdot \mathbf v - L = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}},\end{align}

이는 닫힌 (시간 독립 라그랑지안) 시스템의 정준 운동량 및 에너지에 대한 표준 공식으로 구성된다. 이 접근 방식에서는 에너지와 운동량이 사차원 벡터의 일부인지 명확하지 않다.

에너지와 삼차원 운동량은 라그랑지안 프레임워크에서 고립된 시스템에 대해 ''개별적으로 보존되는'' 양이다. 따라서 사차원 운동량도 보존된다.

5. 4차원 운동량 보존

4차원 운동량 보존 법칙은 다음 세 가지 보존 법칙을 포함한다.

네 운동량은 보존된다.
총 에너지는 보존된다.
3차원 공간 운동량 $\mathbf{p} = \left(p^1, p^2, p^3\right)$ 는 보존된다. (고전적인 비상대론적 운동량 $m\mathbf{v}$ 와 혼동해서는 안 된다).

이는 고전적인 경우에 총 에너지와 고전적인 3차원 운동량이 보존되는 것과 대응된다.^[1]

5. 1. 입자계의 불변 질량

입자계의 불변 질량은 각 입자의 정지 질량의 합보다 클 수 있는데, 이는 계의 질량 중심 좌표계에서의 운동 에너지와 입자 간의 힘으로부터의 포텐셜 에너지가 불변 질량에 기여하기 때문이다. 예를 들어, 네 운동량이 각각 (5 GeV/''c'', 4 GeV/''c'', 0, 0)과 (5 GeV/''c'', -4 GeV/''c'', 0, 0)인 두 입자는 각각 (정지) 질량이 3 GeV/''c''²이지만, 그들의 총 질량(계 질량)은 10 GeV/''c''²이다. 만약 이 입자들이 충돌하여 달라붙는다면, 합성 물체의 질량은 10 GeV/''c''²이 될 것이다.

입자 물리학에서 불변 질량 보존의 한 가지 실질적인 적용은, 네 운동량 ''p''_A와 ''p''_B를 가진 두 딸 입자의 네 운동량을 더하여, 네 운동량 ''p''_C를 가진 더 무거운 입자의 질량을 찾는 것이다. 네 운동량 보존은 ''p''_C^''μ'' = ''p''_A^''μ'' + ''p''_B^''μ''를 제공하며, 더 무거운 입자의 질량 ''M''은 -''P''_C ⋅ ''P''_C = ''M''²''c''²로 주어진다. 딸 입자들의 에너지와 3-운동량을 측정함으로써, 두 입자계의 불변 질량을 재구성할 수 있으며, 이는 ''M''과 같아야 한다. 이 기술은, 예를 들어, 고에너지 입자 충돌기에서 Z′ 보손을 실험적으로 탐색하는 데 사용되며, 여기서 Z′ 보손은 전자–양전자 또는 뮤온–반뮤온 쌍의 불변 질량 스펙트럼에서 돌기로 나타날 것이다.

5. 2. 4-가속도와의 관계

물체의 질량이 변하지 않는다면, 그 네 운동량과 해당 4-가속도의 민코프스키 내적은 단순히 0이다. 4-가속도는 입자의 질량으로 나눈 네 운동량의 고유 시간 미분에 비례하므로, 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

p^\mu A_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\mu A^\nu = \eta_{\mu\nu} p^\mu \frac{d}{d\tau} \frac{p^{\nu}}{m} = \frac{1}{2m} \frac{d}{d\tau} p \cdot p = \frac{1}{2m} \frac{d}{d\tau} \left(-m^2c^2\right) = 0 .

6. 전자기 포텐셜에서의 정준 운동량

전자기장과 상호작용하는 입자의 경우, 공액 운동량은 자유 입자의 운동량에 4원 포텐셜 A^영어가 더해진 형태가 된다. 시간 성분은 운동 에너지와 정전 에너지(포텐셜 에너지)의 합으로 나타나는 역학적 에너지이다.

: $P_\mu =\frac{\partial L}{\partial\dot{X}^\mu} =p_\mu +qA_\mu(X)$

6. 1. 전자기 포텐셜

전하 ''q''를 가진 대전 입자가 전자기 포텐셜에 의해 주어진 전자기장 내에서 움직이는 경우, 전자기 포텐셜은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

A = \left(A^0 , A^1 , A^2 , A^3\right) = \left({\phi \over  c}, A_x , A_y , A_z\right)

여기서

\phi

는 스칼라 포텐셜이고,

\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)

는 벡터 포텐셜이다. 이때 ( 게이지 불변이 아닌) 정준 운동량 4-벡터

P^\mu

의 성분은 다음과 같다.

:

P^\mu = p^\mu + q A^\mu.

이는 상대론적 양자 역학에서 정전기적 포텐셜 내의 대전 입자로부터의 위치 에너지와 자기장 내에서 움직이는 대전 입자에 작용하는 로렌츠 힘을 간결하게 통합할 수 있게 해준다.

상대론적 입자의 고전역학을 라그랑주 형식으로 기술할 때, 공액 운동량은 좌표의 미분

\dot{X}

에 의한 라그랑주 함수의 편미분 계수로 정의된다.

:

P_\mu =\frac{\partial L}{\partial\dot{X}^\mu}

공액 운동량의 시간 성분은 시간에 공액인 역학적 에너지이다.

예를 들어 전자기장과 상호작용하는 입자의 경우 공액 운동량은 다음과 같다.

:

P_\mu =\frac{\partial L}{\partial\dot{X}^\mu} =p_\mu +qA_\mu(X)

이는 자유 입자의 운동량에 4원 포텐셜

A

가 더해진 형태이다. 시간 성분은 운동 에너지와 정전 에너지(포텐셜 에너지)의 합으로 나타나는 역학적 에너지임을 확인할 수 있다.

6. 2. 정준 운동량의 응용

전자기 포텐셜에 의해 주어진 전자기장 내에서 움직이는 전하 ''q''를 가진 대전 입자의 경우:^[1]

:

A = \left(A^0 , A^1 , A^2 , A^3\right) = \left({\phi \over  c}, A_x , A_y , A_z\right)

여기서

\phi

는 스칼라 포텐셜이고,

\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)

는 벡터 포텐셜이며, ( 게이지 불변이 아닌) 정준 운동량 4-벡터

P

의 성분은 다음과 같다.^[1]

:

P^\mu = p^\mu + q A^\mu.

이것은 상대론적 양자 역학에서 정전기적 포텐셜 내의 대전 입자로부터의 위치 에너지와 자기장 내에서 움직이는 대전 입자에 작용하는 로렌츠 힘을 간결하게 통합할 수 있게 해준다.^[1]

상대론적 입자의 고전역학을 라그랑주 형식으로 기술할 때, 뉴턴적인 경우와 마찬가지로 좌표의 미분

\dot{X}

에 의한 라그랑주 함수의 편미분 계수로서 공액 운동량이^[2]

:

P_\mu =\frac{\partial L}{\partial\dot{X}^\mu}

로 정의된다. 공액 운동량의 시간 성분은 시간에 공액인 역학적 에너지이다.^[2]

예를 들어 전자기장과 상호작용하는 입자의 경우 공액 운동량은^[2]

:

P_\mu =\frac{\partial L}{\partial\dot{X}^\mu} =p_\mu +qA_\mu(X)

가 되어, 자유 입자의 운동량에 4원 포텐셜

A

가 더해진 형태가 된다. 시간 성분이 운동 에너지와 정전 에너지(포텐셜 에너지)의 합으로 나타나는 역학적 에너지임을 확인할 수 있다.^[2]

7. 굽은 시공간에서의 4차원 운동량

일반 상대성 이론에서 굽은 시공간의 4차원 운동량은 공변 벡터로 표현된다.^[9]

: $P_\mu = \left(\frac {E} {c} , -\mathbf P \right).$

7. 1. 일반화된 4차원 운동량

사차원 운동량

P_\mu

는 물리적 시스템의 에너지

E

와 상대론적 운동량

\mathbf P

를 통해 표현된다. 동시에, 사차원 운동량

P_\mu

는 적분형의 두 개의 비국소 사차원 벡터의 합으로 나타낼 수 있다.^[9]

:

P_\mu = p_\mu + K_\mu.

사차원 벡터

p_\mu

는 입자에 대한 장의 작용과 관련된 일반화된 사차원 운동량이고, 사차원 벡터

K_\mu

는 입자의 장에 대한 작용으로 발생하는 장의 사차원 운동량이다.

에너지

E

와 운동량

\mathbf P

, 그리고 사차원 벡터

p_\mu

및

K_\mu

의 성분은 시스템의 라그랑지안 밀도

\mathcal{L} =\mathcal{L}_p + \mathcal{L}_f

가 주어지면 계산할 수 있다. 시스템의 에너지와 운동량에 대해 다음 공식이 얻어진다.

:

E = \int_{V} \frac {\partial}{\partial \mathbf v} \left( \frac { \mathcal{L}_p }{u^0} \right) \cdot \mathbf v u^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 -\int_{V} \left (\mathcal{L}_p  + \mathcal{L}_f  \right ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 +\sum_{n=1}^N \left( \mathbf v_n \cdot \frac {\partial L_f}{\partial \mathbf v_n}\right )  .

:

\mathbf P = \int_{V} \frac {\partial}{\partial \mathbf v} \left( \frac { \mathcal{L}_p }{u^0} \right) u^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 +\sum_{n=1}^N \frac {\partial L_f}{\partial \mathbf v_n} .

여기서

\mathcal{L}_p

는 사차원 전류를 포함하는 라그랑지안 밀도의 일부이고,

\mathbf v

는 물질 입자의 속도이며,

u^0

는 입자의 사차원 속도의 시간 성분이다.

g

는 메트릭 텐서의 행렬식이고,

L_f = \int_{V} \mathcal{L}_f \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3

는 라그랑지안 밀도

\mathcal{ L}_f

와 관련된 라그랑지안의 일부이며,

\mathbf v_n

은

n

번 물질 입자의 속도이다.

8. 입자의 4원 운동량 (일본어판)

4원 속도 '''U'''로 운동하는 질량 m인 입자의 4원 운동량은

:''p''^μ = ''mU''^μ

로 주어진다.^[10]^[11]

로렌츠 인자 γ를 사용하면

:''p''^μ = (γmc, γm'''v''')

로 나타낼 수 있다.^[11] 뉴턴 극한에서 γ → 1 이므로, 공간 성분은 질량과 속도의 곱으로 주어지는 뉴턴 역학에서의 운동량과 일치한다.

4원 운동량의 민코프스키 노름은

:''p''² = ''p''^μ''p''_μ = -''m''²''c''²

이 된다.^[11] 이 조건은 부호를 무시하면, 운동량이 반지름 mc의 4차원 구면 위에 제한됨을 의미하며, 질량 껍질 조건이라고 불린다.

공간 성분과 시간 성분을 나누어 쓰면 질량 껍질 조건을

: $\frac{E^2}{c^2} -\boldsymbol{p}^2 =m^2c^2$

: $E =\sqrt{m^2c^4+\boldsymbol{p}^2c^2}$

로 변형할 수 있다. 뉴턴 극한에서 제곱근을 테일러 전개하여 근사하면

: $E =mc^2 +\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m} +O\left( \frac{\boldsymbol{p}^4}{m^4c^4} \right)$

를 얻을 수 있으며, 시간 성분이 뉴턴적인 운동 에너지임을 알 수 있다. 에너지의 원점을 이동시키는 상수항 ''mc''²는 운동량이 0일 때 입자가 갖는 운동 에너지이며, 특히 정지 에너지라고 불린다.

8. 1. 질량 껍질 조건

사차원 운동량의 민코프스키 노름 제곱을 계산하면 입자의 고유 질량 제곱과 (c를 곱한 요소를 제외하고) 같은 로렌츠 불변량 값을 얻는다.

:

p \cdot p = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = p_\nu p^\nu = -{E^2 \over c^2} + |\mathbf p|^2 = -m^2 c^2

4원 운동량의 민코프스키 노름은

:

p^2 =p^\mu p_\mu =-m^2c^2

이 된다^[11]. 이 조건은 부호를 무시하면, 운동량이 반지름 mc의 4차원 구면 위에 제한됨을 의미하며, 질량 껍질 조건이라고 불린다.

공간 성분과 시간 성분을 나누어 쓰면 질량 껍질 조건을

:

\frac{E^2}{c^2} -\boldsymbol{p}^2 =m^2c^2

:

E =\sqrt{m^2c^4+\boldsymbol{p}^2c^2}

로 변형할 수 있다.

8. 2. 뉴턴 극한

로렌츠 인자를 사용하면 4차원 운동량은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[11]

:

p^\mu =(\gamma mc, \gamma m\boldsymbol{v})

뉴턴 극한에서

\gamma \rarr 1

이므로, 공간 성분은 질량과 속도의 곱으로 주어지는 뉴턴 역학에서의 운동량과 일치한다.

시간 성분을 테일러 전개하여 근사하면

:

E =mc^2 +\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m} +O\left( \frac{\boldsymbol{p}^4}{m^4c^4} \right)

를 얻을 수 있으며, 시간 성분이 뉴턴적인 운동 에너지임을 알 수 있다. 에너지의 원점을 이동시키는 상수항

mc^2

는 운동량이 0일 때 입자가 갖는 운동 에너지이며, 특히 정지 에너지라고 불린다.

8. 3. 공액 운동량

상대론적 입자의 고전역학을 라그랑주 형식으로 기술할 때, 뉴턴적인 경우와 마찬가지로 좌표의 미분

\dot{X}

에 의한 라그랑주 함수의 편미분 계수로서 공액 운동량이

:

P_\mu =\frac{\partial L}{\partial\dot{X}^\mu}

로 정의된다. 공액 운동량의 시간 성분은 시간에 공액인 역학적 에너지이다.

예를 들어 전자기장과 상호작용하는 입자의 경우 공액 운동량은

:

P_\mu =\frac{\partial L}{\partial\dot{X}^\mu} =p_\mu +qA_\mu(X)

가 되어, 자유 입자의 운동량에 4원 포텐셜이 더해진 형태가 된다. 시간 성분이 운동 에너지와 정전 에너지(포텐셜 에너지)의 합으로 나타나는 역학적 에너지임을 확인할 수 있다.

전자기 포텐셜에 의해 주어진 전자기장 내에서 움직이는 전하 ''q''^영어를 가진 대전 입자의 경우:

A = \left(A^0 , A^1 , A^2 , A^3\right) = \left({\phi \over  c}, A_x , A_y , A_z\right)

여기서

\phi

는 스칼라 포텐셜이고,

\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)

는 벡터 포텐셜이며, ( 게이지 불변이 아닌) 정준 운동량 4-벡터

P^\mu

의 성분은 다음과 같다.

P^\mu = p^\mu + q A^\mu.

이것은 상대론적 양자 역학에서 정전기적 포텐셜 내의 대전 입자로부터의 위치 에너지와 자기장 내에서 움직이는 대전 입자에 작용하는 로렌츠 힘을 간결하게 통합할 수 있게 해준다.

참조

_[1] 서적 Spacetime physics introduction to special relativity W. H. Freeman and Company 1992
_[2] 논문
_[3] 논문
_[4] 논문
_[5] 논문
_[6] 논문
_[7] 논문
_[8] 논문 The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics
_[9] 간행물 What should we understand by the four-momentum of physical system? 2024-04-18
_[10] 문서
_[11] 문서

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