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산란 진폭

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목차

1. 개요

산란 진폭은 파동이 국소적인 퍼텐셜과 상호 작용하여 산란될 때 나타나는 함수로, 산란된 파동의 진폭을 나타낸다. 이는 입사 평면파와 바깥쪽으로 향하는 구면파의 중첩으로 표현되며, 미분 산란 단면적과 밀접한 관련이 있다. 산란 진폭의 성질로는 차원이 길이이며, 유니타리 조건을 통해 제약이 가해진다. 부분파 전개를 통해 산란 진폭을 부분파의 합으로 나타낼 수 있으며, S-행렬 요소와 산란 위상 이동을 사용하여 표현할 수 있다. X선, 중성자 산란 등 다양한 산란 현상에서 사용되며, 양자역학적 형식으로도 다루어진다. 산란 진폭은 저에너지 영역에서 산란 길이를 통해 측정될 수 있다.

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산란 진폭
개요
정의양자 산란 이론에서, 입사파와 산란파 사이의 확률 진폭 비율을 나타내는 복소수 함수
기호f
차원길이
특징
변수산란 각도, 에너지
관련 개념산란 단면적
응용 분야원자핵 물리학, 입자 물리학

2. 정의

구면 좌표계 (r,\theta,\phi)를 쓴다. 편의상 복소 파동 \psi를 생각한다. 양자역학의 파동 함수가 이에 해당한다. 진폭이 A이고, 파수 벡터가 \mathbf k이고, 각진동수 \omega를 가진 평면파는 다음과 같다.

:\psi(\mathbf r,t)=A\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf r-i\omega t).

이 평면파가 원점에 위치해 있는 국소적인 퍼텐셜을 만나 산란된다고 하자. 그렇다면 퍼텐셜에서 먼 곳에서 산란된 파동은 일반적으로 구면파의 모양이다. 따라서 총 파동은 다음과 같은 꼴이다.

:\psi(\mathbf r,t)=A\left(\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf r-i\omega t)+f(\theta,\phi)\frac{\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf r-i\omega t)}r\right).

여기서 f(\theta,\phi)를 '''산란 진폭'''이라고 한다.

음파나 파도와 같은 실수 값을 가진 파동일 경우에는 식은 다음과 같다.

:\psi(\mathbf r,t)=A\left(\cos(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)+f(\theta,\phi)\frac{\cos(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}r\right).

산란 과정이 정상적이라고 간주할 수 있는 경우(탄성 산란 등)를 생각한다. 산란 상태의 파동 함수는 입사 평면파와 바깥쪽으로 향하는 구면파의 중첩이라고 생각한다.

:

\psi(\mathbf{r}) = e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}

여기서, \mathbf{r}\equiv\{x,y,z\}는 벡터 좌표, r\equiv|\mathbf{r}|는 벡터 \mathbf{r}의 길이, e^{ikz} \ 는 z \ 축 방향으로 입사한 파수 벡터 k \ 의 평면파, e^{ikr}/r \ 는 바깥쪽으로 향하는 구면파, \theta \ 는 산란각, f(\theta) \ 는 '''산란 진폭'''이다.

3. 성질

산란 진폭은 길이의 차원을 갖는다.

미분 산란 단면적은 다음과 같이 표시된다.

:\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2

저에너지 영역에서 산란 진폭은 산란 길이에 의해 결정된다.

3. 1. 유니타리 조건

입자 수 보존이 산란 중에 성립하면, 이는 산란 진폭에 대한 유니타리 조건을 이끌어낸다. 일반적인 경우, 다음이 성립한다.

:f(\mathbf{n},\mathbf{n}') -f^*(\mathbf{n}',\mathbf{n})= \frac{ik}{2\pi} \int f(\mathbf{n},\mathbf{n}'')f^*(\mathbf{n},\mathbf{n}'')\,d\Omega''

광학 정리는 여기서 \mathbf n=\mathbf n'을 설정하여 얻을 수 있다.

중심 대칭장에서는 유니타리 조건이 다음과 같이 된다.

:\mathrm{Im} f(\theta)=\frac{k}{4\pi}\int f(\gamma)f(\gamma')\,d\Omega''

여기서 \gamma와 \gamma'는 \mathbf{n}과 \mathbf{n}' 사이의 각도이며, 어떤 방향 \mathbf{n}''이다. 이 조건은 f(\theta)의 허용 가능한 형태에 제약을 가한다. 즉, 산란 진폭의 실수부와 허수부는 이 경우 독립적이지 않다. 예를 들어, f=|f|e^{2i\alpha}에서 |f(\theta)|가 알려져 있다면(예: 단면적 측정에서), f(\theta)\rightarrow -f^*(\theta)의 대안 내에서 f(\theta)가 고유하게 결정되도록 \alpha(\theta)를 결정할 수 있다.

4. 부분파 전개

부분파 전개에서 산란 진폭은 부분파의 합으로 표현된다.[3]

:f=\sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) f_\ell P_\ell(\cos \theta)

여기서 f_\ell은 부분 산란 진폭이고, P_\ell은 르장드르 다항식이다. 부분 진폭은 부분파 S-행렬 요소 S_\ell = e^{2i\delta_\ell}와 '''산란 위상 이동''' \delta_\ell를 통해 표현할 수 있다.

:f_\ell = \frac{S_\ell-1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_\ell}-1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} = \frac{1}{k\cot\delta_\ell-ik} \;.

총 단면적[4] \sigma = \int |f(\theta)|^2d\Omega 은 다음과 같이 전개될 수 있다.

:\sigma = \sum_{l=0}^\infty \sigma_l, \quad \text{where} \quad \sigma_l = 4\pi(2l+1)|f_l|^2=\frac{4\pi}{k^2}(2l+1)\sin^2\delta_l

여기서 \sigma_l은 부분 단면적이다. 총 단면적은 또한 광학 정리에 의해 \sigma=(4\pi/k)\,\mathrm{Im} f(0)과 같다.

\theta\neq 0에 대해, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:f=\frac{1}{2ik}\sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) e^{2i\delta_l} P_\ell(\cos \theta).

부분파 전개에서 산란 진폭은 부분파의 합으로 표현된다[7]。

: f(\theta)=\sum_{l=0}^\infty (2l+1) f_l(k) P_l(\cos(\theta))

여기서 P_l(\cos(\theta))는 르장드르 다항식, f_l(k)는 '''부분 진폭'''이라고 불린다.

부분 진폭은 S 행렬 요소 S_l=e^{2i\delta_l}과 산란에 의한 위상 변화 \delta_l을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: f_l = \frac{S_l-1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_l}-1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_l} \sin\delta_l}{k} = \frac{1}{k\cot\delta_l-ik}

5. 여러가지 산란

(주어진 원본 소스가 비어있으므로, 작성할 내용이 없습니다.)

5. 1. X선 산란

X선의 산란 길이는 톰슨 산란 길이 또는 고전 전자 반경 r|아르영어0이다.

5. 2. 중성자 산란

핵 중성자 산란 과정은 일관성 있는 중성자 산란 길이, 종종 b로 표시되는 값을 포함한다.[1]

6. 양자역학적 형식

구면 좌표계 (r,\theta,\phi)를 쓰자. 편의상 복소 파동 \psi를 생각하자. 양자역학의 파동 함수가 이에 해당한다. 진폭이 A이고, 파수 벡터가 \mathbf k이고, 각진동수 \omega를 가진 평면파는 다음과 같다.

:\psi(\mathbf r,t)=A\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf r-i\omega t).

이 평면파가 원점에 위치해 있는 국소적인 퍼텐셜을 만나 산란된다고 하자. 그렇다면 퍼텐셜에서 먼 곳에는 산란된 파동은 일반적으로 구면파의 모양이다. 따라서 총 파동은 다음과 같은 꼴이다.

:\psi(\mathbf r,t)=A\left(\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf r-i\omega t)+f(\theta,\phi)\frac{\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf r-i\omega t)}r\right).

여기서 f(\theta,\phi)를 '''산란 진폭'''이라고 한다.

음파나 파도와 같은 실수 값을 가진 파동일 경우에는 식은 다음과 같다.

:\psi(\mathbf r,t)=A\left(\cos(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)+f(\theta,\phi)\frac{\cos(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}r\right).

S 행렬 형식은 양자역학적 접근 방식을 제공한다.

7. 측정

산란 진폭은 저에너지 영역에서 산란 길이를 통해 결정될 수 있다.

참조

[1] 서적 Quantum Mechanics: Concepts and Applications http://eu.wiley.com/[...] Wiley 2010-11-10
[2] 서적 Quantum mechanics: non-relativistic theory Elsevier
[3] 웹사이트 Plane Waves and Partial Waves http://galileo.phys.[...] 2008-01-17
[4] 서적 Quantum Mechanics https://archive.org/[...] McGraw Hill 1968
[5] 서적 학술용어집 物理学編 http://sciterm.nii.a[...] 培風館
[6] 서적 Quantum Mechanics: Concepts and Applications http://eu.wiley.com/[...] Wiley
[7] 웹사이트 Plane Waves and Partial Waves http://galileo.phys.[...] 2008-01-17


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