산술-기하 평균 부등식

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1. 개요

산술-기하 평균 부등식은 음이 아닌 실수들의 산술 평균이 기하 평균보다 크거나 같다는 부등식이다. 등호는 모든 실수들이 같을 때 성립하며, 기하학적으로는 주어진 면적을 가진 직사각형이 정사각형일 때 최소 둘레를 갖는다는 것을 의미한다. 수학적 귀납법, 코시의 증명, 젠센 부등식, 미분, 치환, 폴리아의 증명 등 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 이 부등식은 금융의 연평균 수익률 계산, 코시-슈바르츠 부등식 증명, 모츠킨 다항식의 비음성 증명 등 다양한 분야에 활용된다. 가중 산술-기하 평균 부등식, 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식, 행렬 산술-기하 평균 부등식 등으로 일반화할 수 있다.

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산술-기하 평균 부등식
개요
이름	산술-기하 평균 부등식
영문명	Arithmetic-Geometric Mean Inequality
내용	음이 아닌 실수들의 산술 평균은 항상 기하 평균보다 크거나 같고, 두 평균이 같을 필요충분조건은 모든 수가 같음이다.
세부 내용
조건	음이 아닌 실수
부등식	(x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n ≥ (x₁x₂...xₙ)^(1/n)
필요충분조건	모든 수가 같음
증명
방법	다양한 증명 방법 존재
예시	귀납법, 코시-슈바르츠 부등식, 옌센 부등식 활용 가능
활용
최적화 문제	최댓값 또는 최솟값 구하기
응용 분야	다양한 수학 문제 해결
관련 항목
관련 개념	평균 산술 평균 기하 평균
관련 부등식	제곱 평균-산술 평균 부등식 일반화 평균 부등식

2. 정의

$n$ 개의 음이 아닌 실수 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 에 대해, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같다.

: $\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$

등호는 모든 $x_i$ 가 서로 같을 때, 즉 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ 일 때 성립한다.

여기서,

$n$ 개 수의 산술 평균은 그 수들을 모두 더해서 $n$ 으로 나눈 값이다.

:

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

기하 평균은 음수가 아닌 수들에 대해서만 정의되며, 더하기와 나누기 대신 곱하기와 근을 사용한다.

:

\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}

만약 $x_1, x_2, \ldots, x_n > 0$ 이면, 기하 평균은 각 수들의 자연 로그의 산술 평균을 지수 함수에 넣은 값과 같다.

:

\exp \left( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} \right)

3. 기하학적 해석

2차원 공간에서 는 변의 길이가 , 인 직사각형의 둘레이다. 유사하게, 는 면적이 로 동일한 넓이를 가진 정사각형의 둘레이다. 따라서 인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 주어진 면적을 가진 직사각형이 정사각형일 때 가장 작은 둘레를 갖는다고 말한다.

전체 부등식은 이러한 아이디어를 차원으로 확장한 것이다. 변의 길이가 인 차원 상자를 생각해 보자. 상자의 모든 꼭짓점은 서로 다른 방향의 개의 모서리에 연결되어 있으므로, 꼭짓점에 연결된 모서리의 평균 길이는 이다. 반면에 $\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$ 는 동일한 부피를 가진 차원 정육면체의 모서리 길이이며, 따라서 정육면체의 꼭짓점에 연결된 모서리의 평균 길이이기도 하다.

따라서 산술-기하 평균 부등식은 동일한 부피를 가진 모든 차원 상자 중에서 오직 -정육면체만이 각 꼭짓점에 연결된 모서리의 평균 길이가 가장 작다고 말한다.^[3]

4. 증명

수학적 귀납법, 코시의 증명, 옌센 부등식, 미분, 치환 등을 통해 산술-기하 평균 부등식을 증명할 수 있다.^[6]^[1]^[7]

4. 1. 수학적 귀납법

수학적 귀납법으로 산술-기하 평균 부등식을 증명할 수 있다.

우선,

n=1

인 경우, 이는 자명하게 성립한다.

다음으로,

n

에 대하여 성립한다고 가정하고,

n+1

에 대해 성립함을 보인다.

x_1, x_2, \cdots, x_{n+1}

의 산술 평균을

x = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n+1}}{n+1}

라고 하자.

만약

x_1 = x_2 = \cdots = x_{n+1}

이라면, 자명하게

x^{n+1} = x_1x_2\cdots x_{n+1}

이 성립한다. 그렇지 않다면,

x

보다 큰 수와

x

보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, 일반성을 잃지 않고

x_n > x > x_{n+1}

라고 할 수 있다. 그러면,

:

(x_n - x)(x - x_{n+1}) > 0

이다. 또한,

y = x_{n} + x_{n+1} - x

라고 정의하면,

y

는 양의 실수이고,

:

nx = x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n + x_{n+1} - x = x_1 + x_2 + \cdots+ x_{n-1} + y

이므로,

x

는

n

개의 음이 아닌 실수

x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, y

의 산술 평균이 된다.

귀납 가정에 따라,

:

x^{n+1} = x^nx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}yx

이다. 또한

:

yx - x_nx_{n+1} = (x_n + x_{n+1} - x)x  - x_nx_{n+1} = (x_n - x)(x - x_{n+1}) > 0

이므로,

:

yx > x_nx_{n+1}

이다. 따라서,

:

x^{n+1} = x^nx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}yx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}x_nx_{n+1}

이다.

x > 0

이므로,

x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}

가운데 0이 있다면 첫 번째 부등호는 등호가 될 수 없고, 0이 없다면 두 번째 부등호는 등호가 될 수 없다. 따라서

n+1

에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명된다.

4. 2. 코시의 증명

다음은 잘 알려진 산술 규칙에 직접 의존하지만, 거의 사용되지 않는 전진-후진 귀납법을 사용하는 경우별 증명이다. 이는 기본적으로 오귀스탱 루이 코시에 의한 것이며, 그의 해석학 강의에서 찾을 수 있다.^[6]

만약 모든 항이 같다면:

:x|x^영어₁ = x|x^영어₂ = ⋯ = x|x^영어_n,

그들의 합은 ''n''x|x^영어₁이므로, 산술 평균은 x|x^영어₁이다. 그리고 그들의 곱은 x|x^영어₁^''n''이므로, 기하 평균은 x|x^영어₁이다. 그러므로, 산술 평균과 기하 평균은 같으며, 이는 우리가 원하는 결과이다.

모든 항이 같지 않은 경우, 산술 평균이 기하 평균보다 크다는 것을 보여야 한다. 분명히, 이것은 ''n'' > 1일 때만 가능하다.

이 경우는 훨씬 더 복잡하며, 하위 경우로 나눈다.

4. 3. 젠센 부등식

로그 함수는 엄격 오목 함수이므로, 로그 함수의 옌센 부등식을 통해 다음과 같이 산술-기하 평균 부등식을 유도할 수 있다.^[1]

:

\ln\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n>\frac1n(\ln x_1+\ln x_2+\cdots+\ln x_n)\qquad(\lnot x_1=x_2=\cdots=x_n)

로그 함수가 엄격 오목 함수라는 것은 이계 도함수 판정법으로 보일 수 있다.^[1]

:

(\ln x)''=\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}<0\qquad(x>0)

젠센 부등식에 따르면, 오목 함수의 산술 평균에 대한 함숫값은 함숫값의 산술 평균보다 크거나 같다. 로그 함수는 오목 함수이므로 다음이 성립한다.^[1]

:

\log  \left(\frac { \sum x_i}{n} \right) \geq  \frac{1}{n} \sum \log x_i  = \frac{1}{n} \log \left( \prod x_i\right) = \log \left( \prod x_i\right)^{1/n}.

위 식에서 가장 왼쪽 변과 가장 오른쪽 변에 역로그를 취하면 산술-기하 평균 부등식을 얻는다.^[1]

4. 4. 미분

미분을 통해 함수의 극값을 구하여 산술-기하 평균 부등식을 증명할 수 있다. 우선

n=1,2

인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다.

이제

n>1

에 대하여 성립한다는 가정 아래,

n+1>2

에 대하여 증명한다. 모든 항이 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 모든 항이 같지는 않을 경우,

x_1 \ne x_2

이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.

:

\frac{x_1 + \cdots + x_n + x_{n+1}}{n+1} - (x_1 \cdots x_n x_{n+1})^{\frac{1}{n+1}} > 0

이는 음이 아닌 실수

x_1, \dots, x_n \ge 0

을 고정하고, 함수

:

f(t)=\frac{x_1 + \cdots + x_n + t}{n+1} - (x_1 \cdots x_n t)^{\frac{1}{n+1}} \qquad (t \ge 0)

를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.

:

f(x_{n+1}) > 0

극값을 구하기 위해,

f

의 미분을 취하면 다음과 같다.

:

f'(t) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1}(x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n+1}}t^{-\frac{n}{n+1}}

따라서,

f

는 다음과 같은 임계점을 갖는다.

:

f'(t_0)=0 \iff t_0 = (x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}}

그러므로

f

의 가능한 극값은 다음과 같다.

:

f(0) = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} > 0

:

\begin{align}f(t_0) & = \frac{x_1 + \cdots + x_n + ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n}}}{n+1} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n+1}}(x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n(n+1)}} \\& = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} + \frac{1}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\& = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} - \frac{n}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\& = \frac{n}{n+1}\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}n - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n}\right) \\& > 0\end{align}

:

\lim_{t\to\infty}f(t)=\infty>0

여기서

f(t_0) = 0

일 수 없는 이유는, 이미

x_1 \ne x_2

이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의

t \ge 0

에 대하여,

:

f(t)>0

이다. 특히,

t=x_{n+1}

일 경우,

:

f(x_{n+1})>0

이다. 이렇게

n+1

에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

4. 5. 치환

모든 숫자가 같지 않다면, ${\displaystyle x_{i}<\alpha
: ${\displaystyle \alpha (x_{j}+x_{i}-\alpha )-x_{i}x_{j}=(\alpha -x_{i})(x_{j}-\alpha )>0}$

숫자들이 여전히 같지 않다면, 위와 같이 숫자들을 계속 치환한다. 최대 ${\displaystyle (n-1)}$번의 치환 단계를 거치면 모든 숫자가 ${\displaystyle \alpha }$로 치환되고, 기하 평균은 각 단계마다 엄격하게 증가한다. 마지막 단계 후, 기하 평균은 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\alpha \alpha \cdots \alpha }}=\alpha }$가 되어 부등식이 증명된다.

만약 숫자 중 0이 있다면, 기하 평균도 0이 되어 부등식은 자명하게 증명된다. 따라서 모든 숫자가 양수라고 가정할 수 있다. 만약 모든 숫자가 같지 않다면, ${\displaystyle 0
: ${\displaystyle x_{i}+x_{j}-\beta -{\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}={\frac {(\beta -x_{i})(x_{j}-\beta )}{\beta }}>0}$

이후 증명은 앞선 치환과 유사한 방식으로 이어진다.

4. 6. 폴리아의 증명

조지 폴리아는 지수 함수를 사용하여 다음과 같이 증명하였다.^[7]

모든 실수 ''x''에 대해 ''f''(''x'') = e^''x''–1 – ''x''라고 하자. 여기서 첫 번째 도함수는 ''f′''(''x'') = e^''x''–1 – 1이고, 두 번째 도함수는 ''f′′''(''x'') = e^''x''–1이다. ''f''(1) = 0, ''f′''(1) = 0이고 모든 실수 ''x''에 대해 ''f′′''(''x'') > 0이므로, ''f''는 ''x'' = 1에서 절대 최솟값을 갖는 엄격한 볼록 함수이다. 따라서 모든 실수 ''x''에 대해 ''x'' ≤ e^''x''–1가 성립하며, 등호는 ''x'' = 1일 때만 성립한다.

음이 아닌 실수 ''x''₁, ''x''₂, ⋯, ''x_n''의 목록을 고려해 보자. 만약 모두 0이라면, 산술-기하 평균 부등식이 등호와 함께 성립한다. 따라서 산술 평균 ''α'' > 0을 가정할 수 있다. 위 부등식을 ''n''번 적용하면 다음을 얻는다.

:

:

등호는 모든 ''i'' ∈ {1, ⋯, ''n''}에 대해 ''x_i'' = ''α''일 때만 성립한다. 지수 함수의 인수는 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:

:

:

(*)로 돌아가서,

:

이것은 ''x''₁''x''₂ ⋯ ''x_n'' ≤ ''αⁿ''을 생성하므로, 다음을 얻는다.^[7]

:

5. 활용

산술-기하 평균 부등식은 여러 분야에서 유용하게 활용된다. 예를 들어, 코시-슈바르츠 부등식을 증명하는 데 사용될 수 있다.^[1]

금융 수학에서는 연평균 수익률을 계산할 때 이 부등식을 활용한다. 기하 평균(연평균 수익률)이 산술 평균(평균 연간 수익률)보다 작거나 같다는 것을 보여준다.^[12]

모츠킨 다항식과 같이 제곱의 합 다항식이 아닌 비음 다항식의 경우에도 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 비음임을 증명할 수 있다.^[4]

5. 1. 예제

a, b, c > 0

이라면, 산술-기하 평균 부등식에 의해 다음이 성립한다.

:

(1+a)(1+b)(1+c) \ge 2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{c} = 8\sqrt{abc}

n!

에 대한 간단한 상한을 구하면 다음과 같다. 산술-기하 평균 부등식에 따르면,

:

1+2+\dots+n \ge n\sqrt[n]{n!}

:

\frac{n(n+1)}{2} \ge n\sqrt[n]{n!}

따라서,

:

\left(\frac{n+1}{2}\right)^n \ge n!

n=1

에서 등호가 성립한다. 이는 다음과 동등하다.

:

(n+1)^n \ge 2^nn!

모든 양의 실수

x, y, z

에 대해 함수

f(x,y,z) = \frac{x}{y} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt[3]{\frac{z}{x}}

의 최솟값을 구하는 경우를 생각해 보자. 이 함수는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

f(x,y,z) = 6 \cdot \frac{ \frac{x}{y} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} + \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} + \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} + \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} }{6} = 6\cdot\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}

여기서

x_1=\frac{x}{y},\qquad x_2=x_3=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}},\qquad x_4=x_5=x_6=\frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}}

이다.

n = 6

에 대해 산술-기하 평균 부등식을 적용하면 다음을 얻는다.

:

f(x,y,z) \ge 6 \cdot \sqrt[6]{ \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} \cdot \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} \cdot \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} \cdot \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} } = 6 \cdot \sqrt[6]{ \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \frac{x}{y} \frac{y}{z} \frac{z}{x} } = 2^{2/3} \cdot 3^{1/2}

평균의 모든 항이 같을 때, 즉

\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}}

일 때 등호가 성립한다. 이 조건을 만족하는

(x, y, z)

는 원점에서 시작하는 반직선 위에 있으며, 다음과 같이 주어진다.

:

(x,y,z)=\biggr(t,\sqrt[3]{2}\sqrt{3}\,t,\frac{3\sqrt{3}}{2}\,t\biggr)\quad

(

t>0

)

5. 2. 코시-슈바르츠 부등식 증명

코시-슈바르츠 부등식을 증명하는 데 사용될 수 있다.^[1]

5. 3. 금융

금융 수학에서 산술-기하 평균 부등식은 연평균 수익률을 계산하는데 사용될 수 있다. 즉, 기하 평균(연평균 수익률)이 산술 평균(평균 연간 수익률)보다 작다는 것을 보여준다.^[12] 금융 분야에서는 미래의 여러 기간 동안 자산의 수익률을 정확하게 추정하는 데 많은 연구가 집중되고 있다. 로그 정규 자산 수익률의 경우, 기하 자산 수익률로부터 산술 자산 수익률을 계산하는 정확한 공식이 존재한다.^[12]

간단하게 연간 기하 수익률 ''r₁, r₂, ... , r_N''|r1, r2, ... , rN^영어을 N|N^영어년의 시간 범위를 고려한다고 가정할 때, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

r_n=\frac{V_n - V_{n-1}}{V_{n-1}},

여기서:

:

V_n

= 시간

n

에서의 자산 가치,

:

V_{n-1}

= 시간

n-1

에서의 자산 가치.

기하 평균 수익률과 산술 평균 수익률은 각각 다음과 같이 정의된다.

:

g_N=\left(\prod_{n = 1}^N(1+r_n)\right)^{1/N},

:

a_N=\frac1N \sum_{n = 1}^Nr_n.

연간 기하 자산 수익률이 로그 정규 분포를 따를 때, 다음 공식을 사용하여 기하 평균 수익률을 산술 평균 수익률로 변환할 수 있다.^[12]

:

1+g_N=\frac{1+a_N}{\sqrt{1+\frac{\sigma^2}{(1+a_N)^2}}},

여기서

\sigma^2

는 관찰된 자산 수익률의 분산이다. a_N|aN^영어에 대한 이 음함수 방정식은 다음과 같이 정확하게 풀 수 있다. 먼저,

:

z=(1+a_N)^2,

로 설정하면 2차 다항식 방정식을 얻는다.

:

z^2 - (1+g)^2 - (1+g)^2\sigma^2 = 0.

z|z^영어에 대해 이 방정식을 풀고 z|z^영어의 정의를 사용하면 a_N|aN^영어에 대한 4개의 가능한 해를 얻는다.

:

a_N = \pm \frac{1+g_N}{\sqrt{2}}\sqrt{1 \pm \sqrt{1+\frac{4\sigma^2}{(1+g_N)^2}}}-1.

하지만,

:

\sqrt{1+\frac{4\sigma^2}{(1+g_N)^2}} \geq 1.

이것은 유일한 2개의 가능한 해가 (자산 수익률은 실수이므로) 다음과 같음을 의미한다.

:

a_N = \pm \frac{1+g_N}{\sqrt{2}}\sqrt{1 + \sqrt{1+\frac{4\sigma^2}{(1+g_N)^2}}}-1.

마지막으로, 기하 평균 수익률이 증가하면 산술 평균 수익률이 감소하는 일이 없어야 하므로, a_N|aN^영어를 g_N|gN^영어에 대해 미분한 값은 음수가 아니어야 한다. 실제로, 둘 다 자산 가치의 평균 성장을 측정하므로 비슷한 방향으로 움직여야 한다. 이는 a_N|aN^영어에 대한 음함수 방정식의 한 가지 해, 즉

:

a_N = \frac{1+g_N}{\sqrt{2}}\sqrt{1 + \sqrt{1+\frac{4\sigma^2}{(1+g_N)^2}}}-1.

을 남긴다.

따라서, 로그 정규 분포 자산 수익률의 가정 하에서 산술 자산 수익률은 기하 자산 수익률에 의해 완전히 결정된다.^[12]

5. 4. 다항식

모츠킨 다항식

x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2+1

은 비음 다항식이며, 제곱의 합 다항식이 아니다. 산술-기하 평균 부등식을 이용하여

x_1 = x^4 y^2

,

x_2 = x^2 y^4

,

x_3 = 1

에 대해 비음임을 증명할 수 있다.^[4] 즉,

:

\sqrt[3]{(x^4 y^2) \cdot (x^2 y^4) \cdot (1)} \le \frac{(x^4 y^2)+(x^2 y^4)+(1)}{3}

식을 정리하고 양변에 3을 곱하면

:

3 x^2 y^2 \le x^4 y^2 + x^2 y^4 + 1

이 되므로^[5]

:

0 \le x^4 y^2 + x^2 y^4 - 3 x^2 y^2 + 1

이다.

6. 관련 정리

산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 여러 형태로 일반화할 수 있다.

뮤어헤드 부등식
맥클로린의 부등식
QM-AM-GM-HM 부등식
일반화된 평균 부등식
복소수의 평균^[13]

6. 1. 가중 산술-기하 평균 부등식

가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. ''n''개의 음수가 아닌 실수 ''x''₁, ''x''₂, …, ''x''_''n''과 그에 대응하는 가중치 α₁, α₂, …, α_''n''가 있을 때, 가중치의 합

\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n

이라 하면 다음 부등식이 성립한다.

:

\frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}

마찬가지로 이 부등식은 모든 ''x''_''k''들이 같을 때 등식이 된다.

\alpha_k=0(k=0, 1, \cdots, n)

를 가중치로 갖는

x_k

은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든

\alpha_k

는 양수라고 가정할 수 있다.

이는

f(x)=lnx

에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

x>0

일 때

f(x)=lnx

는 오목 함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

:

\begin{align}\ln\Bigl(\frac{\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n}\alpha\Bigr) & >\frac{\alpha_1}\alpha\ln x_1+\cdots+\frac{\alpha_n}\alpha\ln x_n \\& =\ln \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}.\end{align}

이다.

f(x)=lnx

는 단조 함수이므로

:

\frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}

가 성립함이 증명된다.

6. 2. 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식

산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수

x_1, x_2, \dots, x_n \ge 0

에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

:

\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}\le \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}\le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\le \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 필요충분조건은 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

:

\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}< \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}< \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}< \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}\qquad (\lnot x_1 = x_2 = \cdots = x_n)

:

\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}= \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}= \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}\qquad (x_1 = x_2 = \cdots = x_n)

6. 3. 행렬 산술-기하 평균 부등식

행렬에 대한 산술-기하 평균 부등식의 일반화는 대부분 유니터리 불변 노름 수준에서 적용된다. 이는 행렬

A

와

B

가 양의 준정부호 행렬이라 하더라도, 행렬

AB

는 양의 준정부호 행렬이 아닐 수 있어 표준 제곱근을 가질 수 없기 때문이다.^[9] 바티아(Bhatia)와 키타네(Kittaneh)는 임의의 유니터리 불변 노름

|||\cdot|||

과 양의 준정부호 행렬

A

와

B

에 대해 다음 부등식이 성립함을 보였다.

:

|||AB|||\leq \frac{1}{2}|||A^2 + B^2|||

이후, 같은 저자들은 다음의 더 강력한 부등식을 증명했다.^[10]

:

|||AB||| \leq  \frac{1}{4}|||(A+B)^2|||

차원

n=2

에 대해, 산술-기하 평균 부등식의 가장 강력한 행렬 일반화는 다음과 같으며, 모든

n

에 대해서도 성립할 것으로 추측된다.

:

|||(AB)^{\frac{1}{2}}|||\leq \frac{1}{2}|||A+B|||

이 추측은 2012년 스티븐 드러리(Stephen Drury)에 의해 증명되었다. 그는 다음을 증명했다.^[11]

:

\sqrt{\sigma_j(AB)}\leq \frac{1}{2}\lambda_j(A+B), \ j=1, \ldots, n.

6. 4. 기타 일반화

이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식, 일반화된 평균 부등식 등이 있다.

산술-기하 평균 부등식의 다른 일반화는 다음과 같다.

뮤어헤드의 부등식
맥클로린의 부등식
QM-AM-GM-HM 부등식
일반화된 평균 부등식
복소수의 평균^[13]

참조

_[1] 서적 The Mathematical Gardner Springer
_[2] 웹사이트 Euclid's Elements, Book V, Proposition 25 https://aleph0.clark[...]
_[3] 서적 The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities Cambridge University Press
_[4] 서적 Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1965) Academic Press
_[5] 문서 Sum of Squares seminar https://people.cs.uc[...] University of Chicago
_[6] 서적 Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, première partie, Analyse algébrique, http://visualiseur.b[...]
_[7] 서적 Four unit mathematics Hodder Arnold H&S
_[8] 간행물 Self-Improvement of the Inequality Between Arithmetic and Geometric Means http://jmi.ele-math.[...] 2023-01-11
_[9] 간행물 On the singular values of a product of operators
_[10] 간행물 Notes on matrix arithmetic-geometric mean inequalities
_[11] 간행물 On a question of Bhatia and Kittaneh
_[12] 간행물 On the Relationship between Arithmetic and Geometric Returns http://www.ssrn.com/[...] 2011
_[13] 문서 Unification Theories: Means and Generalized Euler Formulas
_[14] 서적 The Mathematical Gardner Springer

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