선직다양체

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 양의 표수
- 4.1. 분리 단선직다양체
5. 예시
- 5.1. 초곡면
- 5.2. 3차 3차원 다양체와 4차 3차원 다양체
참조

1. 개요

선직다양체는 대수적으로 닫힌 체 K 위의 사영 직선과 K 위의 대수다양체의 곱과 쌍유리 동치인 대수다양체이다. 특히, 단선직다양체는 우세 유리 사상을 통해 정의되며, 선직면은 선직다양체인 대수 곡면을 의미한다. 표수가 0인 체 위에서 단선직다양체는 고다이라 차원이 -∞이며, 체의 확대에 따라 단선직성은 보존되지만, 선직성은 보존되지 않을 수 있다. 양의 표수에서는 분리 단선직다양체라는 개념이 사용되며, 모든 유리점을 통과하는 유리 곡선의 존재 여부가 중요한 특징으로 작용한다.

2. 정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 '''선직다양체'''는 사영 직선 $\mathbb P^1_K$ 과 $K$ 위의 대수다양체 $V$ 의 곱 $\mathbb P^1_K\times V$ 와 쌍유리 동치인 대수다양체이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$ 에 대하여, 만약

$K$ 위의 대수다양체 $Y$
우세 유리 사상 $\phi\colon Y\times\mathbb P^1-\!\to X$

이 존재하며, 또한

$\phi=\chi\circ\pi_Y$ ( $\pi_Y\colon Y\times\mathbb P^1_K-\!\to Y$ 는 $Y$ 로의 사영)

인 우세 유리 사상

\chi\colon Y-\!\to X

이 존재하지 않는다면,

X

를 '''단선직다양체'''(單線織多樣體, uniruled variety^영어)라고 한다.

'''선직면'''(線織面, ruled surface^영어)은 선직다양체인 대수 곡면이다.

2. 1. 선직다양체

대수적으로 닫힌 체

K

위의 '''선직다양체'''는 사영 직선

\mathbb P^1_K

과

K

위의 대수다양체

V

의 곱

\mathbb P^1_K\times V

와 쌍유리 동치인 대수다양체이다.

대수적으로 닫힌 체

K

위의 대수다양체

X

에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는

K

위의 대수다양체

Y

와 우세 유리 사상

\phi\colon Y\times\mathbb P^1-\!\to X

이 존재하고,

\phi=\chi\circ\pi_Y

(

\pi_Y\colon Y\times\mathbb P^1_K-\!\to Y

는

Y

로의 사영)인 우세 유리 사상

\chi\colon Y-\!\to X

이 존재하지 않는다면,

X

를 '''단선직다양체'''(單線織多樣體, uniruled variety^영어)라고 한다.

'''선직면'''(線織面, ruled surface^영어)은 선직다양체인 대수 곡면이다.

2. 2. 단선직다양체

대수적으로 닫힌 체 위에서 정의되며, 우세 유리 사상을 통해 정의되는 더 일반적인 개념이다. 주어진 대수다양체 X에 대해, 다른 대수다양체 Y와 우세 유리 사상 φ: Y × P¹ ⇸ X 가 존재하고, φ가 Y로의 사영을 거치지 않으면 X는 단선직다양체이다.

대수적으로 닫힌 체

K

위의 대수다양체

X

에 대하여, 만약

$K$ 위의 대수다양체 $Y$
우세 유리 사상 $\phi\colon Y\times\mathbb P^1-\!\to X$

이 존재하며, 또한

$\phi=\chi\circ\pi_Y$ ( $\pi_Y\colon Y\times\mathbb P^1_K-\!\to Y$ 는 $Y$ 로의 사영)

인 우세 유리 사상

\chi\colon Y-\!\to X

이 존재하지 않는다면,

X

를 '''단선직다양체'''(uniruled variety^영어)라고 한다.

선직면(線織面, ruled surface^영어)은 선직다양체인 대수 곡면이다.

2. 3. 선직면

3. 성질

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서, 3차원 이하의 대수다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

단선직다양체이다.
고다이라 차원이 $-\infty$ 이다.

이는 모든 차원에서 성립한다고 추측되지만, 아직 4차원 이상의 경우는 증명되지 않았다.

단선직성은 체의 확대에 따라 보존된다. 그러나 선직성은 체의 확대에 따라 보존되지 않는다. 예를 들어, 사영 평면 속의 원뿔 곡선

:

x^2+y^2+z^2=0

은 실수체 위에서는 단선직곡선이지만 선직곡선이 아니다. 그러나 복소수체 위에서는 (복소수 사영 직선

\mathbb P^1_{\mathbb C}

과 동형이므로) 이는 단선직곡선이며 선직곡선이다.

특성 0인 체 위의 모든 비유리 품종은 고다이라 차원이 −∞이다. 그 역은 최대 3차원에서 알려진 추측이다. 즉, 특성 0인 체 위의 고다이라 차원이 −∞인 품종은 비유리여야 한다. 관련된 명제는 모든 차원에서 알려져 있다: Boucksom, Demailly, Păun과 Peternell은 특성 0인 체 위의 매끄러운 사영 대수다양체 ''X''가 ''X''의 표준 번들이 의사 유효하지 않을 때(즉, Néron-Severi 군에서 실수로 텐서화된 유효 제수에 의해 묶인 닫힌 볼록 원뿔에 있지 않을 때) 그리고 그 때만 비유리임을 보였다.^[1]

매우 특별한 경우로, 특성 0인 체 위의 '''P'''^''n''에서 차수 ''d''의 매끄러운 초곡면은 접합 공식에 의해, ''d'' ≤ ''n''일 때 그리고 그 때만 비유리이다. (실제로, '''P'''ⁿ에서 차수 ''d'' ≤ ''n''인 매끄러운 초곡면은 파노 다양체이고 따라서 유리적으로 연결되어, 비유리인 것보다 더 강하다.)

가산 불가 대수적으로 닫힌 체 ''k'' 위의 다양체 ''X''는 ''X''의 모든 ''k''-점을 통과하는 유리 곡선이 있을 때 그리고 그 때만 비유리이다. 반대로, 모든 ''k''-점을 통과하는 유리 곡선이 있지만 비유리하지 않은, 유한 체의 대수적 폐포 ''k'' 위의 다양체가 있다. (홀수 ''p''를 갖는 _''p'' 위의 비 초특이 아벨 표면의 쿠머 다양체는 이러한 속성을 갖는다.^[2]) 이러한 속성을 가진 다양체가 유리수의 대수적 폐포 위에서 존재하는지는 알려져 있지 않다.

비유리성은 기하학적 속성이다 (체 확장에 따라 변경되지 않음). 반면에, 유리성은 그렇지 않다. 예를 들어, 실수 '''R''' 위의 '''P'''²에서 원뿔 ''x''² + ''y''² + ''z''² = 0은 비유리하지만 유리하지 않다. (복소수 '''C''' 위의 관련 곡선은 '''P'''¹과 동형이므로 유리하다.)

표수 0인 체 위의 모든 단선직 다양체의 고바야시 차원은 −∞이다. 이 역은 3차원 이상의 차원에서도 성립할 것으로 예상되며, 즉, 표수 0인 체 위의 고바야시 차원이 −∞인 다양체는 단선직일 것으로 예상된다.

Boucksom, Demailly, Păun과 Peternell은 다음 사실을 보였다.^[5] 표수 0인 쌍 위의 매끄러운/smooth scheme^영어 사영 다양체 X가 단선직이라는 것은 X의 표준 번들이 의사 유효하지 않다는 것(not pseudo-effective)과 동치이며, 이는 모든 차원에서 성립한다. ("의사 유효하지 않다"는 것은 네론-세비리 군과 실수 텐서곱에서의 유효 인자에 의해 생성된 닫힌 볼록 원뿔(the closed convex cone) 안에 있지 않다는 것을 의미한다.)^[6]

매우 특수한 경우로, 표수 0인 체 위의 '''P'''ⁿ 안의 차수 d인 smooth 초곡면이 단선직인 것은 d ≤ n과 수반 공식에 의해 동치이다. (실제로, '''P'''ⁿ 안의 차수 d ≤ n인 smooth 초곡면은 파노 다양체이고, 따라서 유리 연결이다. 이 유리 연결이라는 조건은 단선직이라는 조건보다 강하다.)

비가산 대수적 닫힌 체 k 위의 다양체 X가 단선직이라는 것은 모든 k-점에서 그 점을 통과하는 X 위의 유리 곡선이 존재한다는 것과 동치이다. 이와 대조적으로, 유한 체 위의 대수적 닫힌 체 k 위의 다양체에서는 단선직이 아니지만 모든 k-점에서 그 점을 통과하는 유리 곡선이 갖는 그러한 다양체가 존재한다.^[7] (홀수 소수 p인 _p 위의 임의의 비초특이 타원 곡선/supersingular elliptic curve^영어(supersingular)아벨 곡면의 쿠머 다양체^[8]가 이러한 성질을 갖는다.) 이러한 성질을 갖는 다양체가 유리수의 대수적 닫힌 체 위에 존재하는지 여부는 알려져 있지 않다.

단선직성은 기하학적 성질^[9]인 반면, 선직성은 기하학적 성질이 아니다. 예를 들어, 실수 '''R''' 위의 '''P'''² 안의 원뿔(conic) x² + y² + z² = 0은 단선직 다양체이지만, 선직 다양체는 아니다. (복소수 '''C''' 위의 부속된 곡선은 '''P'''¹에 동형이고, 따라서 선직 다양체이다.)

3. 1. 고다이라 차원

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서 단선직다양체의 고다이라 차원은 −∞이다.^[1]^[5] 3차원 이하에서는 고다이라 차원이 −∞이면 단선직다양체임이 알려져 있지만,^[1] 4차원 이상에서는 미해결 문제이다.

표수 0인 체 위의 사영 대수다양체 ''X''가 단선직이기 위한 필요충분조건은 ''X''의 표준 번들이 의사 유효하지 않은 것이다.^[5]^[6] 예를 들어, 표수 0인 체 위의 '''P'''^''n''에서 차수 ''d''의 매끄러운 초곡면은 수반 공식에 의해, ''d'' ≤ ''n''일 때 단선직이다.^[1]^[5]

가산 불가 대수적으로 닫힌 체 ''k'' 위의 다양체 ''X''가 단선직이라는 것은 ''X''의 모든 ''k''-점을 통과하는 유리 곡선이 존재한다는 것이다.^[1]^[7] 유한 체의 대수적 폐포 ''k'' 위에서는 단선직이 아니지만 모든 ''k''-점을 통과하는 유리 곡선이 존재하는 다양체가 있다. (홀수 ''p''를 갖는 _''p'' 위의 비초특이 아벨 표면의 쿠머 다양체가 이러한 성질을 갖는다.^[2]^[7]^[8])

단선직성은 체의 확대에 따라 보존되는 기하학적 성질^[9]이지만, 선직성은 그렇지 않다. 예를 들어, 실수 '''R''' 위의 사영 평면 속의 원뿔 곡선 ''x''² + ''y''² + ''z''² = 0은 단선직이지만 선직이 아니다. 그러나 복소수체 위에서는 사영 직선

\mathbb P^1_{\mathbb C}

과 동형이므로 선직이다.^[1]^[9]

3. 2. 체의 확대

단선직성은 체의 확대에 따라 보존되지만, 선직성은 보존되지 않을 수 있다.^[9] 예를 들어, 사영 평면 속의 원뿔 곡선 x² + y² + z² = 0은 실수 '''R''' 위에서는 단선직이지만 선직이 아니다.^[9] 그러나 복소수 '''C''' 위에서는 복소수 사영 직선

\mathbb P^1_{\mathbb C}

과 동형이므로 단선직이면서 선직이다.^[1]

3. 3. 유리 곡선

비가산 대수적으로 닫힌 체 위에서 다양체가 단선직인 것과 모든 점을 통과하는 유리 곡선이 존재하는 것은 동치이다.^[7] 이와 대조적으로, 유한 체의 대수적 폐포 위에서는 이 동치가 성립하지 않는 경우가 존재한다.^[7] 예를 들어 홀수 소수 p에 대해 _p 위의 비초특이 타원 곡선 (아벨 곡면)의 쿠머 다양체가 이러한 성질을 갖는다.^[8] 이러한 성질을 갖는 다양체가 유리수의 대수적 닫힌 체 위에 존재하는지 여부는 알려져 있지 않다.

4. 양의 표수

양의 표수에서는 무규칙성이 매우 다르게 나타난다. 특히, 일반형의 무규칙(그리고 심지어 유리적인) 대수 곡면이 존재한다. 예를 들어, _''p'' 위의 '''P'''³에서 ''x''^''p''+1 + ''y''^''p''+1 + ''z''^''p''+1 + ''w''^''p''+1 = 0으로 정의되는 곡면은 소수 ''p'' ≥ 5에 대해 무규칙 곡면의 예시이다.^[3] 따라서 무규칙성은 양의 표수에서 고다이라 차원이 −∞임을 의미하지 않는다.

다양체 ''X''가 '''분리 가능하게 무규칙'''하다는 것은, ''Y'' × '''P'''¹ – → ''X''의 지배적인 분리 가능한 유리 사상이 존재하고, 이 사상이 ''Y''로의 투영을 통과하지 않는 다양체 ''Y''가 존재한다는 의미이다. ("분리 가능"은 어떤 점에서 미분이 전사적임을 의미한다. 이는 표수가 0인 지배적인 유리 사상에서는 자동으로 성립한다.) 분리 가능하게 무규칙한 다양체는 고다이라 차원이 −∞이다. 그 역은 2차원에서 참이지만, 더 높은 차원에서는 참이 아니다. 예를 들어, ₂ 위에 고다이라 차원이 −∞이지만 분리 가능하게 무규칙하지 않은 매끄러운 사영 3차원이 존재한다.^[4] 양의 표수에서 모든 매끄러운 파노 다양체가 분리 가능하게 무규칙한지는 알려져 있지 않다.

단선 직조성은 양의 표수에서는 매우 어려워진다. 특히, 일반형이더라도 단일유리일 수 있는 단선 직조 곡면이 존재한다. 예시로, 임의의 소수 p ≥ 5에 대해 _p에서의 곡면 x^p+1 + y^p+1 + z^p+1 + w^p+1 = 0이 있다.^[10] 따라서, 단선 직조성은 양의 표수에서는 고다이라 차원이 −∞임을 의미하지 않는다.

다양체 X는 다양체 Y가 존재하고 Y로의 사영으로 분해되지 않는 지배적^[11]이고 분리적인 유리 사상 Y × '''P'''¹ → X가 존재할 때, '''분리 단선 직조'''(separably uniruled)라고 한다. ("분리적(Separable)"이란 미분이 동일한 점에서 전사인 것을 의미하며, 이 경우 표수 0에서는 지배적인 유리 사상에 대해 자동으로 만족된다.) 분리 단선 직조 다양체는 고다이라 차원이 −∞이다. 차원 2에서는 역도 성립하지만, 고차원에서는 성립하지 않는다. 예를 들어, 고다이라 차원이 -∞이지만 분리적인 선 직조성을 갖지 않는 매끄러운 사영 3-차원 다양체가 ₂ 위에 존재한다.^[12] 양의 표수에서는, 모든 매끄러운 파노 다양체가 분리 단선 직조적인지는 알려져 있지 않다.

4. 1. 분리 단선직다양체

다양체 ''X''가 '''분리 가능하게 무규칙'''하다는 것은, ''Y'' × '''P'''¹ – → ''X''의 지배적인 분리 가능한 유리 사상이 존재하고, 이 사상이 ''Y''로의 투영을 통과하지 않는 다양체 ''Y''가 존재한다는 의미이다.^[4] ("분리 가능"은 어떤 점에서 미분이 전사적임을 의미한다. 이는 표수가 0인 지배적인 유리 사상에서는 자동으로 성립한다.)^[4]^[11]^[12] 분리 가능하게 무규칙한 다양체는 고다이라 차원이 −∞이다. 그 역은 2차원에서 참이지만, 더 높은 차원에서는 참이 아니다. 예를 들어, ₂ 위에 고다이라 차원이 −∞이지만 분리 가능하게 무규칙하지 않은 매끄러운 사영 3차원이 존재한다.^[4]^[12] 양의 표수에서 모든 매끄러운 파노 다양체가 분리 가능하게 무규칙한지는 알려져 있지 않다.

5. 예시

표수가 0인 체 $K$ 위의 사영 공간 $\mathbb{P}^n_K$ 속의, $d$차 비특이 초곡면에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

차수가 $d\le n$이다.
단선직곡선이다.
파노 다양체이다.

복소수체 위에서 3차 3차원 다양체와 4차 3차원 다양체는 단선직이지만 선직이 아니다. 이는 차수가 $d\le n$인 경우, 단선직곡선이며 파노 다양체가 되는 비특이 초곡면의 조건 중 하나에 해당하지만, 선직 조건에는 부합하지 않기 때문이다.

5. 1. 초곡면

표수가 0인 체

K

위의 사영 공간

\mathbb{P}^n_K

속의,

d

차 비특이 초곡면에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

차수가 $d\le n$ 이다.
단선직곡선이다.
파노 다양체이다.

5. 2. 3차 3차원 다양체와 4차 3차원 다양체

복소수체 위에서 3차 3차원 다양체와 4차 3차원 다양체는 단선직이지만 선직이 아니다. 이는 차수가

d\le n

인 경우, 단선직곡선이며 파노 다양체가 되는 비특이 초곡면의 조건 중 하나에 해당하지만, 선직 조건에는 부합하지 않기 때문이다.

참조

_[1] 논문 Boucksom, Demailly, Păun and Peternell. J. Alg. Geom. 22 (2013), 201-248. Corollary 0.3.
_[2] 논문 F. Bogomolov and Y. Tschinkel, Amer. J. Math. 127 (2005), 825-835. Theorem 1.1.
_[3] 논문 T. Shioda, Math. Ann. 211 (1974), 233-236. Proposition 1.
_[4] 논문 E. Sato, Tohoku Math. J. 45 (1993), 447-460. Theorem.
_[5] 논문 Boucksom, Demailly, Păun and Peternell. J. Alg. Geom. 22 (2013), 201-248. Corollary 0.3.
_[6] 문서 前の日本語版では、「滑らかな多様体の宮岡・森の定理の結果」として、:X を代数的閉体上の滑らかな射影多様体、 $\mathcal K_X$ をその[[標準バンドル]]とする。X 上に $C . \mathcal K_X < 0$ となるような曲線 C が存在すれば、多様体 X は線織的である。:特に、X が[[双有理幾何学#ネフ|ネフ]]な[[標準バンドル|反標準因子]]を持つと、線織的である X に対し、反標準因子は数値的に自明ではない。としていた。この条件が擬有効でないを意味する。
_[7] 논문 F. Bogomolov and Y. Tschinkel, Amer. J. Math. 127 (2005), 825-835. Theorem 1.1.
_[8] 문서 아벨 다양체의 '''쿠머 다양체'''란, 모든 원소를 그 역원소로의 이송하는 사상으로 나눈 몫공간이다. 2차원 아벨 다양체의 쿠머 다양체를 쿠머 곡면(Kummer surface)이라고 한다.
_[9] 문서 体の拡大 $E/k$ に対して、 $X_E=\times_{Spec\ k}Spec\ E$ でも保存される性質を[[概型|スキーム]] X の幾何学的性質という。
_[10] 논문 T. Shioda, Math. Ann. 211 (1974), 233-236. Proposition 1.
_[11] 문서 有理写像 f の像が X の中で稠密となる場合を'''支配的'''という。
_[12] 논문 E. Sato, Tohoku Math. J. 45 (1993), 447-460. Theorem.

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