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선형탄성

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목차

1. 개요

선형 탄성은 선형 운동량 균형, 변형률-변위 관계, 구성 방정식으로 표현되는 선형 탄성체의 역학을 다룬다. 지배 방정식은 텐서, 직교 좌표, 원통 좌표, 구면 좌표 등 다양한 형식으로 표현되며, 등방성 및 비등방성 재료에 따라 강성 텐서가 달라진다. 탄성 정역학은 힘의 합이 0인 평형 상태에서의 선형 탄성을 연구하며, 변위 공식과 응력 공식을 통해 문제를 해결한다. 탄성 동역학은 탄성파의 거동을 연구하며, 변위 및 응력 관점에서 파동 방정식을 유도하고 평면파와 크리스토펠 방정식을 통해 분석한다.

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  • 탄성 - 영률
    영률은 재료의 선형 탄성 영역에서 인장 또는 압축 응력과 축 방향 변형률 사이의 비례 상수로, 재료의 강성을 나타내는 척도이며, 응력-변형률 곡선의 선형 영역 기울기와 같고 재료의 종류, 온도, 방향에 따라 달라지며, 공학 분야에서 재료의 변형 및 강도를 예측하는 데 활용된다.
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선형탄성
기본 정보
유형연속체 역학
하위 분야재료 역학
구조 역학
탄성 역학
특성
가정선형 거동
탄성 재료
작은 변형
관련 재료 속성영률 (E)
푸아송 비 (ν)
전단 탄성 계수 (G)
체적 탄성 계수 (K)
방정식
구성 방정식후크의 법칙
응력-변형률 관계σ = Cε (σ: 응력 텐서, C: 강성 텐서, ε: 변형률 텐서)
평형 방정식∇⋅σ + b = 0 (b: 체적력)
경계 조건
변위 경계 조건u = u₀ (지정된 표면에서)
응력 경계 조건t = t₀ (지정된 표면에서, t: 표면 트랙션)
응용
일반적인 응용구조 공학
기계 공학
지질학
특정 응용빔 이론
판 이론
유한 요소 해석
관련 항목
관련 분야탄성
소성
점탄성
관련 이론재료 강도
응력 집중

2. 수학적 정식화

선형 탄성 경계값 문제를 지배하는 방정식은 선형 운동량 균형에 대한 세 개의 텐서 편미분 방정식과 여섯 개의 무한소 변형-변위 관계를 기반으로 한다. 미분 방정식 시스템은 일련의 선형 방정식 대수 구성 방정식으로 완성된다.[1]

2. 1. 직접 텐서 형식

선형 탄성 경계값 문제를 지배하는 방정식은 선형 운동량 균형에 대한 세 개의 텐서 편미분 방정식과 여섯 개의 무한소 변형-변위 관계를 기반으로 한다. 미분 방정식 시스템은 일련의 선형 방정식 대수 구성 방정식으로 완성된다.[1]

직접적인 텐서 형식은 좌표계 선택과 무관하며, 이러한 지배 방정식은 다음과 같다.[1]

  • 코시 운동량 방정식은 뉴턴의 제2법칙을 표현한 것이다. 대류 형태로 다음과 같이 작성된다.


:\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{F} = \rho \ddot{\mathbf{u}}

  • 변형률-변위 방정식:


:\boldsymbol{\varepsilon} = \tfrac{1}{2} \left[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} + (\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^\mathrm{T}\right]

  • 구성 방정식. 탄성 재료의 경우, 훅의 법칙은 재료의 거동을 나타내며 미지의 응력과 변형률을 관련시킨다. 훅의 법칙에 대한 일반적인 방정식은 다음과 같다.


: \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{C}:\boldsymbol{\varepsilon},

여기서 \boldsymbol{\sigma}는 코시 응력 텐서이고, \boldsymbol{\varepsilon}는 미소 변형률 텐서, \mathbf{u}는 변위 벡터, \mathsf{C}는 4차 강성 텐서, \mathbf{F}는 단위 부피당 체적력, \rho는 질량 밀도, \boldsymbol{\nabla}는 델 연산자를 나타내고, (\bullet)^\mathrm{T}는 전치, \ddot{(\bullet)}는 시간에 대한 2차 물질 미분을 나타내며, \mathsf{A}:\mathsf{B} = A_{ij}B_{ij}는 두 2차 텐서의 내적이다(반복된 지수에 대한 합산이 내포됨).

2. 2. 직교 좌표 형식

직교 데카르트 좌표계를 기준으로 성분으로 표현하면, 선형 탄성의 지배 방정식은 다음과 같다.[1]

  • 코시 운동량 방정식:

::\sigma_{ji,j} + F_i = \rho \partial_{tt} u_i

::여기서 {(\bullet)}_{,j} 아래첨자는 \partial{(\bullet)} / \partial x_j를 줄여 쓴 것이고, \partial_{tt}는 \partial^2 / \partial t^2를 나타내며, \sigma_{ij} = \sigma_{ji}는 코시 응력 텐서이고, F_i는 체적력 밀도, \rho는 질량 밀도, 그리고 u_i는 변위이다. 이는 6개의 독립적인 미지수(응력)를 가진 3개의 독립적인 방정식이다. 공학 표기법은 다음과 같다.

::\begin{align}

\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + F_x = \rho \frac{\partial^2 u_x}{\partial t^2} \\

\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + F_y = \rho \frac{\partial^2 u_y}{\partial t^2} \\

\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + F_z = \rho \frac{\partial^2 u_z}{\partial t^2}

\end{align}

  • 변형-변위 방정식:

::\varepsilon_{ij} =\frac{1}{2} (u_{j,i} + u_{i,j})

::여기서 \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}\,\!는 변형률이다. 이는 9개의 독립적인 미지수(변형률 및 변위)를 가진 변형률과 변위를 연관시키는 6개의 독립적인 방정식이다. 공학 표기법은 다음과 같다.

::\begin{align}

\epsilon_x=\frac{\partial u_x}{\partial x} \\

\epsilon_y=\frac{\partial u_y}{\partial y} \\

\epsilon_z=\frac{\partial u_z}{\partial z}

\end{align}

::\begin{align}

\gamma_{xy}=\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x} \\

\gamma_{yz}=\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y} \\

\gamma_{zx}=\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z}

\end{align}
:: \sigma_{ij} = C_{ijkl} \, \varepsilon_{kl}

::여기서 C_{ijkl}는 강성 텐서이다. 이것은 응력과 변형률을 연관시키는 6개의 독립적인 방정식이다. 응력 및 변형률 텐서의 대칭 조건은 많은 탄성 상수들의 등식을 유도하며, 서로 다른 요소의 수를 21개로 줄인다.[2]

:: C_{ijkl} = C_{klij} = C_{jikl} = C_{ijlk}

2. 3. 원통 좌표 형식

원통 좌표계(r,\theta,z)에서의 운동 방정식은 다음과 같다.[1]

:\begin{align}

& \frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{rz}}{\partial z} + \cfrac{1}{r}(\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}) + F_r = \rho~\frac{\partial^2 u_r}{\partial t^2} \\

& \frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial \sigma_{\theta\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{\theta z}}{\partial z} + \frac{2}{r}\sigma_{r\theta} + F_\theta = \rho~\frac{\partial^2 u_\theta}{\partial t^2} \\

& \frac{\partial \sigma_{rz}}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{\theta z}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + \frac{1}{r} \sigma_{rz} + F_z = \rho~\frac{\partial^2 u_z}{\partial t^2}

\end{align}

변형률-변위 관계는 다음과 같다.

:\begin{align}

\varepsilon_{rr} & = \frac{\partial u_r}{\partial r} ~;~~

\varepsilon_{\theta\theta} = \frac{1}{r} \left(\cfrac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + u_r\right) ~;~~

\varepsilon_{zz} = \frac{\partial u_z}{\partial z} \\

\varepsilon_{r\theta} & = \frac{1}{2} \left(\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial u_r}{\partial \theta} + \cfrac{\partial u_\theta}{\partial r}- \cfrac{u_\theta}{r}\right) ~;~~

\varepsilon_{\theta z} = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{\partial u_\theta}{\partial z} + \cfrac{1}{r}\cfrac{\partial u_z}{\partial \theta}\right) ~;~~

\varepsilon_{zr} = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{\partial u_r}{\partial z} + \cfrac{\partial u_z}{\partial r}\right)

\end{align}

그리고 구성 관계는 데카르트 좌표계와 동일하며, 단지 1, 2, 3 지표가 각각 r, \theta, z를 나타낸다는 점만 다르다.

2. 4. 구면 좌표 형식

구면 좌표(''r'', ''θ'', ''φ'')는 일반적으로 ''물리학''에서 사용된다. 여기서 반지름 거리는 ''r'', 극각은 ''θ'' (세타), 방위각은 ''φ'' (파이)이다. 기호 ''ρ'' (로)는 종종 ''r'' 대신 사용된다.


구면 좌표계 (r,\theta,\phi)에서 운동 방정식은 다음과 같다.[1]

:\begin{align}

& \frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r} + \cfrac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial \theta} + \cfrac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \sigma_{r\phi}}{\partial \phi} + \cfrac{1}{r} (2\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}-\sigma_{\phi\phi}+\sigma_{r\theta}\cot\theta) + F_r = \rho~\frac{\partial^2 u_r}{\partial t^2} \\

& \frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial r} + \cfrac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{\theta\theta}}{\partial \theta} + \cfrac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \sigma_{\theta \phi}}{\partial \phi} + \cfrac{1}{r}[(\sigma_{\theta\theta}-\sigma_{\phi\phi})\cot\theta + 3\sigma_{r\theta}] + F_\theta = \rho~\frac{\partial^2 u_\theta}{\partial t^2} \\

& \frac{\partial \sigma_{r\phi}}{\partial r} + \cfrac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{\theta \phi}}{\partial \theta} + \cfrac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \sigma_{\phi\phi}}{\partial \phi} + \cfrac{1}{r}(2\sigma_{\theta\phi}\cot\theta+3\sigma_{r\phi}) + F_\phi = \rho~\frac{\partial^2 u_\phi}{\partial t^2}

\end{align}

구면 좌표계에서 변형률 텐서는 다음과 같다.

:\begin{align}

\varepsilon_{rr} & = \frac{\partial u_r}{\partial r}\\

\varepsilon_{\theta\theta}& = \frac{1}{r} \left(\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + u_r\right)\\

\varepsilon_{\phi\phi} & = \frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial u_\phi}{\partial \phi} + u_r\sin\theta + u_\theta\cos\theta\right)\\

\varepsilon_{r\theta} & = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} + \frac{\partial u_\theta}{\partial r} - \frac{u_\theta}{r}\right) \\

\varepsilon_{\theta \phi} & = \frac{1}{2r} \left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial u_\theta}{\partial \phi} +\left(\frac{\partial u_\phi}{\partial \theta} - u_\phi \cot\theta\right)\right]\\

\varepsilon_{r \phi} & = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + \frac{\partial u_\phi}{\partial r} - \frac{u_\phi}{r}\right).

\end{align}

3. 등방성 및 비등방성 재료

등방성 재료는 방향에 관계없이 동일한 탄성 특성을 가지는 반면, 비등방성 재료는 방향에 따라 다른 탄성 특성을 갖는다. 이러한 특성 차이는 재료의 강성 텐서(C_{ijkl})를 통해 나타난다.

응력 텐서 및 변형률 텐서의 대칭 조건은 아래와 같이 여러 탄성 상수들의 등식을 유도하며, 서로 다른 요소의 수를 21개로 줄인다.[2]

: C_{ijkl} = C_{klij} = C_{jikl} = C_{ijlk}.

등방성 및 비등방성 재료의 강성 텐서는 보이트 표기법을 사용하여 2차 텐서(행렬) 형태로 표현할 수 있으며, 이를 통해 재료의 탄성 특성을 보다 쉽게 분석할 수 있다.

3. 1. 등방성 재료

등방성 매질에서 강성 텐서는 응력(결과적인 내부 응력)과 변형률(결과적인 변형) 사이의 관계를 제공한다. 등방성 매질의 경우 강성 텐서는 특정 방향을 갖지 않으며, 가해진 힘은 힘이 가해지는 방향에 관계없이 동일한 변위를 생성한다. 등방성인 경우 강성 텐서는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]

: C_{ijkl}

= K \, \delta_{ij}\, \delta_{kl}

+ \mu\, (\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}- \tfrac{2}{3}\, \delta_{ij}\,\delta_{kl})



여기서 \delta_{ij}는 크로네커 델타이고, ''K''는 체적 탄성 계수(또는 비압축성), \mu는 전단 탄성 계수(또는 강성도)이며, 이 두 가지는 탄성 계수이다. 매질이 균질하다면, 탄성 계수는 매질 내 위치와 무관하다. 이제 구성 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: \sigma_{ij} = K \delta_{ij} \varepsilon_{kk} + 2\mu \left(\varepsilon_{ij} - \tfrac{1}{3} \delta_{ij} \varepsilon_{kk}\right).

이 식은 응력을 왼쪽의 스칼라 부분과 스칼라 압력과 연관될 수 있는 부분과 오른쪽의 무자취 부분과 전단력과 연관될 수 있는 부분으로 나눈다. 더 간단한 표현식은 다음과 같다.[3][4]

: \sigma_{ij} = \lambda \delta_{ij} \varepsilon_{kk}+2\mu\varepsilon_{ij}

여기서 λ는 라메 상수이다. 구성 방정식은 단순히 선형 방정식 집합이므로 변형률은 다음과 같이 응력의 함수로 나타낼 수 있다.[5]

:\varepsilon_{ij} = \frac{1}{9K} \delta_{ij} \sigma_{kk} + \frac{1}{2\mu} \left(\sigma_{ij} - \tfrac{1}{3} \delta_{ij} \sigma_{kk}\right)

이 또한 왼쪽의 스칼라 부분과 오른쪽의 무자취 전단 부분이다. 더 간단하게:

:\varepsilon_{ij}

= \frac{1}{2\mu}\sigma_{ij} - \frac{\nu}{E} \delta_{ij}\sigma_{kk} = \frac{1}{E} [(1+\nu) \sigma_{ij}-\nu\delta_{ij}\sigma_{kk}]

여기서 \nu는 푸아송 비이고 E는 영률이다.

3. 2. 비등방성 재료

비등방성 매질의 경우, 강성 텐서 C_{ijkl}는 더 복잡한 형태로 표현된다. 응력 텐서 \sigma_{ij}와 변형률 텐서 \varepsilon_{ij}\,\!는 각각 최대 6개의 서로 다른 요소를 가지므로, 4차 강성 텐서 C_{ijkl}는 2차 텐서인 행렬 C_{\alpha \beta}로 나타낼 수 있다. 이때 보이트 표기법을 사용하여 텐서 지수를 다음과 같이 매핑한다.

ij=11223323,3213,3112,21
↓↓↓↓↓↓↓
α=123456



이 표기법을 사용하면 모든 선형 탄성 매질에 대한 탄성 행렬을 다음과 같이 쓸 수 있다.

C_{ijkl} \Rightarrow C_{\alpha \beta} = \begin{bmatrix}

C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\

C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\

C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\

C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\

C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\

C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66}

\end{bmatrix}.

행렬 C_{\alpha \beta}는 대칭적이며, 이는 변형 에너지 밀도 함수 \sigma_{ij} = \frac{\partial W}{\partial\varepsilon_{ij}}가 존재하기 때문이다. 따라서 C_{\alpha \beta}\,\!의 서로 다른 요소는 최대 21개이다.

몇 가지 특수한 비등방성 재료의 강성 텐서는 다음과 같다.


  • 입방 대칭: 3개의 독립적인 요소를 갖는다.


C_{\alpha \beta} = \begin{bmatrix}

C_{11} & C_{12} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\

C_{12} & C_{11} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\

C_{12} & C_{12} & C_{11} & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44}

\end{bmatrix}.

  • 횡 등방성: (대칭축 1개(3축)) 5개의 독립적인 요소를 갖는다.


C_{\alpha \beta} = \begin{bmatrix}

C_{11} & C_{11}-2C_{66} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\

C_{11}-2C_{66} & C_{11} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\

C_{13} & C_{13} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66}

\end{bmatrix}.

횡 등방성이 약할 때는 톰슨 매개변수를 활용하는 것이 편리하다.

  • 직교 이방성: (벽돌의 대칭) 9개의 독립적인 요소를 갖는다.


C_{\alpha \beta} = \begin{bmatrix}

C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\

C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\

C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66}

\end{bmatrix}.

4. 탄성 정역학

탄성 정역학은 평형 상태, 즉 탄성체의 모든 힘의 합이 0이고 변위가 시간에 따라 변하지 않는 상태에서 선형탄성을 연구하는 분야이다. 평형 방정식은 다음과 같다.[1]

: \sigma_{ji,j} + F_i = 0.

공학 표기법(전단 응력으로서 tau를 사용)으로는 다음과 같다.


  • \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + F_x = 0
  • \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + F_y = 0
  • \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + F_z = 0


이 절에서는 등방성 균질 경우만 다룬다.

4. 1. 변위 공식

정역학은 탄성체의 모든 힘의 합이 0이고 변위가 시간에 대한 함수가 아닌 평형 상태에서 선형 탄성을 연구하는 분야이다. 이 절에서는 등방성 균질 경우만 논의한다. 이 경우 경계의 모든 위치에서 변위가 주어진다. 이 접근 방식에서 변형률과 응력은 정식화에서 제거되어 지배 방정식에서 풀릴 미지수로서 변위만 남게 된다.

먼저, 변형률-변위 방정식을 구성 방정식(후크의 법칙)에 대입하여 변형률을 미지수에서 제거한다.

:\sigma_{ij} = \lambda \delta_{ij} \varepsilon_{kk}+2\mu\varepsilon_{ij}

= \lambda\delta_{ij}u_{k,k}+\mu\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).



미분하면(\lambda와 \mu가 공간적으로 균일하다고 가정) 다음과 같다.

:\sigma_{ij,j} = \lambda u_{k,ki}+\mu\left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).

평형 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:\lambda u_{k,ki}+\mu\left(u_{i,jj} + u_{j,ij}\right) + F_i = 0

또는(이중(더미) (=합계) 인덱스 k,k를 j,j로 바꾸고, 슈바르츠 정리에 따라 인덱스 ij를 ji로 교환)

:\mu u_{i,jj} + (\mu+\lambda) u_{j,ji} + F_i = 0

여기서 \lambda와 \mu는 라메 상수이다.

이러한 방식으로 남은 유일한 미지수는 변위이므로 이 정식화의 이름이 붙었다. 이러한 방식으로 얻은 지배 방정식을 ''탄성 정적 방정식''이라고 하며, 정상 '''나비에-코시 방정식'''의 특수한 경우이다.

나비에-코시 방정식은 다음과 같이 유도할 수 있다.

먼저 x 방향을 고려한다. 변형률-변위 방정식을 x 방향의 평형 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:\sigma_x = 2 \mu \varepsilon_x + \lambda(\varepsilon_x + \varepsilon_y +\varepsilon_z) = 2 \mu \frac{\partial u_x}{\partial x} + \lambda \left(\frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z}\right)

:\tau_{xy} = \mu\gamma_{xy} = \mu\left(\frac{\partial u_x}{\partial y} + \frac{\partial u_y}{\partial x}\right)

:\tau_{xz} = \mu\gamma_{zx} = \mu\left(\frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}\right)

그런 다음 이러한 방정식을 x\,\! 방향의 평형 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + F_x = 0

:\frac{\partial}{\partial x}\left( 2\mu\frac{\partial u_x}{\partial x}+ \lambda \left(\frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y}+ \frac{\partial u_z}{\partial z}\right)\right) + \mu\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}+ \frac{\partial u_y}{\partial x}\right)+ \mu\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}\right) +F_x=0

\mu와 \lambda가 상수라는 가정을 사용하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

:\left(\lambda+\mu\right)\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial u_x}{\partial x} +\frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z}\right)+\mu \left(\frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_x}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 u_x}{\partial z^2}\right) + F_x= 0

y\,\! 방향과 z\,\! 방향에 대해 동일한 절차를 따르면 다음과 같다.

:\left(\lambda + \mu\right) \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial u_x}{\partial x} +\frac{\partial u_y}{\partial y} +\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)+\mu\left(\frac{\partial^2 u_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u_y}{\partial z^2}\right) + F_y = 0

:\left(\lambda+\mu\right) \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z}\right)+ \mu \left(\frac{\partial^2 u_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2}\right) + F_z=0

이 마지막 3개의 방정식은 정상 나비에-코시 방정식이며, 벡터 표기법으로 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:(\lambda+\mu) \nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) + \mu \nabla^2\mathbf{u} + \mathbf{F} = \boldsymbol{0}

변위장을 계산한 후에는 변위들을 변형률-변위 방정식에 대입하여 변형률을 풀 수 있으며, 이는 나중에 구성 방정식에 사용하여 응력을 푼다.

4. 2. 응력 공식

이 절에서는 등방성 균질 경우만 다룬다. 표면 견인력은 표면 경계의 모든 곳에서 규정된다. 이 접근 방식에서는 변형률과 변위를 제거하여 응력을 미지수로 남기고 지배 방정식을 풀어야 한다. 응력장이 구해지면 구성 방정식을 사용하여 변형률을 구한다.

결정해야 할 응력 텐서의 독립적인 성분은 6개이지만, 변위 공식에서는 결정해야 할 변위 벡터의 성분은 3개뿐이다. 이는 자유도의 수를 3으로 줄이기 위해 응력 텐서에 가해야 하는 몇 가지 제약 조건이 있음을 의미한다. 구성 방정식을 사용하면 이러한 제약 조건은 6개의 독립적인 성분도 갖는 변형률 텐서에 적용되어야 하는 해당 제약 조건에서 직접 파생된다. 변형률 텐서에 대한 제약 조건은 변위 벡터장의 함수로서 변형률 텐서의 정의에서 직접 파생될 수 있으며, 이는 이러한 제약 조건이 새로운 개념이나 정보를 도입하지 않음을 의미한다.

탄성 매질이 변형되지 않은 상태에서 무한소 입방체의 집합으로 시각화되는 경우, 매질이 변형된 후 임의의 변형률 텐서는 왜곡된 입방체가 겹치지 않고 여전히 함께 맞물리는 상황을 생성해야 한다. 즉, 주어진 변형률에 대해 해당 변형률 텐서를 파생할 수 있는 연속적인 벡터장(변위)이 존재해야 한다. 이 경우를 보장하기 위해 필요한 변형률 텐서에 대한 제약 조건은 생 뷔낭에 의해 발견되었으며, "생 뷔낭 호환성 방정식"이라고 불린다. 이는 81개의 방정식이며, 그 중 6개는 독립적인 비자명 방정식으로, 서로 다른 변형률 성분을 관련시킨다.

그런 다음 이 방정식의 변형률은 구성 방정식을 사용하여 응력으로 표현되며, 이는 응력 텐서에 대한 해당 제약 조건을 생성한다. 응력 텐서에 대한 이러한 제약 조건은 ''벨트라미-미첼 호환성 방정식''이라고 한다.[1]

이러한 제약 조건은 평형 방정식(또는 탄성 역학의 운동 방정식)과 함께 응력 텐서장을 계산할 수 있도록 한다. 이러한 방정식에서 응력장이 계산되면 구성 방정식을 통해 변형률을 얻을 수 있고, 변형률-변위 방정식을 통해 변위장을 얻을 수 있다.

또 다른 해결 기술은 응력 텐서를 평형 방정식에 대한 솔루션을 자동으로 생성하는 응력 함수로 표현하는 것이다. 그러면 응력 함수는 호환성 방정식에 해당하는 단일 미분 방정식을 따릅니다.

5. 탄성 동역학

탄성동역학은 시간에 따라 변하는 탄성체의 거동, 즉 탄성파를 연구하는 분야이다. 탄성파는 탄성 또는 점탄성 물질에서 전파되는 일종의 역학적 파동이다. 물질의 탄성은 파동의 복원 힘을 제공한다. 지진 등으로 인해 지구에서 발생할 때, 탄성파는 일반적으로 지진파라고 불린다.[11]

선형 운동량 방정식은 평형 방정식에 관성 항을 추가한 것이다.

5. 1. 변위 관점의 탄성 동역학

만약 물질이 이방성 후크의 법칙을 따르는 경우 (강성 텐서가 물질 전체에서 균질하다면) 다음과 같은 '''탄성동역학의 변위 방정식'''을 얻는다.

:\left( C_{ijkl} u_{(k},_{l)}\right) ,_{j}+F_{i}=\rho \ddot{u}_{i}.

만약 물질이 등방성이며 균질하다면, (일반 또는 과도) '''나비에-코시 방정식'''을 얻는다.

:

\mu u_{i,jj} + (\mu+\lambda)u_{j,ij}+F_i=\rho\partial_{tt}u_i

\quad \text{또는} \quad

\mu \nabla^2\mathbf{u} + (\mu+\lambda)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u}) + \mathbf{F}=\rho\frac{\partial^2\mathbf{u}}{\partial t^2}.

탄성동역학 파동 방정식은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: \left(\delta_{kl} \partial_{tt} - A_{kl}[\nabla]\right) u_l = \frac{1}{\rho} F_k

여기서

: A_{kl}[\nabla]=\frac{1}{\rho} \, \partial_i \, C_{iklj} \, \partial_j

는 ''음향 미분 연산자''이고, \delta_{kl}는 크로네커 델타이다.

등방성 매질에서, 강성 텐서는 다음과 같은 형태를 가진다.

: C_{ijkl}

= K \, \delta_{ij}\, \delta_{kl}

+ \mu\, (\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk} - \frac{2}{3}\, \delta_{ij}\, \delta_{kl})

여기서 K는 체적 탄성 계수 (또는 비압축성)이고, \mu는 전단 탄성 계수 (또는 강성)이며, 두 개의 탄성 계수이다. 만약 물질이 균질하다면 (즉, 강성 텐서가 물질 전체에서 일정하다면), 음향 연산자는 다음과 같아진다.

:A_{ij}[\nabla] = \alpha^2 \partial_i \partial_j + \beta^2 (\partial_m \partial_m \delta_{ij} - \partial_i \partial_j)

평면파의 경우, 위 미분 연산자는 ''음향 대수 연산자''가 된다.

:A_{ij}[\mathbf{k}] = \alpha^2 k_i k_j + \beta^2(k_m k_m \delta_{ij}-k_i k_j)

여기서

: \alpha^2 = \left(K+\frac{4}{3}\mu\right)/\rho \qquad \beta^2 = \mu / \rho

는 각각 전파 방향 \hat{\mathbf{k}}\,\!에 평행하고 수직인 고유 벡터 \hat{\mathbf{u}}를 갖는 A[\hat{\mathbf{k}}]의 고유값이다. 관련 파동은 각각 ''종파'' 및 ''전단파'' 탄성파라고 불린다. 지진학 문헌에서, 해당 평면파는 P파 및 S파라고 불린다 (지진파 참조).

이방성 매질에 대한 탄성 동역학 파동 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

: (\delta_{kl} \partial_{tt} - A_{kl}[\nabla])\, u_l = \frac{1}{\rho} F_k

여기서

: A_{kl}[\nabla]=\frac{1}{\rho} \, \partial_i \, C_{iklj} \, \partial_j

는 ''음향 미분 연산자''이고, \delta_{kl}는 크로네커 델타이다.

5. 2. 응력 관점의 탄성 동역학

변위와 변형률을 지배 방정식에서 제거하면 '''탄성 동역학의 이그나차크 방정식'''이 유도된다.[11]

:\left( \rho ^{-1} \sigma _{(ik},_{k}\right) ,_{j)} - S_{ijkl} \ddot{\sigma}_{kl} + \left( \rho ^{-1} F_{(i}\right) ,_{j)} = 0.

국소 등방성의 경우, 이는 다음과 같이 축약된다.

:\left( \rho ^{-1} \sigma _{(ik},_{k}\right) ,_{j)} - \frac{1}{2\mu } \left(

\ddot{\sigma}_{ij} - \frac{\lambda }{3 \lambda +2\mu }\ddot{\sigma}_{kk}\delta

_{ij}\right) +\left( \rho ^{-1} F_{(i}\right) ,_{j)} = 0.

이 공식의 주요 특징은 다음과 같다.

# 컴플라이언스(탄성 여유)의 기울기를 피하지만 질량 밀도의 기울기를 도입한다.

# 변분 원리에서 유도될 수 있다.

# 트랙션 초기-경계값 문제를 처리하는 데 유리하다.

# 탄성파의 텐서 분류를 허용한다.

# 탄성파 전파 문제에서 광범위하게 적용될 수 있다.

# 다양한 유형의 상호 작용하는 필드(열탄성, 유체 포화 다공성, 압전-탄성...)와 비선형 매체를 갖는 고전적 또는 마이크로폴라 고체의 동역학으로 확장될 수 있다.

5. 3. 평면파와 크리스토펠 방정식

평면파는 다음 형식을 갖는다.

: \mathbf{u}[\mathbf{x}, \, t] = U[\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega \, t] \, \hat{\mathbf{u}}

여기서 \hat{\mathbf{u}}\,\!는 단위 길이이다. 이는 강제력이 0인 파동 방정식의 해이며, \omega^2 와 \hat{\mathbf{u}}가 다음 음향 대수 연산자의 고유값/고유벡터 쌍을 구성하는 경우에만 해당한다.

: A_{kl}[\mathbf{k}]=\frac{1}{\rho} \, k_i \, C_{iklj} \, k_j.

이 전파 조건 ('''크리스토펠 방정식'''이라고도 함)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:A[\hat{\mathbf{k}}] \, \hat{\mathbf{u}} = c^2 \, \hat{\mathbf{u}}

여기서

:\hat{\mathbf{k}} = \mathbf{k} / \sqrt{\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}}

는 전파 방향을 나타내고 c = \omega / \sqrt{\mathbf{k} \cdot \mathbf{k}}는 위상 속도이다.

참조

[1] 서적 The Linearized Theory of Elasticity http://link.springer[...] Birkhäuser Boston 2002
[2] 간행물 Deformation effects in layer crystals 1988
[3] 서적 Quantitative seismology University Science Books
[4] 문서 Continuum Mechanics for Engineers 2001
[5] 서적 Mechanics of Deformable Bodies Academic Press
[6] 뉴스 Elastic Deformation http://www.tribonet.[...] 2017-02-16
[7] 서적 Theory of Elasticity Butterworth Heinemann
[8] 서적 Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques http://name.umdl.umi[...] Gauthier-Villars
[9] 간행물 Force at a point in the interior of a semi-infinite solid http://www.dtic.mil/[...]
[10] 간행물 Contact between solid elastic bodies
[11] 문서 Ignaczak equation of elastodynamics 2018


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