스넬의 법칙

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1. 개요
2. 역사
3. 법칙에 따른 접근 방법
4. 전반사
5. 분산
6. 발전
7. 광파에의 응용
참조

1. 개요

스넬의 법칙은 빛이 굴절률이 다른 두 매질의 경계면을 통과할 때 빛의 입사각과 굴절각 사이의 관계를 나타내는 법칙이다. 이 법칙은 10세기 페르시아 과학자 이븐 사흘에 의해 처음 발견되었으며, 토머스 해리엇, 빌러브로어트 스넬리우스, 르네 데카르트 등에 의해 재발견되고 발전되었다. 스넬의 법칙은 빛의 파동성과 페르마의 원리, 맥스웰 방정식 등 다양한 방법으로 설명될 수 있으며, 전반사, 분산 등 다양한 광학 현상을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 이 법칙은 현대 광학 및 전자기 이론에도 적용되어 플라스모닉 메타표면 연구 등에서 활용되고 있다.

2. 역사

스넬의 법칙은 10세기 바그다드의 과학자 이븐 사흘이 처음 발견했다.^[6]^[7]^[8] 이븐 사흘은 "On Burning Mirrors and Lenses"라는 글에서 이 법칙을 사용하여 기하학적 수차 없이 빛의 초점을 맞추는 렌즈 모양을 고안했다.^[38]^[39]

이후 1602년 토머스 해리엇이 재발견했으나,^[40] 케플러와 서신을 주고받았음에도 결과를 출판하지 않았다. 1621년 빌러브로어트 스넬리우스(스넬)는 수학적으로 동등한 형태를 도출했으나 생전에 출판하지 않았다.

알렉산드리아의 그리스인 프톨레마이오스^[35]는 굴절에 대한 관계를 발견했지만, 작은 각도가 아닌 경우에는 부정확했다. 프톨레마이오스는 이론에 맞추기 위해 데이터를 변경하여 (확증 편향 참고) 부분적으로 정확한 법칙을 발견했다고 확신했다.^[36] 알하이삼은 ''광학의 책''(1021)에서 굴절 법칙 발견에 근접했지만, 최종 단계에 이르지는 못했다.^[37]

르네 데카르트는 1637년 에세이 ''굴절론''에서 사인에 관한 휴리스틱 운동량 보존 논증을 사용하여 독립적으로 이 법칙을 유도하고 다양한 광학 문제를 해결하는 데 사용했다. 피에르 드 페르마는 최소 시간의 원리에만 근거하여 동일한 해결책에 도달했다.^[12]

크리스티안 하위헌스는 1678년 ''빛에 관한 논문''에서 휘헌스-프레넬 원리를 사용하여 빛의 파동 특성으로부터 스넬의 사인 법칙을 설명했다.

현대 광학 및 전자기 이론의 발전과 함께 고대 스넬의 법칙은 새로운 단계에 접어들었다. 1962년 니콜라스 블룸버겐은 비선형 매질 경계에서 스넬의 법칙을 일반적인 형태로 작성해야 함을 보였다.^[18]

2. 1. 이븐 사흘의 발견 (10세기)

이븐 사흘은 984년 저술한 "On Burning Mirrors and Lenses"에서 스넬의 법칙을 최초로 정확하게 기술하였으며,^[38]^[39] 이를 이용하여 기하학적 수차 없이 빛의 초점을 맞추는 렌즈 모양을 연구했다.^[29]^[30]^[31]

2. 2. 프톨레마이오스와 알하이삼의 연구 (고대~중세)

고대 이집트 알렉산드리아의 천문학자 프톨레마이오스^[3]는 빛의 굴절에 대한 연구를 진행했지만, 작은 각도에서만 정확한 결과를 얻는 데 그쳤다. 프톨레마이오스는 자신의 실험 결과를 바탕으로 정확한 법칙을 발견했다고 믿었지만, 실제로는 이론에 맞추기 위해 데이터를 일부 수정했다. (확증 편향 참고)^[4]

중세 이슬람 과학자 알하이삼은 그의 저서 《광학의 서》(1021년)에서 굴절 법칙에 대한 연구를 진전시켰으나, 최종적인 법칙 발견에는 이르지 못했다.^[10]

2. 3. 유럽에서의 재발견과 발전 (17세기)

1602년, 영국의 토머스 해리엇이 스넬의 법칙을 재발견했지만, 요하네스 케플러와 이 주제에 대해 서신을 주고받았음에도 불구하고 그의 연구 결과는 발표되지 않았다.^[40] 1621년, 네덜란드의 빌러브로어트 스넬리우스(스넬)가 스넬의 법칙을 발견했으나, 그의 연구 역시 생전에 출판되지 않았다.

1637년, 프랑스의 르네 데카르트는 《방법서설》의 부록 "굴절론"에서 사인에 관한 휴리스틱 운동량 보존 논증을 사용하여 스넬의 법칙을 독자적으로 유도하고, 이를 광학 문제 해결에 응용했다.^[12] 피에르 드 페르마는 데카르트의 해결책을 거부하고, 자신의 최소 시간의 원리에만 근거하여 동일한 해결책에 도달했다.^[12] 데카르트는 빛의 속도가 무한하다고 가정했지만, 스넬의 법칙을 유도하는 과정에서 매질이 조밀할수록 빛의 속도가 더 크다고 가정했다. 페르마는 반대되는 가정, 즉 빛의 속도는 유한하며 그의 유도는 빛의 속도가 더 조밀한 매질에서 더 느리다는 데 의존한다고 주장했다.^[12]^[13] 페르마의 유도는 또한 최대값, 최소값 및 접선을 찾는 미적분과 동등한 수학적 절차인 그의 적합성 발명을 활용했다.^[14]^[15]

아이작 보시우스는 데카르트가 스넬의 논문을 보고 자신의 증명을 만들었다고 주장했지만, 이는 부당한 비난으로 여겨진다.^[17] 프랑스어에서 스넬의 법칙은 "loi de Snell-Descartes" (스넬-데카르트 법칙)라고도 불린다.

크리스티안 하위헌스는 1678년 "빛에 관한 논문"에서 휘헌스-프레넬 원리를 이용하여 빛의 파동 특성으로부터 스넬의 사인 법칙을 설명하거나 유도하는 방법을 보여주었다.

2. 4. 현대 광학 및 전자기 이론으로의 발전

1962년 니콜라스 블룸버겐은 비선형 매질 경계에서 스넬의 법칙을 일반적인 형태로 작성해야 함을 보였다.^[18] 2000년대 이후에는 플라스모닉 메타표면 등을 이용한 연구에서 빛의 빔의 반사 및 굴절 방향을 변경하는 것이 입증되었다.^[19]^[20]

3. 법칙에 따른 접근 방법

스넬의 법칙은 빛이 굴절률이 다른 매질을 통과할 때 나타나는 굴절 현상을 설명하는 법칙으로, 프레넬 방정식의 일부이며 페르마의 원리로도 설명할 수 있다. 굴절률이 다른 굴절 매질을 통과하는 광선의 방향을 결정하는 데 사용된다.

매질의 굴절률(

n_1

,

n_2

등)은 빛이 진공에서 해당 매질로 들어갈 때 속도가 얼마나 감소하는지를 나타내는 값이다. 빛이 서로 다른 매질의 경계면을 통과할 때, 두 매질의 상대적인 굴절률에 따라 빛은 법선(경계면에 수직인 선)을 기준으로 더 작은 각도 또는 더 큰 각도로 굴절된다. 예를 들어, 공기에서 물로 빛이 진행하면 물에서의 빛의 속도가 느려지기 때문에 법선 쪽으로 굴절되고, 반대로 물에서 공기로 진행하면 법선에서 멀어지는 방향으로 굴절된다.

두 표면 사이의 굴절은 '가역적'이다. 즉, 모든 조건이 동일하다면 빛이 반대 방향으로 진행하더라도 굴절되는 각도는 같다.

스넬의 법칙은 일반적으로 유리와 같은 등방성 또는 정반사 매질에서만 성립한다. 결정과 같이 빛의 방향에 따라 굴절률이 달라지는 비등방성 매질에서는 복굴절 현상 때문에 굴절된 광선이 두 개로 갈라질 수 있다. 하나는 스넬의 법칙을 따르는 '보통광선'(''o''-광선)이고, 다른 하나는 입사광선과 같은 평면에 있지 않을 수도 있는 '비상광선'(''e''-광선)이다.

빛이 단일 주파수를 가지는 단색광일 경우, 스넬의 법칙은 두 매질에서의 파장 비율(

\lambda_1

과

\lambda_2

)로 표현할 수도 있다.

:

\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}

매질 A에서의 파의 속도를

v_{\mathrm{A}}

, 매질 B에서의 파의 속도를

v_{\mathrm{B}}

, 매질 A에서 매질 B로 들어갈 때의 입사각(또는 B에서 A로 나올 때의 굴절각)을

\theta_{\mathrm{A}}

, 매질 B에서 매질 A로 들어갈 때의 입사각(또는 A에서 B로 나올 때의 굴절각)을

\theta_{\mathrm{B}}

라고 하면, 다음 관계가 성립한다.

:

{ \sin \theta_{\mathrm{A}} \over {\sin \theta_{\mathrm{B}}} } = {v_{\mathrm{A}} \over {v_{\mathrm{B}}} }

여기서

{v_{\mathrm{A}} \over {v_{\mathrm{B}}} }

는 '매질 A에 대한 매질 B의 상대 굴절률' (

n_{\mathrm{AB}}

또는

n_{\mathrm{A\rightarrow B}}

)이라고 한다. 이를 정리하면 다음과 같다.

:

{ \sin \theta_{\mathrm{A}} \over {\sin \theta_{\mathrm{B}}} } = {v_{\mathrm{A}} \over {v_{\mathrm{B}}} } = n_}

매질 내에서 빛의 속도는 "진공에서의 속도보다 얼마나 느린가"로 나타내며, 이 값을 '절대굴절률'이라고 한다.

3. 1. 페르마의 원리

스넬의 법칙은 빛이 최소 시간이 걸리는 경로를 따라 이동한다는 페르마의 원리로부터 유도할 수 있다. 광학 경로 길이의 미분을 취하여 임계점을 찾으면 빛이 통과하는 경로를 알 수 있다.^[1] (예를 들어, (구면) 거울에서의 반사처럼 빛이 최소 시간 경로를 따르지 않는 경우도 있다.)^[1] 고전적인 비유로, 굴절률이 낮은 영역은 해변으로, 굴절률이 높은 영역은 바다로 대체하면, 해변에 있는 구조대원이 바다에 빠진 사람에게 가장 빨리 도착하는 방법은 스넬의 법칙을 따르는 경로를 따라 달리는 것이다.^[1]

매질 1의 점 Q에서 출발한 빛이 매질 2로 들어가 굴절되어 점 P에 도달한다.

오른쪽 그림에서 보듯이, 매질 1과 매질 2의 굴절률을 각각

n_1

과

n_2

라고 가정한다. 빛은 점 O를 통해 매질 1에서 매질 2로 들어간다.^[1]

\theta_1

은 입사각이고,

\theta_2

는 법선에 대한 굴절각이다.^[1]

매질 1과 매질 2에서 빛의 위상 속도는 각각

:

v_1=c/n_1

와

:

v_2=c/n_2

이다.^[1]

c

는 진공에서의 빛의 속도이다.^[1]

Q점에서 O점을 거쳐 P점까지 빛이 이동하는 데 걸리는 시간을 T라고 하자.^[1]

:

T=\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}{v_2} = \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + l^2 -2lx + x^2}}{v_2}

^[1]

여기서 a, b, l, x는 오른쪽 그림에 표시된 대로이며, x는 변수이다.^[1]

이를 최소화하려면 미분을 할 수 있다.^[1]

:

\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{ - (l - x)}{v_2\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=0

(임계점)^[1]

다음을 주목하자.^[1]

:

\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} =\sin\theta_1

^[1]

그리고

\frac{  l - x}{\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=\sin\theta_2

^[1]

따라서,^[1]

:

\frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0

^[1]

:

\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}

^[1]

:

\frac{n_1\sin\theta_1}{c}=\frac{n_2\sin\theta_2}{c}

^[1]

:

n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

^[1]

3. 2. 하위헌스의 원리

스넬의 법칙은 프레넬 방정식의 일부이며, 빛이 진행하는 경로에 대한 페르마의 원리로도 설명할 수 있다. 스넬의 법칙은 빛 파동의 모든 가능한 경로(광원에서 관찰자까지)의 간섭을 이용하여 유도할 수 있는데, 이는 파괴적인 간섭을 초래한다.

3. 3. 맥스웰 방정식

맥스웰 방정식의 일반적인 경계 조건을 적용하여 전자기파와 유도에 대한 스넬의 법칙을 유도할 수 있다.^[1]

3. 4. 에너지와 운동량 보존

스넬의 법칙은 병진 대칭성 고려를 기반으로 유도할 수 있다.^[21] 예를 들어, z 방향에 수직인 균질 표면은 횡방향 운동량을 변화시키지 못한다. 파동 벡터가 광자의 운동량에 비례하기 때문에, 횡방향 전파 방향은 두 영역 모두에서 동일하게 유지되어야 한다. 일반성을 잃지 않고 입사면을 z, x 평면으로 가정하면, 매질의 굴절률에 대한 파수의 잘 알려진 의존성을 사용하여 스넬의 법칙을 유도할 수 있다.

:

k_{x\text{Region}_1} = k_{x\text{Region}_2} \,

:

n_1 k_0\sin\theta_1 = n_2 k_0\sin\theta_2 \,

:

n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \,

여기서

k_0=\frac{2\pi}{\lambda_0}=\frac{\omega}{c}

는 진공에서의 파수이다. 원자 수준에서 완벽하게 균질한 표면은 없지만, 영역이 빛의 파장 척도에서 균질할 때는 완전한 병진 대칭성이 매우 좋은 근사값이다.

4. 전반사

빛이 굴절률이 더 높은 매질에서 굴절률이 더 낮은 매질로 이동할 때, 입사각이 충분히 크면 굴절각의 사인 값이 1보다 커야 하는 경우가 발생한다. 이는 불가능하며, 이러한 경우 빛은 경계면에서 완전히 반사되는데, 이 현상을 전반사라고 한다. 굴절광선을 여전히 생성하는 가장 큰 입사각을 '''임계각'''이라고 하며, 이 경우 굴절광선은 두 매질 사이의 경계면을 따라 이동한다.

thumb

예를 들어, 입사각 50°로 물에서 공기로 이동하는 광선을 고려해 보자. 물과 공기의 굴절률은 각각 약 1.333과 1이므로, 스넬의 법칙에 따르면 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

\sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 = \frac{1.333}{1}\cdot\sin\left(50^\circ\right) = 1.333\cdot 0.766 = 1.021,

이는 만족시킬 수 없다. 임계각 θ_crit는 θ₂가 90°가 되는 θ₁의 값이다.

:

\theta_\text{crit} = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\right) = \arcsin\frac{n_2}{n_1} = 48.6^\circ.

위 식에 의해, 임계각(굴절이 일어나는 최대 입사각)의 크기가 굴절률에 따라 결정됨을 알 수 있다.

n_\mathrm{B} > n_\mathrm{A}

일 때 빛이 매질 B에서 매질 A로 입사할 경우,

:

\sin \theta_m = {\sin \theta_m\over {\sin 90^\circ}} = {1\over {n_\mathrm{AB}} }={n_\mathrm{A}\over{n_\mathrm{B}}}

:

\theta_m

: 임계각(매질 B에서 매질 A로의 입사각)

매질 B에서 A로의 입사각을

\theta_\mathrm{B}

라 하면,

:

\theta_\mathrm{B} > \theta_m

이 전반사가 일어나는 조건이다.

5. 분산

많은 파동 전파 매질에서 파동 속도는 파동의 주파수 또는 파장에 따라 변한다. 이는 진공을 제외한 대부분의 투명 물질에서 빛의 전파에도 해당된다. 이러한 매질을 분산 매질이라고 한다. 그 결과 스넬의 법칙에 의해 결정되는 각도도 주파수 또는 파장에 따라 달라지므로, 백색광과 같이 혼합된 파장의 광선이 퍼지거나 분산된다. 유리나 물에서의 이러한 빛의 분산은 무지개와 다른 광학 현상의 기원이 되는데, 여기서 서로 다른 파장이 서로 다른 색으로 나타난다.

광학 기기에서 분산은 색수차를 유발한다. 색수차는 때때로 해상도를 제한하는 효과인 색에 따라 달라지는 흐릿함이다. 이는 굴절 망원경에서 색수차 보정 대물렌즈가 발명되기 전에 특히 그러했다.

6. 발전

스넬의 법칙은 여러 가지 방법으로 유도할 수 있다. 빛이 최소 시간이 걸리는 경로를 따라 이동한다는 페르마의 원리로부터 유도할 수 있다. 광학 경로 길이의 미분을 취하여 임계점을 찾으면 빛이 통과하는 경로를 알 수 있다.^[21] 고전적인 비유로, 굴절률이 낮은 영역은 해변, 굴절률이 높은 영역은 바다로 대체하면, 해변에 있는 구조대원이 바다에 빠진 사람에게 가장 빨리 도착하는 방법은 스넬의 법칙을 따르는 경로를 따라 달리는 것이다.

오른쪽 그림에서 매질 1과 매질 2의 굴절률을 각각 $n_1$ 과 $n_2$ 라고 가정한다. 빛은 점 O를 통해 매질 1에서 매질 2로 들어간다.

$\theta_1$ 은 입사각이고, $\theta_2$ 는 법선에 대한 굴절각이다.

매질 1과 매질 2에서 빛의 위상 속도는 각각

: $v_1=c/n_1$ 와

: $v_2=c/n_2$ 이다.

$c$ 는 진공에서의 빛의 속도이다.

Q점에서 O점을 거쳐 P점까지 빛이 이동하는 데 걸리는 시간을 T라고 하면, 다음과 같다.

: $T=\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}{v_2} = \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + l^2 -2lx + x^2}}{v_2}$

이를 최소화하려면 미분을 할 수 있다.

: $\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{ - (l - x)}{v_2\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=0$ (임계점)

$\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} =\sin\theta_1$ 이고, $\frac{ l - x}{\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=\sin\theta_2$ 이므로,

: $\frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0$

: $\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}$

: $\frac{n_1\sin\theta_1}{c}=\frac{n_2\sin\theta_2}{c}$

: $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$

이 외에도, 스넬의 법칙은 빛 파동의 모든 가능한 경로(광원에서 관찰자까지)의 간섭을 이용하여 유도할 수 있는데, 이는 파괴적인 간섭을 초래한다. 전자기파와 유도에 대한 맥스웰 방정식의 일반적인 경계 조건을 적용하거나, 병진 대칭성 고려에 기반하여 유도할 수도 있다.^[21]

매질이 변해도 같은 파동의 주파수는 변하지 않으므로, 위 법칙을 더 발전시키면 다음과 같다.

: ${ \sin \theta_\mathrm{A} \over {\sin \theta_\mathrm{B}} } = {\lambda_\mathrm{A} \over {\lambda_\mathrm{B}} } = {v_\mathrm{A} \over {v_\mathrm{B}} } = n_\mathrm{AB}$

: $\lambda_\mathrm{A}$ ：매질 A에서의 파동의 파장

: $\lambda_\mathrm{B}$ ：매질 B에서의 파동의 파장

7. 광파에의 응용

빛은 진공에서도 전파되는 파동이므로, 빛에 대해서는 진공에 대한 물질 고유의 상대 굴절률을 절대 굴절률이라고 정의한다.^[22] 매질 A의 절대 굴절률을 $n_\mathrm{A}$ , 매질 B의 절대 굴절률을 $n_\mathrm{B}$ 라고 하면, 다음 관계가 성립한다.

: ${n_\mathrm{B} \over n_\mathrm{A}} = n_\mathrm{AB}$

이때, $n_{\mathrm{AB}}$ 는 매질 A에 대한 매질 B의 상대 굴절률을 의미한다.

따라서, 스넬의 법칙을 빛에 대해 더욱 명확하게 표현하면 다음과 같다.

: ${ \sin \theta_\mathrm{A} \over {\sin \theta_\mathrm{B}} } = {\lambda_\mathrm{A} \over {\lambda_\mathrm{B}} } = {v_\mathrm{A} \over {v_\mathrm{B}} } = {n_\mathrm{B} \over n_\mathrm{A}} = n_\mathrm{AB}$

여기서,

$\theta_{\mathrm{A}}$ : 매질 A에서 매질 B로의 입사각 (또는 B에서 A로의 굴절각)
$\theta_{\mathrm{B}}$ : 매질 B에서 매질 A로의 입사각 (또는 A에서 B로의 굴절각)
$\lambda_{\mathrm{A}}$ : 매질 A에서의 파장
$\lambda_{\mathrm{B}}$ : 매질 B에서의 파장
$v_{\mathrm{A}}$ : 매질 A에서의 빛의 속도
$v_{\mathrm{B}}$ : 매질 B에서의 빛의 속도

또한, 평행 다층막에서의 굴절에 대해서는 매질 X의 절대 굴절률을

n_\mathrm{X}

라고 하면, 다음 관계가 성립한다.

:

{n_\mathrm{A} \sin \theta_\mathrm{A}} = {n_\mathrm{B} \sin \theta_\mathrm{B}} = {n_\mathrm{C} \sin \theta_\mathrm{C}} = \dots =

일정

이는 2매질 사이에 다른 매질이 존재하는 경우에도 그 매질을 무시하고 스넬의 법칙을 사용할 수 있음을 보여준다.

여기서 주의해야 할 것은, 절대 굴절률은 빛에 대한 개념이라는 점이다. 전자기파 이외의 파동은 진공에 존재하지 않기 때문이다.

참조

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_[40] 저널 Who really discovered Snell's law? http://physicsworlda[...] 2016-11-24

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