스코로호드 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 스코로호드 공간
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

스코로호드 공간은 우크라이나 수학자 아나톨리 스코로호드의 이름을 따서 명명되었으며, 분해 가능 완비 거리 공간과 닫힌구간을 정의하는 카들라그 함수들의 집합이다. 스코로호드 공간은 L^∞ 노름을 부여했을 때 분해 가능 공간을 이루지 못하는 문제를 해결하기 위해 도입되었다. 스코로호드 공간에는 "공간과 시간을 약간 비틀 수 있는" 위상이 부여될 수 있으며, 스코로호드 메트릭을 통해 정의된다. 이 메트릭은 스코로호드 위상을 생성하며, 이 위상에서 카들라그 함수열의 수렴 조건을 정의할 수 있다. 스코로호드 공간은 폴란드 공간이며, 확률 측도의 콤팩트성을 판별하는 데 사용될 수 있다.

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스코로호드 공간
정의
정의	수학에서, 오른쪽 연속 왼쪽 극한 함수 (right continuous with left limits, RCLL) 또는 꼬르드락(프랑스어: continue à droite, limite à gauche, càdlàg) 함수는 모든 점에서 오른쪽 연속이고 왼쪽 극한이 존재하는 함수이다. 꼬르드락 함수는 불연속점이 많을 수 있지만, 셀 수 없이 많지는 않다.
예시
예시	누적 분포 함수 푸아송 과정 금융 수학에서 주가 모델
성질
성질	꼬르드락 함수의 불연속점은 도약 불연속점이며, 그 수는 가산 무한 개 이하이다. 임의의 꼬르드락 함수열은 스코로호드 공간에서 꼬르드락 함수로 수렴하는 부분열을 가진다.
관련 개념
관련 개념	스코로호드 공간: 꼬르드락 함수들의 공간. 왼쪽 연속 오른쪽 극한 함수 (left continuous with right limits, LCRL, càglàd): 꼬르드락 함수와 반대되는 개념으로, 모든 점에서 왼쪽 연속이고 오른쪽 극한이 존재하는 함수이다.
참고 문헌
참고 문헌	Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.

2. 정의

분해 가능하고 완비적인 거리 공간 $(X, d_X)$ 와 닫힌구간 $[a,b] \subsetneq \mathbb R$ 가 주어졌을 때, 함수 $f\colon[a,b]\to X$ 가 다음 조건을 만족하면 '''카들라그 함수'''라고 한다.^[5]

모든 $s\in[a,b)$ 에 대해, $f(s) = \lim_{t \to s^+} f(t)$
모든 $s\in(a,b]$ 에 대해, $\lim_{t \to s^-} f(t)$ 가 존재

즉, 오른쪽 극한과 왼쪽 극한이 모두 존재하며, 실제 함수 값은 오른쪽 극한과 같아야 한다.

거리 공간

(M, d)

및

E \subseteq \mathbb{R}

에 대해, 함수

f:E \to M

가 모든

t \in E

에서 다음을 만족하면 '''càdlàg 함수'''라고도 한다.

좌극한 $f(t-) := \lim_{s \to t^{-}}f(s)$ 이 존재하고,
우극한 $f(t+) := \lim_{s \to t^{+}}f(s)$ 이 존재하고 $f(t)$ 와 같다.

다시 말해, 카들라그 함수는 좌극한을 갖는 우연속 함수이다.

2. 1. 스코로호드 공간

분해 가능 완비 거리 공간

(X,d_X)

와 닫힌구간

[a,b] \subsetneq \mathbb R

가 주어졌을 때, 카들라그 함수

f\colon[a,b]\to X

가 있다면, 카들라그 함수들의 집합

\mathbb D([a,b],X)

에 다음과 같은 거리 함수를 부여할 수 있다.^[5]

:

d_{\mathbb D}(f,g) = \inf_{\theta \in \operatorname{Aut}([a,b])} \max\left\{\sup_{t\in[a,b]} d_X(f(t),g(\theta(t))),\;\sup_{a\le s< t\le b}\left|\ln\frac{\theta(t)-\theta(s)}{t-s}\right|\right\}

여기서

$\operatorname{Aut}([a,b])$ 는 $[a,b]\to[a,b]$ 전단사 증가 연속 함수들의 군이다.

이때,

(\mathbb D([a,b],X),d_{\mathbb D})

는 분해 가능 완비 거리 공간을 이룬다.^[5] 이 공간

(\mathbb D([a,b],X),d_{\mathbb D})

를 '''스코로호드 공간'''이라고 한다.

E

에서

M

으로 가는 모든 카들라그(càdlàg) 함수의 집합은 종종

\mathbb{D}(E:M)

(또는 간단히

\mathbb{D}

)로 표기하며, 우크라이나 수학자 아나톨리 스코로호드의 이름을 따서 스코로호드 공간이라고 불린다.

스코로호드 공간에는 "시간과 공간을 약간 비틀 수 있는" 위상이 할당될 수 있다.^[1] (반면, 균등 수렴의 전통적인 위상은 "공간을 약간 비틀 수"만 있다).

간단하게 하기 위해

E = [0, T]

와

M = \mathbb{R}^n

을 사용한다.

연속성의 계수와 유사한

\varpi'_{f} (\delta)

를 정의할 수 있다. 임의의

F \subseteq E

에 대해,

:

w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |

로 두고,

\delta > 0

에 대해 '''càdlàg 계수'''를 다음과 같이 정의한다.

:

\varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),

여기서 하한은

\min_i(t_i - t_{i+1}) > \delta

를 만족하는 모든 분할

\Pi = \{0 = t_0 < t_1 < \dots < t_k = T\},\; k \in E

에 대해 계산된다.

f

는

\lim_{\delta \to 0} \varpi'_{f} (\delta) = 0

일 때만 càdlàg이다.

\Lambda

를

E

에서 자신으로 가는 모든 단조 증가 연속 전단사 함수의 집합으로 표기하고,

:

\| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |

는

E

상의 함수에 대한 균등 노름을 나타낸다.

'''스코로호드 메트릭'''

\sigma

를

\mathbb{D}

상에서 다음과 같이 정의한다.

:

\sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \},

여기서

I: E \to E

는 항등 함수이다.

"비틀림" 관점에서,

\| \lambda - I \|

는 "시간의 비틀림"의 크기를,

\| f - g \circ \lambda \|

는 "공간의 비틀림"의 크기를 측정한다. 스코로호드 메트릭은 실제로 메트릭이며,

\sigma

에 의해 생성된 위상

\Sigma

는

\mathbb{D}

상의 '''스코로호드 위상'''이라고 불린다.

다음과 같은 동등한 메트릭인

:

d (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda}  (\| \lambda - I \|+ \| f - g \circ \lambda \|),

은 제어 이론에서 스위칭 시스템의 분석을 위해 독립적으로 도입되어 활용되었다.^[3]

3. 성질

$E$ 에서 $M$ 으로 가는 모든 카들라그 함수의 집합은 $\mathbb{D}(E:M)$ 또는 간단히 $\mathbb{D}$ 로 표기하며, 우크라이나 수학자 아나톨리 스코로호드의 이름을 따서 '''스코로호드 공간'''이라고 불린다. 스코로호드 공간에는 "공간과 시간을 약간 비틀 수 있는" 위상이 부여될 수 있다.^[1]

$\delta > 0$ 에 대해 '''càdlàg 계수'''는 다음과 같이 정의된다.

: $\varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),$

여기서 하한은 $\min_i(t_i - t_{i+1}) > \delta$ 를 만족하는 모든 분할 $\Pi = \{0 = t_0 < t_1 < \dots < t_k = T\},\; k \in E$ 에 대해 계산된다. $f$ 가 càdlàg이기 위한 필요충분조건은 $\lim_{\delta \to 0} \varpi'_{f} (\delta) = 0$ 이다.

$\Lambda$ 를 $E$ 에서 자신으로 가는 모든 단조 증가 연속 전단사 함수 집합으로 표기하고, $\| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |$ 를 $E$ 상의 함수에 대한 균등 노름으로 나타낼 때, '''스코로호드 메트릭''' $\sigma$ 는 $\mathbb{D}$ 상에서 다음과 같이 정의된다.

: $\sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \},$

여기서 $I: E \to E$ 는 항등 함수이다. "비틀림" 직관의 관점에서, $\| \lambda - I \|$ 는 "시간의 비틀림" 크기를, $\| f - g \circ \lambda \|$ 는 "공간의 비틀림" 크기를 측정한다. 스코로호드 메트릭은 실제로 메트릭이며, $\sigma$ 에 의해 생성된 위상 $\Sigma$ 는 $\mathbb{D}$ 상의 '''스코로호드 위상'''이라고 불린다.

제어 이론에서 스위칭 시스템 분석을 위해 독립적으로 도입되어 활용된, $\sigma$ 와 동등한 메트릭은 다음과 같다.^[3]

: $d (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} (\| \lambda - I \|+ \| f - g \circ \lambda \|),$

3. 1. 스코로호드 거리의 변형

스코로호드 공간에는 다음과 같은 더 단순한 거리 함수를 줄 수도 있다.

:

d'_{\mathbb D}(f,g) = \inf_{\theta \in \operatorname{Aut}(E,E)} \max\left\{\sup_{t\in[a,b]} d_X(f(t),g(\theta(t))),\;\sup_{a\le s\le t\le b}|\theta(t)-s|\right\}

이는

d_{\mathbb D}

와 같은 위상을 정의하지만, 일반적으로 완비 거리 공간을 정의하지 못한다.^[5]

임의의

\theta\in\operatorname{Aut}([a,b])

에 대하여,

:

(\circ\theta) \colon D([a,b],X) \to\mathbb D([a,b],X)

는 정의에 따라 전단사 등거리 변환을 이룬다.

3. 2. 연속 함수와의 관계

정의에 따라, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

:

\mathcal C^0([a,b],X) \subsetneq \mathbb D([a,b],X)

만약

\mathcal C^0([a,b],X)

에 거리 함수

:

d(f,g) = \sup_{t\in[a,b]}d_X(f(t),g(t))

를 부여할 경우, 이 포함 사상은 연속 함수이다. 또한, 연속 함수의 스코로호드 수렴은 이 거리 함수에서의 수렴과 동치이다. 따라서,

\mathcal C^0([a,b],X)

는

\mathbb D([a,b],X)

의 닫힌집합을 이룬다.

함수 공간

E

위의 연속 함수들의 집합

C

는

\mathbb{D}

의 부분 공간이다.

C

에 상대화된 스코로호드 위상은 여기서 균등 위상과 일치한다.

3. 3. 수렴

스코로호드 위상에서, 카들라그 함수열

:

(f_i)_{i=0}^\infty \subseteq\mathbb D( [a,b], X)

이

:

f\in\mathbb D([a,b],X)

로 수렴할 필요충분조건은 다음과 같다.

:어떤 함수열

(\theta_i)_{i=0}^\infty \subseteq\operatorname{Aut}([a,b])

에 대하여,

f_i\circ\theta_i

가

f

로 균등 수렴하며, 또한

\theta_i

가 항등 함수

\operatorname{id}_{[a,b]}

로 균등 수렴한다.

특히, 만약 함수열

f_i

가 연속 함수만으로 구성된다면, 그 (스코호로트 위상에서의) 수렴은

f_i

의 균등 수렴과 동치이다.^[5]

3. 4. 위상적 성질

\mathbb{D}

는 스코로호드 거리

\sigma

에 대해 완비 공간은 아니지만,

\mathbb{D}

가 완비인 위상 동치 거리

\sigma_0

가 존재한다.^[4]

\sigma

또는

\sigma_0

에 관하여,

\mathbb{D}

는 가분 공간이다. 따라서, 스코로호드 공간은 폴란드 공간이다.

아르첼라-아스콜리 정리를 적용하면, 확률 측도의 스코로호드 공간

\mathbb{D}

에 대한 수열

(\mu_n)_{n=1,2,\dots}

가 다음 두 조건을 모두 만족하면 콤팩트함을 보일 수 있다.

:

\lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in \mathbb{D} \;|\; \| f \| \geq a \} \big) = 0,

그리고

:

\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in \mathbb{D} \;|\; \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} \big) = 0\text{ for all }\varepsilon > 0.

스코로호드 위상과 함수의 점별 덧셈 하에서,

\mathbb{D}

는 위상군이 아니다. 예를 들어 반개구간

E=[0,2)

를 고려하고,

f_n = \chi_{[1-1/n,2)} \in \mathbb{D}

을 일련의 지시 함수로 취하면,

f_n \rightarrow \chi_{[1,2)}

가 스코로호드 위상에서 수렴함에도 불구하고, 수열

f_n - \chi_{[1,2)}

는 0으로 수렴하지 않는다.

4. 예시

실수 집합의 부분 집합에서 모든 연속 함수는 해당 부분 집합에서 카들라그 함수이다.
정의에 따라 모든 누적 분포 함수는 카들라그 함수이다. 예를 들어 점 $r$ 에서의 누적은 $r$ 보다 작거나 같을 확률, 즉 $\mathbb{P}[X\leq r]$ 에 해당한다. 다시 말해, 양측 꼬리 분포에 대한 고려 대상인 반 개구간 구간 $(-\infty, r]$ 은 오른쪽으로 닫혀 있다.
열린 구간에서 정의된 모든 볼록 함수 $f$ 의 오른쪽 도함수 $f^\prime_+$ 는 증가하는 카들라그 함수이다.

5. 역사

"카들라그 함수"(fonction càdlàg^프랑스어)라는 용어는 프랑스어 "continue à droite, limite à gauche"(continue à droite, limite à gauche|콩티뉘 아 드루아트, 리미트 아 고슈^프랑스어)의 머리글자를 딴 것이다.

스코로호드 공간은 1956년 우크라이나 수학자 아나톨리 스코로호드(Анато́лій Володи́мирович Скорохо́д^uk)에 의해 도입되었다.^[6]

참조

_[1] 웹사이트 Skorokhod space - Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...]
_[2] 서적 Convergence of Probability Measures Wiley
_[3] 논문 Robustness of a relaxation oscillator
_[4] 서적 Convergence of Probability Measures Wiley
_[5] 서적 Convergence of probability measures https://archive.org/[...] John Wiley and Sons 1999
_[6] 간행물 Limit theorems for stochastic processes 1956

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