스토크스 변수

3. 스토크스 벡터 표현

스토크스 변수들은 종종 다음과 같이 스토크스 벡터라 불리는 벡터의 형태로 사용된다.^[1]

:$$

\vec S \ =

\begin{pmatrix} S_0 \\ S_1 \\ S_2 \\ S_3\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix} I \\ Q \\ U \\ V\end{pmatrix}



스토크스 벡터는 무편광, 부분 편광 및 완전 편광된 빛의 벡터 공간을 포함한다. 이와 비교하여 존스 벡터는 완전 편광된 빛의 공간만 표현할 수 있지만, 결맞음 빛과 관련된 문제에는 더 유용하다. 4개의 스토크스 변수가 선택된 이유는 공간의 선호되는 좌표계가 아니라, 쉽게 측정하거나 계산할 수 있기 때문이다.^[1] 광학계의 편광 효율은 입사광의 스토크스 벡터에 뮬러 행렬을 곱하여 빛이 광학계를 투과한 후의 스토크스 벡터를 구함으로써 확인할 수 있다.

스토크스 매개변수 ''S''₀, ''S''₁, ''S''₂, ''S''₃와 세기 및 편광 타원 매개변수의 관계는 아래 방정식과 오른쪽에 있는 그림에 나와 있다.^[1]

:$$

\begin{align}

S_0 &= I \\

S_1 &= I p \cos 2\psi \cos 2\chi \\

S_2 &= I p \sin 2\psi \cos 2\chi \\

S_3 &= I p \sin 2\chi

\end{align}



여기서 $I\; p$, $2\backslash psi$ 및 $2\backslash chi$는 $(S\_1,\; S\_2,\; S\_3)$를 3차원 벡터로 표현했을 때의 구면 좌표이다. $I$는 빛의 총 세기이고, $p$는 편광도를 나타내며 0과 1 사이의 값을 가진다. $\backslash psi$ 앞에 2가 곱해진 것은 편광 타원이 180° 회전해도 구별할 수 없음을 의미하며, $\backslash chi$ 앞에 2가 곱해진 것은 반축 길이가 바뀌고 90° 회전된 타원과 구별할 수 없음을 의미한다. 스토크스 매개변수에는 편광된 빛의 위상 정보는 기록되지 않는다. 스토크스 매개변수는 때때로 ''I'', ''Q'', ''U'', ''V''로 표시되기도 한다.^[1]

주어진 스토크스 매개변수를 사용하여 구면 좌표를 계산하는 식은 다음과 같다.^[1]

:$\backslash begin\{align\}$

I &= S_0 \\

p &= \frac{\sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}{S_0} \\

2\psi &= \mathrm{arctan} \frac{S_2}{S_1}\\

2\chi &= \mathrm{arctan} \frac{S_3}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}\\

\end{align}

$V$ 구성 요소의 부호는 사용되는 물리적 규칙에 따라 달라질 수 있다. 빔을 광원 쪽으로(빛의 전파 방향과 반대) 보면서 정의하는 경우와, 빔을 광원에서 멀리(빛의 전파 방향과 동일) 보면서 정의하는 경우 두 가지가 있다. 이 두 규칙은 $V$에 대해 서로 다른 부호를 생성하므로, 하나의 규칙을 선택하고 일관되게 사용해야 한다.

3. 1. 예시

4. 성질

완전 편광된 빛의 경우, 다음 식이 성립한다.^[6]

:$S\_0^2\; =\; S\_1^2\; +\; S\_2^2\; +\; S\_3^2$

또는

:$I^2\; =\; Q^2\; +\; U^2\; +\; V^2$

부분 편광 또는 비편광된 빛의 경우에는 다음 부등식이 성립한다.^[6]

:$S\_0^2\; >\; S\_1^2\; +\; S\_2^2\; +\; S\_3^2$

또는

:$I^2\; >\; Q^2\; +\; U^2\; +\; V^2$

이때, 편광도(Degree of Polarization, DOP)는 다음과 같이 정의된다.

:$DOP\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{S\_1^2\; +\; S\_2^2\; +\; S\_3^2\}\}\{S\_0\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{Q^2\; +\; U^2\; +\; V^2\}\}\{I\}$

5. 뮬러 행렬

스토크스 벡터는 뮬러 행렬을 사용하여 광학 소자를 통과한 빛의 편광 상태 변화를 계산하는 데 사용될 수 있다. 뮬러 행렬은 4x4 실수 행렬로, 입사광의 스토크스 벡터에 곱해져 투과/반사 후의 스토크스 벡터를 계산한다. 광학계의 편광 효율은 입사광의 스토크스 벡터 집합에 뮬러 행렬을 곱하여 빛이 광학계를 통과한 후의 스토크스 벡터를 구하면서 바로 확인할 수 있다.^[1]

6. 푸앵카레 구

스토크스 매개변수 ''S''₀, ''S''₁, ''S''₂, ''S''₃와 세기 및 편광 타원 매개변수의 관계는 아래 방정식과 같다.

:$$

\begin{align}

S_0 &= I \\

S_1 &= I p \cos 2\psi \cos 2\chi \\

S_2 &= I p \sin 2\psi \cos 2\chi \\

S_3 &= I p \sin 2\chi

\end{align}



여기서 $I\; p$, $2\backslash psi$ 및 $2\backslash chi$는 데카르트 좌표 $(S\_1,\; S\_2,\; S\_3)$의 3차원 벡터의 구면 좌표이다. $I$는 빔의 총 세기이고, $p$는 편광의 정도이며, $0\; \backslash le\; p\; \backslash le\; 1$로 제한된다. $\backslash psi$ 앞에 있는 2의 계수는 모든 편광 타원이 180° 회전된 것과 구별할 수 없다는 사실을 나타내고, $\backslash chi$ 앞에 있는 2의 계수는 반축 길이가 바뀌고 90° 회전된 타원과 구별할 수 없음을 나타낸다. 편광된 빛의 위상 정보는 스토크스 매개변수에 기록되지 않는다. 네 개의 스토크스 매개변수는 때때로 각각 ''I'', ''Q'', ''U'' 및 ''V''로 표시된다.

스토크스 매개변수가 주어지면 다음 방정식을 사용하여 구면 좌표를 구할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

I &= S_0 \\

p &= \frac{\sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}{S_0} \\

2\psi &= \mathrm{arctan} \frac{S_2}{S_1}\\

2\chi &= \mathrm{arctan} \frac{S_3}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}\\

\end{align}

7. 양자 역학과의 관계

스토크스 변수는 양자 역학에서 밀도 행렬과 연관되어 해석될 수 있다. 스토크스 연산자는 파울리 행렬과 유사한 형태로 표현될 수 있으며, 이를 통해 양자 상태의 편광 특성을 분석할 수 있다.^[1]

기하학적 및 대수적 관점에서, 스토크스 변수는 힐베르트 공간 '''C'''² 상의 비음수 에르미트 연산자의 닫힌 볼록 4-실수 차원 콘과 일대일 대응 관계를 갖는다. 매개변수 ''I''는 연산자의 대각합 역할을 하며, 연산자의 행렬 요소는 네 개의 매개변수 ''I'', ''Q'', ''U'', ''V''의 간단한 선형 함수이며, 이는 스토크스 연산자의 선형 결합의 계수 역할을 한다.^[1] 연산자의 고유값과 고유 벡터는 편광 타원 매개변수 ''I'', ''p'', ''ψ'', ''χ''로부터 계산할 수 있다.^[1]

''I''를 1로 설정한 스토크스 변수(즉, 대각합 1 연산자)는 양자 공간 '''C'''²의 닫힌 단위 3차원 혼합 상태 (또는 밀도 연산자)의 공과 일대일 대응 관계를 가지며, 그 경계는 블로흐 구이다.^[1] 존스 벡터는 기본 공간 '''C'''², 즉, 동일한 시스템의 (정규화되지 않은) 순수 상태에 해당한다.^[1] 순수 상태 |φ⟩에서 해당 혼합 상태 |φ⟩⟨φ|로 넘어갈 때, 그리고 존스 벡터에서 해당 스토크스 벡터로 넘어갈 때 전체 위상(즉, 두 수직 편광 축 상의 두 구성파 사이의 공통 위상 인자)이 손실된다는 점에 유의해야 한다.^[1]

수평 편광 상태 $|H\backslash rangle$와 수직 편광 상태 $|V\backslash rangle$를 기저로 할 때, +45° 선형 편광 상태는 $|+\backslash rangle\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}(|H\backslash rangle+|V\backslash rangle)$, -45° 선형 편광 상태는 $|-\backslash rangle\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}(|H\backslash rangle-|V\backslash rangle)$, 좌원 편광 상태는 $|L\backslash rangle\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}(|H\backslash rangle+i|V\backslash rangle)$, 우원 편광 상태는 $|R\backslash rangle\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}(|H\backslash rangle-i|V\backslash rangle)$이다.^[1] 이러한 상태가 파울리 행렬의 고유 벡터이고, 정규화된 스토크스 매개변수(''U/I'', ''V/I'', ''Q/I'')가 블로흐 벡터 ($a\_x$, $a\_y$, $a\_z$)의 좌표에 해당한다는 것을 쉽게 알 수 있다.^[1] 등가적으로, $U/I=tr\backslash left(\backslash rho\; \backslash sigma\_x\; \backslash right)$, $V/I=tr\backslash left(\backslash rho\; \backslash sigma\_y\; \backslash right)$, $Q/I=tr\backslash left(\backslash rho\; \backslash sigma\_z\; \backslash right)$이며, 여기서 $\backslash rho$는 혼합 상태의 밀도 행렬이다.^[1]

일반적으로, 각도 θ에서의 선형 편광은 순수 양자 상태 $|\backslash theta\backslash rangle\; =\backslash cos\{\backslash theta\}|H\backslash rangle+\backslash sin\{\backslash theta\}|V\backslash rangle$를 가지므로, 밀도 행렬 $\backslash rho\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(I\; +\; a\_x\; \backslash sigma\_x\; +\; a\_y\; \backslash sigma\_y\; +\; a\_z\; \backslash sigma\_z\backslash right)$를 갖는 혼합 상태 광원에 대한 각도 θ에서의 투과율은 다음과 같다.

:$tr(\backslash rho|\backslash theta\backslash rangle\backslash langle\backslash theta|)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(1\; +\; a\_x\; \backslash sin\{2\backslash theta\}\; +\; a\_z\; \backslash cos\{2\backslash theta\}\backslash right)$

$a\_z\; >\; 0$인 경우 $\backslash theta\_0\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash arctan\{\; (a\_x/a\_z)\; \}$에서, 또는 인 경우 $\backslash theta\_0\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash arctan\{\; (a\_x/a\_z)\; \}+\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$에서 최대 투과율 $\backslash frac\{1\}\{2\}\; (1+\; \backslash sqrt\{\; a\_x^2\; +\; a\_z^2\; \})$을 갖는다.^[1] 최소 투과율 $\backslash frac\{1\}\{2\}\; (\; 1-\; \backslash sqrt\{\; a\_x^2\; +\; a\_z^2\; \})$은 최대 투과 방향에 수직인 방향에서 도달한다.^[1] 여기서 최대 투과율과 최소 투과율의 비율은 소광비 $ER\; =\; (1\; +\; DOLP)\; /\; (1\; -\; DOLP)$로 정의되며, 여기서 편광 정도는 $DOLP\; =\; \backslash sqrt\{\; a\_x^2\; +\; a\_z^2\; \}$이다.^[1] 등가적으로, 투과율에 대한 공식은 $A\backslash cos^2\{(\backslash theta-\; \backslash theta\_0)\}\; +\; B$로 다시 쓸 수 있으며, 이는 말루스의 법칙의 확장된 형태이다.^[1] 여기서 $A,\; B$는 모두 비음수이며, $ER\; =\; (A+B)/B$에 의해 소광비와 관련된다.^[1] 두 개의 정규화된 스토크스 매개변수는 $a\_x=DOLP\backslash sin\{2\backslash theta\_0\},\; \backslash ,\; a\_z=DOLP\backslash cos\{\; 2\backslash theta\_0\},\; \backslash ,\; DOLP=(ER-1)/(ER+1)$로 계산할 수도 있다.^[1]

또한 각도 θ만큼 편광 축을 회전시키는 것은 블로흐 구 회전 연산자 $R\_y\; (2\backslash theta)$에 해당한다.^[1]

:$R\_y\; (2\backslash theta)\; =$

\begin{bmatrix}

\cos \theta & -\sin \theta \\

\sin \theta & \cos \theta

\end{bmatrix}

예를 들어, 수평 편광 상태 $|H\backslash rangle$는 $|\backslash theta\backslash rangle\; =\backslash cos\{\backslash theta\}|H\backslash rangle+\backslash sin\{\backslash theta\}|V\backslash rangle$로 회전한다.^[1] 수평 축에 정렬된 4분의 1 파장판의 효과는 다음과 같다.

:$R\_z\; (\backslash pi\; /2)=$

\begin{bmatrix}

e^{ -i\pi/4 } & 0 \\

0 & e^{ +i\pi/4 }

\end{bmatrix}

이는 등가적으로 위상 게이트 S에 의해 설명되며, 결과 블로흐 벡터는 $(-a\_y,a\_x,a\_z)$가 된다.^[1] 이 구성을 사용하여 소광비를 측정하기 위해 회전 분석기 방법을 수행하면 $a\_y$를 계산하고 $a\_z$를 확인할 수 있다.^[1] 이 방법이 작동하려면 파장판의 빠른 축과 느린 축이 기저 상태의 참조 방향과 정렬되어야 한다.^[1]

각도 θ만큼 회전된 4분의 1 파장판의 효과는 로드리게스 회전 공식을 사용하여 $R\_n\; (\backslash pi/2)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}I-i\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}\; (\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; )$로 결정할 수 있으며, $\backslash hat\{n\}=\backslash hat\{z\}\backslash cos\{2\backslash theta\}+\backslash hat\{x\}\; \backslash sin\{2\backslash theta\}$이다.^[1] 수평 축을 따라 선형 편광판(분석기 판)을 통과하는 결과 광의 투과율은 동일한 로드리게스 회전 공식을 사용하여 $I$와 $\backslash sigma\_z$에 대한 구성 요소에 초점을 맞춰 계산할 수 있다.^[1]

:$\backslash begin\{align\}$

T&= tr[R_n(\pi/2) \rho R_n (- \pi/2)|H\rangle\langle H|] \\

&= \frac{1}{2}\left[ 1 + a_y \sin{2\theta} + (\hat{n}\cdot \vec{a}) \cos{2\theta}\right] \\

&= \frac{1}{2}\left[ 1 + a_y \sin{2\theta} + (a_x \sin{2\theta} + a_z \cos{2\theta}) \cos{2\theta}\right] \\

&= \frac{1}{2}\left( 1 + a_y \sin{2\theta} +DOLP\times \frac{\cos{(4\theta-2\theta_0) }+\cos{(2\theta_0) }}{2 }\right)

\end{align}

위의 식은 많은 편광계의 이론적 기초이다.^[1] 비편광광의 경우, T=1/2는 상수이다.^[1] 순수하게 원형 편광된 빛의 경우, T는 주기가 180도인 각도 θ에 대한 정현파 의존성을 가지며, T=0인 절대 소멸에 도달할 수 있다.^[1] 순수하게 선형 편광된 빛의 경우, T는 주기가 90도인 각도 θ에 대한 정현파 의존성을 가지며, 원래 빛의 편광이 편광판에서 90도일 때만 절대 소멸에 도달할 수 있다(즉, $a\_z\; =-1$).^[1] 이 구성에서, $\backslash theta\_0=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$이고 $T=\backslash frac\{1-$

\cos{(4\theta)}}{4} 이며, θ=45°에서 최대 1/2이고 θ=0°에서 소멸점이 있다.^[1] 이 결과는, 예를 들어, 편광 빔 분할기를 사용하여 분석기 판에 정렬된 선형 편광된 빛을 얻고 그 사이에 4분의 1 파장판을 회전시켜, 4분의 1 파장판의 빠른 축 또는 느린 축을 정확하게 결정하는 데 사용할 수 있다.^[1]

마찬가지로, 각도 θ만큼 회전된 반 파장판의 효과는 $R\_n\; (\backslash pi)=-i(\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; )$로 설명되며, 이는 밀도 행렬을 다음과 같이 변환한다.^[1]

:$\backslash begin\{align\}$

R_n(\pi) \rho R_n (-\pi) &= \frac{1}{2}\left(I+\vec{a}\cdot[-\vec{\sigma}+2\hat{n} (\hat{n}\cdot\vec{\sigma} )]\right) \\

&= \frac{1}{2}\left[I- \vec{a} \cdot \vec{\sigma}+2(\hat{n}\cdot\vec{a} ) (\hat{n}\cdot\vec{\sigma} )\right]

\end{align}

위의 식은 원래 빛이 순수한 선형 편광(즉, $a\_y=\; 0$)인 경우, 반 파장판 통과 후 결과 빛은 여전히 순수한 선형 편광(즉, $\backslash sigma\_y$ 구성 요소가 없음)이며 주축이 회전한다는 것을 보여준다.^[1] 이러한 선형 편광의 회전은 주기가 90도인 각도 θ에 대한 정현파 의존성을 갖는다.^[1]

참조

_[1] 논문 On the composition and resolution of streams of polarized light from different sources 1851
_[2] 서적 Radiative Transfer Dover Publications, New York 1960
_[3] 논문 Polarization of light scattered by isotropic opalescent media 1942
_[4] 웹사이트 S. Chandrasekhar - Session II https://www.aip.org/[...] AIP 1977-05-18
_[5] 논문 The transfer of radiation in stellar atmospheres 1947
_[6] 서적 Light scattering by small particles Dover Publications, New York 1981
_[7] 문서
_[8] 문서