양의 정부호 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 보흐너 정리
- 3.2. 기본 성질
4. 예
5. 응용
참조

1. 개요

양의 정부호 함수는 국소 콤팩트 아벨 위상군에서 정의되는 함수로, 켤레 짝함수성과 준정부호성을 만족한다. 이러한 함수는 힐베르트 공간 상의 군의 표현 이론에서 자연스럽게 나타나며, 보흐너 정리를 통해 푸리에 변환과의 관계가 설명된다. 가우스 핵, 지수 함수, 코사인 함수 등이 양의 정부호 함수의 예시이며, 통계학 및 확률론에서 공분산 행렬의 양의 정부호성을 보장하는 데 활용된다.

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양의 정부호 함수

2. 정의

양의 정부호 함수는 여러 가지로 정의될 수 있다.

실수 집합을 $\mathbb{R}$ , 복소수 집합을 $\mathbb{C}$ 로 나타낼 때, 함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 가 양의 준정부호 함수라는 것은 모든 실수 ''x''₁, …, ''x''_''n''에 대해 다음 조건을 만족하는 것을 의미한다.

: $A = \left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^n~, \quad a_{ij} = f(x_i - x_j)$

위 식에서 $A$ 는 양의 준정부호 행렬이다.

정의에 따르면, $A$ 와 같은 양의 준정부호 행렬은 에르미트 행렬이며, ''f''(-''x'')는 ''f''(''x'')의 복소 켤레이다.

특히 다음이 성립해야 한다(충분조건은 아님).

: $f(0) \geq 0~, \quad |f(x)| \leq f(0)$

(이 부등식은 ''n'' = 1, 2일 때 조건에서 유도된다.)

부등호 방향이 반대이면 ''음의 준정부호'' 함수이고, 약한 부등호가 강한 부등호(<, > 0)로 바뀌면 ''정부호'' 함수이다.

2. 1. 정의 1 (국소 콤팩트 아벨 군)

국소 콤팩트 아벨 위상군

(G,+)

위의 함수

f\colon G\to\mathbb C

가 다음 성질을 만족시킨다면,

f

를 '''양의 정부호 함수'''라고 한다.

(켤레 짝함수성) 모든 $g\in G$ 에 대하여, $f(-g)=\overline{f(g)}$
(준정부호성) 모든 유한 부분집합 $\{g_1,\dots,g_n\}\subset G$ 에 대하여, $n\times n$ 에르미트 행렬 $M_{ij}=f(g_i-g_j)$ 가 양의 준정부호 행렬이다.

2. 2. 정의 2 (실수 함수)

함수

f : \reals^n \to \reals

가 원점의 근방 ''D''에서 ''양의 정부호''라고 불리는 경우는

f(0) = 0

이고, 0이 아닌 모든

x \in D

에 대해

f(x) > 0

일 때이다.^[3]^[4]

이 정의는 위에 주어진 정의 1과 상충된다는 점에 유의해야 한다.

물리학에서는

f(0) = 0

이라는 요구사항이 때때로 생략되기도 한다(예: Corney와 Olsen^[5] 참조).

2. 3. 정의 3 (원점 근방)

함수

f : \reals^n \to \reals

가 원점의 근방 ''D''에서 ''양의 정부호''라고 불리는 경우는

f(0) = 0

이고, 0이 아닌 모든

x \in D

에 대해

f(x) > 0

일 때이다.^[3]^[4]

이 정의는 위에 주어진 정의 1과 상충된다는 점에 유의해야 한다.

물리학에서는

f(0) = 0

이라는 요구사항이 때때로 생략되기도 한다(예: Corney와 Olsen^[5] 참조).

3. 성질

양의 정부호 함수는 여러 유용한 성질을 가진다. 모든 양의 정부호 함수 $f$ 에 대하여 다음이 성립한다. (이는 양의 정부호 함수의 정의에서 $n=1, 2$ 인 경우에서 유래한다.)

$f(0)\ge 0$
모든 $g\in G$ 에 대하여, $|f(x)|\le f(0)$

3. 1. 보흐너 정리

보흐너 정리(Bochner’s theorem^영어)에 따르면,

G

위의 양의 정부호 함수의 푸리에 변환은 그 폰트랴긴 쌍대군

\hat G

위의 양의 유한 보렐 측도를 이루며, 그 역 또한 성립한다.^[2]

양의 정부호 함수

f,g

에 대하여 다음이 성립한다.

$a,b\in[0,\infty)$ 에 대하여, $af+bg$ 는 양의 정부호이다. 즉, 양의 정부호 함수들은 음이 아닌 계수의 선형결합에 대하여 닫혀 있으며, 뿔(cone)을 이룬다.
$fg$ 는 양의 정부호이다.
$\overline{f}$ 는 양의 정부호이다.

모든 양의 정부호 함수

f

에 대하여 다음이 성립한다. (이는 양의 정부호 함수의 정의에서

n=1,2

인 경우에서 유래한다.)

$f(0)\ge0$
모든 $g\in G$ 에 대하여, $|f(x)|\le f(0)$

양의 정부호성은 푸리에 변환 이론에서 자연스럽게 나타난다. 양의 정부호성을 갖기 위한 충분 조건은 ''f''가 실수선에서 ''g''(''y'') ≥ 0을 만족하는 함수 ''g''의 푸리에 변환인 것으로 직접 확인할 수 있다.

이의 역 결과는 ''보흐너 정리''로, 실수선에서 임의의 연속 양의 정부호 함수는 (양의) 측도의 푸리에 변환이라고 말한다.^[2]

3. 2. 기본 성질

양의 정부호 함수

f, g

에 대하여, 다음이 성립한다.

$a, b \in [0, \infty)$ 에 대하여, $af + bg$ 는 양의 정부호이다. 즉, 양의 정부호 함수들은 음이 아닌 계수의 선형결합에 대하여 닫혀 있다. 이들은 뿔(cone)을 이룬다.
$fg$ 는 양의 정부호이다.
$\overline{f}$ 는 양의 정부호이다.

모든 양의 정부호 함수

f

에 대하여, 다음이 성립한다. (이는 양의 정부호 함수의 정의에서

n=1, 2

인 경우에서 유래한다.)

$f(0) \ge 0$
모든 $g \in G$ 에 대하여, $|f(x)| \le f(0)$

4. 예

유클리드 공간에서의 가우스 핵, $\mathbb R$ 위에서의 $\exp(-|x|)$ , $\operatorname{sinc}^2x$ , 삼각형함수 $\operatorname{tri}(x)$ 등은 양의 정부호 함수의 예시이다. 이들은 푸리에 변환을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 실수가 아닌 양의 정부호 함수로는 $\exp(iax)$ 가 있다.^[1]

어떤 벡터 공간 $X$ 에 대해, 선형 함수 $\phi \colon X \to \R$ 를 선택하고 $f^* := f \circ \phi$ 를 정의하여, 양의 정부호 함수 $f \colon \R \to \mathbb C$ 로부터 양의 정부호 함수 $f \colon X \to \mathbb{C}$ 를 만들 수 있다.^[1]

4. 1. 유클리드 공간

유클리드 공간

\mathbb R^n

위의 가우스 핵

:

\exp(-|x|^2/2\sigma)

은 양의 정부호 함수의 대표적인 예이다. 가우스 핵의 푸리에 변환은 다른 가우스 핵이므로, 보흐너 정리에 따라 이는 양의 정부호임을 쉽게 알 수 있다.^[1]

4. 2. 실수선

양의 정부호 함수의 대표적인 예는 유클리드 공간

\mathbb R^n

위의 가우스 핵

:

\exp(-|x|^2/2\sigma)

이다. 가우스 핵의 푸리에 변환은 다른 가우스 핵이므로, 보흐너 정리에 따라 이는 양의 정부호임을 쉽게 알 수 있다.

다른 예로는

\mathbb R

위의

\exp(-|x|)

,

\operatorname{sinc}^2x

, 삼각형함수

\operatorname{tri}(x)

등이 있다. 이들 역시 푸리에 변환을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 실수가 아닌 양의 정부호 함수로는

\exp(iax)

가 있다.

음이 아닌 상수함수

f(x)=a

(

a\ge0

)는 자명하게 양의 정부호 함수이다. 이 경우,

n\times n

행렬

f(x_i-x_j)=a

의 모든 원소가

a

이며, 이 행렬의 고윳값은

an

(중복도 1)과

0

(중복도

n-1

)이다. 따라서 이 행렬은 양의 준정부호다.

4. 3. 복소 지수 함수

실수 내적 공간

(X, \langle \cdot, \cdot \rangle)

에서, 모든

y \in X

에 대해

g_y \colon X \to \mathbb{C}

,

x \mapsto \exp(i \langle y, x \rangle)

는 양의 정부호 함수이다. 이는 모든

u \in \mathbb{C}^n

과 모든

x_1, \ldots, x_n

에 대해 다음이 성립하기 때문이다.^[1]

:

u^* A^{(g_y)} u= \sum_{j, k = 1}^{n} \overline{u_k} u_j e^{i \langle y, x_k - x_j \rangle}= \sum_{k = 1}^{n} \overline{u_k} e^{i \langle y, x_k \rangle} \sum_{j = 1}^{n} u_j e^{- i \langle y, x_j \rangle}= \left| \sum_{j = 1}^{n} \overline{u_j} e^{i \langle y, x_j \rangle} \right|^2\ge 0.

양의 정부호 함수의 음이 아닌 선형 결합은 다시 양의 정부호 함수가 되므로, 코사인 함수는 이러한 함수들의 음이 아닌 선형 결합으로 표현되어 양의 정부호 함수가 된다.^[1]

:

\cos(x) = \frac{1}{2} ( e^{i x} + e^{- i x}) = \frac{1}{2}(g_{1} + g_{-1}).

4. 4. 상수 함수

음이 아닌 상수 함수 f(x)=a (a≥0)는 자명하게 양의 정부호 함수이다. 이 경우, n×n 행렬 f(x_i-x_j)=a의 모든 원소가 a이며, 이 행렬의 고윳값은 an (중복도 1)과 0 (중복도 n-1)이다. 따라서 이 행렬은 양의 준정부호다.

5. 응용

통계학, 특히 베이즈 통계학에서 이 정리는 보통 실수 함수에 적용된다. 일반적으로, R^d의 점들에서 어떤 스칼라 값의 ''n''개 측정이 이루어지며, 서로 가까운 점들은 측정값이 매우 상관관계가 있어야 한다. 결과적인 공분산 행렬(''n'' × ''n'' 행렬)이 항상 양의 정부호가 되도록 주의해야 한다. 한 가지 전략은 상관 행렬 ''A''를 정의한 다음 스칼라로 곱하여 공분산 행렬을 생성하는 것이다. 이 공분산 행렬은 양의 정부호여야 한다. 보흐너 정리는 두 점 사이의 상관 관계가 두 점 사이의 거리에만 의존하는 경우(함수 ''f''를 통해) 공분산 행렬 ''A''가 양의 정부호가 되도록 하기 위해 함수 ''f''가 양의 정부호여야 한다고 말한다. 크리깅을 참고하라.

이 맥락에서 푸리에 변환 용어는 일반적으로 사용되지 않으며, 대신 ''f''(''x'')가 대칭 확률 밀도 함수의 특성 함수라고 언급된다.

5. 1. 푸리에 변환

보흐너 정리에 따라서, 양의 정부호 함수의 푸리에 변환은 그 폰트랴긴 쌍대군 위의 양의 유한 보렐 측도를 이루며, 그 역 또한 성립한다.^[2]

양의 정부호성은 푸리에 변환 이론에서 자연스럽게 나타난다. 양의 정부호성을 갖기 위한 충분 조건은 ''f''가 실수선에서 ''g''(''y'') ≥ 0을 만족하는 함수 ''g''의 푸리에 변환인 것으로 직접 확인할 수 있다.

이의 역 결과는 보흐너 정리로, 실수선에서 임의의 연속 양의 정부호 함수는 (양의) 측도의 푸리에 변환이라고 말한다.^[2]

5. 2. 통계학

통계학, 특히 베이즈 통계학에서 이 정리는 보통 실수 함수에 적용된다. 일반적으로,

R^d

의 점들에서 어떤 스칼라 값의 ''n''개의 스칼라 측정이 이루어지며, 상호 간에 가까운 점들은 측정값이 매우 상관관계가 있어야 한다. 실제로, 결과적인 공분산 행렬(''n'' × ''n'' 행렬)이 항상 양의 정부호가 되도록 주의해야 한다. 한 가지 전략은 상관 행렬 ''A''를 정의한 다음 스칼라로 곱하여 공분산 행렬을 생성하는 것이다. 이 공분산 행렬은 양의 정부호여야 한다. 보흐너의 정리는 두 점 사이의 상관 관계가 두 점 사이의 거리에만 의존하는 경우(함수 ''f''를 통해) 공분산 행렬 ''A''가 양의 정부호가 되도록 하기 위해 함수 ''f''가 양의 정부호여야 한다고 말한다. 크리깅을 참조하라.

이 맥락에서 푸리에 용어는 일반적으로 사용되지 않으며, 대신 ''f''(''x'')가 대칭 확률 밀도 함수의 특성 함수라고 언급된다.

5. 3. 확률론

통계학, 특히 베이즈 통계학에서 이 정리는 보통 실수 함수에 적용된다. 일반적으로,

R^d

의 점들에서 어떤 스칼라 값의 ''n''개의 스칼라 측정이 이루어지며, 상호 간에 가까운 점들은 측정값이 매우 상관관계가 있어야 한다. 실제로, 결과적인 공분산 행렬(''n'' × ''n'' 행렬)이 항상 양의 정부호가 되도록 주의해야 한다. 한 가지 전략은 상관 행렬 ''A''를 정의한 다음 스칼라로 곱하여 공분산 행렬을 생성하는 것이다. 이 공분산 행렬은 양의 정부호여야 한다. 보흐너의 정리는 두 점 사이의 상관 관계가 두 점 사이의 거리에만 의존하는 경우(함수 ''f''를 통해) 공분산 행렬 ''A''가 양의 정부호가 되도록 하기 위해 함수 ''f''가 양의 정부호여야 한다고 말한다. 크리깅을 참조하라.

이 맥락에서 푸리에 용어는 일반적으로 사용되지 않으며, 대신 ''f''(''x'')가 대칭 확률 밀도 함수의 특성 함수라고 언급된다.

5. 4. 표현 이론

국소 컴팩트 가환 위상군에서 양의 정부호 함수를 정의할 수 있으며, 보흐너의 정리는 이 맥락으로 확장된다. 군 위의 양의 정부호 함수는 힐베르트 공간 상의 군의 표현 이론(즉, 유니타리 표현 이론)에서 자연스럽게 나타난다.^[1]

참조

_[1] 서적 A course in Approximation Theory https://books.google[...] American Mathematical Society 2009
_[2] 서적 Lectures on Fourier integrals https://archive.org/[...] Princeton University Press
_[3] 서적 Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems Springer
_[4] 서적 Stability of Motion https://archive.org/[...] Springer
_[5] 논문 Non-Gaussian pure states and positive Wigner functions 2015-02-19

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