양자군

3. 직관적 의미

콤팩트 군과 반단순 리 대수는 오랫동안 "변형"될 수 없는 "강성" 객체로 알려져 있었으나, 양자군의 발견으로 이러한 인식이 바뀌었다. 양자군은 군 대수나 보편 포락 대수를 호프 대수 범주에서 변형한 것으로, 가환 또는 공가환일 필요가 없다. 이러한 변형된 객체는 알랭 콘의 비가환 기하학에서 "비가환 공간" 위의 함수의 대수로 해석될 수 있다.^[1]

양자군은 양자 중력 연구에서 자기 쌍대 객체를 찾는 과정에서도 중요한 역할을 한다.^[2]

4. 종류

양자군은 크게 드린펠트-진보형 양자군과 쌍대곱 양자군으로 나눌 수 있다.

• 드린펠트-진보형 양자군은 반단순 리 대수 또는 Kac–무디 대수의 보편 포락 대수를 호프 대수 범주에서 변형한 것이다.
• 쌍대곱 양자군은 반단순 리 군이 아닌 가해 리 군의 변형으로서 중요성이 증가하는 양자군의 한 종류이다. 이는 리 대수의 리 분해 또는 리 군의 국소적 인수분해와 관련이 있다.

• 양이안(Yangian)은 반단순 리 대수의 변형이다.
• 아핀 양자군(affine quantum group)은 아핀 리 대수의 변형이다.
• 결정 기저(crystal base)는 변형 매개변수가 $q=0$인 양자군의 특수한 경우다. 가시와라 마사키와 조지 루스티그가 1990년에 독자적으로 도입하였다.
• S. L. 워로노비츠는 콤팩트 행렬 양자군을 소개했다. 콤팩트 행렬 양자군은 구조에 대한 "연속 함수"가 C*-대수의 원소로 주어지는 추상적인 구조이다. 콤팩트 행렬 양자군의 기하학은 비가환 기하학의 특별한 경우이다.

4. 1. 드린펠트-진보형 양자군

• $k\_0\; =\; 1$
• $k\_\lambda \; k\_\mu \; =\; k\_\{\lambda +\mu \}$
• $k\_\lambda \; e\_i\; k\_\lambda ^\{-1\}\; =\; q^\{(\backslash lambda,\alpha \_i)\}\; e\_i$
• $k\_\lambda \; f\_i\; k\_\lambda ^\{-1\}\; =\; q^\{-\; (\backslash lambda,\alpha \_i)\}\; f\_i$
• $[e\_i,f\_j]\; =\; \backslash delta\_\{ij\}\; \backslash frac\{k\_i\; -\; k\_i^\{-1\}\}\{q\_i\; -\; q\_i^\{-1\}\}$ (여기서 $k\_i\; =\; k\_\{\backslash alpha\_i\},\; q\_i\; =\; q^\{\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash alpha\_i,\backslash alpha\_i)\}$)

4. 1. 1. 표현론

• ''d''₀ = 1
• 모든 웨이트 ''λ'', ''μ''에 대해, ''d_λd_μ'' = ''d_{λ + μ}''

• ''c''₀ = 1
• 모든 웨이트 ''λ'', ''μ''에 대해, ''c_λc_μ'' = ''c_{λ + μ}''
• 모든 ''i''에 대해, ''c''_2''α''i = 1

• ''c''₀ = 1
• 모든 웨이트 ''λ'', ''μ''에 대해, ''c_λc_μ'' = ''c_{λ + μ}''
• 모든 ''i''에 대해, ''c''_2''α''i = 1

4. 1. 2. 준삼각성

이 무한 형식 합은 생성자 ''e_i''와 ''f_i'', 그리고 카르탕 생성자 ''t''_''λ''로 표현될 수 있으며, 여기서 ''k_λ''는 형식적으로 ''q''^''t''_''λ''와 동일시된다. 이 무한 형식 합은 다음과 같은 두 개의 인자 곱으로 표현된다.

:$q^\{\backslash eta\; \backslash sum\_j\; t\_\{\backslash lambda\_j\}\; \backslash otimes\; t\_\{\backslash mu\_j\}\}$

여기서 ''λ''_''j''는 카르탕 부분 대수의 쌍대 공간에 대한 기저이고, ''μ''_''j''는 쌍대 기저이며, ''η'' = ±1이다.

R-행렬의 역할을 하는 형식적인 무한 합은 두 개의 기약 최고 중량 모듈의 텐서 곱과 두 개의 최저 중량 모듈의 텐서 곱에 대해 잘 정의된 작용을 한다. 구체적으로, ''v''의 중량이 ''α''이고 ''w''의 중량이 ''β''이면,

:$q^\{\backslash eta\; \backslash sum\_j\; t\_\{\backslash lambda\_j\}\; \backslash otimes\; t\_\{\backslash mu\_j\}\}\backslash cdot(v\; \backslash otimes\; w)\; =\; q^\{\backslash eta\; (\backslash alpha,\backslash beta)\}\; v\; \backslash otimes\; w,$

그리고 모듈이 최고 중량 모듈이거나 최저 중량 모듈이라는 사실은 다른 인자의 ''v'' ⊗ ''w''에 대한 작용을 유한 합으로 줄여준다.

''V''가 최고 중량 모듈인 경우, 형식적인 무한 합 ''R''은 ''V'' ⊗ ''V''에 대해 잘 정의되고 가역적인 작용을 가지며, 이 ''R''의 값 (End(''V'' ⊗ ''V'')의 원소)는 양-박스터 방정식을 만족한다. 따라서 매듭, 고리 및 땋임에 대한 준불변량을 정의하고, 땋임군의 표현을 결정할 수 있게 해준다.

4. 1. 3. 산술 근계와 딘킨 도표를 이용한 기술 및 분류

H.-J. 슈나이더와 N. 안드루스케비츠^[3]는 아벨 코래디컬 군을 가진 점상 호프 대수(소수 2, 3, 5, 7 제외)를 분류했다. 특히, 유한 몫 ''U_q''('''g''')는 일반적인 반단순 리 대수처럼 ''E''′s (보렐 부분), 이중 ''F''′s 및 ''K''′s (카르탕 대수)로 분해된다.

:::$\backslash left(\backslash mathfrak\{B\}(V)\backslash otimes\; k[\backslash mathbf\{Z\}^n]\backslash otimes\backslash mathfrak\{B\}(V^*)\backslash right)^\backslash sigma$

여기서 ''V''는 ''E''′s로 span되는 차원 ''n''의 브레이드된 벡터 공간이며, ''σ''(코사이클 꼬임)는 ''E''′s와 ''F''′s 사이의 비자명한 '''연결'''을 생성한다. 고전 이론과 달리 두 개 이상의 연결된 구성 요소가 나타날 수 있다. '''양자 보렐 대수'''의 역할은 브레이드된 벡터 공간의 니콜스 대수 $\backslash mathfrak\{B\}(V)$가 수행한다.

I. 헤켄베르거는 일반화된 딘킨 다이어그램 측면에서 유한 니콜스 대수의 분류를 제시하였다.^[4] 작은 소수가 존재할 때 삼각형과 같은 이국적인 예가 발생한다.

슈나이더와 헤켄베르거^[5]는 비가환적인 경우에도 '''산술''' 근계의 존재를 증명하여 PBW 기저를 생성했다. 이는 특정 경우 ''U_q''('''g''')에 사용할 수 있으며,^[6] 예를 들어 이러한 양자군의 특정 코아이디얼 부분 대수와 리 대수 '''g'''의 바일 군의 순서 사이의 수치적 일치를 설명한다.

4. 2. 쌍대곱 양자군

쌍대곱 양자군은 반 단순 리 군이 아닌 가해 리 군의 변형으로서 중요성이 증가하는 양자군의 두 번째 별개의 부류이다. 이는 리 대수의 리 분해 또는 리 군의 국소적 인수분해와 관련이 있으며, 대수의 경우 다른 요인에 작용하는 요인 중 하나를 교차 곱 또는 매키 양자화로 볼 수 있고, 코곱 Δ의 경우에도 유사한 이야기가 첫 번째 요인에 다시 작용하는 두 번째 요인과 함께 나타난다.

가장 간단한 비자명 예는 서로 국소적으로 작용하는 '''R'''의 두 복사본에 해당하며, 생성자 ''p'', ''K'', ''K''⁻¹를 갖는 양자군 (여기서는 대수적 형태로 제공됨)을 생성하며, 코곱은 다음과 같다.

:$[p,\; K]=h\; K(K-1)$

:$\backslash Delta\; p=p\backslash otimes\; K+1\backslash otimes\; p$

:$\backslash Delta\; K=K\backslash otimes\; K$

여기서 ''h''는 변형 매개변수이다.

이 양자군은 본 상호성을 구현하는 하이젠베르크 대수의 변형으로 간주될 때 플랑크 척도 물리학의 장난감 모델과 연결되었다. 또한, 반 단순 리 대수 '''g'''의 임의의 콤팩트 실수 형태에서 시작하여 실수 리 대수로서 두 배의 차원을 갖는 복소수는 '''g'''와 특정 가해 리 대수(이와사와 분해)로 분해되며, 이는 '''g'''와 관련된 정규 쌍대곱 양자군을 제공한다. '''su'''(2)의 경우, 3차원 운동의 유클리드 군 E(3)의 양자군 변형을 얻는다.

4. 3. 기타 종류

• 양이안(Yangian)은 반단순 리 대수의 변형이다.
• 아핀 양자군(affine quantum group)은 아핀 리 대수의 변형이다.
• 결정 기저(crystal base)는 변형 매개변수가 $q=0$인 양자군의 특수한 경우다. 가시와라 마사키와 조지 루스티그(George Lusztig)가 1990년에 독자적으로 도입하였다.
• S. L. 워로노비츠는 콤팩트 행렬 양자군을 소개했다. 콤팩트 행렬 양자군은 구조에 대한 "연속 함수"가 C*-대수의 원소로 주어지는 추상적인 구조이다. 콤팩트 행렬 양자군의 기하학은 비가환 기하학의 특별한 경우이다.

5. 관련 분야

• 리 쌍대 대수
• 푸아송-리 군
• 아핀 양자군
• 양자 아핀 대수

6. 연구자

블라디미르 드린펠트와 진보 미치오가 독자적으로 양자군을 도입하였다.

• 진보 미치오
• 미마치 카츠히사
• 블라디미르 드린펠트

참조

_[1] 논문 Generalized quantum inverse scattering
_[2] 간행물 Hopf algebras for physics at the Planck scale
_[3] 서적 Pointed Hopf algebras, New directions in Hopf algebras Cambridge Univ. Press
_[4] 학위논문 Nichols algebras of diagonal type and arithmetic root systems
_[5] 논문 Root system and Weyl gruppoid for Nichols algebras
_[6] 논문 Right coideal subalgebras of Nichols algebras and the Duflo order of the Weyl grupoid
_[7] 논문 Generalized quantum inverse scattering
_[8] 간행물 Hopf algebras for physics at the Planck scale
_[9] 서적 Pointed Hopf algebras, New directions in Hopf algebras Cambridge Univ. Press
_[10] 학위논문 Nichols algebras of diagonal type and arithmetic root systems
_[11] 논문 Root system and Weyl gruppoid for Nichols algebras
_[12] 논문 Right coideal subalgebras of Nichols algebras and the Duflo order of the Weyl grupoid