이와사와 분해

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1. 개요

이와사와 분해는 연결된 반단순 실 리 군 G를 리 부분군 K, A, N의 곱으로 분해하는 방법이다. 리 대수의 이와사와 분해는 실수 반단순 리 대수를 콤팩트 리 대수, 아벨 리 대수, 멱영 리 대수의 합으로 나타낸다. 리 군 G의 이와사와 분해는 KAN으로 표현되며, K는 G의 극대 콤팩트 부분군, A는 아벨 리 군, N은 멱영 리 군에 해당한다. 이와사와 분해는 그람-슈미트 과정과 연관되며, 실수 일반선형군의 분해에 적용될 수 있다. 이 분해는 이와사와 겐키치에 의해 1949년에 처음 소개되었다.

이와사와 분해

일반 정보

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리 군 G의 이와사와 분해. 여기서 K는 최대 콤팩트 부분군, A는 연결된 아벨 부분군, N은 멱영 부분군이다.

분야	리 군론
명명자	이와사와 겐키치

정의

군	G는 리 군 G는 대수군
분해	G = KAN
구성 요소	K는 G의 최대 콤팩트 부분군 A는 연결된 가해 부분군 N은 멱영 부분군
추가 조건	A와 N은 둘 다 닫힌 부분군이다.

중요성

중요성	이와사와 분해는 리 군과 대수군의 구조를 이해하는 데 중요한 도구이다. 특히, 군의 표현론 연구에 사용된다.

예시

특수선형군 SL(n,R)	K = SO(n) (특수 직교군) A는 양의 대각선 항목을 가진 대각 행렬의 군 N은 대각선 위에 1을 가진 상삼각 행렬의 군
일반선형군 GL(n,C)	K = U(n) (유니타리 군) A는 양의 실수 대각선 항목을 가진 대각 행렬의 군 N은 대각선 위에 1을 가진 상삼각 행렬의 군

관련 개념	카르탕 분해 브루하 분해

2. 정의

이와사와 겐키치의 이름을 딴 이와사와 분해는 실수 반단순 리 군 $G$ 를 세 종류의 부분군 $K, A, N$ 의 곱 $G=KAN$ 으로 나타내는 방법이다. 여기서 $K$ 는 최대 콤팩트 부분군, $A$ 는 아벨 부분군, $N$ 은 멱영군이다. 이 분해는 대응하는 리 대수 $\mathfrak g$ 의 분해 $\mathfrak g = \mathfrak k \oplus \mathfrak a \oplus \mathfrak n$ 와 밀접하게 연관되어 있다.

실수 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 와 그 위의 카르탕 대합 $\theta$ 가 주어지면, 카르탕 분해 $\mathfrak g = \mathfrak k \oplus\mathfrak p$ 를 얻는다. 여기서 $\mathfrak k$ 는 콤팩트 리 대수이고 $\mathfrak p$ 는 실수 벡터 공간이다. $\mathfrak p$ 안의 극대 가환 부분 대수 $\mathfrak a$ 를 선택하고, 양의 제한근에 해당하는 근 공간들의 직합으로 멱영 리 대수 $\mathfrak n$ 을 정의하면, 리 대수 $\mathfrak g$ 는 다음과 같이 세 부분 공간의 직합으로 분해된다.
: $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n$
이를 리 대수의 이와사와 분해라고 한다.

연결 실수 반단순 리 군 $G$ 의 경우, 그 리 대수의 이와사와 분해 $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n$ 에 대응하여 지수 사상을 통해 부분군 $K=\exp(\mathfrak k)$ , $A=\exp(\mathfrak a)$ , $N=\exp(\mathfrak n)$ 을 정의할 수 있다. 그러면 다양체로서 다음과 같은 미분 동형이 성립하며, 이를 리 군의 이와사와 분해라고 한다.
: $K\times A\times N\to G$
: $(k,a,n) \mapsto kan$
즉, 모든 $g \in G$ 는 $g=kan$ ( $k\in K, a\in A, n\in N$ ) 형태로 유일하게 표현될 수 있다. 이 분해는 일반적으로 군 준동형은 아니다.

여기서 부분군들은 다음과 같은 성질을 가진다.
* $K$ 는 $G$ 의 최대 콤팩트 부분군이다.
* $A$ 는 아벨 리 군이다.
* $N$ 은 멱영 리 군이다.

만약 $G$ 가 연결되지 않은 반단순 리 군이더라도 군의 중심이 유한군이라면 이와사와 분해를 정의할 수 있으며, 이때 $K$ 는 $G$ 의 (연결되지 않을 수 있는) 최대 콤팩트 부분군이다.

리 군 또는 리 대수의 실수 계수(real rank^영어)는 이와사와 분해에서 아벨 성분 $A$ (또는 리 대수 분해에서 $\mathfrak a$ )의 실수 차원으로 정의된다.

2.1. 리 대수의 이와사와 분해

실수 반단순 리 대수 $\mathfrak{g}_0$ 와 그 위의 카르탕 대합 $\theta$ 가 주어졌다고 하자. 이 대합 $\theta$ 는 $\mathfrak{g}_0$ 의 카르탕 분해를 유도한다:
: $\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{p}_0$
여기서 $\mathfrak{k}_0$ 는 $\theta$ 의 +1 고유공간으로 콤팩트 리 대수를 이루고, $\mathfrak{p}_0$ 는 $\theta$ 의 -1 고유공간인 실수 벡터 공간이다.

이제 $\mathfrak{p}_0$ 의 극대 아벨 부분 대수(즉, $\mathfrak{p}_0$ 내에서 교환 법칙이 성립하는 가장 큰 부분 대수) $\mathfrak{a}_0$ 를 하나 선택한다. $\mathfrak{a}_0$ 의 $\mathfrak{g}_0$ 에 대한 딸림표현 작용에 대한 고유값들을 제한근이라고 하며, 이들의 집합을 $\Sigma$ 로 표기한다. 제한근은 $\mathfrak{a}_0^*$ 의 원소이다.

$\Sigma$ 내에서 양근의 집합 $\Sigma^+$ 를 선택하고, 이 양근들에 해당하는 근 공간들의 직합으로 멱영 리 대수 $\mathfrak{n}_0$ 를 다음과 같이 정의한다:
: $\mathfrak{n}_0 = \bigoplus_{\lambda \in \Sigma^+} \mathfrak{g}_\lambda$
여기서 $\mathfrak{g}_\lambda = \{X \in \mathfrak{g}_0 : [H, X] = \lambda(H)X \text{ for all } H \in \mathfrak{a}_0\}$ 는 근 $\lambda$ 에 대응하는 근 공간이다.

그러면 리 대수 $\mathfrak{g}_0$ 는 다음과 같이 세 부분 공간의 직합으로 분해될 수 있으며, 이를 $\mathfrak{g}_0$ 의 이와사와 분해라고 한다:
: $\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{a}_0 \oplus \mathfrak{n}_0$
이 분해는 실수 벡터 공간으로서의 직합이다.

또한, $\mathfrak{g}_0$ 는 제한근 공간을 이용하여 다음과 같이 분해될 수도 있다:
: $\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{m}_0 \oplus \mathfrak{a}_0 \oplus \bigoplus_{\lambda \in \Sigma} \mathfrak{g}_{\lambda}$
여기서 $\mathfrak{m}_0$ 는 $\mathfrak{k}_0$ 안에서 $\mathfrak{a}_0$ 와 교환되는 원소들의 집합, 즉 $\mathfrak{a}_0$ 의 $\mathfrak{k}_0$ 에서의 중심화 부분 대수 ( $\mathfrak{m}_0 = Z_{\mathfrak{k}_0}(\mathfrak{a}_0)$ )이다. 각 근 공간 $\mathfrak{g}_{\lambda}$ 의 차원 $m_{\lambda} = \dim \mathfrak{g}_{\lambda}$ 를 근 $\lambda$ 의 중복도라고 부른다.

2.2. 리 군의 이와사와 분해

$G$ 가 연결 실수 반단순 리 군이라고 가정하자. 그 리 대수 $\mathfrak g$ 의 이와사와 분해 $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n$ 에 대응하여, 각 성분의 지수 사상의 상으로 다음과 같은 $G$ 의 리 부분군 $K, A, N$ 을 정의할 수 있다.
: $K=\exp(\mathfrak k)\subset G$
: $A=\exp(\mathfrak a)\subset G$
: $N=\exp(\mathfrak n)\subset G$

여기서 각 부분군은 다음과 같은 성질을 가진다.
* $K$ 는 콤팩트 반단순 리 군이며, $G$ 의 닫힌 부분군이자 최대 콤팩트 부분군이다. 또한 $G$ 의 군의 중심을 포함한다.
* $A$ 는 단일 연결 아벨 리 군이며, $G$ 의 닫힌 부분군이다.
* $N$ 은 단일 연결 멱영 리 군이며, $G$ 의 닫힌 부분군이다.

이때, 다양체 $K \times A \times N$ 에서 리 군 $G$ 로 가는 미분 동형 사상 $(k,a,n) \mapsto kan$ 이 존재한다. 이는 일반적으로 군 준동형은 아니다. 이 사상을 통해 임의의 원소 $g \in G$ 를 다음과 같이 유일하게 분해할 수 있다.
: $g=k(g)a(g)n(g)$
여기서 $k(g)\in K$ , $a(g)\in A$ , $n(g)\in N$ 이다. 이를 리 군 $G$ 의 이와사와 분해 $G=KAN$ 이라고 한다.

만약 $G$ 가 연결 공간이 아닌 반단순 리 군이더라도, $G$ 의 군의 중심이 유한군이라면 이와사와 분해를 정의할 수 있다. 이 경우, $K$ 는 $G$ 의 (연결 공간이 아닐 수 있는) 최대 콤팩트 부분군이다.

리 군 또는 리 대수의 실수 계수(real rank^영어)는 이와사와 분해에서 아벨 성분 $A$ (또는 리 대수 분해에서 $\mathfrak{a}_0$ )의 실수 차원을 의미한다. 이는 $G$ 의 실 랭크와 같다.

2.3. 비아르키메데스 이와사와 분해

위에 언급된 이와사와 분해는 비아르키메데스 체 $F$ 에 대해서도 유사하게 적용될 수 있다. 이 경우, 군 $GL_n(F)$ 는 상삼각 행렬의 부분군과 최대 콤팩트 부분군인 $GL_n(O_F)$ 의 곱으로 표현될 수 있다. 여기서 $O_F$ 는 $F$ 의 정수환이다.

3. 성질

실수 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 이와사와 분해
: $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n$
의 각 성분은 다음과 같은 성질을 갖는다.
* $\mathfrak k$ 는 콤팩트 리 대수이다. 즉, 그 킬링 형식은 음의 정부호이다.
* $\mathfrak a$ 는 가환 리 대수이다. 즉, $[\mathfrak a,\mathfrak a]=0$ 이다.
* $\mathfrak n$ 은 멱영 리 대수이다. 즉, 충분히 큰 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여
:: $\overbrace{[\mathfrak n,[\mathfrak n,[\cdots[\mathfrak n,\mathfrak n]\cdots]}^{n\text{ times}}=0$
이다.

3.1. 카르탕 분해와의 관계

반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 카르탕 대합 $\theta$ 가 주어졌을 때, 카르탕 분해
: $\mathfrak g = \mathfrak k \oplus \mathfrak p$
를 정의할 수 있다. 이는 같은 $\theta$ 에 대한 이와사와 분해
: $\mathfrak g = \mathfrak k \oplus\mathfrak a \oplus\mathfrak n$
와 다음과 같은 관계를 갖는다.
* 카르탕 분해의 $\mathfrak k$ 는 이와사와 분해의 $\mathfrak k$ 와 같다.
* 카르탕 분해의 $\mathfrak p$ 는 이와사와 분해의 $\mathfrak a$ 를 극대 아벨 부분 대수로서 포함한다. (그러나 $\mathfrak n$ 은 일반적으로 $\mathfrak k$ 의 부분 대수도, $\mathfrak p$ 의 부분 대수도 아니다.)
* 카르탕 분해에서, $\mathfrak p$ 는 일반적으로 리 대수가 아니다. 반면 이와사와 분해의 $\mathfrak a$ 와 $\mathfrak n$ 은 둘 다 리 대수이다.
* 카르탕 분해에서, $\mathfrak k$ 와 $\mathfrak p$ 는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다. 이와사와 분해에서, $\mathfrak k$ 와 $\mathfrak a$ 는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이지만, $\mathfrak n$ 은 $\mathfrak k$ 및 $\mathfrak a$ 와 직교일 필요가 없다.

4. 예

대표적인 리 군의 이와사와 분해는 다음과 같다.

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좌우로 밀어서 보기

군	콤팩트 성분	아벨 성분	멱영 성분
실수 일반선형군 $\operatorname{GL}(n,\mathbb R)$	직교군 $\operatorname{O}(n,\mathbb R)$	양의 대각행렬군 $(\mathbb R^+)^n$	대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군
실수 특수선형군 $\operatorname{SL}(n,\mathbb R)$	특수직교군 $\operatorname{SO}(n,\mathbb R)$	행렬식이 1인 양의 대각행렬군 $(\mathbb R^+)^{n-1}$	대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군
2×2 실수 특수선형군 $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$	$S^1\cong\left\\right\}$	\mathbb R^+\cong\left\>a\in\mathbb R^+\right\}	\mathbb R\cong\left\>a\in\mathbb R\right\}
복소 일반선형군 $\operatorname{GL}(n,\mathbb C)$	유니터리 군 $\operatorname U(n)$	양의 대각행렬군 $(\mathbb R^+)^n$	대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군
복소 특수선형군 $\operatorname{SL}(n,\mathbb C)$	특수 유니터리 군 $\operatorname{SU}(n)$	행렬식이 1인 양의 대각행렬군 $(\mathbb R^+)^{n-1}$	대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군
콤팩트 반단순 리 군 $G$	$G$	자명군 1	자명군 1

만약

G = \operatorname{SL}(n,\mathbb R)

이면,

K

는 직교 행렬,

A

는 행렬식이 1인 양의 대각행렬,

N

은 대각선에 1이 있는 상삼각행렬로 구성된 단일군으로 취할 수 있다.

n = 2

인 경우,

G = \operatorname{SL}(2,\mathbb R)

의 이와사와 분해는 다음과 같다.
:

\mathbf{K} = \left\{\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R}) \ | \  \theta\in\mathbf{R}  \right\} \cong \operatorname{SO}(2) ,

\mathbf{A} = \left\{\begin{pmatrix}r & 0 \\0 & r^{-1}\end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R}) \ | \  r > 0  \right\},

\mathbf{N} = \left\{\begin{pmatrix}1 & x \\0 & 1\end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R}) \ | \  x\in\mathbf{R} \right\}.

심플렉틱 군

G = \operatorname{Sp}(2n, \mathbb R)

의 경우, 가능한 이와사와 분해는 다음과 같다.
:

\mathbf{K} = \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R})\cap \operatorname{SO}(2n)= \left\{\begin{pmatrix}A & B \\-B & A\end{pmatrix} \in \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R}) \ | \  A+iB \in \operatorname{U}(n) \right\} \cong \operatorname{U}(n) ,

\mathbf{A} = \left\{\begin{pmatrix}D & 0 \\0 & D^{-1}\end{pmatrix} \in \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R}) \ | \  D \text{는 양의 대각행렬} \right\},

\mathbf{N} = \left\{\begin{pmatrix}N & M \\0 & N^{-T}\end{pmatrix} \in \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R}) \ | \  N \text{은 대각 성분이 1인 상삼각행렬},\ NM^T = MN^T \right\}.

4.1. 그람-슈미트 과정과의 관계

일반선형군 $\operatorname{GL}(n,\mathbb R)$ 의 이와사와 분해는 사실상 그람-슈미트 과정과 동치이다. 벡터 공간 $V\cong\mathbb R^n$ 의 기저 $\{v_1,\dots,v_n\}\subset V$ 가 주어졌다고 가정하자. 그러면 이 기저 벡터들을 열벡터로 하는 행렬
: $B=\begin{pmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{pmatrix}\in\operatorname{GL}(V)\cong\operatorname{GL}(n,\mathbb R)$
을 정의할 수 있다. 이 기저에 그람-슈미트 과정을 적용하면, 행렬 $B$ 를 다음과 같이 분해할 수 있다.
: $U^{-1}B=O$
여기서 $O$ 는 그람-슈미트 과정을 통해 얻은 정규 직교 기저를 열벡터로 갖는 직교행렬이고, $U$ 는 원래 기저를 정규 직교 기저로 변환하는 과정을 나타내는 상삼각행렬이다.

여기서 상삼각행렬 $U$ 를 추가로 분해하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
: $U_0^{-1}D^{-1}B=O$
여기서 $U_0$ 는 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬이며, $B$ 의 열벡터들을 직교 기저로 변환하는 역할을 한다. $D$ 는 양의 대각 성분을 가진 대각행렬로, 직교 기저를 정규 직교 기저로 정규화하는 역할을 한다.

따라서,
: $B=U_0DO$
로 표현할 수 있으며, 이는 $\operatorname{GL}(n,\mathbb R)$ 의 이와사와 분해 $KAN$ 에 해당한다 ( $K=O$ , $A=D$ , $N=U_0$ ). 즉, $O$ 는 콤팩트 리 군 $K$ (직교군 $O(n)$ ), $D$ 는 아벨 리 군 $A$ (양의 대각 행렬의 군), $U_0$ 는 멱영 리 군 $N$ (대각 성분이 1인 상삼각행렬의 군)의 원소에 각각 대응된다.

5. 역사

이와사와 겐키치가 1949년에 도입하였다.