연관 소 아이디얼

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 유한성·비자명성
- 3.2. 뇌터 가환환의 경우
4. 예
참조

1. 개요

연관 소 아이디얼은 환 R의 왼쪽 가군 _RM의 부분 가군인 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 소 아이디얼이다. _RM의 연관 소 아이디얼 집합은 Ass(_RM)으로 표기하며, 가환환 R의 경우 고립 연관 소 아이디얼과 매장 연관 소 아이디얼로 구분된다. 연관 소 아이디얼은 가군의 성질과 밀접한 관련이 있으며, 뇌터 환과 같은 특정 환에서는 유한성과 비자명성을 가진다. 뇌터 가환환의 경우, 연관 소 아이디얼은 가군의 지지 집합과 관련되며, 가군의 영인자와도 연결된다. 가군의 길이가 유한한 경우, 연관 소 아이디얼은 극대 아이디얼이 된다.

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연관 소 아이디얼
개요
정의	M의 소멸자인 소 아이디얼
표기	Ass(M)
관련 개념	준소 아이디얼
상세 정보
정의	가환환 R 위의 가군 M에 대하여, M의 소멸자가 소 아이디얼인 원소 m ∈ M이 존재한다면, 그 소 아이디얼을 M의 수반 소수라고 한다.
표기	Ass(M)
예시	아이디얼 J를 포함하는 환 R에 대해, Ass(R/J)는 J를 포함하는 소 아이디얼과 같다.

2. 정의

환 $R$ 의 왼쪽 가군 $_RM$ 이 다음 조건을 만족시킨다면, $M$ 을 '''소가군'''(prime module^영어)이라고 한다.

임의의 부분 가군 $_RN\subseteq{}_RM$ 에 대하여, $N=0$ 이거나 $\operatorname{Ann}(_RN)=\operatorname{Ann}(_RM)$ 이다.

(여기서

\operatorname{Ann}

은 소멸자를 뜻한다.) 소가군의 소멸자는 항상 소 아이디얼이다.^[4]

R

의 왼쪽 가군

_RM

의 '''연관 소 아이디얼'''(associated prime ideal^영어)은 그 부분 가군인 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 소 아이디얼이다.^[4]

_RM

의 연관 소 아이디얼의 집합을

\operatorname{Ass}(_RM)\subseteq\operatorname{Spec}R

로 표기한다.

만약

R

가 가환환일 때,

\operatorname{Ass}(_RM)

의 원소 가운데 (포함 관계에 대하여) 극소 원소인 것을 '''고립 연관 소 아이디얼'''(isolated associated prime ideal^영어), 아닌 것을 '''매장 연관 소 아이디얼'''(embedded associated prime ideal^영어)이라고 한다.

가군이 '''공일차'''(coprimary)라는 것은, 어떤 영이 아닌 ''m'' ∈ ''M''에 대해 ''xm'' = 0이면 어떤 양의 정수 ''n''에 대해 ''x''^''n''''M'' = 0임을 의미한다. 가환 뇌터 환 위의 영이 아닌 유한 생성 가군 ''M''은 연관 소 아이디얼이 정확히 하나일 때에만 공일차이다.

3. 성질

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_RM$ 의 부분 가군 $N\subseteq M$ 에 대하여, $\operatorname{Ass}(_N)\subseteq\operatorname{Ass}(_M)$ 이다. 만약 $N$ 이 본질적 부분 가군이라면 $\operatorname{Ass}(_N)=\operatorname{Ass}(_M)$ 이다. 모든 균등 가군은 0개 또는 1개의 연관 소수를 가진다.

== 유한성·비자명성 ==

양쪽 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건을 만족시키는 환(예: 모든 오른쪽 또는 왼쪽 뇌터 환)에서, 모든 영가군이 아닌 가군은 적어도 하나의 연관 소 아이디얼을 가진다. 임의의 환 위의 뇌터 왼쪽 가군은 유한 개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

== 뇌터 가환환의 경우 ==

가환환 $R$ 위의 가군 $M$ 은 $\operatorname{Spec}R$ 위의 준연접층을 정의하며, 그 지지 집합은 다음과 같다.

: $\operatorname{supp}(_RM)=\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon R_{\mathfrak p}\otimes_R\ne0\}$

뇌터 가환환 $R$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\operatorname{Ass}(_RM)\subseteq\operatorname{supp}(_RM)$
$\operatorname{Ass}(_RM)$ 의 극소 원소들의 집합은 $\operatorname{supp}(_RM)$ 의 극소 원소들의 집합과 같다.

뇌터 가환환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

의 연관 소 아이디얼들의 합집합은

M

의 영인자들의 집합과 같다.

:

\bigcap\operatorname{Ass}(_RM)=\{r\in R\colon\exists m\in M\setminus\{0\}\colon rm=0\}

뇌터 가환환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[5]

가군의 길이가 유한하다.
유한 생성 가군이며, 모든 연관 소 아이디얼이 극대 아이디얼이다.

3. 1. 유한성·비자명성

양쪽 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건을 만족시키는 환(예: 모든 오른쪽 또는 왼쪽 뇌터 환)에서, 모든 영가군이 아닌 가군은 적어도 하나의 연관 소 아이디얼을 가진다. 임의의 환 위의 뇌터 왼쪽 가군은 유한 개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

3. 2. 뇌터 가환환의 경우

가환환

R

위의 가군

M

은

\operatorname{Spec}R

위의 준연접층을 정의하며, 그 지지 집합은 다음과 같다.

:

\operatorname{supp}(_RM)=\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon R_{\mathfrak p}\otimes_R\ne0\}

뇌터 가환환

R

에 대하여 다음이 성립한다.

$\operatorname{Ass}(_RM)\subseteq\operatorname{supp}(_RM)$
$\operatorname{Ass}(_RM)$ 의 극소 원소들의 집합은 $\operatorname{supp}(_RM)$ 의 극소 원소들의 집합과 같다.

뇌터 가환환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

의 연관 소 아이디얼들의 합집합은

M

의 영인자들의 집합과 같다.

:

\bigcap\operatorname{Ass}(_RM)=\{r\in R\colon\exists m\in M\setminus\{0\}\colon rm=0\}

뇌터 가환환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[5]

가군의 길이가 유한하다.
유한 생성 가군이며, 모든 연관 소 아이디얼이 극대 아이디얼이다.

4. 예

임의의 환 위의 영가군은 연관 소 아이디얼을 갖지 않는다.
만약 $R = \mathbb{C}[x,y,z,w]$ 이고 $I = ((x^2 + y^2 + z^2 + w^2)\cdot (z^3 - w^3 -3x^3))$ 일 때, 연관 소 아이디얼은 아이디얼 $(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)$ 와 $(z^3 - w^3 -3x^3)$ 이다.
만약 ''R''이 정수환이라면, 자명하지 않은 자유 아벨 군과 소수 거듭제곱 차수를 갖는 자명하지 않은 아벨 군은 공차원적이다.
만약 ''R''이 정수환이고 ''M''이 유한 아벨 군이라면, ''M''의 연관 소수는 정확히 ''M''의 차수를 나누는 소수이다.
차수가 2인 군은 정수 '''Z''' (자신을 위에서의 자유 가군으로 간주)의 몫이지만, 그 연관 소 아이디얼 (2)는 '''Z'''의 연관 소수가 아니다.

참조

_[1] 논문 Propriétés et applications de la notion de contenu
_[2] 서적
_[3] 서적 Basic Algebra https://books.google[...] Springer
_[4] 서적 Lectures on modules and rings Springer-Verlag
_[5] 서적 Basic Algebra Springer-Verlag

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