열거 기하학

3. 주요 방법

열거 기하학은 교차 이론과 매우 밀접하게 연결되어 있으며, 문제를 해결하기 위해 다양한 방법을 사용한다. 이 방법들은 기본적인 것부터 더 진보된 것까지 광범위하게 존재한다.

• 차원 계산: 주어진 조건을 만족하는 기하학적 대상의 공간의 차원을 계산하여, 해의 개수를 예측한다.
• 베주 정리: 사영 공간에서 두 대수다양체의 교차점 개수에 대한 정리이다.
• 슈베르트 미적분학: 헤르만 슈베르트가 19세기 말에 도입한 방법으로, 그라스만 다양체와 같은 기하학적 대상의 코호몰로지 환을 연구한다.
• 특성류: 벡터 다발의 위상수학적 불변량으로, 코호몰로지 이론에서 중요한 역할을 하며, 슈베르트 미적분학과 밀접하게 관련된다.
• 푸앵카레 쌍대성: 다양체의 코호몰로지와 호몰로지 사이의 관계를 나타내는 정리로, 교차점 셈과 코호몰로지를 연결한다.
• 모듈라이 공간: 주어진 조건을 만족하는 기하학적 대상들의 집합을 나타내는 공간으로, 그 구조를 연구하여 해의 개수 및 성질을 파악한다.
• 양자 코호몰로지: 모듈라이 공간의 교차 이론을 양자장론의 관점에서 재해석한 것이다. 그로모프-위튼 불변량, 거울 대칭에 대한 연구는 클레멘스 추측 해결에 중요한 역할을 했다.

3. 1. 차원 계산

• 차원 계산
• 베주 정리
• 슈베르트 미적분학, 그리고 보다 일반적으로 코호몰로지 특성류
• 코호몰로지와 교차점 셈의 연결은 푸앵카레 쌍대성이다.
• 때때로 양자 코호몰로지 이론을 통해 곡선, 사상 및 기타 기하학적 대상의 모듈라이 공간에 대한 연구. 양자 코호몰로지, 그로모프–위튼 불변량 및 거울 대칭에 대한 연구는 클레멘스 추측에서 상당한 진전을 가져왔다.^[1]

3. 2. 베주 정리

3. 3. 슈베르트 미적분학

3. 4. 특성류

3. 5. 푸앵카레 쌍대성

3. 6. 모듈라이 공간

3. 7. 양자 코호몰로지

4. 얼버무림 인자와 힐베르트의 15번째 문제

차원 계산과 베주 정리를 단순하게 적용하면 때때로 잘못된 결과가 나올 수 있다. 이러한 문제에 대응하여 대수기하학자들은 "얼버무림 인자"라는 개념을 도입했지만, 그 엄밀한 정의는 수십 년 동안 미해결 상태로 남아 있었다.^[9]

예를 들어, 사영 평면에서 주어진 다섯 개의 선에 접하는 원뿔 곡선의 수를 계산해 보자.^[10] 원뿔 곡선은 5차원 사영 공간을 구성하고 6개의 계수를 동차좌표로 사용하며, 5개의 점이 일반적으로 선형 위치에 있는 경우 주어진 점을 통과하면 선형 조건이 부과되므로 원뿔이 결정된다. 마찬가지로, 주어진 선 ''L''에 대한 접선(접선은 중복도 2인 교점)은 하나의 2차 조건이므로 ''P'' ⁵ 에서 이차 초곡면으로 결정된다. 그러나 그러한 모든 이차방정식으로 구성된 약수의 선형족은 기저 자취가 없는 것이 아니다. 사실 각각의 이러한 이차 초곡면은 원뿔형을 매개변수화하는 베로네세 표면을 포함한다.

: (''aX'' + ''bY'' + ''cZ'' )² = 0

이를 '이중 직선'이라고 한다. 이중 직선이 평면의 모든 직선과 교차하기 때문이다. 사영 평면의 직선이 교차하기 때문에 다중도 2는 두 배가 되므로, 직선에 접하는 비퇴화 ''원추형'' 과 동일한 교차 조건(다중도 2의 교차)을 만족한다.

일반 베주 정리는 5차원 공간에서 5개의 일반 2차가 32 = 2⁵개의 점에서 교차할 것이라고 말한다. 그러나 여기서 관련된 이차는 일반적인 위치에 있지 않다. 32에서 31을 빼서 베로네세에 귀속시켜야 정답(기하학적 관점에서), 즉 1을 남길 수 있다. 교차를 '퇴화' 사례에 귀속시키는 이 과정은 '얼버무림 인자'의 전형적인 기하학적 도입이다.

힐베르트의 15번째 문제는 이러한 개입의 자의적인 특성을 극복하는 것이었다. 이 문제는 슈베르트 미적분 자체의 근본적인 질문을 넘어선 것이다.

5. 클레멘스 추측

1984년 H. 클레멘스는 5차 3중체 $X\backslash subset\; P^4$에서 유리 곡선의 개수를 연구하여 다음 추측에 도달했다.^[11][5][8]

:$X\; \backslash subset\; P^4$를 일반적인 5차 3중체, $d$를 양의 정수라고 할 때, $X$ 위에 차수 $d$인 유리 곡선은 유한 개수만 존재한다.

이 추측은 $d\; \backslash le\; 9$인 경우에 해결되었지만, 더 높은 $d$에 대해서는 여전히 미해결 상태이다.

1991년에 발표된 논문^[5]은 끈 이론적 관점에서 $P^4$ 내 5차 3중체의 거울 대칭에 대해 다루며, 모든 $d\; >\; 0$에 대해 $X$ 위의 차수 d 유리 곡선의 개수를 제시했다. 이 전까지, 대수 기하학자들은 이러한 개수를 $d\; \backslash le\; 5$인 경우에만 계산할 수 있었다.

6. 주요 예시

다음은 열거 기하학을 통해 해결된 역사적으로 중요한 문제들의 예시이다.

• 2: 공간에서 4개의 일반적인 선과 만나는 선의 수
• 8: 아폴로니오스의 문제
• 27: 매끄러운 3차 곡면 위의 선의 수 (조지 살몬 및 아서 케일리)
• 2875: 일반적인 5차 삼중체 위의 선의 수
• 3264: 일반적인 위치에 있는 5개의 평면 원뿔에 접하는 원뿔의 수 (미셸 샬)
• 609250: 일반적인 5차 삼중체 위의 원뿔의 수
• 4407296: 일반 4차 곡면 8개에 접하는 원뿔의 수
• 666841088: 3차원 공간에서 일반적인 위치에 있는 9개의 주어진 2차 곡면에 접하는 2차 곡면의 수
• 5819539783680: 3차원 공간에서 일반적인 위치에 있는 12개의 주어진 2차 곡면에 접하는 꼬인 3차 곡선의 수

6. 1. 아폴로니오스의 문제

참조

_[1] 서적 Algebraic Geometry–Bowdoin 1985, Part 2 American Mathematical Society
_[2] 서적 Kalkül der abzählenden Geometrie
_[3] 서적 Foundations of Algebraic Geometry American Mathematical Society 1947
_[4] 서적 Intersection Theory Springer
_[5] 간행물 A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory 1991
_[6] 서적 Kalkül der abzählenden Geometrie
_[7] 서적 Intersection Theory
_[8] 간행물 A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory 1991
_[9] 서적 Kalkül der abzählenden Geometrie https://archive.org/[...]
_[10] 서적 Intersection Theory https://archive.org/[...]
_[11] 논문 A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory