이차 초곡면
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1. 개요
이차 초곡면은 체 K에 대한 n변수 2차 다항식 P에 대응하는 점들의 집합으로, P(x1, x2, ..., xn) = 0을 만족한다. 이는 일반적으로 n-1차원 아핀 대수다양체를 이루며, 이차 형식이면 사영 공간 위에도 정의할 수 있다. 이차 초곡면은 적절한 좌표 변환을 통해 표준형으로 표현될 수 있으며, 1차원에서는 원뿔 곡선, 2차원에서는 이차 곡면으로 불린다. 3차원 유클리드 공간에서 이차 곡면은 타원면, 타원 포물면, 쌍곡 포물면, 일엽 쌍곡면, 이엽 쌍곡면 등이 있으며, 사영 공간에서는 실베스터의 관성 법칙에 따라 표준 형식으로 표현된다. 이차 초곡면은 건축 구조, 파라볼라 안테나 등 다양한 분야에 응용되며, 유리점을 가지면 매개변수화를 통해 다른 유리점을 생성할 수 있다. 타원면으로 둘러싸인 타원체의 부피는 감마 함수를 사용하여 계산할 수 있다.
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- 이차 곡면 - 원기둥
원기둥은 밑면이 원인 3차원 도형으로, 직사각형을 회전시켜 만들 수 있으며, 부피는 밑면의 면적과 높이의 곱으로, 겉넓이는 밑넓이와 측면적의 합으로 계산한다.
이차 초곡면 | |
---|---|
개요 | |
정의 | 3차원 공간에서 2차 다항식의 영점들의 자취 |
방정식 | Ax² + By² + Cz² + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J = 0 (A, B, C, ..., J는 상수) |
다른 이름 | 이차 초곡면 (더 높은 차원) 원뿔곡선 (2차원) |
종류 | |
타원면 | 타원을 회전하여 얻는 곡면. |
쌍곡면 | 일엽 쌍곡면: 한 겹의 쌍곡면. 이엽 쌍곡면: 두 겹의 쌍곡면. |
포물면 | 타원 포물면: 포물선을 회전하여 얻는 곡면. 쌍곡 포물면: 안장 모양의 곡면. |
원뿔 | 원뿔 모양의 곡면. |
원기둥 | 원기둥 모양의 곡면. |
응용 | |
건축 | 쌍곡 포물면은 독특한 형태 때문에 지붕 등에 사용된다. |
광학 | 포물면 거울은 빛을 모으거나 평행하게 만드는 데 사용된다. |
일반적인 방정식 | |
변수 | x, y, z |
상수 | A, B, C, D, E, F, G, H, I, J |
형태 | Ax² + By² + Cz² + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J = 0 |
이차 초곡면 (일반화) | |
변수 | x₁, x₂, ..., x{D+1} |
일반 형태 | Σᵢ,ⱼ aᵢⱼxᵢxⱼ + Σᵢ bᵢxᵢ + c = 0 (i, j = 1, 2, ..., D+1) |
2. 정의
체 K에 대한 n변수 2차 다항식 P(x₁, ..., xₙ)이 주어졌을 때, P에 대응하는 이차 초곡면은 다음 식으로 정의된다.
:
이는 다음을 만족하는 점들의 집합이다.
:
이 집합은 일반적으로 n-1차원 아핀 대수다양체를 이룬다.
만약 P가 이차 형식일 경우, 사영 공간 위에도 이차 초곡면을 정의할 수 있다. 즉, 주어진 이차 형식 Q(x₀, ..., xₙ)이 0이 되는 동차 좌표를 갖는 점들로 구성된 사영 대수다양체를 생각할 수 있다. 이는 n차원 사영 공간 속의 n-1차원 사영 대수다양체를 이룬다.
아핀 이차 초곡면은 차수가 2인 다항식의 영점의 집합이다. 별도로 명시되지 않는 한, 다항식은 실수 계수를 가지고 영점은 유클리드 공간의 점이라고 가정한다. 그러나 계수가 임의의 체에 속하고 점이 아핀 공간에 속하는 경우에도 대부분의 성질이 유지된다.
n차원 아핀 공간에서 이차 초곡면은 다음 형태의 2차 다항식의 영점 집합으로 정의된다.
:
여기서 다항식 p는 다음과 같다.
:
(단, 행렬 A = (aᵢⱼ)에서 i와 j는 0부터 n까지이다.)
일반적으로 n - 1차원 이차 초곡면의 정의식은 좌표 (x₁, x₂, ..., xₙ)에 대해 다음과 같이 주어진다.
:
ρ(※) | 부호수 | 곡면의 명칭 | 표준형 |
---|---|---|---|
0 | rowspan="2" | | 원뿔면 | aX2 + bY2 + cZ2 = 0 (한 점 또는 허의 이차 추면) |
aX2 + bY2 − cZ2 = 0 | |||
1 | (3, 0) | 타원면 | aX2 + bY2 + cZ2 = 1 |
1 | (2, 1) | 일엽쌍곡면 | aX2 + bY2 − cZ2 = 1 |
1 | (1, 2) | 두 잎 쌍곡면 | aX2 − bY2 − cZ2 = 1 |
1 | (0, 3) | (없음) 또는 허의 타원면 | −aX2 − bY2 − cZ2 = 1 |
2 | (2, 0) | 타원포물면 | aX2 + bY2 + 2cZ = 1 |
2 | (1, 1) | 쌍곡 포물면 | aX2 − bY2 + 2cZ = 1 |
2 | (0, 2) | 타원 포물면 | −aX2 − bY2 + 2cZ = 1 |
(R2) 0 | rowspan="2" | | 교차 이차평면 | aX2 + bY2 = 0 (직선) |
aX2 − bY2 = 0 | |||
(R2) 1 | (2, 0) | 타원기둥면 | aX2 + bY2 = 1 |
(R2) 1 | (1, 1) | 쌍곡 기둥면 | aX2 − bY2 = 1 |
(R2) 1 | (0, 2) | (없음) 또는 허의 타원 기둥면 | −aX2 − bY2 = 1 |
(R2) 2 | (1, 0) | 포물선 기둥면 | aX2 + 2bY = 1 |
(R2) 2 | (0, 1) | 포물선 기둥면 | −aX2 + 2bY = 1 |
(R1) 0 | 겹쳐진 두 평면 | aX2 = 0 | |
(R1) 1 | (1, 0) | 평행한 두 평면 | aX2 = 1 |
(R1) 1 | (0, 1) | (없음) 또는 평행한 허의 두 평면 | −aX2 = 1 |
※ ρ = rank R − rank A (퇴화하는 경우는 정의 차수를 괄호 안에 표시) |
정 곡선을 따라 직선으로 형성되는 곡면(선직면)은 다음과 같다.
- 원뿔면(실이차 원뿔면)
- 쌍곡 포물면
- 일엽 쌍곡면
- 기둥면
4. 성질
이차 초곡면은 적절한 좌표 변환을 통해 표준형으로 표현될 수 있다. 이차 초곡면의 확대 계수 행렬의 계수(rank)에 따라 퇴화 여부가 결정된다. 이차 초곡면의 형태는 부호수에 따라 더욱 세분화된다.[2]
실수 사영 공간에서 실베스터의 관성 법칙에 따라 비특이 이차 형식 ''P''(''X'')는 적절한 사영 변환을 통해 다음과 같은 표준 형식으로 표현될 수 있다.
:
3차원 공간에서 2차원 곡면(차원 ''D'' = 2)의 경우, 비퇴화된 경우는 다음과 같다.
:
X_0^2+X_1^2+X_2^2+X_3^2\\
X_0^2+X_1^2+X_2^2-X_3^2\\
X_0^2+X_1^2-X_2^2-X_3^2
\end{cases}
- 첫 번째 경우는 공집합이다.
- 두 번째 경우는 선택된 무한대 평면이 이차 곡면을 공집합, 점, 또는 비퇴화 원뿔 곡선으로 자르는지에 따라 타원체, 타원 포물면 또는 쌍곡면(두 겹)을 생성한다. 이들은 모두 양의 가우스 곡률을 갖는다.
- 세 번째 경우는 무한대 평면이 그것을 두 개의 선 또는 비퇴화 원뿔 곡선으로 자르는지에 따라 쌍곡 포물면 또는 일엽 쌍곡면을 생성한다. 이들은 음의 가우스 곡률을 갖는 이중 선면이다.
퇴화된 형식
복소 사영 공간에서 모든 비퇴화 이차 곡면은 서로 구별할 수 없게 된다.[3]
사영 공간에서 이차 초곡면은 동차 다항식의 영점 집합으로 정의된다. 이차 초곡면 위의 유리점은 디오판토스 방정식을 푸는 것과 관련된다. 각 점에 대해 극 공간이 정의되며, 이는 초평면이거나 전체 공간이다. 이차 초곡면과 직선의 교차는 없을 수도 있고, 한 점, 두 점, 또는 직선 전체가 될 수 있다.
일반적인 ''n'' - 1차원 이차 초곡면의 정의식은 다음과 같다.
:
여기서 ''A''는 이차 곡면의 '''계수 행렬''', ''R''는 '''확대 계수 행렬'''이다.
''n'' - 1차원 이차 초곡면은, 그 확대 계수 행렬의 계수가 ''n'' + 1과 같을 때 '''비퇴화'''라고 하며, 그렇지 않을 때 '''퇴화'''되었다고 한다. 이차 초곡면이 비퇴화일 때, 계수 행렬 ''A''와 확대 계수 행렬 ''R''의 계수의 관계를 사용하여 이차 초곡면은 다음과 같이 분류된다.
- rank ''R'' - rank ''A'' = 0: '''원뿔면'''
- rank ''R'' - rank ''A'' = 1: '''유심 이차 초곡면'''
- rank ''R'' - rank ''A'' = 2: '''무심 이차 초곡면'''
또한, 퇴화된 이차 초곡면은 통면의 일종이다. 여기서 유심과 무심이라는 용어가 나왔는데, 이는 점대칭인지 여부를 나타낸다. 위의 3개는 적절한 직교 변환을 통해 다음과 같은 음함수로 귀결될 수 있다.
- 원뿔면:
a'_1 X_1^2 + a'_2 X_2^2 + \cdots + a'_n X_n^2 = 0 - 유심 이차 초곡면:
a'_1 X_1^2 + a'_2 X_2^2 + \cdots + a'_n X_n^2 = 1 - 무심 이차 초곡면:
a'_1 X_1^2 + a'_2 X_2^2 + \cdots + a'_{n-1} X_{n-1}^2 + 2b X_n = 1
위의 3식을 비퇴화 이차 초곡면의 '''표준형'''이라고 한다. 이때 위의 계수를 대각 성분으로 갖는 행렬은 적절한 닮음 변환을 수행함으로써, 다음과 같은 행렬로 변환할 수 있다.
:
E_p & 0 & 0 \\
0 & -E_q & 0 \\
0 & 0 & (0)
\end{pmatrix}
단, 오른쪽 아래 성분이 0이 되는 것은, 무심 이차 초곡면의 경우에만 해당한다. 계수 1의 단위 행렬의 차수 ''p''와 계수 -1의 단위 행렬의 차수 ''q''를 짝지은 것 (''p'', ''q'')을 이차 초곡면의 '''부호수'''라고 한다. 이차 초곡면의 형태는 부호수에 따라 더욱 세분화된다.
부호수가 (''n'', 0)인 이차 초곡면을 '''타원면'''이라고 한다. 타원면은 이차 초곡면 중에서 유일하게 닫힌 초곡면이다. 따라서, 타원면에 의해 둘러싸인 부분 ('''타원체''')에만 부피가 정의될 수 있다. 그 부피 ''V''는 감마 함수 Γ(''x'')를 사용하여,
:
곡면 | 방정식 | 그림 |
---|---|---|
타원면 | -- | |
회전타원면 | ![]() | |
구 | ![]() | |
타원 포물면 | ||
원 포물면 | ![]() | |
쌍곡 포물면 | ![]() | |
일엽 쌍곡면 | ![]() | |
이엽 쌍곡면 | ![]() |
퇴화 이차 곡면
곡면 | 방정식 | 그림 |
---|---|---|
타원뿔 | ||
원뿔 | ![]() | |
포물 기둥 | ![]() | |
타원기둥 | ![]() | |
원기둥 | ![]() | |
쌍곡 기둥 | ![]() |
6. 3. 사영 공간에서의 이차 초곡면
체:
여기서
- (E1):
\;q(\vec x)=x_1x_2-x^2_3\; 의 경우 원뿔 곡선을 얻는다. - (E2):
\;q(\vec x)=x_1x_2\; 의 경우, 각각x_1=0 과x_2=0 의 방정식을 갖는 두 개의 직선 쌍을 얻는다. 이들은 점\langle(0,0,1)^\text{T}\rangle 에서 교차한다.
6. 4. 유리점과 매개변수화
이차 초곡면 위의 유리점을 찾는 방법과 매개변수화를 이용한 표현에 대해 설명한다.이차 초곡면의 비특이점 A가 주어졌을 때, A를 통과하는 선은 이차 초곡면에 접하거나 정확히 다른 한 점에서 이차 초곡면과 교차한다. 이는 A를 통과하고 이차 초곡면에 접하지 않는 선들이 A에서의 접선 초평면에 속하지 않는 이차 초곡면의 점들과 일대일 대응을 이룬다는 것을 의미한다.
원뿔 곡선(이차 곡선)의 경우, 이 매개변수화는 사영 원뿔 곡선과 사영선 사이의 전단사를 설정한다. 이 전단사는 대수 곡선의 동형 사상이다. 더 높은 차원에서는, 이 매개변수화는 이차 초곡면의 조밀한 열린 부분 집합과 동일한 차원의 사영 공간 사이의 유리 사상을 정의한다.
아핀 공간의 경우, 매개변수화는 다음과 같은 형태의 유리 매개변수화이다.
:
여기서
사영 공간의 경우, 매개변수화는 다음과 같은 형태이다.
:
여기서
:
q를 이차 초곡면을 정의하는 이차 다항식이라고 하고,
:
스칼라
다음 방정식을 갖는 이차 초곡면을 고려해 보자.
:
점
:
제곱을 전개하고, 상수항을 단순화하고,
:
이것을
:
x_1=\frac{2t_1}{1+ t_1^2+ \cdots +t_{n-1}^2}\\
\vdots\\
x_{n-1}=\frac{2 t_{n-1}}{1+ t_1^2+ \cdots +t_{n-1}^2}\\
x_n =\frac{1- t_1^2- \cdots -t_{n-1}^2}{1+ t_1^2+ \cdots +t_{n-1}^2}.
\end{cases}
동차화를 통해 사영 매개변수화는 다음과 같다.
:
X_0=T_1^2+ \cdots +T_n^2\\
X_1=2T_1 T_n\\
\vdots\\
X_{n-1}=2T_{n-1}T_n\\
X_n =T_n^2- T_1^2- \cdots -T_{n-1}^2.
\end{cases}
이차 초곡면은 그 방정식의 계수가 F에 속할 경우 체 F ''위에 정의된다''. F가 유리수의 체
체 F 위에 정의된 이차 초곡면의 점은 해당 좌표가 F에 속할 경우 F에 대해 유리수라고 한다.
사영 이차 초곡면의 유리점을 찾는 것은 디오판토스 방정식을 푸는 것과 같다.
체 F 위의 이차 초곡면 위의 유리점 A가 주어지면, 앞 절에서 설명한 매개변수화는 매개변수가 F에 있을 때 유리점을 제공하며, 반대로 이차 초곡면의 모든 유리점은 점이 A에서의 접선 초평면에 있지 않으면 F의 매개변수에서 얻을 수 있다.
따라서, 이차 초곡면이 유리점을 가지면, 다른 많은 유리점을 가지며 (F가 무한하면 무한히 많음), 이러한 점들은 그 중 하나를 알게 되면 알고리즘적으로 생성될 수 있다.
:
여기서
피타고라스 수는
:
a=m^2-n^2\\b=2mn\\c=m^2+n^2
\end{cases}
방정식
만약 m과 n이
요약하면,
:
m과 n은 하나가 짝수이고
:
m과 n은
6. 5. 타원체의 부피
타원면은 이차 초곡면 중에서 유일하게 닫힌 초곡면이다. 따라서, 타원면에 의해 둘러싸인 부분 ('''타원체''')에만 부피가 정의될 수 있다. 그 부피 ''V''는 감마 함수 Γ(''x'')를 사용하여 다음과 같이 주어진다.: