이차 초곡면

1. 개요

이차 초곡면은 체 K에 대한 n변수 2차 다항식 P에 대응하는 점들의 집합으로, P(x1, x2, ..., xn) = 0을 만족한다. 이는 일반적으로 n-1차원 아핀 대수다양체를 이루며, 이차 형식이면 사영 공간 위에도 정의할 수 있다. 이차 초곡면은 적절한 좌표 변환을 통해 표준형으로 표현될 수 있으며, 1차원에서는 원뿔 곡선, 2차원에서는 이차 곡면으로 불린다. 3차원 유클리드 공간에서 이차 곡면은 타원면, 타원 포물면, 쌍곡 포물면, 일엽 쌍곡면, 이엽 쌍곡면 등이 있으며, 사영 공간에서는 실베스터의 관성 법칙에 따라 표준 형식으로 표현된다. 이차 초곡면은 건축 구조, 파라볼라 안테나 등 다양한 분야에 응용되며, 유리점을 가지면 매개변수화를 통해 다른 유리점을 생성할 수 있다. 타원면으로 둘러싸인 타원체의 부피는 감마 함수를 사용하여 계산할 수 있다.

2. 정의

체 K에 대한 n변수 2차 다항식 P(x₁, ..., xₙ)이 주어졌을 때, P에 대응하는 이차 초곡면은 다음 식으로 정의된다.

:$\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; A^n\_K/(P(x\_1,\backslash dots,x\_n))$

이는 다음을 만족하는 점들의 집합이다.

:$\backslash \{(x\_1,\backslash dots,x\_n)\backslash in\backslash mathbb\; A^n\_K\backslash colon\; P(x\_1,x\_2,\backslash dots,x\_n)=0\backslash \}$

이 집합은 일반적으로 n-1차원 아핀 대수다양체를 이룬다.

만약 P가 이차 형식일 경우, 사영 공간 위에도 이차 초곡면을 정의할 수 있다. 즉, 주어진 이차 형식 Q(x₀, ..., xₙ)이 0이 되는 동차 좌표를 갖는 점들로 구성된 사영 대수다양체를 생각할 수 있다. 이는 n차원 사영 공간 속의 n-1차원 사영 대수다양체를 이룬다.

아핀 이차 초곡면은 차수가 2인 다항식의 영점의 집합이다. 별도로 명시되지 않는 한, 다항식은 실수 계수를 가지고 영점은 유클리드 공간의 점이라고 가정한다. 그러나 계수가 임의의 체에 속하고 점이 아핀 공간에 속하는 경우에도 대부분의 성질이 유지된다.

n차원 아핀 공간에서 이차 초곡면은 다음 형태의 2차 다항식의 영점 집합으로 정의된다.

:$p(x\_1,\backslash ldots,x\_n)=0,$

여기서 다항식 p는 다음과 같다.

:$p(x\_1,\backslash ldots,x\_n)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; a\_\{i,j\}x\_i\; x\_j\; +\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; (a\_\{i,0\}+a\_\{0,i\})x\_i\; +\; a\_\{0,0\}\backslash ,,$

(단, 행렬 A = (aᵢⱼ)에서 i와 j는 0부터 n까지이다.)

일반적으로 n - 1차원 이차 초곡면의 정의식은 좌표 (x₁, x₂, ..., xₙ)에 대해 다음과 같이 주어진다.

:

(여기서 aᵢ, aᵢⱼ 중 적어도 하나는 0이 아니어야 한다.)

벡터 공간 V_n+1 위의 이차 형식 q는 관련된 사영 공간 P에서 이차 초곡면 Q를 정의하며, 이는 q(x) = 0을 만족하는 점 ∈ P의 집합으로 정의된다. 즉, 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\; Q=\backslash \{\backslash langle\backslash vec\; x\backslash rangle\; \backslash in\; \{\backslash mathcal\; P\}\; \backslash mid\; q(\backslash vec\; x)=0\backslash \}.$

3. 종류

이차 초곡면은 방정식의 형태에 따라 다양하게 분류된다. 3차원 유클리드 공간에서 이차 초곡면은 2차원이며, 이차 곡면이라고도 한다. 이차 곡면은 아핀 변환에 따라 여러 궤도로 분류된다. 주축 정리에 따르면, 적절한 데카르트 좌표 변환을 통해 이차 곡면의 방정식을 단순화된 형태로 나타낼 수 있다. 이러한 형태를 정규형 방정식이라고 하며, 두 이차 곡면이 동일한 정규형을 가지면 서로 유클리드 변환으로 매핑될 수 있다. 정규형 방정식은 다음과 같다.

:$\{x^2\; \backslash over\; a^2\}\; +\; \{y^2\; \backslash over\; b^2\}\; +\backslash varepsilon\_1\; \{z^2\; \backslash over\; c^2\}\; +\; \backslash varepsilon\_2=0,$
:$\{x^2\; \backslash over\; a^2\}\; -\; \{y^2\; \backslash over\; b^2\}\; +\; \backslash varepsilon\_3=0$
:$\{x^2\; \backslash over\; a^2\}\; +\; \backslash varepsilon\_4\; =0,$
:$z=\{x^2\; \backslash over\; a^2\}\; +\backslash varepsilon\_5\; \{y^2\; \backslash over\; b^2\},$

여기서 $\backslash varepsilon\_i$는 1, –1 또는 0이며, $\backslash varepsilon\_3$은 0 또는 1의 값만 가질 수 있다.

이러한 정규형은 17가지가 존재한다. 이 중 실수 해가 존재하지 않는 경우도 있다. (허수 타원체, 허수 타원 기둥, 두 개의 복소 켤레 평행 평면). 허수 원뿔의 경우 단일 점이 존재한다.

17개의 정규형 중 아홉 개는 진정한 이차 곡면으로, 타원체, 포물면, 쌍곡면, 원뿔, 세 개의 기둥(축퇴 이차 곡면)이 있다. 나머지는 허수 타원체, 허수 기둥, 허수 원뿔, 두 개의 평면으로 분해되는 기약 이차 곡면이다.

비퇴화 실 이차 곡면

축퇴 실 이차 곡면



표준 방정식의 매개변수 중 둘 이상이 동일하면 회전면이 된다.

회전 이차 곡면



n - 1차원 이차 초곡면은 확대 계수 행렬의 계수에 따라 비퇴화 또는 퇴화로 분류된다. 비퇴화 이차 초곡면은 계수 행렬과 확대 계수 행렬의 계수 관계에 따라 다음과 같이 분류된다.

* rank R - rank A = 0: 원뿔면
* rank R - rank A = 1: 유심 이차 초곡면
* rank R - rank A = 2: 무심 이차 초곡면

퇴화된 이차 초곡면은 통면의 일종이다. 유심과 무심이라는 용어는 점대칭 여부를 나타낸다. 적절한 직교 변환을 통해 위의 3개는 다음과 같은 음함수로 귀결될 수 있다.

* 원뿔면
:$a\text{'}\_1\; X\_1^2\; +\; a\text{'}\_2\; X\_2^2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\text{'}\_n\; X\_n^2\; =\; 0$
* 유심 이차 초곡면
:$a\text{'}\_1\; X\_1^2\; +\; a\text{'}\_2\; X\_2^2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\text{'}\_n\; X\_n^2\; =\; 1$
* 무심 이차 초곡면
:$a\text{'}\_1\; X\_1^2\; +\; a\text{'}\_2\; X\_2^2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\text{'}\_\{n-1\}\; X\_\{n-1\}^2\; +\; 2b\; X\_n\; =\; 1$

위의 3식을 비퇴화 이차 초곡면의 표준형이라고 한다. 이때 위의 계수를 대각 성분으로 갖는 행렬은 적절한 닮음 변환을 수행함으로써, 다음과 같은 행렬로 변환할 수 있다.

:$S\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
E_p & 0 & 0 \\
0 & -E_q & 0 \\
0 & 0 & (0)
\end{pmatrix}

여기서, 오른쪽 아래 성분이 0이 되는 것은 무심 이차 초곡면의 경우에만 해당한다. 계수 1의 단위 행렬의 차수 p와 계수 -1의 단위 행렬의 차수 q를 짝지은 것 (p, q)을 이차 초곡면의 부호수라고 한다. 이차 초곡면의 형태는 부호수에 따라 더욱 세분화된다.

3차원 유클리드 공간 R³ 내의 이차 곡면은 다음과 같은 음함수 곡선에 의해 주어진다.

:$Q\; =\; \backslash left\backslash \{\; (x,y,z)\; \backslash in\; \backslash R^3\; \backslash mid\; A\; x^2\; +\; B\; y^2\; +\; C\; z^2\; +\; D\; xy\; +\; E\; yz\; +\; F\; xz\; +\; G\; x\; +\; H\; y\; +\; I\; z\; +\; J\; =\; 0\; \backslash right\backslash \}$



정 곡선을 따라 직선으로 형성되는 곡면(선직면)은 다음과 같다.

* 원뿔면(실이차 원뿔면)
* 쌍곡 포물면
* 일엽 쌍곡면
* 기둥면

4. 성질

이차 초곡면은 적절한 좌표 변환을 통해 표준형으로 표현될 수 있다. 이차 초곡면의 확대 계수 행렬의 계수(rank)에 따라 퇴화 여부가 결정된다. 이차 초곡면의 형태는 부호수에 따라 더욱 세분화된다.

실수 사영 공간에서 실베스터의 관성 법칙에 따라 비특이 이차 형식 P(X)는 적절한 사영 변환을 통해 다음과 같은 표준 형식으로 표현될 수 있다.

:$P(X)\; =\; \backslash pm\; X\_0^2\; \backslash pm\; X\_1^2\; \backslash pm\backslash cdots\backslash pm\; X\_\{D+1\}^2$

3차원 공간에서 2차원 곡면(차원 D = 2)의 경우, 비퇴화된 경우는 다음과 같다.

:$P(X)\; =\; \backslash begin\{cases\}$
X_0^2+X_1^2+X_2^2+X_3^2\\
X_0^2+X_1^2+X_2^2-X_3^2\\
X_0^2+X_1^2-X_2^2-X_3^2
\end{cases}


* 첫 번째 경우는 공집합이다.
* 두 번째 경우는 선택된 무한대 평면이 이차 곡면을 공집합, 점, 또는 비퇴화 원뿔 곡선으로 자르는지에 따라 타원체, 타원 포물면 또는 쌍곡면(두 겹)을 생성한다. 이들은 모두 양의 가우스 곡률을 갖는다.
* 세 번째 경우는 무한대 평면이 그것을 두 개의 선 또는 비퇴화 원뿔 곡선으로 자르는지에 따라 쌍곡 포물면 또는 일엽 쌍곡면을 생성한다. 이들은 음의 가우스 곡률을 갖는 이중 선면이다.

퇴화된 형식 $X\_0^2-X\_1^2-X\_2^2=0$은 무한대 평면이 그것을 점, 선, 두 개의 선, 또는 비퇴화 원뿔 곡선으로 자르는지에 따라 타원 기둥, 포물선 기둥, 쌍곡 기둥 또는 원뿔을 생성한다. 이들은 가우스 곡률이 0인 단일 선면이다.

복소 사영 공간에서 모든 비퇴화 이차 곡면은 서로 구별할 수 없게 된다.

사영 공간에서 이차 초곡면은 동차 다항식의 영점 집합으로 정의된다. 이차 초곡면 위의 유리점은 디오판토스 방정식을 푸는 것과 관련된다. 각 점에 대해 극 공간이 정의되며, 이는 초평면이거나 전체 공간이다. 이차 초곡면과 직선의 교차는 없을 수도 있고, 한 점, 두 점, 또는 직선 전체가 될 수 있다.

일반적인 n - 1차원 이차 초곡면의 정의식은 다음과 같다.
:$\backslash langle\; A\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{x\}\backslash rangle\; +\; 2\backslash langle\backslash mathbf\{b\},\; \backslash mathbf\{x\}\backslash rangle\; +\; c\; =\; 0$

여기서 A는 이차 곡면의 계수 행렬, R는 확대 계수 행렬이다.

n - 1차원 이차 초곡면은, 그 확대 계수 행렬의 계수가 n + 1과 같을 때 비퇴화라고 하며, 그렇지 않을 때 퇴화되었다고 한다. 이차 초곡면이 비퇴화일 때, 계수 행렬 A와 확대 계수 행렬 R의 계수의 관계를 사용하여 이차 초곡면은 다음과 같이 분류된다.

* rank R - rank A = 0: 원뿔면
* rank R - rank A = 1: 유심 이차 초곡면
* rank R - rank A = 2: 무심 이차 초곡면

또한, 퇴화된 이차 초곡면은 통면의 일종이다. 여기서 유심과 무심이라는 용어가 나왔는데, 이는 점대칭인지 여부를 나타낸다. 위의 3개는 적절한 직교 변환을 통해 다음과 같은 음함수로 귀결될 수 있다.

* 원뿔면: $a\text{'}\_1\; X\_1^2\; +\; a\text{'}\_2\; X\_2^2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\text{'}\_n\; X\_n^2\; =\; 0$
* 유심 이차 초곡면: $a\text{'}\_1\; X\_1^2\; +\; a\text{'}\_2\; X\_2^2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\text{'}\_n\; X\_n^2\; =\; 1$
* 무심 이차 초곡면: $a\text{'}\_1\; X\_1^2\; +\; a\text{'}\_2\; X\_2^2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\text{'}\_\{n-1\}\; X\_\{n-1\}^2\; +\; 2b\; X\_n\; =\; 1$

위의 3식을 비퇴화 이차 초곡면의 표준형이라고 한다. 이때 위의 계수를 대각 성분으로 갖는 행렬은 적절한 닮음 변환을 수행함으로써, 다음과 같은 행렬로 변환할 수 있다.

:$S\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
E_p & 0 & 0 \\
0 & -E_q & 0 \\
0 & 0 & (0)
\end{pmatrix}

단, 오른쪽 아래 성분이 0이 되는 것은, 무심 이차 초곡면의 경우에만 해당한다. 계수 1의 단위 행렬의 차수 p와 계수 -1의 단위 행렬의 차수 q를 짝지은 것 (p, q)을 이차 초곡면의 부호수라고 한다. 이차 초곡면의 형태는 부호수에 따라 더욱 세분화된다.

부호수가 (n, 0)인 이차 초곡면을 타원면이라고 한다. 타원면은 이차 초곡면 중에서 유일하게 닫힌 초곡면이다. 따라서, 타원면에 의해 둘러싸인 부분 (타원체)에만 부피가 정의될 수 있다. 그 부피 V는 감마 함수 Γ(x)를 사용하여,
:$V\; =\; \backslash frac\{\backslash Gamma(1/2)^n\}\{\backslash Gamma(n/2+1)\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}$

퇴화 이차 곡면

6.3. 사영 공간에서의 이차 초곡면

체 $K$ 위의 -차원 벡터 공간 $V\_\{n+1\}$에서 정의된 이차 형식 $q$에 대하여, $q(\backslash vec\; x)=0$을 만족하는 점 $\backslash langle\backslash vec\; x\backslash rangle$들의 집합 $\backslash mathcal\; Q$는 $\backslash mathcal\; P$에서 이차 초곡면을 정의한다. $\backslash langle\backslash vec\; x\backslash rangle$는 $\backslash vec\; 0\backslash ne\; \backslash vec\; x\backslash in\; V\_\{n+1\}$에 의해 생성되는 1차원 부분 공간이다.

:$\backslash mathcal\; Q=\backslash \{\backslash langle\backslash vec\; x\backslash rangle\; \backslash in\; \{\backslash mathcal\; P\}\; \backslash mid\; q(\backslash vec\; x)=0\backslash \}.$

여기서 $\{\backslash mathcal\; P\}=\backslash \{\backslash langle\; \backslash vec\; x\backslash rangle\; \backslash mid\; \backslash vec\; x\; \backslash in\; V\_\{n+1\}\backslash \}$는 점들의 집합이고, $\{\backslash mathcal\; G\}=\backslash \{\; \backslash text\{2차원\; 부분\; 공간\; of\; \}\; V\_\{n+1\}\backslash \}$는 선들의 집합이다. $P\_n(K)=(\{\backslash mathcal\; P\},\{\backslash mathcal\; G\})$는 체 $K$ 위의 n차원 사영 공간이다. $V\_\{n+1\}$의 $(k+1)$차원 부분 공간에 포함된 점들의 집합은 $P\_n(K)$의 $k$차원 부분 공간이다. $n>3$인 경우, $(n-1)$차원 부분 공간은 초평면이라고 한다.

$P\_2(K)$에서의 예시는 다음과 같다.

* (E1): $\backslash ;q(\backslash vec\; x)=x\_1x\_2-x^2\_3\backslash ;$의 경우 원뿔 곡선을 얻는다.
* (E2): $\backslash ;q(\backslash vec\; x)=x\_1x\_2\backslash ;$의 경우, 각각 $x\_1=0$과 $x\_2=0$의 방정식을 갖는 두 개의 직선 쌍을 얻는다. 이들은 점 $\backslash langle(0,0,1)^\backslash text\{T\}\backslash rangle$에서 교차한다.

6.4. 유리점과 매개변수화

이차 초곡면 위의 유리점을 찾는 방법과 매개변수화를 이용한 표현에 대해 설명한다.

이차 초곡면의 비특이점 A가 주어졌을 때, A를 통과하는 선은 이차 초곡면에 접하거나 정확히 다른 한 점에서 이차 초곡면과 교차한다. 이는 A를 통과하고 이차 초곡면에 접하지 않는 선들이 A에서의 접선 초평면에 속하지 않는 이차 초곡면의 점들과 일대일 대응을 이룬다는 것을 의미한다.

원뿔 곡선(이차 곡선)의 경우, 이 매개변수화는 사영 원뿔 곡선과 사영선 사이의 전단사를 설정한다. 이 전단사는 대수 곡선의 동형 사상이다. 더 높은 차원에서는, 이 매개변수화는 이차 초곡면의 조밀한 열린 부분 집합과 동일한 차원의 사영 공간 사이의 유리 사상을 정의한다.

아핀 공간의 경우, 매개변수화는 다음과 같은 형태의 유리 매개변수화이다.
:$x\_i=\backslash frac\{f\_i(t\_1,\backslash ldots,\; t\_\{n-1\})\}\{f\_0(t\_1,\backslash ldots,\; t\_\{n-1\})\}\backslash quad\backslash text\{for\; \}i=1,\; \backslash ldots,\; n,$
여기서 $x\_1,\; \backslash ldots,\; x\_n$는 이차 초곡면의 점의 좌표이고, $t\_1,\backslash ldots,t\_\{n-1\}$는 매개변수이며, $f\_0,\; f\_1,\; \backslash ldots,\; f\_n$는 최대 2차의 다항식이다.

사영 공간의 경우, 매개변수화는 다음과 같은 형태이다.
:$X\_i=F\_i(T\_1,\backslash ldots,\; T\_n)\backslash quad\backslash text\{for\; \}i=0,\; \backslash ldots,\; n,$
여기서 $X\_0,\; \backslash ldots,\; X\_n$는 이차 초곡면의 점의 사영 좌표이고, $T\_1,\backslash ldots,T\_n$은 매개변수이며, $F\_0,\; \backslash ldots,\; F\_n$는 2차 동차 다항식이다.

$x\_i=X\_i/X\_0,$ 및 $t\_i=T\_i/T\_n$을 대입함으로써 한 매개변수화에서 다른 매개변수화로 변환할 수 있다.
:$F\_i(T\_1,\backslash ldots,\; T\_n)=T\_n^2\; \backslash ,f\_i\backslash !\{\backslash left(\backslash frac\{T\_1\}\{T\_n\},\backslash ldots,\backslash frac\{T\_\{n-1\}\}\{T\_n\}\backslash right)\}.$

q를 이차 초곡면을 정의하는 이차 다항식이라고 하고, $\backslash mathbf\; a=(a\_1,\backslash ldots\; a\_n)$를 이차 초곡면의 주어진 점의 좌표 벡터라고 하자. 이차 초곡면과 $\backslash mathbf\; a$를 통과하는 방향 $\backslash mathbf\; t=(t\_1,\backslash ldots,\; t\_\{n-1\},1)$의 선의 교점은 다음과 같은 점 $\backslash mathbf\; x=\backslash mathbf\; a\; +\backslash lambda\; \backslash mathbf\; t$이다.
:$q(\backslash mathbf\; a\; +\backslash lambda\; \backslash mathbf\; t)=0$
스칼라 $\backslash lambda$에 대한 2차 방정식이며, $\backslash lambda$로 나누면 방정식은 선형이 되고, 유일한 해는 최대 1차의 다항식을 최대 2차의 다항식으로 나눈 몫이다. 이 해를 $\backslash mathbf\; x$의 식에 대입하면 최대 2차의 다항식의 분수 형태로 원하는 매개변수화를 얻는다.

다음 방정식을 갖는 이차 초곡면을 고려해 보자.
:$x\_1^2+\; x\_2^2+\backslash cdots\; x\_n^2\; -1=0.$
$n=2$일 때, 이것은 단위 원이고, $n=3$일 때, 이것은 단위 구이며, 더 높은 차원에서는 단위 초구이다.

점 $\backslash mathbf\; a=(0,\; \backslash ldots,\; 0,\; -1)$은 이차 초곡면에 속한다. $q(\backslash mathbf\; a\; +\backslash lambda\; \backslash mathbf\; t)=0$은 다음과 같다.
:$(\backslash lambda\; t\_1^2)+\backslash cdots\; +(\backslash lambda\; t\_\{n-1\})^2+\; (1-\backslash lambda)^2-1=0.$
제곱을 전개하고, 상수항을 단순화하고, $\backslash lambda$로 나누고, $\backslash lambda$에 대해 풀면 다음을 얻는다.
:$\backslash lambda\; =\; \backslash frac\{2\}\{1+\; t\_1^2+\; \backslash cdots\; +t\_\{n-1\}^2\}.$
이것을 $\backslash mathbf\; x=\backslash mathbf\; a\; +\backslash lambda\; \backslash mathbf\; t$에 대입하고 마지막 좌표의 식을 단순화하면 매개변수 방정식은 다음과 같다.
:$\backslash begin\{cases\}$
x_1=\frac{2t_1}{1+ t_1^2+ \cdots +t_{n-1}^2}\\
\vdots\\
x_{n-1}=\frac{2 t_{n-1}}{1+ t_1^2+ \cdots +t_{n-1}^2}\\
x_n =\frac{1- t_1^2- \cdots -t_{n-1}^2}{1+ t_1^2+ \cdots +t_{n-1}^2}.
\end{cases}

동차화를 통해 사영 매개변수화는 다음과 같다.
:$\backslash begin\{cases\}$
X_0=T_1^2+ \cdots +T_n^2\\
X_1=2T_1 T_n\\
\vdots\\
X_{n-1}=2T_{n-1}T_n\\
X_n =T_n^2- T_1^2- \cdots -T_{n-1}^2.
\end{cases}

이차 초곡면은 그 방정식의 계수가 F에 속할 경우 체 F 위에 정의된다. F가 유리수의 체 $\backslash Q$인 경우, 분모 없애기를 통해 계수가 정수라고 가정할 수 있다.

체 F 위에 정의된 이차 초곡면의 점은 해당 좌표가 F에 속할 경우 F에 대해 유리수라고 한다. $\backslash Q$ 위의 유리점은 단순히 유리점이라고 한다. 분모를 없앰으로써, 유리점의 사영 좌표 ( $\backslash Q$ 위에 정의된 이차 초곡면에서)가 정수라고 가정할 수 있고, 일반적으로 그렇게 가정한다.

사영 이차 초곡면의 유리점을 찾는 것은 디오판토스 방정식을 푸는 것과 같다.

체 F 위의 이차 초곡면 위의 유리점 A가 주어지면, 앞 절에서 설명한 매개변수화는 매개변수가 F에 있을 때 유리점을 제공하며, 반대로 이차 초곡면의 모든 유리점은 점이 A에서의 접선 초평면에 있지 않으면 F의 매개변수에서 얻을 수 있다.

따라서, 이차 초곡면이 유리점을 가지면, 다른 많은 유리점을 가지며 (F가 무한하면 무한히 많음), 이러한 점들은 그 중 하나를 알게 되면 알고리즘적으로 생성될 수 있다.

$\backslash Q$ 위에 정의된 사영 이차 초곡면의 경우, 매개변수화는 다음과 같은 형태를 취한다.
:$X\_i=F\_i(T\_1,\; \backslash ldots,\; T\_n)\backslash quad\; \backslash text\{for\; \}\; i=0,\backslash ldots,n,$
여기서 $F\_i$는 정수 계수를 가진 차수 2의 동차 다항식이다. 동차성 때문에 setwise 서로소 정수인 매개변수만 고려할 수 있다. $Q(X\_0,\backslash ldots,\; X\_n)=0$이 이차 초곡면의 방정식인 경우, 이 방정식의 해는 구성 요소가 setwise 서로소 정수이면 원시적이라고 한다. 원시 해는 이차 초곡면의 유리점과 일대일 대응을 이룬다.

피타고라스 수는 $(a,b,c)$와 같이 $a^2+b^2=c^2$을 만족하는 양의 정수 순서쌍이다. 피타고라스 수는 $a,\; b,\; c$가 서로소일 때, 원시적이다.

$A=(-1,\; 0,\; 1)$을 선택하면, 위의 방법은 다음 매개화를 제공한다.
:$\backslash begin\{cases\}$
a=m^2-n^2\\b=2mn\\c=m^2+n^2
\end{cases}
방정식 $a^2+b^2-c^2=0$을 갖는 이차 곡면에 대해 (변수와 매개변수의 이름은 피타고라스 수를 고려할 때 일반적인 것으로 변경된다).

만약 m과 n이 $m>n>0,$인 서로소 정수이면, 결과로 생성된 수는 피타고라스 수이다. 만약 m과 n 중 하나가 짝수이고 다른 하나가 홀수이면, 이 결과로 생성된 수는 원시적이다; 그렇지 않으면, m과 n 모두 홀수이고, 2로 나누어 원시 수를 얻는다.

요약하면, $b$가 짝수인 원시 피타고라스 수는 다음과 같이 얻어진다.
:$a=m^2-n^2,\backslash quad\; b=2mn,\backslash quad\; c=\; m^2+n^2,$
m과 n은 하나가 짝수이고 $m>n>0$인 서로소 정수이다 (이것은 유클리드 공식이다). $b$가 홀수인 원시 피타고라스 수는 다음과 같이 얻어진다.
:$a=\backslash frac\{m^2-n^2\}\{2\},\backslash quad\; b=mn,\; \backslash quad\; c=\; \backslash frac\{m^2+n^2\}2,$
m과 n은 $m>n>0$인 서로소의 홀수 정수이다.

6.5. 타원체의 부피

타원면은 이차 초곡면 중에서 유일하게 닫힌 초곡면이다. 따라서, 타원면에 의해 둘러싸인 부분 (타원체)에만 부피가 정의될 수 있다. 그 부피 V는 감마 함수 Γ(x)를 사용하여 다음과 같이 주어진다.

:$V\; =\; \backslash frac\{\backslash Gamma(1/2)^n\}\{\backslash Gamma(n/2+1)\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}$

↑ 맨 위로