오각둥근지붕

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1. 개요
2. 공식
3. 쌍대 다면체
4. 관련 도형
참조

1. 개요

오각둥근지붕은 모든 면이 정다각형인 다면체로, 부피, 표면적, 외접 반지름, 높이 등을 계산하는 공식이 존재한다. 오각둥근지붕의 쌍대는 삼각형 10개, 마름모꼴 5개, 연꼴 5개로 이루어진 20개의 면을 가진다. 오각둥근지붕과 관련된 도형으로는 늘린 오각 둥근 지붕, 꼬인 늘린 오각둥근지붕, 같은 방향 오각 지붕 지붕 회전체, 다른 방향 오각 지붕 지붕 회전체, 같은 방향 쌍오각둥근지붕, 이십이십이면체 등이 있다.

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오각둥근지붕
개요
오각 둥근지붕
종류	존슨의 다면체
형태	J – J – J
구성
면	삼각형 10개, 오각형 6개, 십각형 1개
모서리	35
꼭짓점	20
대칭성
대칭군	C
회전군	C, [5], (55)
꼭짓점 배치	2.5(3.5.3.5), 10(3.5.10)
성질
특성	볼록
쌍대	해당 없음
전개도

2. 공식

다음의 부피, 표면적, 외접 반지름 그리고 높이의 공식은 모든 면들이 변의 길이가 ''a''인 정다각형일 때 쓸 수 있다.^[4]^[2]

: $V=\left(\frac{1}{12}\left(45+17\sqrt{5}\right)\right)a^3\approx6.91776...a^3$

: $A=\left(\frac{1}{2}\sqrt{5\left(145+58\sqrt{5}+2\sqrt{30\left(65+29\sqrt{5}\right)}\right)}\right)a^2=\left(\frac{1}{2}\left(5\sqrt{3}+\sqrt{10\left(65+29\sqrt{5}\right)}\right)\right)a^2\approx22.3472...a^2$

: $R=\left(\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)\right)a\approx1.61803...a$

: $H=\left(\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\right)a\approx1.37638...a$

2. 1. 부피

모든 면이 정다각형이고 모서리 길이가 ''a''일 때, 오각둥근지붕의 부피는 다음과 같다.^[4]^[2]

:

V=\left(\frac{1}{12}\left(45+17\sqrt{5}\right)\right)a^3\approx6.91776...a^3

2. 2. 표면적

모든 면이 정다각형이고 모서리 길이가 ''a''일 때, 다음의 표면적 공식을 쓸 수 있다.^[4]^[2]

:

A=\left(\frac{1}{2}\left(5\sqrt{3}+\sqrt{10\left(65+29\sqrt{5}\right)}\right)\right)a^2=\left(\frac{1}{2}\sqrt{5\left(145+58\sqrt{5}+2\sqrt{30\left(65+29\sqrt{5}\right)}\right)}\right)a^2\approx22.3472...a^2

한 변을

a

라고 하면

S=}\over{2}}a^2

이다.

2. 3. 외접 반지름

모든 면이 정다각형이고 모서리 길이가 ''a''일 때 쓸 수 있는 외접 반지름의 공식은 다음과 같다.^[4]^[2]

:

R=\left(\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)\right)a\approx1.61803...a

2. 4. 높이

모든 면이 정다각형이고 모서리 길이가 ''a''일 때, 높이는 다음과 같은 공식을 가진다.^[4]^[2]

:

H=\left(\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\right)a\approx1.37638...a

3. 쌍대 다면체

오각둥근지붕의 쌍대는 면을 20개 가지고 있다: 삼각형 10개, 마름모꼴 5개, 그리고 연꼴 5개이다.

오각둥근지붕의 쌍대	쌍대다면체의 전개도
오각둥근지붕의 쌍대	쌍대다면체의 전개도

4. 관련 도형

늘린 오각 둥근 지붕은 정십각기둥을 오각둥근지붕의 밑면에 추가하여 만들 수 있다.

꼬인 늘린 오각둥근지붕은 정십각기둥을 오각둥근지붕의 밑면에 추가해서 만들 수 있다. 이때 꼬아서 붙인다.

같은 방향 오각 지붕 지붕 회전체는 정오각지붕을 오각둥근지붕의 밑면에 추가하되, 정오각형이 같은 방향이 되도록 붙여 만들 수 있다.

정오각지붕을 오각둥근지붕의 밑면에 추가하되, 정오각형이 36° 어긋나도록 붙여 만들 수 있다.

같은 방향 쌍오각둥근지붕은 두 개의 오각둥근지붕을 밑면끼리 같은 방향이 되도록 붙여 만들 수 있다.

오각둥근지붕 두 개를 밑면끼리 36° 어긋나도록 붙여서 이십이십이면체를 만들 수 있다.

4. 1. 늘린 오각둥근지붕

늘린 오각 둥근 지붕은 정십각기둥을 오각둥근지붕의 밑면에 추가하여 만들 수 있다.

4. 2. 꼬인 늘린 오각둥근지붕

꼬인 늘린 오각둥근지붕은 정십각기둥을 오각둥근지붕의 밑면에 추가해서 만들 수 있다. 이때 꼬아서 붙인다.

4. 3. 같은 방향 오각지붕-둥근지붕 회전체

같은 방향 오각 지붕 지붕 회전체는 정오각지붕을 오각둥근지붕의 밑면에 추가하되, 정오각형이 같은 방향이 되도록 붙여 만들 수 있다.

4. 4. 다른 방향 오각지붕-둥근지붕 회전체

정오각지붕을 오각둥근지붕의 밑면에 추가하되, 정오각형이 36° 어긋나도록 붙여 만들 수 있다.

4. 5. 같은 방향 쌍오각둥근지붕

같은 방향 쌍오각둥근지붕은 두 개의 오각둥근지붕을 밑면끼리 같은 방향이 되도록 붙여 만들 수 있다.

4. 6. 이십이십이면체

오각둥근지붕 두 개를 밑면끼리 36° 어긋나도록 붙여서 이십이십이면체를 만들 수 있다.

참조

_[1] 논문 Convex polyhedra with regular faces
_[2] WolframAlpha Pentagonal rotunda 2010-07-21
_[3] 논문 Convex polyhedra with regular faces
_[4] 웹사이트 Pentagonal Rotunda http://www.wolframal[...] 2010-07-21

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