완전 분리 공간

3. 예

• 이산 공간
• 유리수 (실수 $\backslash mathbb\; R$의 부분집합 위상)^[1]
• 무리수 (실수 $\backslash mathbb\; R$의 부분집합 위상)^[1]
• p진수는 사유한군을 이루므로 완전 분리 공간이다.^[1]
• 칸토어 집합^[1]
• (순서 위상을 부여한) 초실수
• 베어 공간^[1]
• 조르겐프라이 직선^[1]
• 작은 귀납적 차원이 0인 모든 하우스도르프 공간은 완전 분리 공간이다.
• 에르되시 공간 ℓ² ∩ ℚ^ω는 작은 귀납적 차원이 0이 아닌 완전 분리 하우스도르프 공간이다.^[1]
• 극단적으로 분리된 하우스도르프 공간^[1]
• 스톤 공간^[1]
• Knaster–Kuratowski 부채는 한 점을 제거하면 완전 분리 공간이 되는 연결 공간이다.^[1]
• 작은 귀납적 차원이 0인 콜모고로프 공간 (T₁ 공간)

4. 성질

• 완전 분리 공간의 부분 공간은 완전 분리 공간이다.
• 여러 완전 분리 공간들의 곱공간은 완전 분리 공간이다.
• 모든 완전 분리 공간은 T1 공간이다.
• 작은 귀납적 차원이 0인 콜모고로프 공간은 완전 분리 공간이다.
• 부분 공간, 곱, 그리고 공합은 완전 분리 공간이다.
• 완전 분리 공간은 한원소 집합이 닫혀 있으므로, T1 공간이다.
• 완전 분리 공간의 연속적인 상은 반드시 완전 분리 공간은 아니며, 실제로 모든 콤팩트 거리 공간은 칸토어 집합의 연속적인 상이다.
• 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 완전 분리 공간인 경우에만 작은 귀납 차원 0을 갖는다.
• 모든 완전 분리 콤팩트 거리 공간은 가산 이산 공간의 곱의 부분 집합과 위상 동형이다.
• 완전 분리 공간의 모든 열린 집합이 닫힌 집합인 것은 일반적으로 참이 아니다.
• 완전 분리 공간의 모든 열린 집합의 폐포가 열린 집합인 것은 일반적으로 참이 아니며, 즉 모든 완전 분리 하우스도르프 공간이 극단적으로 분리된 공간인 것은 아니다.

5. 몫공간 구성

임의의 위상 공간 X에 대해, x ~ y를 "y ∈ conn(x)" (conn(x)는 x를 포함하는 최대 연결 부분 집합)로 정의하면, 이는 동치 관계이다. 이때 동치류는 X의 연결 요소이다. X/~에 몫 위상을 부여하는데, 이는 사상 m: x ↦ conn(x)를 연속으로 만드는 가장 미세한 위상이다. 이렇게 하면 X/~는 완전 분리 공간이 된다.

이 공간은 "가장 큰" 완전 분리 몫 공간이며, 다음과 같은 보편 성질을 만족한다. 임의의 완전 분리 공간 Y와 연속 사상 f: X → Y에 대해, f = f̌ ∘ m을 만족하는 유일한 연속 사상 f̌: (X/~) → Y가 존재한다.