완전체

3. 성질

완전체 ''k'' 위의 모든 유한 생성 확대체 ''K''는 가분적으로 생성된다. 즉, 가분적 초월 기저를 갖는다. 다시 말해, ''K''가 ''k''(Γ) 위에 가분적으로 대수적인 초월 기저 Γ가 존재한다.^[5]

4. 완전 폐포

양의 표수 p를 갖는 체 K에 대해, 완전 폐포 K^p-∞는 K를 포함하는 가장 작은 완전체이다. 이는 K에 모든 원소의 pⁿ 제곱근 (n = 1, 2, 3, ...)을 첨가하여 얻어진다.^[6]

:$K^\{p^\{-\backslash infty\}\}=K\backslash left(\backslash bigcup\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash \{a^\{p^\{-n\}\}\backslash colon\; a\backslash in\; K\backslash \}\backslash right)\backslash subseteq\backslash bar\; K$

보다 일반적으로, 소수 표수 p의 가환환 R의 완전 폐포는 R을 포함하는 가장 작은 완전환이다.

4. 1. 완전 폐포의 보편 성질

5. 예

• 표수가 0인 체는 완전체이다. 따라서, 실수체, 복소수체, p진수체 등이 모두 완전체이다.^[2]
• 모든 유한체 $\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}$ 또한 완전체이다.^[3]
• 모든 대수적으로 닫힌 체는 (표수가 0이 아니더라도) 완전체이다.
• 체 확장에 의해 전순서 집합인 완전체의 집합의 합집합도 완전체이다.
• 완전체에 대한 대수적인 체도 완전체이다.
• 표수가 0인 모든 체(예: $\backslash mathbb\{Q\}$와 모든 유한 확대, $\backslash mathbb\{C\}$)도 완전체이다.

6. 불완전체

대수기하학을 제외하고, 수학에서 등장하는 대부분의 체들은 완전체이다. 완전체가 아닌 체를 불완전체라고 한다.

불완전체의 예로는 표수가 $p$인 체 $K$에 대한 유리 함수체 $K(x)$가 있다. $x\backslash in\; K(x)$의 경우 $\backslash sqrt[p]x$가 존재하지 않기 때문이다.^[2]

실제로 접하게 되는 대부분의 체는 완전체이다. 불완전한 경우는 주로 표수가 $p\; >\; 0$인 대수 기하학에서 발생한다. 모든 불완전체는 필연적으로 그 소체 (최소 부분체) 위에 초월적인데, 그 이유는 소체가 완전체이기 때문이다. 불완전체의 예시로는 체 $\backslash mathbf\{F\}\_q(x)$가 있는데, 프로베니우스 자기 사상이 $x\; \backslash mapsto\; x^p$를 보내므로 전사 함수가 아니기 때문이다. 이 체는 다음과 같은 완전체에 포함된다.

:$\backslash mathbf\{F\}\_q(x,x^\{1/p\},x^\{1/p^2\},\backslash ldots)$

이 체를 '''완전화'''라고 부른다. 불완전체는 기저체의 대수적 폐포에서 기약 다항식이 기약적이 될 수 있기 때문에 기술적인 어려움을 야기한다. 예를 들어,^[4] $k$가 표수 $p$인 불완전체이고 ''a''가 ''k''에서 ''p'' 제곱근이 아닌 경우 $f(x,y)\; =\; x^p\; +\; ay^p\; \backslash in\; k[x,y]$를 생각해 보자. 그러면 대수적 폐포 $k^\{\backslash operatorname\{alg\}\}[x,y]$에서 다음과 같은 등식이 성립한다.

:$$

f(x,y) = (x + b y)^p ,



여기서 ''b'' = ''a''이고, 그러한 ''b''는 이 대수적 폐포에 존재한다. 기하학적으로 이것은 $f$가 $k[x,y]$에서 아핀 평면 곡선을 정의하지 않음을 의미한다.

참조

_[1] 서적
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 서적 Elliptic Curves https://www.jmilne.o[...]
_[5] 논문 Theorem 26.2
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 논문 Theorem 26.2
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적