맨위로가기

유도 표현

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

유도 표현은 유한군 또는 국소 콤팩트 위상군의 부분군 표현으로부터 구성되는 새로운 표현이다. 대수적, 해석적, 기하학적 구성 방법을 통해 정의되며, 유한군에서는 부분군의 좌잉여류를, 국소 콤팩트 위상군에서는 연속 유니타리 표현을 활용한다. 프로베니우스 상호 법칙과 보편 성질, 프로베니우스 공식과 같은 성질을 가지며, 양자역학의 위그너 분류, 군의 자명 표현 유도, 단항 표현, 국소 콤팩트 군의 유니타리 표현, 리 군론의 포물선 유도 등 다양한 분야에 응용된다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 표현론 - 매케이 화살집
    매케이 화살집은 유한군 G의 기약 표현을 꼭짓점으로, 텐서곱 분해를 통해 변을 정의하여 군의 표현론적 구조를 시각적으로 나타내는 도구이다.
  • 표현론 - 보렐-베유-보트 정리
    보렐-베유-보트 정리는 복소수 반단순 리 군의 표현론에서 층 코호몰로지를 사용하여 리 군의 기약 표현을 설명하며, 보렐-베유 정리와 보트의 일반화를 포함한다.
유도 표현

2. 정의

유한군 G의 부분군 H\subset G의 표현 V가 주어졌다고 하자. 좌잉여류 집합 G/H에서 각각 대표 원소 x_i를 뽑으면, G의 '''유도 표현'''은 다음 공간 위에 정의된 표현이다.

:V^{(G/H)\oplus}=\bigoplus_ix_iV

즉, V의 [G:H]개만큼의 복사본들의 직합이다. 이 공간 위의 작용은 다음과 같다. 모든 g\in G 및 x_i에 대하여, h_i\in H이며 gx_i=x_{j(i)}h_i인 (x_{j(i)},h_i)가 존재한다. 그렇다면 다음이 성립한다.

:g\cdot\sum_ix_iv_i=\sum_ix_{j(i)}h_i\cdot v_i

국소 콤팩트 위상군에 대해서도 유한군과 유사한 정의가 존재한다.

2. 1. 대수적 구성

유한군 G의 부분군 H\subset G의 표현 V가 주어졌을 때, 좌잉여류 집합 G/H에서 대표 원소 x_i를 뽑아 유도 표현을 구성할 수 있다. G의 '''유도 표현'''은 다음 공간 위에 정의된 표현이다.

:V^{(G/H)\oplus}=\bigoplus_ix_iV

즉, V의 [G:H]개만큼의 복사본들의 직합이다. 이 공간 위의 작용은 다음과 같다. 모든 g\in G 및 x_i에 대하여, h_i\in H이며

:gx_i=x_{j(i)}h_i

인 (x_{j(i)},h_i)가 존재한다. 그렇다면

:g\cdot\sum_ix_iv_i=\sum_ix_{j(i)}h_i\cdot v_i

이다.

국소 콤팩트 위상군에 대해서도 유한군과 유사한 정의가 존재한다.

G를 유한군, H를 G의 부분군, \pi를 H의 표현이라고 하자. n=[G:H]를 G에서 H의 지수라고 하고, g_1, \dots, g_n을 G/H의 좌잉여류에 대한 G에서의 대표자 전체 집합이라고 하면 유도 표현 \operatorname{Ind}_H^G \pi는 다음 공간에서 작용한다.

:W=\bigoplus_{i=1}^n g_i V.

여기서 각 g_i V는 g_i v로 쓰여진 벡터 공간 V의 동형 복사본이며, v \in V이다. G의 각 g와 각 g_i에 대해 h_i는 H에 있고, 1=g g_i = g_{j(i)} h_i가 되는 \{1, \dots, n\}의 j(i)가 있다. 유도 표현을 통해 G는 다음과 같이 W에서 작용한다.

: g\cdot\sum_{i=1}^n g_i v_i=\sum_{i=1}^n g_{j(i)} \pi(h_i) v_i

여기서 각 i에 대해 v_i \in V이다.

스칼라 확대를 통해 유도 표현을 구성할 수도 있다. 군 H의 모든 K-선형 표현 \pi는 가군 V를 군환 K[H] 위에서 볼 수 있다. 그런 다음 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\operatorname{Ind}_H^G\pi= K[G]\otimes_{K[H]} V.

이 공식은 유한성을 요구하지 않고 임의의 군 G와 부분군 H에 대해 \operatorname{Ind}_H^G \pi를 정의하는 데 사용 가능하다.[1]

2. 2. 해석적 구성

국소 콤팩트 위상군의 닫힌 부분군에 대한 연속 유니타리 표현 (여기서 힐베르트 공간)이 주어졌을 때, 유도 표현은 다음과 같이 정의된다.

:\operatorname{Ind}_H^G\pi= \left\{\phi\colon G \to V \ : \ \phi(gh^{-1})=\pi(h)\phi(g)\text{ for all }h\in H,\; g\in G \text{ and } \ \phi \in L^2(G/H)\right\}.

여기서 ''G''/''H''는 적절한 불변 측도를 가지며, 의 노름이 ''H''의 각 좌잉여류에서 일정하므로, ''G''/''H''에서 이러한 노름의 제곱을 적분하여 유한한 결과를 얻을 수 있다는 것을 의미한다. 군 는 병진에 의해 유도 표현 공간에서 작용한다. 즉, (''g,x''∈''G'')이고 이다.

이 구성은 필요에 따라 수정될 수 있다. 예를 들어, '''정규화된 유도'''는 다음과 같이 정의된다.

:\operatorname{Ind}_H^G\pi= \left \{\phi \colon G \to V \ : \ \phi(gh^{-1})=\Delta_G^{-\frac{1}{2}}(h)\Delta_H^{\frac{1}{2}}(h)\pi(h)\phi(g) \text{ and } \phi\in L^2(G/H) \right \}.

여기서 는 각각 와 의 모듈 함수이다. 정규화 인수를 추가하면 이 유도 함자는 유니타리 표현을 유니타리 표현으로 변환한다.

'''콤팩트 유도'''는 콤팩트 지지 집합을 가진 함수로 제한된 표준 유도이다. 형식적으로 ind로 표시되며 다음과 같이 정의된다.

:\operatorname{ind}_H^G\pi= \left\{\phi\colon G \to V \ : \ \phi(gh^{-1})=\pi(h)\phi(g) \text{ and } \phi \text{ has compact support mod } H \right\}.

가 콤팩트하면 Ind와 ind는 동일한 함자이다.

2. 3. 기하학적 구성

유한군 G의 부분군 H \subset G의 표현 V가 주어졌다고 하고, 좌잉여류 집합 G/H에서 각각 대표 원소 x_i를 뽑는다.

그러면 G의 '''유도 표현'''은 공간 V^{(G/H)\oplus}=\bigoplus_ix_iV 위에 정의된 표현이다. 즉, V의 [G:H]개만큼 복사본들의 직합이다. 이 공간 위의 작용은 다음과 같다. 모든 g\in G 및 x_i에 대하여, h_i\in H이며 gx_i=x_{j(i)}h_i인 (x_{j(i)},h_i)가 존재한다. 그렇다면 다음이 성립한다.

:g\cdot\sum_ix_iv_i=\sum_ix_{j(i)}h_i\cdot v_i

유한군 대신 국소 콤팩트 위상군에 대해서도 유사한 정의가 존재한다. G가 위상군이고, H가 G의 닫힌 부분군이라 가정하자. 또한, π가 벡터 공간 V 위에 정의된 H의 표현이라고 가정하자. 그러면 G는 다음과 같이 곱 G × V에 작용한다.

:g.(g',x)=(gg',x)

여기서 g와 g'는 G의 원소이고, x는 V의 원소이다.

G × V 위에 다음 동치 관계를 정의한다.

:(g,x) \sim (gh,\pi(h^{-1})(x)) \text{ 모든 }h\in H \text{에 대하여}.

(g,x)의 동치류를 [g,x]로 표기한다. 이 동치 관계는 G의 작용에 대해 불변이므로, G는 (G × V)/ \sim 위에 작용한다. 후자는 G/H를 몫 공간으로 하고, H를 구조군으로, V를 올로 하는 벡터 다발이다. W를 이 벡터 다발의 단면 \phi : G/H \to (G \times V)/ \! \sim의 공간이라고 하자. 이것은 유도 표현 Ind_H^G \pi의 기저가 되는 벡터 공간이다. 군 G는 다음과 같이 gH \mapsto [g,\phi_g]에 의해 주어지는 단면 \phi : G/H \to \mathcal L_W에 작용한다.

:(g\cdot \phi)(g'H)=[g',\phi_{g^{-1}g'}] \ \text{ 모든 } g,g'\in G \text{에 대하여}.

3. 성질

프로베니우스 상호 법칙은 유한군 $G$와 그 부분군 $H$에 대해, $H$의 표현 $\sigma$와 $G$의 표현 $\rho$가 주어졌을 때, $\sigma$에서 $\rho$의 $H$에 대한 제한 Res($\rho$)로 가는 $H$-등변 선형 사상의 공간과 Ind($\sigma$)에서 $\rho$로 가는 $G$-등변 선형 사상의 공간이 $K$ 위에서 같은 차원을 갖는다는 정리이다.[2]

유도 표현의 보편 성질은 무한군에도 적용된다. $H$의 표현 $(\sigma, V)$와 $\sigma$에 의해 유도된 $G$의 표현 $(\operatorname{Ind}(\sigma),\hat{V})$가 있을 때, 다음 속성을 만족하는 $H$-등변 선형 사상 $j:V\to\hat{V}$가 존재한다. 즉, 임의의 $G$의 표현 $(\rho, W)$와 $H$-등변 선형 사상 $f:V \to W$에 대해, $\hat{f}j=f$를 만족하는 유일한 $G$-등변 선형 사상 $\hat{f}: \hat{V}\to W$가 존재한다.[3] 이는 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상이다.

'''프로베니우스 공식'''은 $H$의 표현 $\sigma$의 문자가 $\chi(h) = \text{Tr } \sigma(h)$로 주어질 때, 유도 표현 $\operatorname{Ind}(\sigma)$의 문자 $\psi$를 계산하는 공식을 제공한다. 공식은 다음과 같다.

:\psi(g) = \sum_{x\in G / H} \widehat{\chi}\left(x^{-1}gx \right),

여기서 합은 $G$에서 $H$의 왼쪽 잉여류의 대표 시스템에 대해 취해지며, $\widehat{\chi}$는 다음과 같이 정의된다.

: \widehat{\chi} (k) = \begin{cases} \chi(k) & \text{if } k \in H \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}

4. 응용

양자역학의 위그너 분류는 유도 표현을 핵심으로 한다. 유진 위그너가 위그너 분류를 발표하였고, 조지 매키(George Mackey)가 이를 수학적으로 엄밀히 증명하고 일반화하였다.

임의의 군에 대해, 자명 표현의 자명 부분군에 대한 유도 표현은 오른쪽 정규 표현이다. 일반적으로, 임의의 부분군의 자명 표현의 유도 표현은 해당 부분군의 잉여류에 대한 치환 표현이다.

1차원 표현의 유도 표현은 '''단항 표현'''이라고 하며, 이는 단항 행렬로 표현될 수 있기 때문이다. 일부 군은 모든 기약 표현이 단항 표현이라는 속성을 가지며, 이를 단항군이라고 한다.

국소 콤팩트 군의 유니타리 표현의 경우, 유도 구성은 임프리미티비티 시스템으로 공식화될 수 있다.

리 군론에서 중요한 예는 포물선 유도이다. 이는 환원군의 표현을 포물선 부분군의 표현으로부터 유도하는 것이다. 이는 첨점 형식의 철학을 통해 랭랜즈 프로그램으로 이어진다.

5. 역사

양자역학에서 위그너 분류의 핵심이 된다. 유진 위그너가 위그너 분류를 처음 발표하였으며, 이를 조지 매키가 수학적으로 엄밀히 증명하고 일반화하였다.[1]

참조

[1] 서적 Cohomology of Groups
[2] 서적 Linear representations of finite groups https://archive.org/[...] Springer-Verlag 1926-1977
[3] 웹사이트 Math 221 : Algebra notes Nov. 20 https://canvas.harva[...] 2018-08-01


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com