음고류

3. 다른 표기법

정수를 이용한 기본적인 음고류 표기 시스템은 어떤 조율 체계에서도 모든 음고류를 설명할 수 있을 만큼 유연하다. 예를 들어, 옥타브를 균등하게 5개로 나누는 5음 음계를 표현하기 위해 {0, 2.4, 4.8, 7.2, 9.6} 같은 숫자를 사용할 수 있다. 하지만 특정 상황에서는 다른 표기법이 더 편리할 수 있다.

순정 율법에서는 고정된 음고(기준음, 종종 $\backslash frac\{1\}\{1\}$로 표기)를 기준으로, 양의 유리수 $\backslash frac\{p\}\{q\}$를 사용하여 음고를 표현할 수 있다. 두 음고 $a$와 $b$가 양의 유리수로 표현될 때, 다음 조건을 만족하면 두 음고는 같은 음고류에 속한다.

:$\backslash frac\{a\}\{b\}\; =\; 2^n$

여기서 ''n''은 정수이다. 따라서 이 시스템에서는 분자와 분모가 모두 홀수인 비율 $\backslash frac\{p\}\{q\}$ (즉, 기약분수로 나타냈을 때 분모, 분자가 모두 홀수)로 음고류를 나타낼 수 있다. 또는 와 같이 한 옥타브 내의 값으로 줄여서 순정 율법 음고류를 나타내기도 한다.

또한, 특정 음계를 기준으로 음고류를 표기하는 것도 흔하다. 예를 들어, ''n''개의 음으로 이루어진 평균율의 음고류는 0부터 ''n'' − 1까지의 정수로 표기할 수 있다. 비슷하게, C-D-E-F-G-A-B의 다장조 음계의 음고류는 0부터 6까지의 숫자로 나타낼 수 있다. 이 방식은 앞서 설명한 연속적인 표기 시스템(예: {0, 2.4, ...})에 비해 두 가지 장점이 있다. 첫째, 옥타브를 반드시 12개로 나누는 것이 당연하다는 가정을 배제한다. 둘째, 12를 기준으로 할 때 다루기 어려운 소수 표현을 갖는 음고류 체계를 피할 수 있다. 예를 들어, 연속적인 시스템에서 19 평균율의 음고류는 0.63158..., 1.26316... 등으로 표기되는데, 이를 {0, 1, 2, ..., 18}과 같은 정수로 표기하면 음고류 계산이나 분석이 단순해진다.

그러나 음계 기반 시스템은 동일하게 들리는 화음에 무한히 많은 다른 이름을 부여한다는 단점이 있다. 예를 들어, 12 평균율에서 다장조 삼화음은 {0, 4, 7}로 표기되지만, 24 평균율에서는 동일한 소리의 삼화음이 {0, 8, 14}로 표기된다. 게다가 음계 기반 시스템은 다른 조율 체계가 동일한 크기의 '단계'(음정 간격, 예: '1')를 사용하고 옥타브 크기(예: 12음 평균율 '12', 19 평균율 '19')만 다르다고 암시하는 것처럼 보일 수 있다. 하지만 실제로는 그 반대로, 동일한 옥타브를 서로 다른 크기의 단계로 나누는 것이다.

일반적으로, 하나의 조율 체계 안에서 작업할 때는 전통적인 정수 표기법(0~11 등)이 더 유용하고, 서로 다른 조율 체계의 화음을 비교할 때는 연속적인 표기법이 더 유용할 수 있다.

4. 피치 클래스 집합 이론

피치 클래스 집합론에서는 음고(Pitch)를 집합의 개념으로 다룬다.

어떤 두 음의 주파수를 각각 $x,\; a$라고 할 때, $x\; =\; 2^n\; a$를 만족하는 정수 $n$이 존재하면, 두 음 $x,\; a$는 옥타브에 관하여 동치라고 하며, $x\; \backslash sim\; a$로 나타낸다. 여기서 $\backslash left\backslash \{x|x\; \backslash sim\; a\; \backslash right\backslash \}$로 정의되는 집합을 피치 클래스(Pitch Class)라고 부른다. 즉, 옥타브 차이가 나는 음들은 동일한 피치 클래스로 묶인다. 예를 들어, 피아노 건반의 여러 '라' 음($A\_2,\; A\_3,\; A\_4$ 등)은 주파수가 각각 110Hz, 220Hz, 440Hz 등으로 2의 거듭제곱 관계($A\_4\; =\; 2A\_3\; =\; 2^2A\_2$)를 가지므로, 모두 같은 피치 클래스 'A'에 속한다. 집합론적으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$A=\; \backslash left\backslash \{\backslash cdots,A\_2,A\_3,A\_4,\backslash cdots\; \backslash right\backslash \}$

또한, 평균율에서는 이명동음(예: D♯과 E♭, F♭♭ 등)을 같은 피치 클래스로 취급한다. 각 피치 클래스에는 정수값이 부여되는데, 반음 간격은 1, 한 옥타브는 12가 되도록 정한다. 기준음 C를 0으로 시작하여 반음씩 올라갈 때마다 숫자가 1씩 증가하며, 12가 되면 다시 0으로 돌아가는 모듈로 12 체계를 사용한다.

다음은 각 피치 클래스에 부여된 정수값과 해당하는 음이름이다. 건반 열에서 흰색은 피아노의 흰 건반, 검은색은 검은 건반에 해당하는 음이다.

이 정수 표기법은 12음 기법, 시리얼리즘, 무조성 음악 등 주로 반음계를 사용하는 현대 음악의 분석이나 작곡에 유용하게 사용된다. 예를 들어 장음계는 {0, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 0(옥타브 위)}, 단음계는 {0, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 0(옥타브 위)} 와 같이 피치 클래스 집합으로 표기할 수 있다.

5. 한국의 피치 클래스 활용

한국에서는 음악 교육 등에서 이동 도법에 따른 계명(도, 레, 미 등)에 피치 클래스 값을 대응시켜 사용하는 경우가 있다. 예를 들어, 장음계는 피치 클래스 집합 {0, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 12}로 나타낼 수 있으며, 자연 단음계는 {0, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 12} 등으로 표기할 수 있다. 여기서 숫자 12는 시작음인 0보다 한 옥타브 높은 음을 의미한다.

6. 관련 항목

• 음정 간격 클래스
• 피치 클래스 집합 이론

참조

_[1] 서적 The Cambridge Introduction to Serialism Cambridge University Press 2008
_[2] 서적 The Harvard Dictionary of Music Harvard 2003
_[3] 서적 A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice Oxford Studies in Music Theory 2011
_[4] 서적 Information Retrieval for Music and Motion 2007
_[5] 서적 2008
_[6] 논문 Generalizing Rotational Arrays 1988-Spring