자기회전비율

3. 양자역학에서의 자기회전비율

양자역학에서는 궤도 각운동량뿐만 아니라 입자의 고유한 성질인 스핀에 의한 각운동량도 고려해야 한다. 자기모멘트를 $\backslash mathbf\{\backslash mu\}$, 스핀 각운동량을 $\backslash mathbf\{S\}$라고 하면, 자기회전비율 $\backslash gamma$는 $\backslash mathbf\{\backslash mu\}\; =\; \backslash gamma\; \backslash mathbf\{S\}$로 주어지는 비례계수이다.

고립된 전자는 스핀에서 비롯된 각운동량과 자기 모멘트를 갖는다. 전자의 스핀은 때때로 축을 중심으로 한 회전으로 시각화되지만, 전하와 동일하게 분포된 질량으로 귀속될 수는 없다. 고전적인 관계는 성립하지 않으며, 전자의 g-인자($g\_e$)를 사용하여 $\backslash gamma\_\backslash mathrm\{e\}\; =\; \backslash frac\{-e\}\{\; 2\; m\_\backslash mathrm\{e\}\}\; \backslash ,\; |g\_\backslash mathrm\{e\}|\; =\; \backslash frac\{\; g\_\backslash mathrm\{e\}\; \backslash mu\_\backslash mathrm\{B\}\; \}\{\; \backslash hbar\; \}$ 와 같이 표현한다. 여기서 $\backslash mu\_B$는 보어 마그네톤이다.

전자의 스핀에 의한 자기 회전비는 전자의 궤도 운동에 의한 자기 회전비의 두 배이다. 상대론적 양자 역학의 틀 내에서, $g\_\backslash mathrm\{e\}\; =\; -2\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{\backslash ,2\backslash pi\backslash ,\}\; +\; \backslash cdots\backslash right)$ 이다. 여기서 $\backslash alpha$는 미세 구조 상수이다. 상대론적 결과 $g\; =\; 2$에 대한 작은 보정은 이상 자기 쌍극자 모멘트의 양자장론 계산에서 비롯된다. 전자의 g-인자는 단일 전자 사이클로트론에서 전자 자기 모멘트를 측정하여 소수점 12자리까지 알려져 있다.^[3]

: $g\_\backslash mathrm\{e\}\; =\; -2.002\backslash ,319\backslash ,304\backslash ,361\backslash ,18(27).$

전자의 자기 회전비는 다음과 같다.^[4][5][6]

: $\backslash gamma\_\backslash mathrm\{e\}\; =\; \backslash mathrm\{-1.760\backslash ,859\backslash ,630\backslash ,23(53)\; \backslash times\; 10^\{11\}\; \backslash ,rad\{\backslash cdot\}s^\{-1\}\{\backslash cdot\}T^\{-1\}\}$

: $\backslash frac\{\backslash gamma\_\backslash mathrm\{e\}\}\{2\backslash pi\}\; =\; \backslash mathrm\{-28\backslash ,024.951\backslash ,4242(85)\; \backslash ,MHz\{\backslash cdot\}T^\{-1\}\}$

전자의 g-인자와 자기회전비율은 이론과 매우 잘 일치한다. (''QED 정밀 검증'' 참조)^[7]

디락 방정식에 따르면 자기회전비율이 2가 되므로, g-인자 2가 상대성 이론의 결과라고 생각하는 것은 흔한 오해이다. 이는 사실이 아니다. 인자 2는 슈뢰딩거 방정식과 상대론적 클라인-고든 방정식 (디락 방정식을 유도함)의 선형화에서 모두 얻을 수 있다. 두 경우 모두 4-스피너가 얻어지며, 두 선형화 모두에서 g-인자는 2와 같다는 것을 알 수 있다. 따라서, 인자 2는 최소 결합과 공간 및 시간에 대해 동일한 차수의 도함수를 갖는다는 사실의 결과이다.^[8]

3. 1. 전자의 자기회전비율

3. 2. 원자핵의 자기회전비율

4. 라머 세차운동

각운동량 벡터가 자기장 하에 놓여 있으면 세차운동을 하는데 이를 라머 세차운동(Larmor precession)이라고 한다. 라머 세차운동은 자기회전비율과 밀접한 관련이 있다.

자기 모멘트와 정렬되지 않은 자기장 '''B''' 내에 놓인, 특정 자기 회전비를 가진 계는 외부장의 세기에 비례하는 주파수 f로 세차 운동을 한다.

:$f=\backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\backslash pi\}B$.

이 때문에, γ/(2π)라는 양이 자주 사용된다.

== 각운동량의 세차운동 ==

외부 자기장 내에서 자기 모멘트는 자이로스코프와 유사하게 외부 자기장 방향을 축으로 하는 세차운동을 한다. 자기 모멘트 $\backslash boldsymbol\{\backslash mu\}$가 $z$축 방향으로 균일하게 형성된 자기장 $\backslash mathbf\{B\}$와 $\backslash theta$만큼의 각도를 가지고 각속도 $\backslash omega$로 회전하는 각운동량 $\backslash mathbf\{L\}$을 가지고 있을 때, 각운동량의 세차운동 각속도는 자기회전비율을 $\backslash gamma$라 했을 때 $\backslash omega\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\}\{L\}B\; =\; \backslash gamma\; B$가 된다.

고전역학에서 원자의 자기회전비율은 $e/2m$으로 주어지므로, 각운동량의 회전 각속도는 $\backslash omega\_L\; =\; \backslash frac\{eB\}\{2m\}$이 되고, 이를 특별히 라머 진동수(Larmor frequency)라고 한다. 라머의 정리에 의하면 약한 자기장이 걸려 있는 경우의 자기 모멘트의 운동은 자기장이 걸려 있지 않은 운동에 자기장 방향을 축으로 하는 라머 진동수 만큼의 각속도를 더한 것과 같다.

강체 전하 시스템, 원자핵, 또는 전자와 같이 일정한 자기 회전비를 가진 임의의 자유 시스템은 외부 자기장에 배치되었을 때, 자기 모멘트와 일치하지 않으면 외부 필드에 비례하는 주파수로 세차 운동을 한다.

회전하는 모든 물체에 대해 각운동량 $\backslash ,\; \backslash mathbf\{J\}\; \backslash ,$의 변화율은 가해지는 토크 $\backslash mathbf\{T\}$와 같고, 세차 운동을 예시로 지구의 중력을 자기 선속 밀도 $\backslash ,\; \backslash mathbf\{B\}\; ~.$로 대체하면 스핀의 회전의 각속도는 다음과 같다.

:$\backslash omega\; =\; 2\backslash pi\; \backslash ,f\; =\; \backslash frac\{1\}\{\; \backslash ,\; J\; \backslash ,\; \backslash sin\{\backslash phi\}\backslash ,\}\backslash ,\backslash left|\backslash frac\{\backslash ,\backslash rm\{d\}\backslash ,\backslash mathbf\{J\}\backslash ,\}\{\backslash ,\backslash rm\{d\}\backslash ,t\backslash ,\}\backslash right|\; =\; \backslash frac\{\backslash ,\backslash left|\; \backslash mathbf\{T\}\; \backslash right|\; \backslash ,\}\{\backslash ,\; J\; \backslash ,\; \backslash sin\{\backslash phi\}\backslash ,\}\; =\; \backslash frac\{\backslash ,\backslash left|\; \backslash mathbf\{m\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash right|\; \backslash ,\}\{\backslash ,\; J\; \backslash ,\backslash sin\{\backslash phi\}\; \backslash ,\}\; =\; \backslash frac\{\backslash ,m\backslash ,B\backslash sin\{\backslash phi\}\backslash ,\}\{\backslash ,\; J\; \backslash ,\backslash sin\{\backslash phi\}\backslash ,\}\; =\; \backslash frac\{\backslash ,\; m\backslash ,\; B\backslash ,\}\{J\}\; =\; \backslash gamma\backslash ,\; B\; ~.$

결과적으로, $f=\backslash frac\{\backslash gamma\}\{\backslash ,2\backslash pi\backslash ,\}\backslash ,B~.\backslash quad\; \backslash text\{q.e.d.\}$이다.

각 세차 운동 주파수는 ''각 사이클로트론 주파수''이며, 정적 유한 자기장의 영향을 받는 이온화된 플라즈마의 공진 주파수이며, 고주파 전자기장을 중첩할 때이다.

== 스핀 1/2 입자의 세차운동 ==

양자역학에서 자기모멘트($\backslash boldsymbol\{\backslash mu\}$)가 자기장($\backslash mathbf\{B\}$) 하에 있을 때, 이 계의 해밀토니안은 $H\; =\; -\backslash boldsymbol\{\backslash mu\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{B\}\; =\; -\backslash gamma\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{S\}$로 주어진다. 자기장이 $z$축 방향으로 형성되어 있다고 가정하면, 해밀토니안은 $H\; =\; -\backslash gamma\; B\backslash mathbf\{\; S\}\_z$로 표현된다.

스핀 1/2 입자의 경우, 스핀 연산자는 파울리 행렬을 이용하여 나타낼 수 있으며, $\backslash mathbf\{S\}\_z$는 $\backslash frac\{\backslash hbar\}\{2\}\backslash sigma\_z$로 표현된다. 따라서 해밀토니안은 와 같은 행렬 표현식으로 쓸 수 있다. 이 해밀토니안의 고유상태(eigenstate)는 $\backslash mathbf\{S\}\_z$의 고유상태와 같은 $\backslash chi\_+=\backslash binom\{1\}\{0\},\; \backslash quad\backslash chi\_-\; =\; \backslash binom\{0\}\{1\}$이며, 각각의 경우 고유치(eigenvalue)는 $E\_\backslash pm\; =\; \backslash mp\backslash frac\{\backslash gamma\; B\; \backslash hbar\}\{2\}$가 된다.

자기장이 spin 축과 $\backslash theta$의 각도를 이루고 있을 경우, 스핀의 기대치를 계산하면 스핀이 세차운동을 하고 있음을 알 수 있다. 각 방향으로 스핀 성분의 기대치는 다음과 같이 계산된다.

$\backslash left\backslash lang\{S\_x\}\backslash right\backslash rang\; =\; \backslash chi^\{\backslash dagger\}\backslash mathbf\{S\}\_x\; \backslash chi\; \backslash quad$

\left\lang{S_y}\right\rang = \chi^{\dagger}\mathbf{S}_y \chi \quad

\left\lang{S_z}\right\rang = \chi^{\dagger}\mathbf{S}_z\chi

여기서 $\backslash chi^\backslash dagger$는 $\backslash chi$ 행렬의 공액전치이고,

\mathbf{S}_y = \frac{\hbar}{2}\sigma_y = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} 이다. 이를 통해 스핀의 기대치를 구하면 다음과 같다.

$\backslash left\backslash lang\{S\_x\}\backslash right\backslash rang\; =\; \backslash frac\{\backslash hbar\}\{2\}\; \backslash sin\{\backslash theta\}\; \backslash cos(\backslash gamma\; B\; t)\; ,\; \backslash quad$

\left\lang{S_y}\right\rang = -\frac{\hbar}{2} \sin{\theta} \cos(\gamma B t) , \quad

\left\lang{S_z}\right\rang = \frac{\hbar}{2}\cos{\theta}

결과적으로 스핀의 기대치는 $z$축과 각도 $\backslash theta$를 이루면서 $z$축을 중심으로 각속도 $\backslash omega\; =\; \backslash gamma\; B$로 회전한다. 이는 고전역학에서 각운동량 벡터가 자기장 내에서 회전하는 상황과 유사하지만, 스핀 자체가 아닌 스핀 기대치의 회전을 의미한다.

4. 1. 각운동량의 세차운동

4. 2. 스핀 1/2 입자의 세차운동

5. 제이만 효과와의 관련성

5. 1. 정상 제이만 효과

5. 2. 이상 제이만 효과

6. 자기 공명

자기 공명 현상은 외부 자기장의 진동수가 라머 진동수와 일치할 때 발생하며, 이를 통해 입자의 자기회전비율을 측정할 수 있다. 특히 원자핵에 대하여 이러한 실험을 수행하는 것을 핵자기 공명(NMR)이라고 한다.

외부 자기장(\\mathbf{B} = B_1 \cos{(\omega t)} \mathfrak{e} - B_1 \sin{(\omega t)} \mathfrak{e}_y + B_0 \mathfrak{e}_z)에서 $x$와 $y$ 방향의 자기장이 진동수 $\backslash omega$를 가지고 진동할 때, 전자가 스핀 다운 상태로 전이할 확률은 다음과 같다.

:$P\_\{a\backslash to\; b\}(t)\; =\; |b(t)|^2\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\_1^2\}\{\backslash Omega^2\}\; \backslash sin^2\{(\backslash frac\{\backslash Omega\}\{2\}t)\}$

= \frac{\omega_1^2}{(\omega_0-\omega)^2 + \omega_1^2} \sin^2{(\frac{\Omega}{2}t)} ($\backslash omega\_0\; =\; \backslash gamma\; B\_0$, $\backslash omega\_1\; =\; \backslash gamma\; B\_1$, $\backslash Omega\; =\; \backslash sqrt\{(\backslash omega\_0-\backslash omega)^2\; +\; \backslash omega\_1^2\}$)

이 확률은 $\backslash omega=\backslash omega\_0$일 때 공명이 일어나 최대가 된다. $B\_0$는 실험을 할 때 직접 가해주는 자기장이므로 $x,\; y$ 방향의 자기장 진동수를 바꾸어 주면서 공명이 일어나는 지점을 찾으면 그 입자의 자기회전비율 $\backslash gamma$를 측정할 수 있다.

핵자기 공명(NMR)은 원자핵의 자기회전비율을 측정하는 데 사용되는 기술로, 화학 및 의학 분야에서 널리 활용된다. 한국은 핵자기 공명(NMR) 기술을 활용한 기초 연구 및 응용 연구를 활발히 진행하고 있으며, 이는 새로운 물질 개발 및 질병 진단 기술 발전에 기여하고 있다.

참조

_[1] 간행물 GreenBookRef
_[2] 서적 Physics for Scientists and Engineers
_[3] 논문 Measurement of the Electron Magnetic Moment https://link.aps.org[...] 2023-02-13
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