제이만 효과

3. 원리

자기장이 없을 때, 원자 내 전자는 주양자수와 방위 양자수가 같고 자기 양자수만 다른 여러 원자 궤도에서 같은 에너지를 갖는다. (이를 축퇴라고 한다.) 그러나 외부에서 자기장이 가해지면, 자기 양자수에 따라 각 원자 궤도의 에너지가 미세하게 달라지면서 축퇴가 풀리고 에너지 준위가 여러 개로 갈라진다. 이를 '''제이만 분열'''이라고 한다.

원자의 총 해밀토니안은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$H\; =\; H\_0\; +\; V\_\{\backslash rm\; M\},\backslash$

여기서 $H\_0$는 원자 자체의 해밀토니안이고, $V\_\{\backslash rm\; M\}$은 자기장에 의한 섭동을 나타낸다.

:$V\_\{\backslash rm\; M\}\; =\; -\backslash vec\{\backslash mu\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{B\},$

여기서 $\backslash vec\{\backslash mu\}$는 원자의 자기 모멘트이고, $\backslash vec\{B\}$는 외부 자기장이다. 원자의 자기 모멘트는 주로 전자에 의한 것이므로 다음과 같이 근사할 수 있다.

:$\backslash vec\{\backslash mu\}\; \backslash approx\; -\backslash frac\{\backslash mu\_\{\backslash rm\; B\}\; g\; \backslash vec\{J\}\}\{\backslash hbar\},$

여기서 $\backslash mu\_\{\backslash rm\; B\}$는 보어 마그네톤, $\backslash vec\{J\}$는 전자의 총 각운동량, $g$는 란데 g-factor이다.

전자의 자기 모멘트는 궤도 각운동량 $\backslash vec\; L$과 스핀 각운동량 $\backslash vec\; S$의 합으로 구성되며, 각각은 자기 회전비로 곱해진다.

:$\backslash vec\{\backslash mu\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash mu\_\{\backslash rm\; B\}\; (g\_l\; \backslash vec\{L\}\; +\; g\_s\; \backslash vec\{S\})\}\{\backslash hbar\},$

LS 결합의 경우, 원자 내의 모든 전자에 대해 합산하면 다음과 같다.

:$g\; \backslash vec\{J\}\; =\; \backslash left\backslash langle\backslash sum\_i\; (g\_l\; \backslash vec\{l\_i\}\; +\; g\_s\; \backslash vec\{s\_i\})\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left\backslash langle\; (g\_l\backslash vec\{L\}\; +\; g\_s\; \backslash vec\{S\})\backslash right\backslash rangle,$

여기서 $g\_l\; =\; 1$이고 $g\_s\; \backslash approx\; 2.0023193$이다. (후자는 이상 자기 회전비라고 불린다.)

스핀-궤도 상호작용이 외부 자기장의 효과보다 우세하다면, $\backslash vec\; L$과 $\backslash vec\; S$는 개별적으로 보존되지 않고, 오직 총 각운동량 $\backslash vec\; J\; =\; \backslash vec\; L\; +\; \backslash vec\; S$만 보존된다. 이때 스핀 및 궤도 각운동량 벡터는 총 각운동량 벡터 $\backslash vec\; J$ 주위를 세차운동하는 것으로 생각할 수 있다.

시간 평균된 스핀 벡터와 궤도 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash vec\; S\_\{\backslash rm\; avg\}\; =\; \backslash frac\{(\backslash vec\; S\; \backslash cdot\; \backslash vec\; J)\}\{J^2\}\; \backslash vec\; J$

:$\backslash vec\; L\_\{\backslash rm\; avg\}\; =\; \backslash frac\{(\backslash vec\; L\; \backslash cdot\; \backslash vec\; J)\}\{J^2\}\; \backslash vec\; J.$

이를 이용하여 자기 퍼텐셜 에너지를 계산하면 다음과 같다.

:$$

\begin{align}

V_{\rm M}

&= \mu_{\rm B} B m_j \left[ g_L\frac{j(j+1) + l(l+1) - s(s+1)}{2j(j+1)} + g_S\frac{j(j+1) - l(l+1) + s(s+1)}{2j(j+1)} \right]\\

&= \mu_{\rm B} B m_j \left[1 + (g_S-1)\frac{j(j+1) - l(l+1) + s(s+1)}{2j(j+1)} \right],

\\

&= \mu_{\rm B} B m_j g_j

\end{align}



여기서 괄호 안의 양은 원자의 란데 g-factor g_J이고, $m\_j$는 총 각운동량의 z-성분이다.

채워진 껍질 위에 있는 단일 전자의 경우, $s\; =\; 1/2$이고 $j\; =\; l\; \backslash pm\; s$이며, 란데 g-factor는 다음과 같이 단순화된다.

:$g\_j\; =\; 1\; \backslash pm\; \backslash frac\{g\_S-1\}\{2l+1\}$

$V\_m$을 섭동으로 취하면, 에너지에 대한 제만 보정은 다음과 같다.

:$$

\begin{align}

E_{\rm Z}^{(1)} = \langle n l j m_j | H_{\rm Z}^' | n l j m_j \rangle = \langle V_M \rangle_\Psi = \mu_{\rm B} g_J B_{\rm ext} m_j

\end{align}



이러한 에너지 준위의 분열 때문에 스펙트럼선이 여러 갈래로 나뉘는 현상이 나타나는데, 이를 제이만 효과라고 한다.

전자의 스핀을 고려하지 않고 궤도 각운동량만 고려하여 설명할 수 있는 경우를 '''정상 제이만 효과''', 스핀까지 고려해야 하는 경우를 '''비정상 제이만 효과'''라고 한다.

3. 1. 기본 원리

3. 2. 정상 제이만 효과 (Normal Zeeman Effect)

3. 2. 1. 이방성

3. 3. 비정상 제이만 효과 (Anomalous Zeeman Effect)

4. 이론적 설명

원자 내부 자기장의 총 해밀토니안은 다음과 같이 표현된다.

:$H\; =\; H\_0\; +\; V\_\{\backslash rm\; M\},\backslash$

여기서 $H\_0$는 원자의 섭동되지 않은 해밀토니안이고, $V\_\{\backslash rm\; M\}$은 자기장에 의한 섭동을 나타낸다.

:$V\_\{\backslash rm\; M\}\; =\; -\backslash vec\{\backslash mu\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{B\},$

이때 $\backslash vec\{\backslash mu\}$는 원자의 자기 모멘트이다. 자기 모멘트는 전자 부분과 핵 부분으로 나뉘지만, 핵 부분은 전자 부분보다 훨씬 작기 때문에 무시한다. 따라서,

:$\backslash vec\{\backslash mu\}\; \backslash approx\; -\backslash frac\{\backslash mu\_\{\backslash rm\; B\}\; g\; \backslash vec\{J\}\}\{\backslash hbar\},$

여기서 $\backslash mu\_\{\backslash rm\; B\}$는 보어 마그네톤, $\backslash vec\{J\}$는 총 전자 각운동량, $g$는 란데 g-factor이다.

전자의 자기 모멘트 연산자는 궤도 각운동량 ($\backslash vec\; L$)과 스핀 각운동량 ($\backslash vec\; S$)의 합으로, 각각은 자기 회전비로 곱해진다.

:$\backslash vec\{\backslash mu\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash mu\_\{\backslash rm\; B\}\; (g\_l\; \backslash vec\{L\}\; +\; g\_s\; \backslash vec\{S\})\}\{\backslash hbar\},$

여기서 $g\_l\; =\; 1$이고 $g\_s\; \backslash approx\; 2.0023193$이다. $g\_s$가 2에서 벗어나는 값은 양자 전기역학 효과 때문이다. LS 결합의 경우, 원자 내의 모든 전자에 대해 다음과 같이 합산할 수 있다.

:$g\; \backslash vec\{J\}\; =\; \backslash left\backslash langle\backslash sum\_i\; (g\_l\; \backslash vec\{l\_i\}\; +\; g\_s\; \backslash vec\{s\_i\})\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left\backslash langle\; (g\_l\backslash vec\{L\}\; +\; g\_s\; \backslash vec\{S\})\backslash right\backslash rangle,$

여기서 $\backslash vec\{L\}$과 $\backslash vec\{S\}$는 원자의 총 궤도 운동량과 스핀이며, 평균은 총 각운동량의 주어진 값을 가진 상태에 대해 수행된다.

상호작용 항 $V\_M$이 작을 경우(미세 구조보다 작음) 섭동으로 취급할 수 있는데, 이것이 제만 효과이다. 파셴-바크 효과에서는 $V\_M$이 LS 결합을 크게 초과하지만, 여전히 $H\_\{0\}$에 비해 작다. 초강력 자기장에서는 자기장 상호작용이 $H\_0$를 초과할 수 있으며, 이 경우 원자는 정상적인 의미로 존재하지 않고 란다우 준위로 설명된다.

4. 1. 약한 자기장 (제만 효과)