적분 변환

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1. 개요
2. 정의
3. 주요 성질
4. 종류
5. 응용 분야
6. 역사
7. 일반 이론
참조

1. 개요

적분 변환은 주어진 함수에 커널 함수를 곱하여 적분하는 수학적 연산이다. 변환의 종류는 커널 함수의 선택에 따라 결정되며, 일반적인 형태는 함수 f(t)와 커널 K(t,u)를 사용하여 나타낸다. 커널은 변환의 핵심 요소로, 변환의 특성을 결정한다. 적분 변환은 선형 연산자이며, 슈와르츠 핵 정리에 의해 콤팩트 공간 위에서 핵의 공간과 적분 변환의 공간 사이에 일대일 대응이 존재한다. 주요 적분 변환으로는 푸리에 변환, 라플라스 변환, 멜린 변환, 한켈 변환 등이 있으며, 신호 처리, 영상 처리, 제어 공학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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적분 변환
일반 정보
이름	적분 변환
영어 이름	Integral transform
분야	수학, 해석학
관련 항목	선형 변환, 변환 쌍
정의	함수를 다른 함수로 변환하는 특정 유형의 수학적 연산
수학적 정의
형식	(Tf)(u) = ∫t1t2 K(t,u) f(t) dt
설명	여기서 f는 입력 함수이고, K는 핵 함수이며, T는 적분 변환 연산자이고, (Tf)(u)는 출력 함수이다.
변수	t는 적분 변수이고, u는 출력 함수의 변수이다.
적분 범위	t1에서 t2까지
예시
종류	푸리에 변환 라플라스 변환 멜린 변환 힐베르트 변환
특징
선형성	적분 변환은 선형 변환이다.
응용 분야	미분 방정식 풀이, 신호 처리, 이미지 처리 등
추가 정보
관련 개념	함수 공간, 핵 함수, 스펙트럼 이론
참고 자료	수학 관련 서적, 온라인 자료

2. 정의

적분 변환은 함수 ''f''를 입력으로 받아 또 다른 함수 ''Tf''를 출력하는 수학적 연산자의 한 종류이다. 이 변환은 특정 함수 ''K(t, u)''를 사용하여 정의되는데, 이 함수를 '''커널'''(kernel) 또는 '''핵'''이라고 부른다.

적분 변환은 다음과 같은 형태로 표현된다.

: $(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt$

여기서,

$f$ 는 변환의 대상이 되는 함수이다.
$Tf$ 는 변환된 결과 함수이다.
$K(t, u)$ 는 커널 함수로, 적분 변환의 종류를 결정한다.
$t_1$ 과 $t_2$ 는 적분 구간의 하한과 상한이다.

푸리에 변환, 라플라스 변환 등 다양한 종류의 적분 변환이 존재하며, 각각은 특정한 커널 함수

K(t, u)

에 의해 정의된다.

대표적인 적분 변환
명칭	기호	$K(t,u)$	$t_1$	$t_2$	$K^{-1}(u,t)$	$u_1$	$u_2$
푸리에 변환	$\mathcal{F}$	$\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
라플라스 변환	$\mathcal{L}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$

위 표는 몇 가지 주요 적분 변환과 그에 해당하는 커널, 적분 구간, 역변환 커널을 보여준다. 역변환은 원래 함수를 복원하는 변환이다.

2. 1. 일반적인 형태

일반적인 적분 변환은 다음과 같이 표현된다.

:

(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t) K (t,u) dt

여기서

f

는 입력 함수,

Tf

는 변환된 함수를 나타낸다. 적분 변환은 일종의 수학적 연산자이다.

K

는 원래의 함수와 변환된 함수의 변수를 모두 가지고 있는 함수로, 이를 변환의 '''커널'''(kernel) 혹은 '''핵'''이라고 부른다.

어떤 커널들은 자신과 연관된 (간단하게 말해서) 역커널

K^{-1} (u,t)

이 존재하고, 그것에 대해 역변환을 생각할 수 있다.

:

f(t) = \int_{u_1}^{u_2} (Tf)(u) K^{-1} (u,t) du

한편, 커널의 변수 위치를 바꿔도 커널이 바뀌지 않는 커널을 대칭 커널이라고 한다. 다시 말해서

K(t,u)=K(u,t)

인 커널

K

는 대칭 커널이다. 적분 방정식에서 대칭 커널은 자기 수반 연산자이다.^[6]

2. 2. 핵 (커널)

kernel^영어 적분 변환에서 두 변수의 함수

K

는 변환의 '''핵''' 또는 '''커널'''이라고 불리며, 각 적분 변환은 이 함수의 선택에 의해 결정된다.^[6]

어떤 커널은 연관된 ''역 커널''

K^{-1}( u,t )

을 가지며, 이를 통해 역 변환을 정의할 수 있다.^[7]

:

f(t) = \int_{u_1}^{u_2} (Tf)(u)\, K^{-1}( u,t )\, du

''대칭 커널''은 두 변수의 순서를 바꾸어도 변하지 않는 커널이다. 즉,

K(t, u) = K(u, t)

를 만족하는 커널 함수 ''

K

''이다. 적분 방정식 이론에서 대칭 커널은 자기 수반 연산자에 해당한다.^[6]

2. 3. 일반화 단면 및 적분 변환

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.^[7]

매끄러운 다양체 $M$
두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 및 $F\twoheadrightarrow M$

그렇다면, 곱공간

M\times M

의 사영 함수

:

\operatorname{proj}_1,\operatorname{proj}_2\twoheadrightarrow M

를 통해,

M\times M

위의 매끄러운 벡터 다발

:

E\boxtimes F^*=\operatorname{proj}_1^*E\otimes\operatorname{proj}_2^*F^*

를 정의할 수 있다.

(E,F)

-'''핵'''(核函數, kernel^영어)은 다음과 같은 꼴의 매끄러운 단면이다.

:

K\in\Gamma^\infty\left(\left(E\otimes\sqrt

\right)\boxtimes\left(F^*\otimes\sqrt

\right)\right)

(여기서

\Gamma^\infty

는 매끄러운 단면의 공간을 뜻하며,

\sqrt

는 무게

(\dim M)/2

의 텐서 밀도의 실수 선다발을 뜻한다.)

E

에 추가로 매끄러운 노름이 주어졌다고 하자.

이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

:

\Gamma_\text{comp}^\infty(\mathcal E^*\otimes|\Lambda(M)|)

여기서

$\Gamma_\text{comp}^\infty(-)$ 는 콤팩트 지지 매끄러운 단면들의 공간이다.
$|\Lambda(M)|$ 은 $M$ 위의, 무게 $\dim M$ 의 텐서 밀도의 실수 선다발이다.

이 위에는 균등 노름을 부여하여 노름 공간으로 만들 수 있다.

E

의 '''일반화 단면'''(一般化斷面, generalized section^영어)의 위상 벡터 공간은 위 노름 공간의 연속 쌍대 공간이다. 이를

:

\Gamma^{-\infty}(E)

로 표기하자.

(E,F)

-핵

K

에 대응되는 '''적분 변환'''은 다음과 같은 꼴의 실수 선형 변환이다.

:

\Gamma^{-\infty}(E)\to\Gamma^\infty(F)

:

s\mapsto\int_MK(x,y)s(x)\,\mathrm dx

3. 주요 성질

적분 변환은 선형 연산자이다. 예를 들어, 적분은 선형 연산자이므로 모든 적분 변환은 선형 연산자이다. 커널이 일반화 함수가 되도록 허용하면 모든 선형 연산자는 적분 변환이다. (슈바르츠 커널 정리)

슈와르츠 핵 정리에 따르면, 콤팩트 공간 위에서 핵의 공간과 적분 변환의 공간 사이에는 일대일 대응이 존재한다.

4. 종류

다양한 종류의 적분 변환이 존재하며, 각각은 특정한 목적과 응용 분야에 적합하다. 주요 적분 변환으로는 푸리에 변환, 라플라스 변환, 멜린 변환, 한켈 변환, 아벨 변환, 힐베르트 변환, 바이어슈트라스 변환 등이 있다.

각 적분 변환은 고유한 커널 함수(''K'')를 가지며, 이 커널 함수에 따라 변환의 성질이 결정된다. 예를 들어, 푸리에 변환의 커널은 $\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}$ 이고, 라플라스 변환의 커널은 $e^{-ut}$ 이다.

푸리에 변환은 푸리에 급수의 제한을 없애기 위해 개발되었으며, 시간 영역의 함수를 주파수 영역으로 변환한다. 라플라스 변환은 미분 방정식이나 적분 미분 방정식을 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환하여 방정식을 쉽게 풀 수 있도록 돕는다. 멜린 변환은 확률 변수의 곱의 분포를 구하는 데 사용되며, 한켈 변환은 원통 좌표계에서의 문제를 다룰 때 유용하다.

이 외에도 아벨 변환, 힐베르트 변환, 바이어슈트라스 변환 등 다양한 적분 변환이 존재하며, 각 변환은 특정한 함수 공간에서 정의되어 주어진 함수를 다른 함수로 변환하는 역할을 한다.

다음 표는 주요 적분 변환들의 커널 함수, 적분 범위 등을 요약한 것이다.

주요 적분 변환 목록
변환	기호	$K$	t₁	t₂	$K^{-1}$	u₁	u₂
푸리에 변환	$\mathcal{F}$	$\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
하틀리 변환	$\mathcal{H}$	$\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
멜린 변환	$\mathcal{M}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{t^{-u}}{2\pi i}\,$ ^[5]	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
양측 라플라스 변환	$\mathcal{B}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
라플라스 변환	$\mathcal{L}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
바이어슈트라스 변환	$\mathcal{W}$	$\frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\,$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+(u-t)^2/4}}{i\sqrt{4\pi}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
한켈 변환		$t\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$	$u\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$
아벨 변환		$\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}$	$u\,$	$\infty\,$	$\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}$ ^[4]	$t\,$	$\infty\,$
힐베르트 변환	$\mathcal{H}il$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
푸아송 핵		$\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2}$	$0\,$	$2\pi\,$
동일 변환		$\delta (u-t)\,$	$t_1$	$t_2>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_1\!<\!t$	$u_2\!>\!t$

위 표에서 ''c''는 변환 함수의 특성에 따라 달라지는 상수이다. 예를 들어, 라플라스 변환의 경우 ''c''는 변환 함수의 영점의 실수부 중 가장 큰 값보다 커야 한다.

4. 1. 푸리에 변환

푸리에 급수의 제한을 없애기 위해 개발된 변환이다.

푸리에 변환을 사용하면, 거의 모든 실용적인 시간 함수 (예: 전자 장치의 단자 간 전압)를 적절하게 스케일링(상수 인수를 곱함), 이동(시간적으로 앞당기거나 늦춤)하고 "압축" 또는 "늘림"(주파수 증가 또는 감소)된 사인 함수 및 코사인 함수의 합으로 표현할 수 있다. 푸리에 급수의 사인과 코사인은 정규 직교 기저의 한 예이다.

다음은 적분 변환표에서 푸리에 변환, 푸리에 사인 변환, 푸리에 코사인 변환에 대한 부분이다.

적분 변환표
명칭	기호	$K$	t₁	t₂	$K^{-1}$	u₁	u₂
푸리에 변환	$\mathcal{F}$	$\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
푸리에 사인 변환	$\mathcal{F}_s$	$\frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$
푸리에 코사인 변환	$\mathcal{F}_c$	$\frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$

4. 2. 라플라스 변환

라플라스 변환은 미분 방정식 또는 적분 미분 방정식을 시간 도메인에서 주파수 도메인("복소 주파수" 도메인)의 다항식 방정식으로 변환하는 기법이다. 복소 주파수는 실제 물리적 주파수와 유사하지만 더 일반적인 개념이다. 복소 주파수 ''s'' = −''σ'' + ''iω''에서 허수 성분 ''ω''는 사인파의 주기율인 일반적인 주파수에 해당하며, 실수 성분 ''σ''는 진폭의 지수 감소, 즉 "감쇠" 정도를 나타낸다.

복소 주파수 도메인에서 표현된 방정식은 쉽게 풀 수 있으며(복소 주파수 도메인의 다항식 방정식의 근은 시간 도메인의 고유값에 해당), 이를 통해 주파수 도메인에서 "해"를 도출한다. 역 라플라스 변환을 사용하면 시간 도메인 해를 얻을 수 있다. 복소 주파수 도메인의 다항식(일반적으로 분모에 나타남)은 시간 도메인의 멱급수에 해당하며, 복소 주파수 도메인의 축 이동은 시간 도메인의 감쇠 지수 감소에 해당한다.

라플라스 변환은 물리학, 특히 전기 공학에서 널리 사용된다. 복소 주파수 도메인에서 전기 회로의 동작을 설명하는 특성 방정식은 시간 도메인에서 지수적으로 스케일링되고 시간 이동된 감쇠 사인파의 선형 조합에 해당한다.

라플라스 변환
기호	K	t₁	t₂	K⁻¹	u₁	u₂
$\mathcal{L}$	$e^{-ut}$	$0$	$\infty$	$\frac{e^{ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$

여기서 역변환 적분의 극한에 있는 ''c''는 변환 함수의 특성에 따라 달라지는 상수이다. 예를 들어 라플라스 변환의 경우 ''c''는 변환 함수의 영점의 실수부 중 가장 큰 값보다 커야 한다.

4. 3. 멜린 변환

멜린 변환은 Mellin transform^영어으로 표기하며, 기호로는

\mathcal{M}

을 사용한다. 멜린 변환의 커널 함수는

t^{u-1}

이며, 적분 범위는

0

부터

\infty

이다. 역 멜린 변환은

\frac{t^{-u}}{2\pi i}

^[5]이며, 적분 범위는

c\!-\!i\infty

부터

c\!+\!i\infty

이다. 여기서 ''c''는 변환 함수의 특성에 따라 달라지는 상수이다. 멜린 변환은 확률 변수의 곱의 분포를 구하는 데 사용된다.

4. 4. 한켈 변환

한켈 변환(Hankel transform)은

tJ_\nu(ut)

를 핵(kernel)으로 하는 적분 변환이다. 여기서

J_\nu(ut)

는 베셀 함수(Bessel function)이다. 한켈 변환은 원통 좌표계에서의 문제를 다룰 때 유용하다.

4. 5. 기타 변환

아벨 변환, 힐베르트 변환, 바이어슈트라스 변환 등 다양한 적분 변환이 존재한다. 이러한 변환들은 특정한 함수 공간에서 정의되며, 주어진 함수를 다른 함수로 변환하는 역할을 한다. 각 변환은 고유한 커널 함수(''K'')를 가지며, 이 커널 함수에 따라 변환의 성질이 결정된다.

주요 적분 변환
변환	기호	K	t₁	t₂	K⁻¹	u₁	u₂
아벨 변환	F, f	$\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}$	$u$	$\infty$	$\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}$ ^[4]	t	$\infty$
힐베르트 변환	$\mathcal{H}il$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty$	$\infty$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty$	$\infty$
바이어슈트라스 변환	$\mathcal{W}$	$\frac{e^{-\frac{(u-t)^2}{4}}}{\sqrt{4\pi}}\,$	$-\infty$	$\infty$	$\frac{e^{\frac{(u-t)^2}{4}}}{i\sqrt{4\pi}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$

위 표에서 ''c''는 변환 함수의 특성에 따라 달라지는 상수이다. 예를 들어, 라플라스 변환의 경우 ''c''는 변환 함수의 영점(zeros)의 실수부 중 가장 큰 값보다 커야 한다.

5. 응용 분야

원래 표기법으로는 풀기 어려운 문제들이 많이 존재한다. 적분 변환은 이러한 문제의 방정식을 원래의 "영역"에서 다른 영역으로 "사상"하여, 사상된 영역에서 방정식을 다루고 푸는 것이 원래 영역에서 수행하는 것보다 훨씬 쉽게 해준다. 그렇게 얻은 해를 적분 변환의 역변환을 통해 원래 영역으로 되돌린다.

적분 변환은 확률론적 응용 분야에서 많이 활용되는데, 예를 들어 "가격 커널" 또는 확률적 할인율, 강건 통계에서 복구된 데이터의 평활화 등이 있다. 자세한 내용은 커널 (통계)를 참조하라.

5. 1. 공학

어떤 문제들은 원래 표현 방식으로는 풀기 어렵거나, 대수적으로 다루기 매우 까다로운 경우가 많다. 적분 변환은 방정식을 원래의 "영역"에서 다른 영역으로 "매핑"하여, 원래 영역에서 다루고 푸는 것보다 훨씬 더 쉽게 방정식을 조작하고 풀 수 있게 해준다. 그런 다음 적분 변환의 역변환을 통해 해를 원래 영역으로 다시 매핑할 수 있다.

적분 변환에 의존하는 확률론적 응용 분야가 많이 있는데, 예를 들어 "가격 커널" 또는 확률적 할인율, 또는 강건 통계에서 복구된 데이터의 평활화 등이 있다. 자세한 내용은 커널 (통계)를 참조하라.

5. 2. 물리학

어떤 문제들은 원래 표현 방식으로는 풀기 어렵거나, 대수적으로 다루기 매우 까다로운 경우가 많다. 적분 변환은 방정식을 원래의 "영역"에서 다른 영역으로 "매핑"하여, 원래 영역에서 다루고 푸는 것보다 훨씬 더 쉽게 방정식을 조작하고 풀 수 있게 해준다. 그런 다음 적분 변환의 역변환을 통해 해를 원래 영역으로 다시 매핑할 수 있다.

라플라스 변환은 물리학, 특히 전기 공학에서 널리 사용되며, 복소 주파수 도메인에서 전기 회로의 동작을 설명하는 특성 방정식은 시간 도메인에서 지수적으로 스케일링되고 시간 이동된 감쇠 사인파의 선형 조합에 해당한다. 다른 적분 변환은 다른 과학 및 수학 분야 내에서 특별한 적용 가능성을 찾는다.

또 다른 사용 예는 경로 적분의 커널이다.

:

\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t') K(x,t; x', t') dx'.

이는

(x,t)

에 도달하는 총 진폭

\psi(x,t)

는

x'

에서

x

로 이동하는 진폭

K(x,t;x',t')

을 곱한 점

(x',t')

에 도달하는 모든 가능한 값

x'

의 총 진폭

\psi(x',t')

에 대한 합(적분)임을 나타낸다.^[2] 이는 종종 주어진 시스템의 전파자라고 불린다. 이 (물리학) 커널은 적분 변환의 커널이다. 그러나 각 양자 시스템마다 다른 커널이 있다.^[3]

5. 3. 수학

어떤 문제들은 원래 표현 방식으로는 풀기 어렵거나, 적어도 대수적으로 다루기 매우 까다로운 경우가 많다. 적분 변환은 방정식을 원래의 "영역"에서 다른 영역으로 "매핑"하여, 원래 영역에서 다루고 푸는 것보다 훨씬 더 쉽게 방정식을 조작하고 풀 수 있게 해준다. 그런 다음 적분 변환의 역변환을 통해 해를 원래 영역으로 다시 매핑할 수 있다.

원래의 표기법에서는 풀기 어려운 문제는 적분 변환을 이용하여 다른 영역으로 방정식을 "사상"하여 쉽게 풀 수 있다. 이렇게 얻은 해는 적분 변환의 역변환을 통해 원래 영역으로 되돌릴 수 있다.

6. 역사

적분 변환의 전신은 유한 구간에서 함수를 표현하기 위한 푸리에 급수였다. 이후 유한 구간이라는 제한을 없애기 위해 푸리에 변환이 개발되었다.^[8]

푸리에 급수를 사용하면, 거의 모든 실용적인 시간 함수(예: 전자 장치의 단자 간 전압)를 각각 적절하게 스케일링(상수 인수를 곱함), 이동(시간적으로 앞당기거나 늦춤)하고 "압축" 또는 "늘림"(주파수 증가 또는 감소)된 사인 및 코사인의 합으로 표현할 수 있다. 푸리에 급수의 사인과 코사인은 정규 직교 기저의 한 예이다.^[8]

로랑 슈와르츠는 1952년에 유클리드 공간에 대한 슈와르츠 핵 정리를 발표하였다.^[8]

7. 일반 이론

적분 방정식의 일반 이론은 프레드홀름 이론으로 알려져 있다. 이 이론에서 커널은 함수의 바나흐 공간에서 작용하는 콤팩트 연산자로 이해된다. 상황에 따라 커널은 프레드홀름 연산자, 핵 연산자 또는 프레드홀름 커널이라고 한다.

참조

_[1] 서적 Methods of Theoretical Physics Vol. I
_[2] 서적 Quantum Mechanics and Path Integrals
_[3] 웹사이트 Mathematically, what is the kernel in path integral? http://physics.stack[...]
_[4] 문서 Assuming the Abel transform is not discontinuous at $u$ .
_[5] 문서 Some conditions apply, see [[Mellin inversion theorem]] for details.
_[6] 서적 Methods of Theoretical Physics McGRAW-HILL Book company
_[7] 서적 Heat kernels and Dirac operators Springer-Verlag 1992
_[8] 간행물 Théorie des noyaux Amer. Math. Soc. 1952

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