전하 밀도

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1. 개요
2. 정의
3. 자유 전하와 속박 전하
4. 양자 역학에서의 전하 밀도
5. 상대성 이론에서의 전하 밀도
6. 응용
참조

1. 개요

전하 밀도는 단위 길이, 면적, 부피당 전하량을 나타내는 물리량으로, 전하가 연속적으로 분포하거나 불연속적으로 존재하는 경우 모두 정의된다. 연속 전하의 경우 선, 면, 체적 전하 밀도로 구분되며, 불연속 전하는 디랙 델타 함수를 사용하여 표현한다. 유전체 물질에서는 자유 전하와 속박 전하로 구분되며, 총 전하 밀도는 이들의 합으로 나타낸다. 양자 역학에서는 파동 함수의 절댓값 제곱으로 전하 밀도를 계산하며, 상대성 이론에서는 속도에 따라 전하 밀도가 달라진다. 전하 밀도는 맥스웰 방정식, 화학, 분리 공정 등 다양한 분야에서 응용된다.

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전하 밀도
기본 정보
영어	charge density
종류	물리량
분야	전자기
기호	ρ
차원	T I L
SI 단위	쿨롱/m³
CGS 단위	쿨롱/cm³
설명
정의	단위 길이, 면적 또는 부피당 전하량
관련 개념	전하

2. 정의

연속 전하 분포. 체적 전하 밀도 ''ρ''는 단위 부피(3차원)당 전하량, 면 전하 밀도 ''σ''는 단위 면적(원)당 전하량이며, 바깥쪽 법선 벡터 '''n̂'''를 갖는다.

'''전하 밀도'''는 어떤 공간에 전하가 얼마나 빽빽하게 분포하고 있는지를 나타내는 물리량이다. 전하 밀도는 전하가 분포하는 공간의 차원에 따라 선, 면, 체적 전하 밀도로 구분된다.^[5]^[6]

전하 밀도는 보통 그리스 문자 λ, σ, ρ를 사용하여 나타내며, 아래첨자 ''q''는 이것이 질량 밀도, 수 밀도 등 다른 밀도가 아니라 전하 밀도임을 명확하게 나타낸다. 전자기학에서는 간단하게 아래첨자를 생략하기도 한다.

총 전하량을 길이, 면적, 또는 부피로 나누면 평균 전하 밀도를 구할 수 있다.

:

\langle\lambda_q \rangle = \frac{Q}{\ell}\,,\quad \langle\sigma_q\rangle = \frac{Q}{S}\,,\quad\langle\rho_q\rangle = \frac{Q}{V}\,.

띠 계산에서는 일반적으로 전하 밀도가 전자의 밀도를 나타내므로, 이 경우에는 '''전자 밀도'''라고도 한다. 하지만 이온 등 전자 이외의 전하에 대해서도 "전하 밀도"라는 표현을 사용하므로 주의해야 한다.

2. 1. 연속 전하

전하가 연속적으로 분포되어 있는 경우, 전하 밀도는 미소 전하량과 미소 길이, 면적, 또는 부피의 비율로 정의된다. 선 전하 밀도, 면 전하 밀도, 체적 전하 밀도는 각각 1차원, 2차원, 3차원 공간에서 전하 분포를 나타낸다.^[5]^[6]

선 전하 밀도 ( $\lambda_q$ ): 미소 전하량 ''dQ'' (단위: C)와 미소 선 요소 $d\ell$ 의 비율:

:

\lambda_q = \frac{d Q}{d \ell}

면 전하 밀도 ( $\sigma_q$ ): 미소 전하량 ''dQ''와 면적 요소 ''dS''의 비율:

:

\sigma_q = \frac{d Q}{d S}

체적 전하 밀도 ( $\rho_q$ ): 미소 전하량 ''dQ''와 부피 요소 ''dV''의 비율:

:

\rho_q =\frac{d Q}{d V} \, ,

이러한 정의들을 적분하면 특정 영역에 분포하는 총 전하량 ''Q''를 계산할 수 있다.^[16]^[17]

1차원 곡선 ''C''에 대한 선 전하 밀도 $\lambda_q(\mathbf{r})$ 의 선적분:

:

Q = \int_L \lambda_q(\mathbf{r}) \, d\ell

면 ''S''에 대한 면 전하 밀도 $\sigma_q(\mathbf{r})$ 의 면적분:

:

Q = \int_S \sigma_q(\mathbf{r}) \, dS

부피 ''V''에 대한 체적 전하 밀도 $\rho_q(\mathbf{r})$ 의 체적분:

:

Q = \int_V \rho_q(\mathbf{r}) \, dV

실제 적용 시에는

\lambda

,

\sigma

,

\rho

또는

\rho_l

,

\rho_s

,

\rho_v

와 같은 다양한 단위가 사용되며, 각각 (C/m), (C/m²), (C/m³) 단위를 나타낸다.

총 전하를 길이, 면적, 또는 부피로 나누면 평균 전하 밀도를 얻을 수 있다.

:

\langle\lambda_q \rangle = \frac{Q}{\ell}\,,\quad \langle\sigma_q\rangle = \frac{Q}{S}\,,\quad\langle\rho_q\rangle = \frac{Q}{V}\,.

띠 계산에서는 일반적으로 전하 밀도를 전자의 밀도를 나타낸다. 따라서 이 경우에는 '''전자 밀도'''라고도 한다.

2. 2. 불연속 전하

전자와 같이 여러 개의 분리된 지점에 전하가 존재할 경우, 전하 밀도는 디랙 델타 함수를 사용하여 표현할 수 있다. 예를 들어 전자의 체적 전하 밀도는 다음과 같다.

:ρ(r)^영어 = Σ_i=1^N q_iδ(r - r_i)

::r^영어 = 측정 지점, q_i = i 번째 전하 운반자의 전하량, r_i^영어 = i 번째 전하 운반자의 위치

만약 모든 전하 운반자의 전하량이 모두 q인 경우 (예를 들어 모든 전자의 전하량은 q = -e (기본 전하)) 불연속 전하의 전하 밀도는 전하 운반자 밀도 n(r)^영어로 표현할 수 있다.

:ρ_q(r)^영어 = qn(r)

단일 점전하 q가 3차원 공간 R 내의 위치 r₀에 있을 때 (예: 전자), 체적 전하 밀도는 디랙 델타 함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:ρ_q(r)^영어 = qδ(r - r₀)

여기서 r은 전하를 계산할 위치이다.

공간 영역에 대한 전하 밀도의 적분은 그 영역에 포함된 전하량이다. 델타 함수는 임의의 함수 f에 대해 '이동 특성'을 가지고 있다.

:∫_R d³r f(r)δ(r - r₀) = f(r₀)

따라서 델타 함수는 전하 밀도가 R에 대해 적분될 때, R의 총 전하가 q임을 보장한다.

:Q =∫_R d³r ρ_q =∫_R d³r qδ(r - r₀) = q∫_R d³r δ(r - r₀) = q

이는 N개의 이산적인 점전하 운반자로 확장될 수 있다. 점 r에서의 계의 전하 밀도는 위치 r_i에 있는 각 전하 q_i에 대한 전하 밀도의 합이다. 여기서 i = 1, 2, ..., N 이다.

:ρ_q(r)^영어 = Σ_i=1^N q_iδ(r - r_i)

합에서 각 전하 q_i에 대한 델타 함수, δ(r - r_i)는 R에 대한 전하 밀도의 적분이 R의 총 전하를 반환하도록 보장한다.

:Q = ∫_R d³r Σ_i=1^N q_iδ(r - r_i) = Σ_i=1^N q_i ∫_R d³r δ(r - r_i) = Σ_i=1^N q_i

모든 전하 운반자가 같은 전하 q를 가질 경우 (전자의 경우 q = -e, 기본 전하), 전하 밀도는 단위 부피당 전하 운반자 수 n(r)^영어를 통해 다음과 같이 표현될 수 있다.

:ρ_q(r)^영어 = qn(r)

2. 3. 균일 전하 밀도

전하 밀도가 균일한 공간에서 총 전하량은 다음과 같이 간단히 표시될 수 있다.^[16]^[17]

:Q = V · ρ_q,0

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 먼저 부피에 대한 총 전하량을 구하는 방정식에서

:Q = ∫_V ρ_q(r) dV

전하 밀도가 균일하므로 ρ_q(r)는 ρ_q,0를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:Q = ρ_q,0 ∫_V dV = ρ_q,0 · V

따라서,

:Q = V · ρ_q,0

다른 차원의 전하량 계산도 위와 같다.

3. 자유 전하와 속박 전하

유전체 물질에서 물체의 총 전하는 "자유" 전하와 "결합" 전하로 구분할 수 있다.

'''결합 전하'''는 인가된 전기장 '''E'''에 반응하여 전기 쌍극자를 형성하고, 근처의 다른 쌍극자를 정렬시키는 경향이 있다. 쌍극자의 배향으로 인한 전하의 순 축적이 결합 전하이다. 이들은 제거할 수 없기 때문에 결합 전하라고 불린다. 유전체 물질에서 결합 전하는 원자핵에 결합된 전자이다.^[6]

'''자유 전하'''는 '''정전기 평형''' 상태에 도달할 수 있는 과잉 전하이거나, 전류를 구성하는 전하이다.^[5]

3. 1. 총 전하 밀도

총 전하 밀도는 자유 전하 밀도와 속박 전하 밀도의 합으로 표현된다.

부피 전하 밀도의 경우, 총 전하 밀도는 다음과 같다.

:

\rho = \rho_f + \rho_b\,.

마찬가지로 면 전하 밀도의 경우:

:

\sigma = \sigma_f + \sigma_b\,.

여기서 아래첨자 "f"와 "b"는 각각 "자유"와 "속박"을 나타낸다.

3. 2. 속박 전하

유전체 표면에 쌓이는 전하를 결합 표면 전하라 하며, 이는 표면에 수직인 쌍극자 모멘트에 의해 다음과 같이 주어진다.^[6]

:

q_b = \frac{\mathbf{d} \cdot\mathbf{\hat{n}}}

여기서 '''s'''는 쌍극자를 구성하는 점전하 사이의 거리이고,

\mathbf{d}

는 전기 쌍극자 모멘트,

\mathbf{\hat{n}}

는 표면에 대한 단위 법선 벡터이다.

미소량을 취하면 다음과 같다.

:

d q_b = \frac{d\mathbf{d}}

\cdot\mathbf{\hat{n}}

이를 미소 표면 요소 ''dS''로 나누면 결합 표면 전하 밀도가 된다.

:

\sigma_b = \frac{d q_b}{d S} = \frac{d\mathbf{d}}{|\mathbf{s}| dS} \cdot\mathbf{\hat{n}} = \frac{d\mathbf{d}}{dV} \cdot\mathbf{\hat{n}} = \mathbf{P} \cdot\mathbf{\hat{n}}\,.

여기서 '''P'''는 분극 밀도, 즉 물질 내 전기 쌍극자 모멘트의 밀도이고, ''dV''는 미소 체적 요소이다.

발산 정리를 사용하면, 물질 내 결합 체적 전하 밀도는 다음과 같다.

:

q_b = \int \rho_b \, dV = -\oint_S \mathbf{P} \cdot \hat\mathbf{n} \, dS = -\int \nabla \cdot \mathbf{P} \, dV

따라서,

:

\rho_b = - \nabla\cdot\mathbf{P}\,.

음의 부호는 쌍극자 내 전하의 반대 부호 때문이며, 한쪽 끝은 물체의 부피 내에 있고 다른 쪽은 표면에 있다.

보다 엄밀한 유도는 다음과 같다.^[6]

전기적 퍼텐셜은 쌍극자 모멘트 '''d'''에 의해 다음과 같다.

:

\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\mathbf{d}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}

연속적인 분포의 경우, 물질은 무한히 많은 미소량 쌍극자로 나눌 수 있다.

:

d\mathbf{d}=\mathbf{P}dV=\mathbf{P}d^3\mathbf{r}

여기서 ''dV'' = ''d''³'''r′''' 는 체적 요소이므로, 퍼텐셜은 물체에 대한 체적 적분이다.

:

\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iiint\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\mathbf{P}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}d^3\mathbf{r'}

다음과 같이

:

\nabla'\left(\frac{1}

\right) \equiv \left(\mathbf{e}_x \frac{\partial }{\partial x'} + \mathbf{e}_y\frac{\partial }{\partial y'} + \mathbf{e}_z\frac{\partial }{\partial z'}\right)\left(\frac{1}

\right) = \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}

여기서 ∇′는 '''r′''' 좌표계에서의 기울기이다.

:

\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iiint\mathbf{P}\cdot\nabla'\left(\frac{1}

\right) d^3\mathbf{r'}

부분 적분을 사용하면

:

\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iiint\left[\nabla'\cdot\left(\frac{\mathbf{P}}

\right) - \frac{1}{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}(\nabla'\cdot\mathbf{P})\right]d^3\mathbf{r'}

발산 정리를 사용하면 다음과 같다.

:

\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \oint_S \frac{\mathbf{P}\cdot \mathbf{\hat{n}}dS'}

- \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iiint\frac{\nabla'\cdot\mathbf{P}}

d^3\mathbf{r'}

이는 표면 전하의 퍼텐셜(면적분)과 체적 전하로 인한 퍼텐셜(체적 적분)로 분리된다.

:

\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \oint_S \frac{\sigma_b dS'}

+ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iiint\frac{\rho_b}

d^3\mathbf{r'}

즉,

:

\sigma_b=\mathbf{P}\cdot\mathbf{\hat{n}}\,,\quad \rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}

3. 3. 자유 전하 밀도

자유 전하 밀도는 전기학에서 가우스 법칙을 단순화하는 데 유용하게 쓰인다. 자유 전하 밀도의 부피 적분은 대전된 물체 내부에 둘러싸인 자유 전하량을 나타내며, 이는 물체에서 나오는 전기 변위장 '''D'''의 총 플럭스와 같다.

:

\Phi_D = \oiint \limits_S \mathbf{D} \cdot \mathbf{\hat{n}} \, dS = \iiint \rho_f \, dV

자세한 내용은 맥스웰 방정식과 물질 방정식을 참조하라.

4. 양자 역학에서의 전하 밀도

양자 역학에서 전하 밀도는 파동함수 $\psi(\mathbf r)$ 와 다음과 같은 관계를 가진다.^[18]

: $\rho_q(\mathbf r) = q\cdot|\psi(\mathbf r)|^2$

여기서 $q$ 는 입자의 전하량이고, $|\psi(\mathbf r)|^2$ 는 확률 밀도 함수로, '''r''' 위치에서 입자가 단위 부피당 존재할 확률을 나타낸다.

일반적으로 총 전하량은 다음과 같이 적분 형태로 표현된다.

: $Q= q\cdot \int |\psi(\mathbf r)|^2 \, d\mathbf r.$

파동 함수가 정규화된 경우, 특정 영역 '''r''' ∈ ''R'' 에서의 평균 전하량은 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $Q= \int_R q |\psi(\mathbf r)|^2 \, d^3 \mathbf{r}$

여기서 $d^3 \mathbf{r}$ 은 3차원 위치 공간에 대한 적분 측도이다.

띠 계산에서 전하 밀도는 보통 전자의 밀도를 나타내며, 이 경우 전자 밀도(electron density)라고도 한다. 띠 계산에서는 파동 함수 $\psi_{i,\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{r})$ 의 노름(norm)을 이용하여 실공간에서의 전하 밀도 $\rho (\boldsymbol{r})$ 를 구한다.

: $\rho (\boldsymbol{r}) = \sum_{i,\boldsymbol{k}} f_{i,\boldsymbol{k}} |\psi_{i,\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{r})|^2.$

여기서 $i$ 와 $\boldsymbol{k}$ 는 각각 밴드와 k점의 지표이며, $f_{i,\boldsymbol{k}}$ 는 각 k점 상의 각 밴드에서 전자의 점유 수이다. 띠 계산에서는 보통 원자 단위를 사용하므로 기본 전하량은 $e = 1$ (하트리 원자 단위계의 경우)로 한다.

푸리에 변환을 통해 실공간의 전하 밀도를 역격자공간으로 변환할 수 있다.

: $\rho (\boldsymbol{G}) = \frac{1}{V} \int \rho (\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{r}} d\boldsymbol{r}$

여기서 $\rho (\boldsymbol{G})$ 는 구조 인자라고도 불리며, 역공간 표시에서의 전하 밀도로도 사용된다.

실공간의 파동함수를 푸리에 변환하면 역격자공간(운동량공간)에서의 파동함수 $\psi(\boldsymbol{G})$ 를 얻을 수 있다.

: $\psi(\boldsymbol{G}) = \frac{1}{V} \int \psi(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{r}} d\boldsymbol{r}$

이 파동함수의 노름을 취하면 운동량 밀도 $P(\boldsymbol{G})$ 를 얻을 수 있다.

: $P(\boldsymbol{G}) = |\psi(\boldsymbol{G})|^2$

운동량 밀도는 콤프턴 산란이나 전자-양전자 소멸 실험 등에서 관측되는 양으로, 대상이 금속(반금속 포함)인 경우 페르미면의 정보를 포함하고 있다.

5. 상대성 이론에서의 전하 밀도

특수 상대성 이론에서, 도선의 한 부분의 길이는 길이 수축 때문에 속도에 따라 관찰자에 따라 다르게 보인다. 따라서 전하 밀도 또한 속도에 따라 달라진다. 앤서니 프렌치^[7]는 전류를 띤 도선의 자기장 힘이 이러한 상대적인 전하 밀도에서 어떻게 발생하는지 설명했다. 그는 밍코프스키 도표를 사용하여 "움직이는 기준 좌표계에서 관측될 때 중성 전류를 띤 도선이 순 전하 밀도를 띠는 것처럼 보이는 방법"을 보여주었다. (260쪽) 움직이는 기준 좌표계에서 전하 밀도를 측정할 때 이를 '''고유 전하 밀도'''라고 한다.^[8]^[9]^[10]

전하 밀도 ρ와 전류 밀도 '''J'''는 로렌츠 변환 하에서 사차 전류 벡터로 함께 변환된다.

6. 응용

전하 밀도는 전자기학의 맥스웰 방정식에서 유도된 연속 방정식에 이용된다. 전하 밀도는 전류에 대한 연속 방정식과 맥스웰 방정식에도 나타나며, 전자기장의 주요 원천 항이다. 전하 분포가 움직일 때는 전류 밀도에 해당한다. 분자의 전하 밀도는 화학 및 분리 과정에 영향을 미치는데, 예를 들어 금속-금속 결합과 수소 결합에 영향을 준다.^[13] 나노여과와 같은 분리 과정에서 이온의 전하 밀도는 막에 의한 이온 거절에 영향을 미친다.^[14]

참조

_[1] 서적 Essential Principles of Physics John Murray
_[2] 웹사이트 Physics 2: Electricity and Magnetism, Course Notes, Ch. 2, p. 15-16 https://ocw.mit.edu/[...] Massachusetts Institute of Technology 2017-12-03
_[3] 서적 Physics for Scientists and Engineers, Vol. 2, 9th Ed. https://books.google[...] Cengage Learning 2013-00-00
_[4] 서적 Electricity and Magnetism https://books.google[...] Cambridge University Press 2011-09-22
_[5] 서적 Electromagnetism Manchester Physics, John Wiley & Sons
_[6] 서적 Introduction to Electrodynamics Pearson Education, Dorling Kindersley
_[7] 서적 Special Relativity W. W. Norton
_[8] 서적 Basic Relativity Springer Science & Business Media
_[9] 서적 An Introduction to Tensor Calculus: Relativity and Cosmology Courier Corporation
_[10] 서적 Classical Electromagnetic Theory Springer Science & Business Media
_[11] 서적 Modern quantum mechanics Cambridge University Press 2021-00-00
_[12] 웹사이트 The Hartree-Fock Method in Atoms https://bohr.physics[...]
_[13] 학술지 Chemical Bonding and Molecular Geometry Oxford University Press 2001-00-00
_[14] 학술지 Ionic Charge Density-Dependent Donnan Exclusion in Nanofiltration of Monovalent Anions 2018-00-00
_[15] 서적 화학용어사전 일진사
_[16] 웹사이트 Spacial Charge Distributions http://www.ac.wwu.ed[...]
_[17] 서적 전자기학 교보문고
_[18] 서적 기초 일반화학 동화기술

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