제곱 유군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 이차 폐체
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

제곱 유군은 체 K의 가역원군 K^\times를 K^\times의 제곱수로 생성된 부분군 (K^\times)^2으로 나눈 몫군 K^\times/(K^\times)^2이다. 이는 0이 아닌 K의 원소 중 제곱수에 대한 합동류들의 아벨 군이며, 이 군의 원소를 제곱류라고 한다. 제곱 유군이 자명군인 체를 이차 폐체라고 하며, 복소수체, 짝수 표수의 유한체 등이 이에 해당한다. 제곱 유군은 아벨 2-군이며, 유한군일 경우 그 크기는 2의 거듭제곱이다. 실수체의 제곱 유군은 크기가 2인 순환군이며, 유리수체의 제곱 유군은 가산 무한 집합이다.

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제곱 유군
일반 정보
수학 분야	환론
정의	가환환에서 제곱인 원소들의 곱셈에 대한 동치류
관련 개념	유군, 비트 군, 기약 이차 형식, 피타고라스 수

2. 정의

체 $K$ 의 '''제곱 유군'''은 다음과 같은 몫군이다.

: $K^\times/(K^\times)^2$

여기서 $K^\times=K\setminus\{0\}$ 는 $K$ 의 가역원군 (0이 아닌 원소들의 곱셈에 대한 군)이다. 즉, 제곱 유군은 0이 아닌 $K$ 의 원소들을, 어떤 원소의 제곱이 되는 원소들(제곱수)과 그렇지 않은 원소들로 분류했을 때 만들어지는 아벨 군이다. 이때 제곱 유군의 각 원소를 '''제곱류'''(-類, square class^영어)라고 한다.

2. 1. 이차 폐체

제곱 유군이 자명군인 체를 이차 폐체라고 한다. 복소수체를 비롯한 모든 대수적으로 닫힌 체는 이차 폐체이다. 또한, 짝수 표수의 유한체 역시 이차 폐체이다.

3. 성질

체 K의 제곱 유군 K^×/(K^×)²은 정의에 따라 아벨 2-군이다. 즉, 모든 원소의 차수가 2이다. 따라서, 만약 제곱 유군이 유한군이라면 그 크기는 2의 거듭제곱 형태를 가진다.

4. 예

다루는 체의 종류에 따라 제곱 유군의 구조와 크기는 다양하게 나타난다. 예를 들어, 복소수체와 같은 대수적으로 닫힌 체나 짝수 표수의 유한체에서는 모든 원소가 제곱근을 가지므로 제곱 유군이 자명군이 된다. 반면, 실수체나 홀수 표수의 유한체에서는 제곱 유군의 크기가 2이다. p진수체의 경우, 홀수 소수 $p$ 에 대해서는 크기가 4, $p=2$ 일 때는 크기가 8이 된다. 유리수체와 같이 더 복잡한 체에서는 제곱 유군이 가산 무한 집합이 될 수도 있다.

4. 1. 크기 1

복소수체를 비롯한 모든 대수적으로 닫힌 체는 이차 폐체이다. 즉, 제곱 유군이 자명군이다. 짝수 표수의 유한체 역시 이차 폐체이다.

4. 2. 크기 2

실수체의 제곱 유군은 크기가 2인 순환군이다.^[1]^[2]

:

\mathbb R^\times/(\mathbb R^\times)^2=\{[+1],[-1]\}

홀수 표수의 유한체

\mathbb F_q

의 제곱 유군은 크기가 2인 순환군이다.^[1]^[2] 예를 들어 다음과 같다.

$\mathbb F_3$ 의 두 제곱류는 {1}, {2}이다.
$\mathbb F_5$ 의 두 제곱류는 {1,4}, {2,3}이다.
$\mathbb F_7$ 의 두 제곱류는 {1,2,4}, {3,5,6}이다.
$\mathbb F_9=\mathbb F_3[t]/(t^2+1)$ 의 두 제곱류는 $\{1,2\}$ , $\{t,2t\}$ 이다.

4. 3. 크기 4

홀수 소수

p

에 대하여,

p

진수체

\mathbb Q_p

의 제곱 유군의 크기는 4이다. 만약

n

이

p

-제곱잉여가 아닌 임의의 정수라면, 4개의 제곱류들의 대표원은

[1]

,

[p]

,

[n]

,

[np]

이다.

4. 4. 크기 8

2진수체

\mathbb Q_2

의 제곱 유군의 크기는 8이다.

4. 5. 무한 크기

유리수체의 제곱 유군은 가산 무한 집합이다.

참조

_[1] 서적 The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers https://books.google[...] Cambridge University Press
_[2] 서적 Bilinear Algebra: An Introduction to the Algebraic Theory of Quadratic Forms https://books.google[...] CRC Press

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