조화수

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1. 개요
2. 조화수의 정의 및 연산
3. 조화수의 성질
4. 조화수의 계산
- 4.1. 적분 표현
- 4.2. 점근 전개
5. 생성 함수
6. 실수 및 복소수 값에 대한 조화수
7. 일반화
8. 응용
참조

1. 개요

조화수는 자연수 n에 대해 정의되는 수열로, 각 항은 1부터 n까지의 자연수의 역수의 합으로 표현된다. 조화수는 다음과 같은 정의와 점화식을 가지며, 부호 교대 조화수도 정의된다. 조화수는 점화 관계, 급수 항등식, 산술적 성질 등 다양한 수학적 성질을 가지며, 특히 Hₙ이 정수가 되는 것은 n=1일 때뿐이다. 조화수는 π와 관련된 무한 합을 포함하며, 적분 표현을 통해 계산할 수 있다. 조화수는 자연 로그와 연관되어 있으며, 오일러-마스케로니 상수를 포함하는 점근 전개를 갖는다. 또한, 조화수는 생성 함수와 실수 및 복소수 값에 대한 확장을 통해 다루어진다. 조화수는 일반화 조화수, 초조화수, 로만 조화수 등으로 확장될 수 있으며, 디감마 함수 계산, 리만 가설과의 관계, 비국소 문제의 고유값 계산 등 다양한 분야에 응용된다.

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조화수
정의
정의	조화수는 처음 n개의 자연수의 역수의 합이다.
수식
수식	표준 표기법은 다음과 같다: = ∑ 1/k''}}.
첫 번째 값	처음 몇 개의 값은 다음과 같다: .
성질
증가	조화수는 로그 함수처럼 증가하지만, 더 느리게 증가한다. 조화수는 무한대로 발산한다.
점근적 행동	일 때, = ln n + γ + ε}}, 여기서 는 오일러-마스케로니 상수이고, → 0}}이다.
일반화	일 때, 합 1/k}}은 리만 제타 함수의 값 으로 수렴한다.
응용	조화수는 알고리즘의 분석에 나타난다 (예: 퀵 정렬).
네트워크 값
네트워크 값 이론	가상 네트워크의 이론에서 앤드루 오들리츠코(Andrew Odlyzko)는 네트워크 값을 정의했는데, 이는 네트워크의 각 사람이 네트워크에 합류함에 따라 얻는 이점의 합이며, 메트칼프의 법칙에 따라 다음과 같이 주어진다. }} 여기서 은 네트워크의 사람 수이다.

2. 조화수의 정의 및 연산

조화수( $H_n$ )는 자연수 n에 대해 다음과 같이 정의된다.

: $H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$

부호 교대 조화수는 다음과 같다.

: $H_n^' = \sum_{k = 1}^n \frac{k}$

: $H_{2n}^{'} = \sum_{k = 1}^{2n} \frac{k}$

정의에 따라, 조화수는 다음의 점화 관계를 만족한다.

: $H_{n + 1} = H_{n} + \frac{1}{n + 1}.$

3. 조화수의 성질

조화수는 다음과 같은 흥미로운 성질들을 가지고 있다.

점화 관계 및 항등식:
조화수는 다음 점화 관계를 만족한다.^[1]

:

H_{n + 1} = H_{n} + \frac{1}{n + 1}.

제1종 스털링 수와 다음 관계를 갖는다.^[1]

:

H_n = \frac{1}{n!}\left[{n+1 \atop 2}\right].

다음 급수 항등식을 만족한다.^[1]

:

\sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_{n} - n

:

\sum_{k=1}^n H_k^2 = (n+1)H_{n}^2 - (2 n +1) H_n + 2 n.

산술적 성질:
Hₙ^영어이 정수가 되는 필요충분조건은 n=1^영어일 때 뿐이다.^[5]
Wolstenholme's theorem에 따르면, 모든 소수 p ≥ 5^영어에 대해 Hₚ₋₁^영어의 분자는 p²^영어으로 나누어진다.

π 항등식:
π의 거듭제곱을 포함하는 몇 가지 무한 합은 다음과 같다.^[3]

:

\begin{align}  \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n\cdot 2^n} &= \frac{\pi^2}{12} \\  \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{n^2} &= \frac{17}{360}\pi^4 \\  \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &= \frac{11}{360}\pi^4 \\  \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^3} &= \frac{\pi^4}{72}  \end{align}

3. 1. 점화 관계 및 항등식

정의에 따라, 조화수는 다음의 점화 관계를 만족한다.^[1]

:

H_{n + 1} = H_{n} + \frac{1}{n + 1}.

조화수는 다음 관계를 통해 제1종 스털링 수와 연결된다.^[1]

:

H_n = \frac{1}{n!}\left[{n+1 \atop 2}\right].

조화수는 다음의 급수 항등식을 만족한다.^[1]

:

\sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_{n} - n

그리고

:

\sum_{k=1}^n H_k^2 = (n+1)H_{n}^2 - (2 n +1) H_n + 2 n.

이 두 결과는 다음과 같은 해당 적분 결과와 매우 유사하다.^[1]

:

\int_0^x \log y \  d y = x \log x - x

그리고

:

\int_0^x (\log y)^2\ d y = x (\log x)^2 - 2 x \log x + 2 x.

3. 2. 산술적 성질

조화수는 몇 가지 흥미로운 산술적 성질을 가지고 있다. Hₙ^영어이 정수가 되는 필요충분조건은 n=1^영어일 때 뿐이라는 것이 잘 알려져 있으며, 이는 종종 테이징거(Taeisinger)의 결과로 여겨진다.^[5] 실제로, 2진법 평가를 사용하면, n ≥ 2^영어에 대해 Hₙ^영어의 분자가 홀수이고, Hₙ^영어의 분모가 짝수임을 증명하는 것은 어렵지 않다. 보다 정확하게는 다음과 같다.

:Hₙ^영어 = (1/2^{⌊log₂(n)⌋}^영어)(aₙ/bₙ^영어)

여기서 aₙ^영어과 bₙ^영어은 홀수인 정수이다.

Wolstenholme's theorem에 따르면, 모든 소수 p ≥ 5^영어에 대해 Hₚ₋₁^영어의 분자는 p²^영어으로 나누어진다. 또한, 아이젠슈타인(Eisenstein)^[6]은 모든 홀수 소수 p^영어에 대해 다음이 성립함을 증명했다.

:H(ₚ₋₁)/₂ ≡ -2qₚ(2) (mod p)^영어

여기서 qₚ(2) = (2^p-1 -1)/p^영어는 Fermat quotient이며, p^영어가 H(ₚ₋₁)/₂^영어의 분자를 나누는 것은 p^영어가 Wieferich 소수일 때와 필요충분 조건이다.

1991년, 에스와라타산(Eswarathasan)과 레빈(Levine)^[7]은 Jₚ^영어를 Hₙ^영어의 분자가 소수 p^영어로 나누어지는 모든 양의 정수 n^영어의 집합으로 정의했다. 그들은 모든 소수 p ≥ 5^영어에 대해 다음이 성립함을 증명했다.

:

또한, Jₚ^영어가 정확히 3개의 원소를 가지는 소수 p^영어를 ''조화 소수''로 정의했다.

에스와라타산과 레빈은 모든 소수 p^영어에 대해 Jₚ^영어가 유한 집합이며, 조화 소수가 무한히 많다는 것을 추측했다. 보이드(Boyd)^[8]는 83, 127, 397을 제외하고 p = 547^영어까지 모든 소수에 대해 Jₚ^영어가 유한함을 확인했고, 모든 소수 집합에서 조화 소수의 밀도가 1/e^영어가 되어야 한다는 휴리스틱을 제시했다. 산나(Sanna)^[9]는 Jₚ^영어가 점근 밀도가 0임을 보였고, 삥-링 우(Bing-Ling Wu)와 용-가오 첸(Yong-Gao Chen)^[10]은 x^영어를 넘지 않는 Jₚ^영어의 원소의 개수가 모든 x ≥ 1^영어에 대해 최대 3x^{⅔+1/25log p}^영어임을 증명했다.

3. 3. π 항등식

조화수와 π의 거듭제곱을 포함하는 몇 가지 무한 합은 다음과 같다:^[3]

:

\begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n\cdot 2^n} &= \frac{\pi^2}{12} \\\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{n^2} &= \frac{17}{360}\pi^4 \\\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &= \frac{11}{360}\pi^4 \\\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^3} &= \frac{\pi^4}{72}\end{align}

4. 조화수의 계산

오일러는 조화수를 적분으로 표현하는 방법을 제시했고,^[4] 이를 통해 조화수의 값을 계산할 수 있다. 조화수는 자연 로그와 오일러-마스케로니 상수를 이용하여 점근적으로 전개할 수 있다.

4. 1. 적분 표현

오일러가 제시한 적분 표현은 다음과 같다.^[4]

H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx.

위의 등식은 간단한 대수적 항등식을 통해 쉽게 알 수 있다.

\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}.

x = 1 - u

를 대입하면,

H_n

의 또 다른 표현을 얻을 수 있다.

\begin{align}H_n &= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx = \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\[6pt]&= \int_0^1\left[\sum_{k=1}^n \binom nk (-u)^{k-1}\right]\,du= \sum_{k=1}^n \binom nk \int_0^1 (-u)^{k-1}\,du \\[6pt]&= \sum_{k=1}^n \binom nk \frac{(-1)^{k-1}}{k}.\end{align}

4. 2. 점근 전개

번째 조화수는 의 자연 로그(ln ''n'')와 거의 같다. 그 이유는 조화수의 합이 다음 적분으로 근사되기 때문이다.

:

\int_1^n \frac{1}{x}\, dx = \ln n

수열 은 단조 감소하며, 극한은 다음과 같다.

:

\lim_{n \to \infty} \left(H_n - \ln n\right) = \gamma

여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다. 의 점근 전개는 다음과 같다.

:

\begin{align}H_n &\sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}\\&=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,\end{align}

여기서 는 베르누이 수이다.

5. 생성 함수

조화수의 생성 함수는 다음과 같다.

$\sum_{n=1}^\infty z^n H_n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z}$

여기서 ln(''z'')는 자연 로그이다. 지수 생성 함수는 다음과 같다.

$\sum_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n!} H_n = e^z \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} \frac {z^k}{k!} = e^z \operatorname{Ein}(z)$

여기서 Ein(''z'')는 완전 지수 적분이다. 지수 적분은 다음과 같이 표현될 수도 있다.

$\operatorname{Ein}(z) = \mathrm{E}_1(z) + \gamma + \ln z = \Gamma (0,z) + \gamma + \ln z$

여기서 Γ(0, ''z'')는 불완전 감마 함수이다.

6. 실수 및 복소수 값에 대한 조화수

조화수는 해석적 연속을 통해 음의 정수를 제외한 복소 평면으로 정의를 확장할 수 있으며, 디감마 함수와 밀접하게 관련되어 있다. 실제로 디감마 함수와 오일러-마스케로니 상수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.^[4]

: $H_x = \psi(x+1)+\gamma.$

복소수 $x$ 에 대한 조화수의 무한 급수 표현은 다음과 같다.

: $H_x = x \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(x+k)}.$

이 급수는 음의 정수를 제외한 모든 복소수 $x$ 에 대해 수렴한다.

복소수 $n$ 에 대한 조화수의 점근적 공식은 다음과 같다.

: $\begin{align}H_n &\sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}\\&=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,\end{align}$

여기서 $B_k$ 는 베르누이 수이다.

조화수의 테일러 급수는 다음과 같다.

: $H_x=\sum_{k=2}^\infty (-1)^{k}\zeta (k)\;x^{k-1}\quad\text{ for } |x| < 1$

여기서 $\zeta$ 는 리만 제타 함수이다.

7. 일반화

''n''번째 ''m''차 '''일반화 조화수'''(generalized harmonic number^영어)는 다음과 같이 주어진다.

: $H_{n,m}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}$

''n''을 무한대로 보냈을 때 극한이 존재하는 것은 ''m'' > 1일 때뿐이다. 일반화 조화수를 나타내는 기호로는 다음이 사용되기도 한다.

: $H_{n,m}= H_n^{(m)} = H_m(n).$

''m'' = 1인 경우는 통상적인 조화수이며, 아래첨자 ''m''을 생략하고 다음과 같이 표기한다.

: $H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$

''n'' → ∞의 극한에서 일반화 조화수는 리만 제타 함수로 수렴한다.

: $\lim_{n\to \infty} H_{n,m} = \zeta(m)$

일반화 조화수는 베르누이 수와 스털링 수를 조사할 때 나타난다. 일반화 조화수의 모함수는 다음과 같다.

: $\sum_{n=1}^\infty z^n H_{n,m} =\frac {\mbox{Li}_m(z)}{1-z}$

여기서 Li_''m''(''z'')는 다중로그 함수이며, |''z''| < 1이다. 이 식에서 ''m'' = 1로 한 것은, 앞서 언급한 조화 수열의 모함수와 일치한다.

7. 1. 일반화 조화수

''m''차 '''일반화 조화수'''는 다음과 같이 정의된다.

H_{n,m}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}.

(일부 자료에서는 이를

H_n^{(m)}

또는

H_m(n)

으로 표기하기도 한다.)

특수한 경우인 ''m'' = 0일 때

H_{n,0}= n

이다. ''m'' = 1일 때는 일반적인 조화수로 축약된다.

H_{n, 1} = H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.

n \rightarrow \infty

일 때

H_{n, m}

의 극한은

m > 1

일 경우 유한하며, 일반화 조화수는 리만 제타 함수에 의해 제한되고 수렴한다.

\lim_{n\rightarrow \infty} H_{n,m} = \zeta(m).

일반화 조화수의 생성 함수는 다음과 같다.

\sum_{n=1}^\infty z^n H_{n,m} = \frac {\operatorname{Li}_m(z)}{1-z},

여기서

\operatorname{Li}_m(z)

는 폴리로그 함수이며

|z| < 1

이다.

m = 1

에 대한 위의 생성 함수는 이 공식의 특수한 경우이다.

7. 2. 초조화수 (Hyperharmonic numbers)

1995년 J. H. 콘웨이와 R. K. 가이가 저술한 책 ''The Book of Numbers''에서 ''r''차(''r>0'')의 n번째 고조화수는 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.^[15]

:

H_n^{(r)} = \sum_{k=1}^n H_k^{(r-1)}

:

H_n^{(0)} = \frac1n

특히,

H_n^{(1)}

은 일반적인 조화수

H_n

이다.

7. 3. 로만 조화수 (Roman Harmonic numbers)

스티븐 로만(Steven Roman)의 이름을 따서 지어진 로만 조화수(Roman Harmonic numbers)는^[13] 다니엘 E. 롭(Daniel E. Loeb)과 잔-카를로 로타(Gian-Carlo Rota)에 의해 로그를 사용한 엄브랄 미적분의 일반화 맥락에서 도입되었다.^[14]

다양한 정의가 가능하지만,

n,k \geq 0

에 대해 다음이 성립한다.

:

c_n^{(0)} = 1,

:

c_n^{(k+1)} = \sum_{i=1}^n\frac{c_i^{(k)}}{i}.

따라서,

c_n^{(1)} = H_n

이다.

만약

n \neq 0

이면 다음을 만족한다.

:

c_n^{(k+1)} - \frac{c_n^{(k)}}{n} = c_{n-1}^{(k+1)}.

닫힌 형태의 공식은 다음과 같다.

:

c_n^{(k)} = n! (-1)^k s(-n,k),

여기서

s(-n,k)

는 음의 첫 번째 인수로 일반화된 제1종 스털링 수이며, 다음 공식도 성립한다.

:

c_n^{(k)} = \sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \frac{(-1)^{j-1}}{j^k},

이 공식은 도널드 커누스(Donald Knuth)가 발견했다.

이 숫자들은 로만 숫자와 음수

n

을 포함하는 로만 계승을 사용하여 더 일반적인 방식으로 정의될 수 있다. 이러한 일반화는 조화 로그를 정의하기 위한 연구에 유용하다.

8. 응용

조화수는 디감마 함수digamma function^영어와 같은 여러 특수 함수 계산에 사용된다.^[11]

: $\psi(n) = H_{n-1} - \gamma$

이 관계는 조화수를 정수가 아닌 ''n''으로 확장하는 데 사용되기도 한다. 조화수는 극한을 사용하여 $\gamma$ 를 정의하는 데에도 사용된다.

: $\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty}{\left(H_n - \ln(n)\right)}$

하지만

: $\gamma = \lim_{n \to \infty}{\left(H_n - \ln\left(n+\frac{1}{2}\right)\right)}$

가 더 빠르게 수렴한다.

2002년, 제프리 라가리아스는 리만 가설이 다음 명제와 동치임을 증명했다.^[12]

: $\sigma(n) \le H_n + (\log H_n)e^{H_n}$

여기서 $\sigma(n)$ 은 $n$ 의 약수의 합을 나타내며, $n > 1$ 이면 엄격한 부등호로, 모든 정수 $n \ge 1$ 에 대해 참이다.

참조

_[1] 서적 The Art of Computer Programming Addison-Wesley
_[2] 서적 Concrete Mathematics Addison-Wesley
_[3] 웹사이트 Harmonic Number https://mathworld.wo[...] 2024-09-30
_[4] 서적 How Euler Did It https://books.google[...] Mathematical Association of America
_[5] 서적 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics Chapman & Hall/CRC
_[6] 간행물 Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen ahhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden
_[7] 간행물 p-integral harmonic sums
_[8] 간행물 A p-adic study of the partial sums of the harmonic series http://projecteuclid[...]
_[9] 간행물 On the p-adic valuation of harmonic numbers https://iris.unito.i[...]
_[10] 간행물 On certain properties of harmonic numbers
_[11] 간행물 An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis
_[12] 간행물 Some methods for flows past blunt slender bodies
_[13] 간행물 The Roman harmonic numbers revisited http://dx.doi.org/10[...] 2017
_[14] 간행물 Formal power series of logarithmic type http://dx.doi.org/10[...] 1989
_[15] 서적 The book of numbers Copernicus

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