맨위로가기

지시 함수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

지시 함수는 집합 X의 부분 집합 A에 대해 정의되는 함수로, A에 속하는 원소 x에 대해서는 1의 값을, A에 속하지 않는 원소 x에 대해서는 0의 값을 반환한다. 지시 함수는 집합론, 확률론, 통계학, 재귀 이론, 퍼지 집합 이론 등 다양한 분야에서 활용되며, 표기법으로는 1A, IA(x), χA(x), KA 또는 A를 사용한다. 확률론에서는 지시 함수를 통해 확률 변수를 정의하고, 기댓값과 분산 등을 계산하며, 퍼지 집합 이론에서는 멤버십 함수로 일반화되어 사용된다. 지시 함수는 미분과 적분에서도 활용되며, 단위 계단 함수의 분포 미분은 디랙 델타 함수와 같다.

광고

더 읽어볼만한 페이지

  • 계산 가능성 이론 - 처치-튜링 논제
    처치-튜링 논제는 모든 효과적인 계산 과정이 튜링 기계로 수행될 수 있다는 가설로, 알고리즘과 계산 가능성의 본질에 대한 논의를 촉발하며 컴퓨터 과학과 철학 분야에서 활발히 연구되고 있다.
  • 계산 가능성 이론 - 튜링 기계
    튜링 기계는 앨런 튜링이 제시한 계산 모델로, 테이프 위에서 기계적으로 작동하며, 유한한 상태, 테이프, 헤드, 명령 표를 통해 작동하고, 계산 가능성과 알고리즘의 한계를 연구하는 데 사용된다.
  • 실해석학 - 멱급수
    멱급수는 실수 또는 복소수 체에서 정의되며, 수렴 영역과 반지름을 가지며 미분, 적분, 사칙연산이 가능하고 해석 함수와 관련되어 상미분 방정식의 해를 구하는 데 활용된다.
  • 실해석학 - 디리클레 함수
    디리클레 함수는 실수에서 정의되어 유리수에서 1, 무리수에서 0의 값을 가지며 모든 점에서 불연속인 함수로, 리만 적분은 불가능하지만 르베그 적분은 가능하고 함수 해석학에서 불연속 함수의 성질 연구에 사용되는 베르 함수에 속하는 예시이다.
  • 함수의 종류 - 항등 함수
    항등 함수는 집합 X의 각 원소를 자기 자신에게 대응시키는 함수로서, 정의역과 공역이 같은 집합 X에서 단사 함수이자 전사 함수이며, 함수 합성에서 항등원의 역할을 수행하는 중요한 개념이다.
  • 함수의 종류 - 볼록 함수
    볼록 함수는 실수 벡터 공간의 볼록 집합에서 정의되고 그래프 상의 두 점을 연결한 선분이 항상 그래프 위에 있거나 접하는 특징을 가지며 다양한 수학적 성질과 여러 분야에 응용되는 함수이다.

2. 정의

집합 X의 부분 집합 A에 대한 '''지시 함수''' \mathbf{1}_A\colon X\to\{0,1\}는 다음과 같이 정의된다.

:\mathbf{1}_A(x) :=

\begin{cases}

1&x\in A\\

0&x\notin A

\end{cases}



아이버슨 괄호 표기법으로 지시 함수 \mathbf{1}_A(x)를 [x \in A]으로 나타낼 수 있다.

지시 함수는 \mathbf{1}_A 외에도 \mathbf{I}_A(x), \chi_A(x), ''KA'' 또는 간단하게 A로 표기할 수 있다. (그리스 문자 χ는 '특성(characteristic)'이라는 말의 그리스어 어원 χαρακτήρ의 첫 글자이다.)

3. 표기법 및 용어

집합 X의 부분 집합 A에 대한 지시 함수는 \mathbf{1}_A(x), \mathbf{I}_A(x), \chi_A(x), ''KA'' 또는 간단하게 A로 표기할 수 있다. 여기서 그리스 문자 χ는 '특성(characteristic)'이라는 말의 그리스어 어원 χαρακτήρ의 첫 글자에서 따왔다. 지시 함수는 아이버슨 괄호 표기법으로 [x \in A]으로 나타낼 수도 있다.

\chi_A는 볼록 해석학에서 특성함수를 표기할 때에도 쓰인다. 확률론에서는 특성함수라는 표현이 다른 의미로 쓰이므로, 확률론자들은 '''지시 함수'''라는 용어를 사용한다. 통계학에서는 지시 함수를 통해 범주형 데이터를 0 또는 1로 변환한 것을 더미 변수라고 한다.

4. 기본 속성

어떤 집합 ''X''의 부분집합 ''A''의 지시 함수는 ''X''의 원소를 {0, 1} 구간으로 대응시킨다.

만약 A와 B가 X의 부분집합이라면 다음과 같다.

:\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,

:\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,

A의 여집합, 즉 A^C의 지시함수는 다음과 같다.

:\mathbf{1}_{A^\complement} = 1-\mathbf{1}_A

더 일반적으로, A_1, \dotsc, A_n가 ''X''의 부분집합들이라고 하면, 모든 ''x'' ∈ ''X''에 대해서 다음이 성립한다.

: \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x)) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.

이 식의 좌변을 확장하면 다음과 같다.

: \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^

\mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}

여기서 |''F''|는 ''F''의 크기이다. 이것은 포함배제의 원리의 한 부분이다.

조합론에서 지시 함수는 유용한 표기 장치이며, 확률론 등 다른 분야에서도 사용된다.

5. 확률론에서의 활용

확률 공간 (\Omega, \mathcal F, \mathbb P)과 A \in \mathcal F가 주어졌을 때, 지시 함수 \mathbf{1}_A \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}는 \omega \in A이면 \mathbf{1}_A (\omega) = 1 이고, 그렇지 않으면 \mathbf{1}_A (\omega) = 0이다.

지시 함수는 확률 변수가 되며, 기댓값은 해당 사건의 확률과 같다. 마르코프 부등식 증명에 활용된다.


  • 기댓값: \operatorname{E}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)
  • 분산: \operatorname{Var}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A))
  • 공분산: \operatorname{Cov}(\mathbf{1}_A (\omega), \mathbf{1}_B (\omega)) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B)

6. 재귀 이론

쿠르트 괴델은 1934년 논문 "형식 수학적 시스템의 결정 불가능 명제에 대하여"에서 ''표현 함수''를 설명했다.[1] 표현 함수 φ는 관계 R(x1, . . ., xn)이 참이면 0이고, 거짓이면 1이다.

스티븐 클레이니는 원시 재귀 함수의 내용 중에서 논리 P의 함수 φ를 같은 방식으로 정의했다. 이 함수는 논리가 거짓이면 1이고 참이면 0을 갖는다.[2]

예를 들어, 표현 함수의 곱 φ1*φ2* . . . *φn은 어떤 하나의 함수가 0이면 0이 되기 때문에 논리 연산 "또는"의 역할을 한다. 즉, φ1 = 0 이거나 φ2 = 0 이거나 . . . 이거나 φn = 0 이라면 그 곱은 0이다. 표현 함수가 함수 R이 "참"일 때 0이 되는 점은 클레이니의 논리 연산 OR, AND, IMPLY,[2] 제한-[2] 과 무제한-[2] 뮤 연산자 및 CASE 함수[2] 정의에 중요한 역할을 한다.

7. 퍼지 집합 이론

퍼지 집합 이론에서 지시 함수는 멤버십 함수로 일반화되어 [0, 1] 구간의 값을 가질 수 있다.[1] 이는 "키가 큰"과 같은 실제 술어에서 나타나는 진리의 정도를 점진적으로 변화하는 것으로 모델링할 때 사용된다.[1]

8. 미분

단위 계단 함수는 특정 구간의 지시 함수이며, 이 함수의 분포 미분은 디랙 델타 함수와 같다.[8] 고차원에서는 지시 함수의 라플라시안을 통해 '표면 델타 함수'를 정의할 수 있다.

헤비사이드 계단 함수 H(x)의 분포 미분은 디랙 델타 함수와 같으며, 이는 다음과 같이 표현된다.

:

\delta(x)=\tfrac{d H(x)}{dx},



이는 다음 성질을 만족한다.

:

\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) dx = f(0).



단위 계단 함수의 미분은 양의 절반 선에 의해 주어진 영역의 '경계'에서 '내부 정상 도함수'로 볼 수 있다. 고차원에서 단위 계단 함수는 일부 정의역 ''D''의 지시 함수로 일반화되며, 도함수는 내부 정상 도함수로 일반화된다. ''D''의 표면을 ''S''로 표현하면, 지시 함수의 내부 정상 도함수가 '표면 델타 함수'δ''S''('''x''')를 발생시킨다.

:\delta_S(\mathbf{x})=-\mathbf{n}_x\cdot\nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}

여기서 ''n''는 ''S''의 바깥쪽 법선이다. 이 '표면 델타 함수'는 다음과 같은 특성을 갖는다.[4]

:


  • \int_{\mathbf{R}^n}f(\mathbf{x})\,\mathbf{n}_x\cdot\nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}\;d^{n}\mathbf{x}=\oint_{S}\,f(\mathbf{\beta})\;d^{n-1}\mathbf{\beta}.



함수 ''f''를 1로 두면, 지시 함수의 내부 정상 도함수는 표면적 ''S''의 수치적 수로 통합된다.

9. 적분

가측 공간 (''X'', '''M''') ('''M''' ⊆ 2''X'')이 주어졌을 때, ''X''의 부분 집합 ''A''가 어떤 측도 ''μ''에 관한 가측 집합이라면, 그 지시 함수 χ''A''의 측도 ''μ''에 관한 적분값

:\operatorname{vol}_{μ}(A) = μ(A) := \int_{X} \chi_A(ξ) \, dμ(ξ)

를 측도 ''μ''에 관한 ''A''의 '''체적'''(volume영어)이라고 부른다.

어떤 집합 ''X''상의 적분 가능한 함수 ''f''(''x'')에 대하여, ''X''의 부분 집합 ''A''에서의 ''f''의 적분은 종종

:\int_A f|_A(ξ) \, dξ := \int_X \chi_A(ξ) f(ξ) \, dξ

로 정의된다. (각 적분이 정의될 수 있는 한)

또한, 한 점 집합의 지시 함수는 (적당한 조건 하에서) 디랙 델타 함수를 나타내는 것으로 생각할 수 있다. 실제로, 한 점 집합 {''x''}에 대하여, 그 가측 집합으로 이루어진 근방계 '''N'''''x''에서 그 교집합이 {''x''}가 되는 것이 존재할 때 (예를 들어 {''x''} 자체가 가측일 때)

:\inf_{N \in \mathbf{N}_x} \chi_{N} = \chi_{\{x\}}

:\int_{X} \chi_{\{x\}}(ξ)f(ξ) \, dξ

:= \inf_{N \in \mathbf{N}_x}\int_X \chi_N(ξ)f(ξ) \, dξ

= f(x) \operatorname{vol}(\{x\})



가 성립한다. χ{''x''}는 종종 χ''x''로 약기된다.

참조

[1] 서적 The Undecidable Raven Press Books
[2] 서적 Introduction to Metamathematics Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company
[3] 서적 Course in Arithmetic
[4] 간행물 Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator
[5] 서적 確率論 共立出版
[6] 문서
[7] 문서
[8] 간행물 Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator http://link.springer[...] Springer


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com