초곱

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 초거듭제곱
3. 워시 정리 (Łoś's theorem)
- 3.1. 정리의 내용
- 3.2. 응용
4. 예시
5. 직접 극한과 초극한
- 5.1. 초거듭제곱의 직접 극한
6. 범주론적 관점
- 6.1. 초곱 모나드
참조

1. 개요

초곱은 구조들의 곱집합 위에 정의된 동치 관계를 사용하여 만들어지는 수학적 구성이다. 주어진 구조들의 집합과 극대 필터를 사용하여, 곱집합 위에 동치 관계를 정의하고 몫 집합을 초곱으로 정의한다. 워시 정리는 초곱에서 1차 논리 명제의 참 거짓 여부를 판단하는 데 사용되며, 초실수, 비표준 정수, 비표준 복소수 등을 정의하는 데 활용된다. 또한, 모델 이론과 집합론에서 초거듭제곱의 열을 통해 더 큰 구조를 얻는 초극한을 구성하는 데 사용되며, 범주론적으로도 정의될 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

모형 이론 - 괴델의 불완전성 정리
괴델의 불완전성 정리는 산술을 표현할 수 있는 무모순적 공리계는 그 안에서 증명하거나 반증할 수 없는 명제가 존재하며, 특히 체계 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 수학적 논리 분야의 핵심 정리이다.
모형 이론 - 괴델의 완전성 정리
괴델의 완전성 정리는 1차 논리 이론에서 모형 이론적 진리와 증명 이론적 진리가 같음을 나타내며, 연역 체계가 완전함을 보장하고 일차 논리에서 통사론적 결과와 의미론적 결과가 동일하다는 것을 의미한다.

초곱

2. 정의

초곱의 정의는 주어진 구조들의 곱집합에 극대 필터를 이용하여 동치 관계를 부여하고, 이 동치 관계에 대한 몫집합을 취하는 방식으로 이루어진다.

초곱을 얻는 일반적인 방법은 다음과 같다. 먼저, 첨자 집합 $I$ 를 설정하고, 각 $i \in I$ 에 대해 구조 $M_i$ 를 대응시킨다. 이때, 모든 $M_i$ 는 동일한 시그니처를 가져야 하며, 비어 있지 않다고 가정한다. 그리고 $I$ 에 대한 초여과기 $\mathcal{U}$ 를 선택한다.

$\mathcal{U}$ 가 주요 초여과기가 아닌 경우 (즉, $\mathcal{U}$ 가 자유로운 경우 또는 $I$ 의 모든 유한 보수 부분 집합이 $\mathcal{U}$ 의 원소인 경우), 초곱은 인자 중 하나와 동형이 되지 않는다. 일반적으로 $I$ 는 무한 집합으로 설정하며, $\mathcal{U}$ 는 $I$ 의 보유한 부분 집합을 모두 포함하는 것으로 한다.

초곱은 여과된 구성 요소에서만 동일할 경우 (여과되지 않은 구성 요소는 동치 아래에서 무시됨) 원소들이 같은 여과 곱 공간 역할을 한다. 인덱스 집합 $I$ 에 유한 가산 측도 $m$ 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$m(A) = \begin{cases} 1 & (A \in \mathcal{U}) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$

그러면 데카르트 곱의 두 구성원은 인덱스 집합에서 거의 모든 곳에서 동일한 경우에만 동치이다. 초곱은 이렇게 생성된 동치류의 집합이다.

초곱은 모델 이론, 특히 비표준 해석학에서 중요한 개념으로 사용된다.

2. 1. 기본 정의

형이

\sigma

인 구조들의 집합

\{M_i\}_{i\in I}

및

I

위의 극대 필터

\mathcal U

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

\{M_i\}_{i\in I}

의 '''초곱'''

M

은 다음과 같이 정의된다.

다음 순서쌍 사이에 동치 관계를 부여한다.

:

\{(S,x)\colon S\in\mathcal U,\;x\in\prod_{i\in I}M_i\}\in\bigsqcup_{S'\in\mathcal U}(S',\prod_{i\in S'}M_i)

:

(S,x)\sim(S',x')\iff \{i\in I\colon x_i=x'_i\}\in\mathcal U

초곱은 다음과 같다.

:

M=\left(\bigsqcup_{S'\in\mathcal U}(S',\prod S')\right)/{\sim}

여기에 다음과 같은

\sigma

-구조를 부여한다. 여기서

\vec x=(x_k)_{k=1,\dots,n}

,

\vec S=(S_k)_{k=1,\dots,n}

,

\bigcap\vec S=\bigcap_{k=1}^nS_k

따위로 쓴다.

$\sigma$ 의 각 $n$ 항 연산 $m_i\colon M_i^n\to M_i$ ( $i\in I$ )에 대하여,

::

m\colon M^n\to M

::

m\colon[(\vec S,\vec x)]\mapsto\left[\left(\bigcap\vec S,m_i(\vec x_i)_{i\in\bigcap\vec S}\right)\right]

$\sigma$ 의 각 $n$ 항 관계 $R_i\subset M_i^n$ ( $i\in\mathcal I$ )에 대하여, 다음과 같다.

::

([(\vec S,\vec x)])\in R\iff\left\{i\in I\colon\vec x_i\in R_i\right\}\in\mathcal U

만약 모든

M_i

가 공집합이 아니거나,

\{i\in I\colon M_i=\varnothing\}\in\mathcal U

라면

(S,x)

에서

S=I

인 경우로 국한할 수 있다. 즉, 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

M=\left(\prod_{i\in I}M_i\right)/{\sim}

만약 모든

M_i

들이 같을 경우,

\mathcal M

의 초곱을

M

의 '''초거듭제곱'''(ultrapower|울트라파워^영어)이라고 한다.

데카르트 곱

{\textstyle\prod\limits_{i \in I}} M_i

의 두 원소

a_\bull = \left(a_i\right)_{i \in I}

및

b_\bull = \left(b_i\right)_{i \in I}

가 일치하는 인덱스 집합

\left\{i \in I : a_i = b_i\right\}

가

\mathcal{U}

의 원소인 경우

a_\bull \sim b_\bull

또는

a_\bull =_{\mathcal{U}} b_\bull

로 표기한다. 기호로는 다음과 같이 나타낸다.

a_\bull \sim b_\bull \; \iff \; \left\{i \in I : a_i = b_i\right\} \in \mathcal{U},

이 이항 관계

\, \sim \,

은 데카르트 곱

{\textstyle\prod\limits_{i \in I}} M_i

에 대한 동치 관계이다.

초곱은

\sim

에 대한

{\textstyle\prod\limits_{i \in I}} M_i

의 몫 집합이며,

{\textstyle\prod\limits_{i \in I}} M_i \, / \, \mathcal{U}

또는

{\textstyle\prod}_{\mathcal{U}} \, M_\bull

로 표기한다.

a \in {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} M_i

의

\mathcal{U}

-동치류는 다음과 같다.

a_{\mathcal{U}} := \big\{x \in {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} M_i \; : \; x \sim a\big\}

따라서, 초곱은 모든

\mathcal{U}

-동치류의 집합이다.

{\prod}_{\mathcal{U}} \, M_\bull \; = \; \prod_{i \in I} M_i \, / \, \mathcal{U} \; := \; \left\{a_{\mathcal{U}} \; : \; a \in {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} M_i\right\}.

데카르트 곱

{\textstyle\prod\limits_{i \in I}} M_i

에 대한 유한 연산은 점별로 정의된다(예를 들어,

+

가 이항 함수이면

a_i + b_i = (a + b)_i

).

다른 관계도 같은 방식으로 확장할 수 있다.

R\left(a^1_{\mathcal{U}}, \dots, a^n_{\mathcal{U}}\right) ~\iff~ \left\{i \in I : R^{M_i}\left(a^1_i, \dots, a^n_i\right)\right\} \in \mathcal{U},

여기서

a_{\mathcal{U}}

는

\sim

에 대한

a

의

\mathcal{U}

-동치류를 나타낸다.

특히, 모든

M_i

가 순서체이면 초곱도 순서체이다.

2. 2. 초거듭제곱

모든 구조가 동일할 경우의 초곱을 초거듭제곱이라고 한다. 이는 비표준 해석학에서 중요한 역할을 한다.^[1]

직적 대상

\prod_{i \in I} M_i

위의 대수 연산은 성분마다 정의한다. 예를 들어, 각 인자가 이항 연산 "+"를 가질 때,

(a + b)_i = a_i + b_i

로 정의한다. 더 나아가 동치 관계 "~"를 다음과 같이 정의한다.

a \sim b :\!\iff \{ i \in I: a_i = b_i\}\in U

이때 '''초곱'''은 이 직적 대상의 동치 관계 "~"에 의한 몫

\prod_{i\in I}M_i/U

를 말한다.^[1]

'''초멱'''은 임의의 인자

M_i

가 동일할 때(이를

M

으로 쓴다)의 초곱

M^\kappa/U=\prod_{\alpha<\kappa}M/U

를 말한다.^[1]

3. 워시 정리 (Łoś's theorem)

워시 정리(Łoś’ theorem^영어)는 초곱에서 1차 논리 명제가 성립할 필요충분조건을 제공하며, 모델 이론에서 핵심적인 역할을 한다. "초곱의 기본 정리"라고도 불리며, 예르지 워시(Jerzy Łoś)에 의해 증명되었다.

3. 1. 정리의 내용

1차 논리의 명제가 초곱에서 성립할 필요충분조건을 제공하는 예르지 워시(Jerzy Łoś)가 증명한 정리이다.Łoś’ theorem^영어

부호수

\sigma

의 구조의 집합

\{M_i\}_{i\in I}

및 극대 필터

\mathcal U

및

\vec a\in M^n

및

\sigma

에 대한,

n

개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 명제

\phi

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$M\models\phi([\vec a])$
$\{i\in I\colon M_i\models\phi(\vec a_i)\}\in\mathcal U$

더 정확하게는 다음과 같다.

\sigma

를 시그니처,

\mathcal{U}

를 집합

I

위의 울트라필터라고 하자. 각

i \in I

에 대해

M_i

를

\sigma

-구조라고 하자.

{\textstyle\prod}_{\mathcal{U}} \, M_\bull

또는

{\textstyle\prod\limits_{i \in I}} M_i / \mathcal{U}

를

\mathcal{U}

에 대한

M_i

의 초곱이라고 하자.

그렇다면, 각

a^1, \ldots, a^n \in {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} M_i

에 대해, 여기서

a^k = \left(a^k_i\right)_{i \in I}

이고, 모든

\sigma

-논리식

\phi

에 대해,

{\prod}_{\mathcal{U}} \, M_\bull \models \phi\left[a^1_{\mathcal{U}}, \ldots, a^n_{\mathcal{U}}\right] ~\iff~ \{i \in I : M_i \models \phi[a^1_i, \ldots, a^n_i]\} \in \mathcal{U}.

가 성립한다.

이 정리는 논리식

\phi

의 복잡성에 대한 귀납법으로 증명된다.

\mathcal{U}

가 (단순한 필터가 아닌) 울트라필터라는 사실은 부정 조항에서 사용되며, 선택 공리는 존재량화 단계에서 필요하다. 이 정리를 응용하면 초실수체에 대한 전달 정리를 얻을 수 있다.

예를 들어 구조

M

에서 단항 관계

R

이 주어지고,

M

의 초거듭제곱을 구성한다고 하자. 그러면 집합

S = \{x \in M : R x\}

는 초거듭제곱에서 유사

{}^* S

를 가지며,

S

를 포함하는 일차 논리 공식은

{}^* S

에도 유효하다.

M

을 실수로 하고,

x

가 유리수이면

R x

가 성립한다고 하자. 그러면

M

에서 임의의 두 유리수

x

와

y

에 대해

z

는 유리수가 아니고

x < z < y

를 만족하는 또 다른 수

z

가 존재한다고 말할 수 있다. 이것은 관련 형식 언어에서 일차 논리 공식으로 번역될 수 있으므로, 워시 정리는

{}^* S

가 동일한 속성을 갖는다는 것을 의미한다. 즉, 초실수의 부분 집합인 초유리수라는 개념을 정의할 수 있으며, 초유리수는 유리수와 동일한 일차 논리적 속성을 갖는다.

하지만, 아르키메데스 성질은 일차 논리로 표현할 수 없기 때문에 워시 정리가 적용되지 않는다. 아르키메데스 성질은 초실수에서는 거짓이다.

3. 2. 응용

워시 정리(Łoś’ theorem^영어)는 비표준 해석학에서 실수 체계의 성질을 초실수 체계로 확장하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 구조 `M`에서 단항 관계 `R`이 주어지고, `M`의 초거듭제곱을 구성하면, 집합 `S = {x ∈ M : R x}`는 초거듭제곱에서 유사 `*S`를 가지며, `S`를 포함하는 일차 논리 공식은 `*S`에도 유효하다. `M`을 실수로 하고, `x`가 유리수이면 `Rx`가 성립한다고 할 때, `M`에서 임의의 두 유리수 `x`와 `y`에 대해 `z`는 유리수가 아니고 `x < z < y`를 만족하는 또 다른 수 `z`가 존재한다고 말할 수 있다. 이것은 관련 형식 언어에서 일차 논리 공식으로 번역될 수 있으므로, 워시 정리에 의해 `*S`가 동일한 속성을 갖는다는 것을 의미한다. 즉, 초실수의 부분 집합인 초유리수라는 개념을 정의할 수 있으며, 초유리수는 유리수와 동일한 일차 논리적 속성을 갖는다.

그러나 무한 목록의 모든 부등식에 대해 `x > 1, x > 1 + 1, x > 1 + 1 + 1, …`을 만족하는 실수 `x`는 없다는 아르키메데스 성질을 고려해 보자. 워시 정리는 아르키메데스 성질에는 적용되지 않는데, 아르키메데스 성질은 일차 논리로 표현할 수 없기 때문이다. 사실, 초실수 `ω`의 구성을 통해 알 수 있듯이, 아르키메데스 성질은 초실수에서는 거짓이다.

4. 예시

만약 사용되는 극대 필터가 $i\in I$ 의 주 필터 $\uparrow i=\{S\subset I\colon i\in S\}$ 라면, 초곱은 단순히 $M_i$ 를 얻는다. $M\cong M_i$

4. 1. 초실수

실수 집합

\mathbb R

는 순서체의 형

(+,\cdot,-,\le)

의 구조이다. 실수의 집합의

\aleph_0

개 초승은 실수의 모든 1차 논리적 성질들을 만족시키며, 이를 '''초실수'''라고 한다. 초실수는 모든 자연수에 대해 실수의 사본을 초여과기를 통해 초곱한 것으로, 이 초여과기는 모든 공유한 집합을 포함하는 자연수에 대한 것이다. 그 순서는 실수의 순서를 확장한 것이다. 예를 들어,

\omega_i = i

로 주어지는 수열

\omega

는 모든 실수보다 큰 초실수를 나타내는 동치류를 정의한다.

관계가 초곱으로 전달되는 예로,

\psi_i = 2 i

로 정의된 수열

\psi

를 고려해 보자. 모든

i

에 대해

\psi_i > \omega_i = i

이므로,

\psi_i = 2 i

의 동치류는

\omega_i = i

의 동치류보다 크며, 따라서 원래 구성된 것보다 큰 무한대로 해석될 수 있다. 그러나

i

가

7

이 아닌 경우

\chi_i = i

로 하고,

\chi_7 = 8

로 하자.

\omega

와

\chi

가 일치하는 인덱스 집합은 모든 초여과기의 원소이며 (

\omega

와

\chi

가 거의 모든 곳에서 일치하므로),

\omega

와

\chi

는 동일한 동치류에 속한다.

초실수 전체를 이루는 집합은 실수체를 각 자연수마다 하나씩 복사하여, 이들의 초곱(자연수의 집합을 첨자 집합으로 하는 초멱)을 취한 것이다(이 경우, 초필터는 자연수 전체의 집합 상에서 그 여유한 집합을 모두 포함하는 것을 취한다). 초실수의 집합에서의 순서는, 실수 전체의 집합에서의 순서의 확장으로 주어진다. 예를 들어, 수열 일반항이

\omega_i = i

로 주어지는 것으로 하면, 그 동치류로 표현되는 초실수는 임의의 실수보다 크다.

관계가 초곱 위에 투영되는 예로서, 수열

\psi

가 일반항

\psi_i = 2i

로 주어지는 것으로 하면,

\psi_i > \omega_i = i

(

i

에 대해)에서

\psi_i

가 속하는 동치류는

\omega_i

가 속하는 동치류보다 크고, 따라서

\psi_i

에 대응하는 초실수는

\omega_i

에 대응하는 초실수보다 큰 무한대수라고 생각할 수 있다. 그러나,

\chi_i = i

(

i \ne 7

인경우) 및

\chi_7 = 8

로 하면,

\omega

와

\chi

가 일치하는 첨자 전체를 이루는 집합은 임의의 초필터에 속하므로(

\omega

와

\chi

는 거의 모든 곳에서 일치한다),

\omega

와

\chi

는 같은 동치류에 속한다.

4. 2. 비표준 정수 및 복소수

초실수와 유사하게, 비표준 정수나 비표준 복소수 등을 대응하는 구조의 초곱으로 정의할 수 있다.^[1] 관계가 초곱으로 전달되는 예로,

\psi_i = 2i

로 정의된 수열

\psi

를 고려해 보자.^[1] 모든

i

에 대해

\psi_i > \omega_i = i

이므로,

\psi_i = 2i

의 동치류는

\omega_i = i

의 동치류보다 크다.^[1] 따라서

\psi_i

는 원래 구성된 것보다 큰 무한대로 해석될 수 있다.^[1]

4. 3. 거대 기수

집합론에서 거대 기수의 성질을 연구하는 데 초곱이 사용될 수 있다. 표준적인 구성은 신중하게 선택된 초여과기

\mathcal{U}

에 대해 전체 집합론적 우주의 초곱을 취하는 것이다. 이 초여과기

\mathcal{U}

의 속성은 초곱의 (고차) 속성에 강한 영향을 미친다. 예를 들어,

\mathcal{U}

가

\sigma

-완전하면 초곱은 다시 잘 기초화된다. (전형적인 예는 가측 기수를 참조).

5. 직접 극한과 초극한

모델 이론 및 집합론에서, 초곱의 열의 귀납적 극한을 초극한(ultralimit) 또는 극점 초멱(limiting ultrapower)이라고 한다.

구조 $A_0$ 과 초필터 $\mathcal{D}_0$ 가 주어지면, 초멱 $A_1$ 을 만들고, 다시 $A_2$ 를 만드는 과정을 반복한다. 각 $n$ 에 대해 표준적인 대각선 매립 $A_n \to A_{n+1}$ 가 존재하며, 극한 단계 $A_\omega$ 는 귀납적 극한으로 얻어진다. 이 과정은 초한 단계까지 계속할 수 있다.

5. 1. 초거듭제곱의 직접 극한

모델 이론과 집합론에서는 초거듭제곱 열의 직접 극한이 종종 고려된다. 모델 이론에서 이 구성은 '''초극한''' 또는 '''극한 초거듭제곱'''이라고 불릴 수 있다.

구조

A_0

과 초여과기

\mathcal{D}_0

로 시작하여 초거듭제곱

A_1

을 형성한다. 그런 다음 이 과정을 반복하여

A_2

를 형성하고, 이를 계속한다. 각

n

에 대해 표준 대각선 매립

A_n \to A_{n+1}

이 존재한다.

A_\omega

와 같은 극한 단계에서 이전 단계들의 직접 극한을 형성한다. 이 과정은 초한으로 계속 진행할 수 있다.

6. 범주론적 관점

초곱은 범주론적인 관점에서 모나드로 설명될 수 있다.

6. 1. 초곱 모나드

초여과기 모나드는 유한 집합의 범주를 집합의 범주에 포함시키는 공밀도 모나드이다.^[1]

마찬가지로, 초곱 모나드는 유한 색인족 집합족의 범주

\mathbf{FinFam}

을 모든 색인된 집합족의 범주

\mathbf{Fam}

에 포함시키는 공밀도 모나드이다. 따라서 이런 의미에서 초곱은 범주론적으로 불가피하다.^[2] 구체적으로,

\mathbf{Fam}

의 객체는 비어 있지 않은 색인 집합

I

와 집합의 색인족

\left(M_i\right)_{i \in I}

로 구성된다. 두 객체 사이의 사상

\left(N_i\right)_{j \in J} \to \left(M_i\right)_{i \in I}

는 색인 집합 사이의 함수

\phi : I \to J

와 함수

\phi_j : M_{\phi(j)} \to N_j

의

J

로 색인된 족

\left(\phi_j\right)_{j \in J}

로 구성된다. 범주

\mathbf{FinFam}

은 색인 집합

I

가 유한한 모든 객체

\left(M_i\right)_{i \in I}

로 구성된 이 범주

\mathbf{Fam}

의 충만 부분 범주이다. 포함 사상

\mathbf{FinFam} \hookrightarrow \mathbf{Fam}

의 공밀도 모나드는 본질적으로 다음과 같이 주어진다.

:

\left(M_i\right)_{i \in I} ~\mapsto~ \left(\prod_{i \in I} M_i \, / \, \mathcal{U}\right)_{\mathcal{U} \in U(I)} \, .

참조

_[1] 간행물 Codensity and the ultrafilter monad http://www.tac.mta.c[...]
_[2] 간행물 Codensity and the ultrafilter monad http://www.tac.mta.c[...]
_[3] 문서

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com