비표준 해석학
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1. 개요
비표준 해석학은 실수 체를 확장하여 무한소와 무한대를 포함하는 초실수를 사용하는 수학의 한 분야이다. 이 분야는 1960년대 아브라함 로빈슨에 의해 처음으로 엄밀하게 정의되었으며, 실수 체의 비표준 모형을 구성하는 것으로 시작한다. 비표준 해석학은 의미론적 접근 방식과 구문론적 접근 방식, 두 가지 주요 접근 방식을 가지고 있다. 의미론적 접근 방식은 모델 이론의 연구를 기반으로 하며, 구문론적 접근 방식은 내부 집합론(IST)과 같은 공리적 체계를 사용한다. 비표준 해석학은 미적분학의 재구성에 사용되며, 극한, 미분, 적분과 같은 개념을 무한소를 사용하여 정의한다. 또한, 확률, 유체역학, 측도론 등 다양한 분야에 응용되며, 불변 부분 공간 문제 해결에도 기여했다. 비표준 해석학은 교육적 측면에서 무한소 개념을 활용하여 해석학적 개념을 더 쉽게 이해하도록 돕는다는 주장이 있지만, 복잡성 및 교육적 효과에 대한 비판도 존재한다.
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- 실폐체 - 초현실수
초현실수는 존 콘웨이가 발견한 `{L|R}` 형식의 수학적 개념으로, 실수, 무한소, 무한대 등 다양한 수를 포괄하며 산술 연산이 가능하고 게임 이론 등에 활용된다. - 실폐체 - 초실수
초실수는 실수를 확장하여 무한소와 무한대를 포함하는 체의 원소이며, 실수열의 몫환으로 정의되고 실수체를 부분체로 포함하는 순서체로서, 실수에 대해 참인 특정 형식의 명제가 초실수에서도 참이라는 전달 원리가 적용되는 특징을 가진다. - 무한 - 무한원점
무한원점은 사영평면에서 z=0인 동차좌표로 표현되는 점들의 집합으로 무한원직선을 구성하며, 유클리드 기하학에는 없지만 사영기하학 등에서 평행선의 교점으로 정의되고 투영기하학에서 소실점과 관련되어 응용되지만 교육적 어려움을 야기한다는 비판도 있다. - 무한 - 초한수
초한수는 게오르크 칸토어가 도입한 무한 개념을 확장한 수로, 집합의 크기를 나타내는 기수와 정렬된 집합 내의 위치를 나타내는 서수로 나뉘며, 무한에도 여러 종류가 있음을 밝혀 현대 수학의 기초를 다졌다. - 체론 - 분해체
분해체는 체 K 위의 다항식 p(X)가 일차 인자의 곱으로 완전 인수분해되고 그 근들에 의해 K 위에서 생성되는 체 확대 L을 의미하며, 동형을 제외하고 유일하고 갈루아 군과 관련이 있다. - 체론 - 체 (수학)
체는 사칙연산이 자유롭고, 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 가환환으로, 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 기본적인 역할을 하는 대수 구조이다.
비표준 해석학 | |
---|---|
개요 | |
분야 | 수학, 미적분학 |
하위 분야 | 모델 이론 |
다른 이름 | 초표준 미적분학 |
역사 | |
창시자 | 아브라함 로빈슨 |
창시 년도 | 1960년대 |
주요 개념 | |
주요 개념 | 무한소 초실수 전달 원리 확대체 |
관련 분야 | |
관련 분야 | 실해석학 미분기하학 확률론 수리물리학 경제학 모델 이론 |
2. 정의
실수체 과 자연수의 모노이드 에 대해, 은 실수 수열들의 집합이다. 초실수의 체 는 의 몫으로 정의된다. 프레셰 필터(여유한 집합들의 필터)를 포함하는 주필터가 아닌 임의의 극대 필터 를 고른다. 이러한 극대 필터는 선택 공리에 따라 항상 존재하지만, 직접 구성할 수는 없다.
함수 의 도함수는 비표준적인 방법으로 다음과 같이 계산할 수 있다. 가 임의의 무한소라고 하자. 그렇다면 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.
이 극대 필터를 사용하여, 두 수열 사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의한다.
:
이 동치관계에 대한 몫은 곱셈에 대하여 체를 이루며, 이를 '''초실수'''의 체로 정의한다.
:
순서체 의 0이 아닌 원소가 무한소라는 것은 그 절댓값이 (은 표준적인 자연수) 형태를 가진 어떠한 의 원소보다 작다는 것을 의미한다. 무한소를 갖는 순서체는 비아르키메데스적이라고 한다.
3. 구성
:
3. 1. 실수열을 이용한 구성
실수체 와 자연수의 모노이드 에 대해, 은 실수 수열들의 집합이다. 초실수의 체 는 의 몫으로 정의된다. 주필터가 아닌 임의의 극대 필터 를 고른다. (특히, 는 프레셰 필터(여유한 집합들의 필터)를 포함한다.) 이러한 극대 필터는 선택 공리에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다.
이 극대 필터를 사용하여, 두 수열 사이에 동치 관계를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:
즉, 두 수열 와 가 의 원소인 인덱스 집합에서 일치하면 동치라고 한다.
이 동치 관계에 대한 몫은 곱셈에 대하여 체를 이루며, 이를 '''초실수'''의 체로 정의한다.
:
이 구성은 에 의한 의 초멱이라고 불린다.
3. 2. 극대 필터와 동치 관계
실수체 와 자연수의 모노이드 에 대해, 은 실수들의 수열들의 집합이다. 초실수의 체 는 의 몫으로 정의된다. 주필터가 아닌 극대 필터 를 고른다. (특히, 는 프레셰 필터(여유한 집합들의 필터)를 포함한다.) 이러한 극대 필터는 선택 공리에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다.
이 극대 필터를 사용하여, 두 수열 사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의한다.
:
이 동치 관계에 대한 몫은 곱셈에 대하여 체를 이루며, 이를 '''초실수'''의 체로 정의한다.
:
위 내용을 간단히 설명하면 다음과 같다. 을 실수체, 을 자연수의 반환이라고 할 때, 은 실수열의 집합이다. 은 의 몫으로 정의된다. 상의 비단항 초필터 를 취한다. (여기서 는 프레셰 필터를 포함한다.)
두 실수열 에 대해, 와 가 초필터에 속하는 집합 위에서 일치하면, 즉
:
를 만족하면 와 는 동치이다.
이 동치 관계에 의한 의 몫이 초실수체 을 제공하며, 로 나타낸다. 이 구성은 에 의한 의 초멱이라고 불린다.
4. 성질
초실수체는 순서체의 성질을 만족하며, 실수체를 부분체로 포함한다. 순서체 \(\mathbb F\)의 0이 아닌 원소가 무한소라는 것은 그 절댓값이 \(\frac{1}{n}\) (여기서 \(n\)은 표준적인 자연수) 형태를 가진 어떠한 \(\mathbb F\)의 원소보다 작다는 것을 의미한다. 무한소를 갖는 순서체는 비아르키메데스적이라고 한다.[35]
초실수 \(r,s\)가 '''무한히 가깝다'''는 것은 다음이 성립하는 것을 말한다.
:\( r \cong s \iff \forall \theta \in \mathbb{R}^+, \ |r - s| \leq \theta\)
초실수 \(r\)이 '''무한소'''라는 것은 0에 무한히 가깝다는 것이다. 예를 들어, \(n\)이 자연수가 아닌 초자연수, 즉 \({}^{\ast} \mathbb{N} \setminus \mathbb{N}\)의 원소라면, \(\frac{1}{n}\)은 무한소이다.
초실수 \(r\)이 '''제한'''(limited) 또는 '''유한'''(finite)이라는 것은 그 절댓값이 어떤 표준 자연수로 억제된다(더 작다)는 것이다. 유한 초실수 전체는 모든 실수를 포함하는 \({}^{\ast} \mathbb{R}\)의 부분환을 이룬다. 이 환에서 무한소 초실수 전체는 아이디얼을 이룬다.
모든 유한 초실수 \(r\)에 대해, \(r\)에 무한히 가까운 유일한 표준 실수 \(\mathrm{st}(r)\)가 존재한다. 이를 \(r\)의 표준 부분이라고 한다. 매핑 \(\mathrm{st}\)는 유한 초실수의 환에서 \(\mathbb{R}\)로의 환 준동형사상이다.
4. 1. 순서체
초실수체는 순서체의 성질을 만족하며, 실수체를 부분체로 포함한다. 순서체 \(\mathbb F\)의 0이 아닌 원소가 무한소라는 것은 그 절댓값이 \(\frac{1}{n}\) (여기서 \(n\)은 표준적인 자연수) 형태를 가진 어떠한 \(\mathbb F\)의 원소보다 작다는 것을 의미한다. 무한소를 갖는 순서체는 비아르키메데스적이라고 한다.[35]4. 2. 무한소와 무한대
순서체 \(\mathbb F\)의 0이 아닌 원소의 절댓값이 \(\frac{1}{n}\) (\(n\)은 표준적인 자연수) 형태인 어떠한 \(\mathbb F\)의 원소보다 작을 때, 그 원소를 무한소라고 한다. 무한소를 갖는 순서체는 비아르키메데스적이라고 한다.[35]초실수 \(r,s\)가 '''무한히 가깝다'''는 것은 다음이 성립하는 것을 말한다.
:\( r \cong s \iff \forall \theta \in \mathbb{R}^+, \ |r - s| \leq \theta\)
초실수 \(r\)이 '''무한소'''라는 것은 0에 무한히 가깝다는 것이다. 예를 들어, \(n\)이 자연수가 아닌 초자연수, 즉 \({}^{\ast} \mathbb{N} \setminus \mathbb{N}\)의 원소라면, \(\frac{1}{n}\)은 무한소이다.
초실수 \(r\)이 '''제한'''(limited) 또는 '''유한'''(finite)이라는 것은 그 절댓값이 어떤 표준 자연수로 억제된다(더 작다)는 것이다. 유한 초실수 전체는 모든 실수를 포함하는 \({}^{\ast} \mathbb{R}\)의 부분환을 이룬다. 이 환에서 무한소 초실수 전체는 아이디얼을 이룬다.
4. 3. 표준 부분 함수
모든 유한 초실수 에 대해, 에 무한히 가까운 유일한 표준 실수 가 존재한다. 이를 의 표준 부분이라고 한다. 매핑 는 유한 초실수의 환에서 로의 환 준동형사상이다.5. 비표준 해석학
실해석학에서 극한을 통해 구현되는 표준적인 여러 연산들은 초실수를 사용하여 대수적으로 정의할 수 있다.[77] 함수 의 에서의 극한은 다음과 같이 정의된다.
:
함수 가 모든 에 대하여 이면 를 만족하면, 연속함수라고 한다.
함수 및 에 대하여, 임의의 0이 아닌 두 무한소 에 대하여 다음이 성립하는 경우,
:
는 에서 미분 가능하다고 하고, 의 도함수는 다음과 같다.
:
1차 논리로 정의할 수 있는 실함수 와 그에 대응하는 비표준 확대 에 대해, 다음은 동치이다.
- 에서 는 연속함수이다.
- 에서 는 연속함수이다.
- 에서 는 미분 가능하며, 이다.
- 에서 는 미분 가능하며, 이다.
초실수 체계에서, 리만 적분은 ''a'', ''a'' + ''dx'', ''a'' + ''2dx'', ... ''a'' + ''ndx'' 등으로 나누어지는 무한소 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 ''dx''는 무한소이며, ''n''은 무한 초정수이고, 적분 구간의 하한 ''a''와 상한 ''b''는 ''b'' = ''a'' + ''n'' ''dx'' 관계를 따른다.[77]
함수 의 도함수는 비표준적으로 다음과 같이 계산할 수 있다. 가 임의의 무한소라고 하면, 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.
:
비표준 해석학에는 크게 의미론적 또는 모형 이론적 접근 방식과 구문론적 접근 방식의 두 가지가 있다.
로빈슨의 비표준 해석학은 의미론적 접근 방식에 속하며, 포화 모형과 같은 이론의 모형 연구를 기반으로 한다. 로빈슨 연구 이후, 초구조를 사용하여 더 간단한 의미론적 접근 방식이 개발되었다. 이 방식은 집합 에 대한 초구조 에서 시작하여, 초거듭제곱 구성을 사용하고 전송 원리를 만족하는 사상 와 함께 다른 객체 을 구성한다.
구문론적 접근 방식은 1970년대 중반 에드워드 넬슨에 의해 개발되었다. 넬슨은 내부 집합론(IST)이라고 불리는 비표준 해석학의 공리적인 공식을 도입했다.[13] IST는 체르멜로-프렝켈 집합론 (ZF)의 확장으로, 새로운 단항 술어 'standard'를 도입하고 몇 가지 공리를 추가했다. 구문론적 비표준 해석학은 공리적 이해를 적용하는 데 주의가 필요하다.[13] 보페엔카의 대체 집합론[14]은 구문론적 접근 방식의 또 다른 예시로, ZF 공리보다 비표준 해석학과 더 호환되는 집합론 공리를 찾으려고 시도한다.
5. 1. 역사적 배경
뉴턴과 라이프니츠의 미적분학은 "무한소", "무한소 수" 및 "소멸하는 양"과 같은 표현을 사용하여 공식화되었지만, 이러한 공식화는 조지 버클리 등에게 널리 비판받았다.[6] 무한소를 사용하여 일관되고 만족스러운 해석학 이론을 개발하는 과제는 아브라함 로빈슨에 의해 처음 해결되었다.[6]1958년 쿠르트 슈미덴과 데틀레프 라우그비츠는 "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung"[9]("무한소 미적분학의 확장")이라는 논문을 발표하여 무한소를 포함하는 환의 구성을 제안했다. 이 환은 실수열에서 구성되었으며, 두 수열은 유한 개의 원소에서만 다를 경우 동일한 것으로 간주되었다. 산술 연산은 원소별로 정의되었지만, 이 환에는 영인자가 포함되어 있어 체가 될 수 없었다.
1966년에 출판된 아브라함 로빈슨의 저서 《비표준 해석학》(Non-standard Analysis)은 비표준 해석학에 대한 최초의 완전한 해설을 담고 있었다. 또한, 이 책에는 무한소에 대한 비표준 해석학 이전의 인식이 모순된 존재라는 점에 근거하여 수학사에 대한 기존의 몇몇 견해에 이의를 제기하는 상세한 역사적 내용도 포함되어 있었다. 로빈슨은 오귀스탱 루이 코시의 《해석학 강의》에 수록된 연속 함수열의 수렴에 관한 "합 정리"가 틀렸다는 생각을 반박하고, 그의 가설에 대한 무한소 기반 해석을 제시하여 올바른 정리를 이끌어냈다.[15]
5. 2. 전이 원리
순서체 의 0이 아닌 원소가 무한소라는 것은 그 절댓값이 (은 표준적인 자연수) 형태를 가진 어떠한 의 원소보다 작다는 것을 의미한다. 무한소를 갖는 순서체는 비아르키메데스적이라고 한다. 더 일반적으로, 초준해석은 초준 모델과 전이 원리에 기반한 모든 형태의 수학을 말한다. 실수에 대해 전이 원리를 만족하는 체를 초실수체라고 하며, 초준실해석학은 그러한 체를 실수의 초준 모델로 사용한다.초준해석의 기본적인 논리적 틀을 정식화하면 다음과 같다.
::
5. 3. 미적분학의 재구성
초실수를 사용하여 실해석학의 극한을 통해 정의되는 여러 표준 연산들을 대수적으로 정의할 수 있다.[77] 예를 들어, 함수 의 에서의 극한은 다음과 같이 정의된다.:
비슷하게, 함수 가 모든 에 대하여 이면 를 만족하면 연속함수라고 정의한다.
미분가능성은 임의의 0이 아닌 두 무한소 에 대하여 다음이 성립하는 경우로 정의된다.
:
이때, 의 도함수는 다음과 같다.
:
리만 적분은 ''a'', ''a'' + ''dx'', ''a'' + ''2dx'', ... ''a'' + ''ndx'' 등으로 나누어지는 무한소 격자들의 합으로 정의할 수 있다. 여기서 ''dx''는 무한소이고, ''n''은 무한 초정수이며, 적분 구간의 하한 ''a''와 상한 ''b''는 ''b'' = ''a'' + ''n'' ''dx'' 관계를 따른다.[77]
예를 들어 함수 의 도함수는 다음과 같이 비표준적으로 계산할 수 있다. 가 임의의 무한소라고 하면, 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.
:
이러한 비표준적 정의는 1차 논리로 정의할 수 있는 실함수 와 그에 대응하는 비표준 확대 에 대해 극한, 연속성, 미분가능성의 표준적 정의와 동치이다.
H. 제롬 케이슬러, 데이비드 톨 등의 교육자들은 무한소 개념을 이용한 접근이 학생들에게 더 직관적이라고 주장한다.[10] 케이슬러는 그의 저서 ''무한소 미적분학: 무한소적 접근법''에서 초실수를 사용하여 미적분학을 전개했다.[10]
에드워드 넬슨은 확률 과정 이론을 다루는 데 비표준 해석학을 활용하여 측도론적 확률론의 대안을 제시했다.[11]
5. 4. 응용
비표준 해석학은 다양한 분야에 응용된다. 세르지오 알베베리오(Sergio Albeverio) 등은 통계학과 수학 물리학의 극한 과정을 탐구하는 데 비표준 해석학의 개념이 활용된다고 언급했다.[12]아브라함 로빈슨과 앨런 번스타인은 힐베르트 공간에 대한 모든 다항식 컴팩트 선형 연산자가 불변 부분 공간을 갖는다는 것을 증명하기 위해 비표준 해석학을 사용했다.[16] 이는 불변 부분 공간 문제에 대한 부분적인 해결이었으며, 비표준 해석학을 이용한 초기 응용 사례 중 하나였다.
폴 할모스는 번스타인과 로빈슨의 논문 초안을 읽고 표준 기법을 사용하여 그들의 증명을 재해석했다.[17] 두 논문은 모두 ''Pacific Journal of Mathematics''의 같은 호에 나란히 게재되었다.
이전에 알려진 결과를 재해석하거나 재평가하는 과정에서 다른 결과들이 얻어지기도 했다. 개별 에르고딕 정리에 대한 테테루 카마에의 증명[18]과 L. 반 덴 드리스와 알렉스 윌키의 Gromov의 다항식 성장군 정리에 대한 연구[19]가 그 예시이다. 비표준 해석학은 래리 마네비츠와 슈무엘 와인버거에 의해 대수적 위상수학의 결과를 증명하는 데 사용되었다.[20]
비표준 해석학은 확률 과정 이론에도 적용된다. 예를 들어, 브라운 운동을 랜덤 워크로 구성하는 것과 같은 응용이 있다. 알베베리오 외[11]는 이 연구 분야에 대한 입문서를 썼다.[12]
6. 한국 수학 교육에서의 함의
H. 제롬 케이슬러, 데이비드 톨 등 여러 교육자들은 "입실론-델타" 접근법보다 무한소 개념을 활용하는 것이 학생들이 해석학적 개념을 더 직관적이고 쉽게 이해하도록 돕는다고 주장한다.[10][37] 이 접근법은 때때로 입실론-델타 증명 방식보다 더 간단한 증명을 제공하기도 한다. 이러한 단순화는 대부분 다음과 같은 비표준 산술의 매우 간단한 규칙을 적용하여 이루어진다.
- 무한소 × 유한 = 무한소
- 무한소 + 무한소 = 무한소
H. 제롬 케이슬러는 ''무한소 미적분학: 무한소적 접근법''이라는 책을 저술했다.[10] 이 책은 비표준 해석학을 다루며, 무한소 요소를 포함하는 초실수를 사용하여 미분과 적분, 미적분학을 전개한다. 유한 초실수 의 ''표준 부분''은 에 무한히 가까운 표준 실수를 의미하며, 로 표시된다. 케이슬러는 무한히 가까이 있는 점들을 구별하기 위해 가상의 무한 배율 현미경이라는 시각화 도구를 사용하였다.
7. 비판
에레트 비숍, 알랭 콩, 폴 할모스 등은 비표준 해석학의 일부 측면이 우아하고 매력적임에도 불구하고 비판적인 목소리를 냈다.
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1994
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