칠차 방정식

3. 근과 계수와의 관계

칠차방정식 $ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h=0$ ($a \ne 0$)의 일곱 근을 $\backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash gamma,\; \backslash delta,\; \backslash epsilon,\; \backslash zeta,\; \backslash eta$라고 하면, 근과 계수의 관계에 따라 계수와 근 사이에 특정 관계가 성립한다. 이 관계에서 각 계수에 대응하는 근들의 조합 개수는 조합의 경우의 수 계산을 통해 알 수 있다.

7개의 근 $\backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash gamma,\; \backslash delta,\; \backslash epsilon,\; \backslash zeta,\; \backslash eta$에서 특정 개수만큼 선택하는 조합의 수는 다음과 같다.

• 1개씩 선택하는 조합의 수:

• 2개씩 선택하는 조합의 수:

• 3개씩 선택하는 조합의 수:

• 4개씩 선택하는 조합의 수:

• 5개씩 선택하는 조합의 수:

• 6개씩 선택하는 조합의 수:

• 7개씩 선택하는 조합의 수:

4. 칠차방정식의 근의 정보에 대한 접근

일반적인 일변수 칠차 방정식은 다음과 같은 형태로 표현된다.

:$a\_7\; x^7\; +\; a\_6\; x^6\; +\; a\_5\; x^5\; +\; a\_4\; x^4\; +\; a\_3\; x^3\; +\; a\_2x^2+a\_1x\; +\; a\_0\; =\; 0\; \backslash quad\; (a\_7\; \backslash ne\; 0)$

여기서 최고차항의 계수 $a_7$은 0이 아니므로, 양변을 $a_7$으로 나누어 최고차항의 계수를 1로 만들 수 있다.

:$x^7+\{a\_6\; \backslash over\; a\_7\}x^6+\{a\_5\; \backslash over\; a\_7\}x^5+\{a\_4\; \backslash over\; a\_7\}x^4+\{a\_3\; \backslash over\; a\_7\}x^3+\{a\_2\; \backslash over\; a\_7\}x^2+\{a\_1\; \backslash over\; a\_7\}x\; +\; \{a\_0\; \backslash over\; a\_7\}=0$

이 방정식은 취른하우스 변형을 이용하여 $x=y- {a_6 \over 7 a_7}$ 로 치환하면 6차항($x^6$)을 소거할 수 있다. 치환 후 정리하면 다음과 같이 6차항이 없는 형태의 칠차 방정식으로 변형된다.

:$y^7+py^5+qy^4+ry^3+sy^2+ty+u=0$

여기서 p, q, r, s, t, u는 원래 방정식의 계수들($a_0, a_1, ..., a_7$)로 표현되는 새로운 계수이다.

5. 해법

일부 7차 방정식은 근호를 이용하여 인수분해하여 풀 수 있지만, 모든 7차 방정식을 이런 방식으로 풀 수 있는 것은 아니다. 에바리스트 갈루아는 주어진 방정식이 근호로 풀 수 있는지 판별하는 방법을 개발했으며, 이는 갈루아 이론의 기초가 되었다.

근호로 풀 수 있는 기약 7차 방정식의 한 예는 풀 수 있는 드 무아브르 5차 방정식을 일반화한 다음 형태이다.

:$x^7+7\backslash alpha\; x^5+14\backslash alpha^2x^3+7\backslash alpha^3x+\backslash beta\; =\; 0\backslash ,$

이 방정식의 보조 방정식은 다음과 같다.

:$y^2+\backslash beta\; y-\backslash alpha^7\; =\; 0\backslash ,$

이는 7차 방정식이 $x\; =\; u\; +\; v$, $uv\; +\; \backslash alpha\; =\; 0$, $u^7\; +\; v^7\; +\; \backslash beta\; =\; 0$ 이 세 식에서 $u$와 $v$를 소거하여 얻어짐을 의미한다. 따라서 이 방정식의 일곱 근은 다음과 같이 표현된다.

:$x\_k\; =\; \backslash omega\_k\backslash sqrt[7]\{y\_1\}\; +\; \backslash omega\_k^6\backslash sqrt[7]\{y\_2\}$

여기서 $\backslash omega\_k$는 1의 7제곱근 중 하나이며, $y\_1$과 $y\_2$는 보조 방정식의 두 근이다. 이 7차 방정식의 갈루아 군은 차수가 42인 최대 가해군이다. 이 원리는 소수가 아닌 다른 차수 $k$에 대해서도 유사하게 일반화될 수 있다.

또 다른 근호로 풀 수 있는 7차 방정식의 예시는 다음과 같다.

:$x^7-2x^6+(\backslash alpha+1)x^5+(\backslash alpha-1)x^4-\backslash alpha\; x^3-(\backslash alpha+5)x^2-6x-4\; =\; 0\backslash ,$

이러한 형태의 방정식은 클루너(Kluner)의 수론체 데이터베이스에서 찾아볼 수 있다. 이 방정식의 판별식은 다음과 같다.

:$\backslash Delta\; =\; -4^4\backslash left(4\backslash alpha^3+99\backslash alpha^2-34\backslash alpha+467\backslash right)^3\backslash ,$

이 7차 방정식의 갈루아 군은 차수가 14인 이항 군이다.

일반적인 7차 방정식은 근호만으로는 풀 수 없으며, 해를 구하기 위해서는 초타원 함수와 같은 더 복잡한 함수가 필요하다.^[1] 블라디미르 아르놀트는 모든 7차 방정식의 해가 두 변수의 연속 함수 합성으로 표현될 수 있음을 증명했다.^[2]

5. 1. 초타원 함수를 이용한 해법

6. 갈루아 군

에바리스트 갈루아가 개발한 갈루아 이론은 주어진 다항 방정식이 근호를 이용하여 해를 표현할 수 있는지 판별하는 방법을 제공한다. 칠차 방정식의 경우, 그 해법의 형태는 해당 방정식의 갈루아 군에 의해 결정된다.

칠차 방정식의 갈루아 군이 가해군(solvable group)인 경우, 방정식은 근호로 풀 수 있다. 이러한 가해군에 해당하는 경우는 다음과 같다.^[1]

• 순환군 $C\_7$ (위수 7)
• 이항군 $D\_7$ (위수 14)
• 메타순환군 (위수 21 또는 42). 각각 프로베니우스 군 $F\_\{21\}$과 $F\_\{42\}$으로도 불린다.

• $x^7+7\backslash alpha\; x^5+14\backslash alpha^2x^3+7\backslash alpha^3x+\backslash beta\; =\; 0$
• 이 방정식의 갈루아 군은 위수가 42인 최대 가해군이다. 해는 $x\_k\; =\; \backslash omega\_k\backslash sqrt[7]\{y\_1\}\; +\; \backslash omega\_k^6\backslash sqrt[7]\{y\_2\}$ 형태로 표현되며, 여기서 $\backslash omega\_k$는 7차 단위근이고 $y\_1,\; y\_2$는 보조 이차 방정식 $y^2+\backslash beta\; y-\backslash alpha^7\; =\; 0$의 근이다.
• $x^7-2x^6+(\backslash alpha+1)x^5+(\backslash alpha-1)x^4-\backslash alpha\; x^3-(\backslash alpha+5)x^2-6x-4\; =\; 0$
• 이 방정식의 갈루아 군은 위수가 14인 이항군이다.

7. 특수 응용

원내접 오각형의 넓이의 제곱은 오각형 변의 대칭 함수를 계수로 하는 칠차 방정식의 근이다.^[4] 원내접 육각형의 넓이의 제곱도 마찬가지로, 육각형 변의 대칭 함수를 계수로 하는 칠차 방정식의 근으로 나타낼 수 있다.^[5]

참조

_[1] 서적 Beyond the Quartic Equation https://books.google[...] Birkhaüser 2009-01-16
_[2] 서적 Kolmogorov's heritage in mathematics Springer 2007-09-13
_[3] 간행물 From Hilbert's Superposition Problem to Dynamical Systems http://www.pdmi.ras.[...]
_[4] 웹사이트 Cyclic Pentagon http://mathworld.wol[...]
_[5] 웹사이트 Cyclic Hexagon http://mathworld.wol[...]