순환군

3. 분류

순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.

:$\backslash langle\; g\backslash rangle\; \backslash cong$

\begin{cases}

\mathbb{Z} &\operatorname{ord}g=\infty\\

\mathbb{Z}_{\operatorname{ord}g} &\operatorname{ord}g<\infty

\end{cases}



위수 ''n''의 '''유한 순환군''' ''G''에 대해, }를 갖는다. 여기서 ''e''는 항등원이고, 는 (mod ''n'')일 때 성립한다. 특히 이고, 이다. 이러한 곱셈으로 정의된 추상군은 종종 C_''n''으로 표시되며, ''G''는 표준 순환군 C_''n''과 동형이라고 말한다. 이러한 군은 또한 덧셈 연산을 갖는 ''n''을 법으로 하는 정수군인 '''Z'''/''n'''''Z'''와 동형이며, 이는 덧셈 표기법에서 표준 순환군이다. 로 정의된 동형사상 ''χ'' 하에서 항등원 ''e''는 0에 해당하고, 곱셈은 덧셈에 해당하며, 거듭제곱은 배수에 해당한다.

예를 들어, 복소수 6차 단위근의 집합 $$G\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash pm\; 1,\; \backslash pm\{\; \backslash left(\backslash tfrac\; 1\; 2\; +\; \backslash tfrac\{\backslash sqrt\; 3\}\{2\}i\backslash right)\},\; \backslash pm\{\backslash left(\backslash tfrac\; 1\; 2\; -\; \backslash tfrac\{\backslash sqrt\; 3\}\{2\}i\backslash right)\}\backslash right\backslash \}$$은 곱셈에 대해 군을 형성한다. 이는 원시근 $z\; =\; \backslash tfrac\; 1\; 2\; +\; \backslash tfrac\{\backslash sqrt\; 3\}\{2\}i=e^\{2\backslash pi\; i/6\}:$에 의해 생성되므로 순환군이다. 즉, ''G'' = ⟨''z''⟩ = { 1, ''z'', ''z''², ''z''³, ''z''⁴, ''z''⁵ }이며 ''z''⁶ = 1이다.

몫 표기법 '''Z'''/''n'''''Z''', '''Z'''/(''n''), 또는 '''Z'''/''n'' 대신, 일부 저자는 유한 순환군을 '''Z'''_''n''으로 표시하지만, 이는 수론 표기법과 충돌하며, 여기서 '''Z'''_''p''는 ''p''진수 링 또는 소수 아이디얼에서의 국소화를 나타낸다.

반면에, '''무한 순환군''' 에서, 거듭제곱 ''g''^''k''는 모든 정수 ''k''에 대해 서로 다른 원소를 가지므로, }이고, ''G''는 표준군 및 정수의 덧셈군인 '''Z'''와 동형이다. 한 예는 첫 번째 프리즈 군이다.

4. 성질

순환군 ''G''의 임의의 원소 ''g''에 대해, 정수 거듭제곱으로 구성된 부분군 ⟨''g''⟩ = { ''g''^''k'' | ''k'' ∈ '''Z''' }를 만들 수 있다. ''g''의 위수는 |⟨''g''⟩|이며, ⟨''g''⟩에 있는 원소의 개수를 의미한다. 이를 |''g''|, ord(''g''), 또는 o(''g'')로 나타낸다. 원소의 위수는 해당 원소가 생성하는 순환 부분군의 위수와 같다.

순환군은 순환 부분군 중 하나와 같은 군이다. 즉, ''G'' = ⟨''g''⟩이며, 여기서 ''g''는 ''G''의 생성자이다.

위수 ''n''의 유한 순환군 ''G''는 ''G'' = {''e'', ''g'', ''g''², ... , ''g''^''n''−1}로 표현된다. 여기서 ''e''는 항등원이고, ''g''^''i'' = ''g''^''j''는 ''i'' ≡ ''j'' (mod ''n'')일 때 성립한다. 특히 ''g''^''n'' = ''g''⁰ = ''e''이고, ''g''⁻¹ = ''g''^''n''−1이다. 이러한 곱셈으로 정의된 추상군은 종종 C_''n''으로 표시되며, ''G''는 표준 순환군 C_''n''과 동형이다.

이러한 군은 덧셈 연산을 갖는 ''n''을 법으로 하는 정수군인 '''Z'''/''n'''''Z'''와 동형이다. 동형사상 ''χ'' 하에서 항등원 ''e''는 0, 곱셈은 덧셈, 거듭제곱은 배수에 대응된다.

예를 들어, 복소수 6차 단위근의 집합은 곱셈에 대해 군을 형성한다. 이는 원시근 $z\; =\; \backslash tfrac\; 1\; 2\; +\; \backslash tfrac\{\backslash sqrt\; 3\}\{2\}i=e^\{2\backslash pi\; i/6\}:$에 의해 생성되므로 순환군이다. 즉, ''G'' = ⟨''z''⟩ = { 1, ''z'', ''z''², ''z''³, ''z''⁴, ''z''⁵ }이며 ''z''⁶ = 1이다. 이는 C₆와 동형이며, '''Z'''/6'''Z'''와도 동형이다.

몫 표기법 '''Z'''/''n'''''Z''', '''Z'''/(''n''), 또는 '''Z'''/''n'' 대신, 일부 저자는 유한 순환군을 '''Z'''_''n''으로 표시하지만, 이는 수론 표기법과 충돌한다.

'''무한 순환군''' 에서, 거듭제곱 ''g''^''k''는 모든 정수 ''k''에 대해 서로 다른 원소를 가지므로, ''G'' = { ... , ''g''⁻², ''g''⁻¹, ''e'', ''g'', ''g''², ... }이고, ''G''는 표준군 C = C_∞ 및 정수의 덧셈군인 '''Z'''와 동형이다.

부르바키는 단일 생성자를 가진 군에 대해 '''단일 생성 군'''이라는 용어를 도입했으며, "순환군"을 유한 단일 생성 군을 의미하도록 제한하여 "무한 순환군"이라는 용어를 피했다.^[3]

순환군은 다음과 같은 성질을 가진다.

• ''G''는 아벨 군이다.^[26] 즉, 임의의 ''h'' ∈ ''G''에 대해 ''gh'' = ''hg''가 성립한다.
• ''n''이 유한하다면, ''g''^''n'' = ''g''⁰는 군 ''G''의 항등원이다.
• ''n'' = ∞라면, ''G''는 정확히 두 개의 생성원을 갖는다. 그것들은 '''Z'''에서의 1 및 −1에 대응하는 원소이다.^[27]
• ''n''이 유한하다면, ''G''를 생성하는 원소의 총수는 정확히 φ(''n'')과 같다. 여기서 φ는 오일러의 토션트 함수이다.^[28]
• ''p''가 소수라면, 위수 ''p''의 군은 순환군 ''C''_''p''(혹은 '''Z'''/''p'''''Z''')밖에 없다.^[29]
• 두 순환군 '''Z'''/''n'''''Z''', '''Z'''/''m'''''Z'''의 직적군이 다시 순환군이 되기 위한 필요충분 조건은 ''n''과 ''m''이 서로소라는 것이다.^[30]
• 순환군의 부분군 역시 순환군이다.
• 순환군의 몫군 역시 순환군이다.

4. 1. 약수 관계

• $g^n=1$
• $\backslash operatorname\{ord\}g\backslash mid\; n$

• 임의의 $g\backslash in\backslash mathbb\; G$에 대하여, $g^n=1$
• $\backslash exp\; G\backslash mid\; n$

4. 2. 항등식

• $gh=hg$
• $\backslash gcd\backslash \{\backslash operatorname\{ord\}g,\backslash operatorname\{ord\}h\backslash \}=1$

• 임의의 $h\backslash in\; G$에 대하여, $\backslash operatorname\{ord\}h\backslash mid\backslash operatorname\{ord\}g$

4. 3. 순환군

• $|G|$는 소수이다.
• $G$는 순환 단순군이다.
• $G$는 아벨 단순군이다.

• $G$는 순환군이다.
• 임의의 $|G|$의 양의 약수 $d$에 대하여, $\backslash \{H\backslash le\; G\backslash colon|H|=d\backslash \}\backslash le1$이다.
• 임의의 $m\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$에 대하여, $|\backslash \{x\backslash in\; G\backslash colon\; x^m=1\backslash \}|\backslash le\; m$이다.

• $Z\_m\backslash oplus\; Z\_n\backslash cong\; Z\_\{mn\}$
• $\backslash gcd\backslash \{m,n\backslash \}=1$

• 임의의 양의 정수 ''n''에 대하여, 위수가 ''n''인 순환군이 (동형의 차이를 제외하고) 정확히 하나 존재한다.
• 또한, 위수가 무한대인 순환군이 (동형의 차이를 제외하고) 정확히 하나 존재한다.

• ''G''는 아벨 군이다^[26]. 즉, 임의의 ''h'' ∈ ''G''에 대해 ''gh'' = ''hg''가 성립한다. 이는 ''g'' + ''h'' ≡ ''h'' + ''g'' (mod ''n'')의 성립으로부터 따른다.
• ''n''이 유한하다면, ''g''^''n'' = ''g''⁰는 군 ''G''의 항등원이다. 이는 임의의 정수 ''k''에 대해 ''kn'' ≡ 0 (mod ''n'')이 되는 것에 대응한다.
• ''n'' = ∞라면, ''G''는 정확히 두 개의 생성원을 갖는다. 그것들은 '''Z'''에서의 1 및 −1에 대응하는 원소이다^[27].
• ''n''이 유한하다면, ''G''를 생성하는 원소의 총수는 정확히 φ(''n'')과 같다. 여기서 φ는 오일러의 토션트 함수이다^[28].
• * 더 일반적으로, ''d''가 ''n''의 약수라면, '''Z'''/''n'''''Z'''의 위수 ''d''의 원소의 개수는 φ(''d'')이다. 또한, ''m''에 속하는 잉여류의 위수는 ''n''/gcd(''n'',''m'')로 주어진다.
• ''p''가 소수라면, 위수 ''p''의 군은 (동형의 차이를 제외하고) 순환군 ''C''_''p''(혹은 덧셈으로 쓴다면 '''Z'''/''p'''''Z''')밖에 없다^[29].
• 두 개의 순환군 '''Z'''/''n'''''Z''', '''Z'''/''m'''''Z'''의 직적군이 다시 순환군이 되기 위한 필요충분 조건은 ''n''과 ''m''이 서로소라는 것이다^[30].

5. 표현

''n''차 단위근은 ''n''번 곱해서 1이 되는 복소수이며, 다항식 ''x''^''n'' − 1의 근이다.^[1] 모든 ''n''차 단위근의 집합은 곱셈에 대해 차수가 ''n''인 순환군을 이룬다. 이 순환군의 생성원은 ''n''차 원시 단위근이며, ''n''차 원분 다항식의 근이다.

순환군의 표현론은 유한군의 표현론에서 중요한 기본 사례이다. 복소수의 경우, 순환군의 표현은 선형 문자의 직합으로 분해되므로 문자론과 표현론의 연결이 명확하다. 양의 표수의 경우, 순환군의 기약 표현은 순환 실로우 부분군을 갖는 군의 표현론과, 더 일반적으로 순환 결함을 갖는 블록의 표현론을 위한 모델이자 귀납적 기초가 된다.

5. 1. 사이클 그래프

최대 24차수의 사이클 그래프

Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6 = Z3×Z2	Z7	Z8
Z9	Z10 = Z5×Z2	Z11	Z12 = Z4×Z3	Z13	Z14 = Z7×Z2	Z15 = Z5×Z3	Z16
Z17	Z18 = Z9×Z2	Z19	Z20 = Z5×Z4	Z21 = Z7×Z3	Z22 = Z11×Z2	Z23	Z24 = Z8×Z3

5. 2. 케일리 그래프

5. 3. 자기준동형사상

6. 응용

텐서곱 '''Z'''/''m'''''Z''' ⊗ '''Z'''/''n'''''Z'''는 '''Z''' / gcd(''m'', ''n'')'''Z'''와 동형이다. 따라서, 군 준동형사상의 모임, 즉 '''Z'''/''m'''''Z'''에서 '''Z'''/''n'''''Z'''로의 준동형사상은 hom('''Z'''/''m'''''Z''', '''Z'''/''n'''''Z''')로 표기하며, 이것은 자체로 하나의 군이다. 이는 ''R''/''I'' ⊗_''R'' ''R''/''J'' ≅ ''R''/(''I'' + ''J'')라는 일반적인 사실의 결과인데, 여기서 ''R''은 단위를 갖는 가환 환이고, ''I''와 ''J''는 환의 아이디얼이다. Hom 군의 경우, 이 군은 '''Z'''/''n'''''Z'''의 부분군 중 위수가 ''m''을 나누는 원소로 구성된 부분군과 동형이며, 이 부분군은 위수가 gcd(''m'', ''n'')인 순환군이다.

회전 대칭에서의 순환군의 예시

• '''회전 대칭''': 다각형의 회전 대칭 집합은 유한 순환군을 형성한다.^[7] 회전을 통해 다각형을 자체로 이동하는 서로 다른 방법이 ''n''개 있다면(영 회전 포함) 이 대칭군은 '''Z'''/''n'''''Z'''와 동형이다. 원의 모든 회전 집합(원군, 기호 ''S''¹)은 순환군이 아닌데, 이는 정수 거듭제곱으로 모든 회전을 생성하는 단일 회전이 없기 때문이다.
• '''갈루아 이론''': n^영어차 단위근은 곱셈에 대해 차수 n^영어의 순환군을 이룬다. 순환 확대는 갈루아 군이 순환군인 체 확장이다.

6. 1. 유한 아벨 군의 분해

6. 2. 정수 및 모듈러 덧셈

6. 3. 모듈러 곱셈

6. 4. 회전 대칭

6. 5. 갈루아 이론

7. 관련 군

순환군과 관련된 군은 다음과 같다.

• 실질적 순환군(준순환군): 지수가 유한한 순환 부분군을 포함하는 군이다. 모든 순환군과 유한군은 실질적 순환군이다.
• 프로순환군: 단일 원소에 의해 위상적으로 생성될 수 있는 프로유한군이다.
• 국소 순환군: 모든 유한 생성 부분군이 순환군인 군이다.
• 순환 순서군: 군 구조에 의해 보존되는 순환 순서를 가진 군이다.
• 메타사이클릭 군: 몫 또한 순환군인 순환 정규 부분군을 포함하는 군이다.
• 다중 순환군: 유한한 하강 부분군열을 가지며, 각 부분군은 이전 부분군에서 순환 몫을 가지는 정규 부분군이고, 자명군에서 끝나는 군이다.

7. 1. 실질적 순환군 (준순환군)

7. 2. 프로순환군

7. 3. 국소 순환군

7. 4. 순환 순서군

7. 5. 메타사이클릭 군과 다중 순환군

참조

_[1] 서적 Cyclic group Springer
_[2] 서적
_[3] 서적
_[3] 서적 Algebra I: Chapters 1–3
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
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_[14] 서적
_[15] MathWorld Cycle Graph
_[16] 서적
_[17] 서적
_[18] 서적
_[19] 서적
_[19] 서적 Groups of cohomological dimension one
_[20] 서적
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_[23] 서적 Metacyclic group Springer
_[24] SpringerEOM Polycyclic group
_[25] 서적
_[26] 서적
_[27] 서적
_[28] 서적
_[29] 서적
_[30] 서적
_[31] 서적
_[32] 서적
_[33] 서적
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_[36] 서적
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_[39] 서적