가해군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 초가해군
3. 성질
4. 예
- 4.1. 가해 유한군
- 4.2. 가해 리 군
5. 역사
6. 응용
7. 관련 개념
참조

1. 개요

가해군은 군의 일종으로, 정규 부분군들의 열을 가지고 있으며, 이 열의 몫군들이 모두 아벨군인 군을 의미한다. 가해군은 부분 정규 열을 가지며, 이 인자군이 모두 아벨군이거나, 교환자 부분군을 포함하는 아래로 내려가는 정규 열을 갖는 군으로 정의되기도 한다. 가해군은 갈루아 이론에서 유래되었으며, 갈루아 군이 가해군인 갈루아 확대는 거듭제곱근으로 풀 수 있다는 특징이 있다. 가해군은 모든 아벨군, 멱영군, 그리고 유한 p-군을 포함하며, 유한군에서는 모든 인자가 소수 차수의 순환군인 조성 열을 갖는 군과 동치이다. 가해군의 개념은 초가해군, 준가해군, 가감산 군 등과 관련되며, 군론 전반에 걸쳐 널리 사용된다.

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가해군
정의
한국어	가해군
영어	Solvable group
일본어	可解群 (かかいぐん)
로마자 표기	Gahaegun
설명	부분정규열에서 모든 몫군이 아벨군인 군
성질
부분군	가해군의 모든 부분군 역시 가해군이다.
몫군	가해군의 모든 몫군 역시 가해군이다.
확대	만약 N이 G의 정규 부분군이고, N과 G/N이 가해군이라면, G 역시 가해군이다.
유한 생성 아벨군	유한 생성 아벨군은 가해군이다.
멱영군	멱영군은 가해군이다.
유한군	모든 유한 가해군은 1을 제외한 크기의 소수 멱수로 이루어진 정규 부분군을 가진다.
예시
아벨군	모든 아벨군은 자명하게 가해군이다.
대칭군	5차 이상의 대칭군 S_n (n ≥ 5)은 가해군이 아니다.
교대군	5차 이상의 교대군 A_n (n ≥ 5)은 가해군이 아니다.

2. 정의

어떤 군 $G$ 가 다음 조건을 만족하는 정규부분군열을 가질 때 '''가해군'''이라고 한다.

: $1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_k=G$

여기서 모든 $i$ 에 대해, $G_{i+1}/G_i$ 는 아벨 군이다.

이와 동등하게, 도출 열

: $G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots,$

이 유한 번의 단계에서 자명군에 도달하는 군을 가해군이라고 정의할 수 있다. 여기서 각 부분군은 이전 부분군의 교환자 부분군이다.

이 두 정의는 동등하다. 왜냐하면 모든 군 ''H''와 ''H''의 모든 정규 부분군 ''N''에 대해, 몫 ''H''/''N''은 ''N''이 ''H''의 교환자 부분군을 포함하는 경우에만 아벨 군이기 때문이다. ''G''^(''n'') = 1인 가장 작은 ''n''은 가해군 ''G''의 '''도출 길이'''라고 한다.

유한군의 경우, 가해군은 모든 인자가 소수 차수의 순환군인 조성 열을 갖는 군으로 정의할 수도 있다. 조르당-횔더 정리에 따르면, 한 조성 열이 이 속성을 가지면 모든 조성 열이 이 속성을 갖는다.

2. 1. 초가해군

모든

i

에 대해

G_i\vartriangleleft G

이고

G_{i+1}/G_i

가 순환군인 정규열을 갖는 군을 '''초가해군'''(超可解群, supersolvable group^영어)이라고 한다. 즉,

:

G = G_0 \trianglerighteq G_1 \trianglerighteq \dotsb \trianglerighteq G_n = 1

에서, 각

G_k

는

G

의 정규 부분군이며,

G_{k}/G_{k+1}

는 순환군이다. 모든 초가해군은 가해군이나, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 4차 교대군

A_4

는 가해군이지만 초가해군이 아니다.

정규열은 정의상 유한한 길이를 가지므로, 비가산 군은 초가해군이 아니다. 실제로, 모든 초가해군은 유한 생성군이며, 아벨군은 유한 생성일 때, 그리고 그 때에 한해서 초가해군이다.

유한 생성군에 한정하여 논의하면, 군의 클래스에는 다음과 같은 강도의 관계가 있다 (왼쪽이 더 강한 조건이다):

:순환군 < 아벨군 < 멱영군 < 초가해군 < '''가해군''' < 유한 생성군.

3. 성질

군 $G$ 와 정규 부분군 $N\vartriangleleft G$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$G$ 는 가해군이다.
$N$ 과 몫군 $G/N$ 은 모두 가해군이다.

가해군의 부분군은 가해군이다. 두 가해군의 반직접곱은 가해군이다. (특수한 경우로, 유한 개의 가해군의 직접곱은 가해군이다.) 두 가해군의 화환곱은 가해군이다.^[2]^[3]

4. 예

모든 아벨 군은 자명하게 가해군이다. 모든 멱영군은 가해군이며, 모든 유한 ''p''-군(p-군)은 멱영군이므로 가해군이다. (예: 사원수군) 대칭군 ''S''₃은 가해군이지만 멱영군이 아닌 군의 예시이다.

$a = \sqrt[5]{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ 를 포함하는 $\mathbb{Q}$ 의 가장 작은 갈루아 체 확장은 가해군을 제공한다. 관련된 체 확장은 다음과 같다.

> $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\left(e^{2i\pi/ 5}\right)\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\left(e^{2i\pi/ 5}, a\right)$

이는 다음 구성 요소를 포함하는 가해군 갈루아 확장이다. ( $1$ 은 항등 순열)

$\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Q(\sqrt{2})}\right/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2$ (군 작용: $f\left(\pm\sqrt{2}\right) = \mp\sqrt{2}, \ f^2 = 1$ , 최소 다항식: $x^2 - 2$ )
$\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Q(\sqrt{2},\sqrt{3})}\right/\mathbb{Q(\sqrt{2})}) \cong \mathbb{Z}/2$ (군 작용: $g\left(\pm\sqrt{3}\right) = \mp\sqrt{3} ,\ g^2 = 1$ , 최소 다항식: $x^2 - 3$ )
$\mathrm{Aut}\left($

\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\left(e^{2i\pi/ 5}\right)/\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\right)\cong \mathbb{Z}/4 (군 작용:

h^n\left(e^{2im\pi/5}\right) = e^{2(n+1)mi\pi/5} , \  0 \leq n \leq 3, \ h^4 = 1

,

1

을 제외한 5차 단위근을 포함하는 최소 다항식:

x^4 + x^3+x^2+x+1 = (x^5 - 1)/(x-1)

)

$\mathrm{Aut}\left($

\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\left(e^{2i\pi/ 5}, a\right)/\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\left(e^{2i\pi/ 5}\right)\right)\cong \mathbb{Z}/5 (군 작용:

j^l(a) = e^{2li\pi/5}a, \ j^5 = 1

, 최소 다항식:

x^5 - \left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)

)

각 정의된 군 작용(예:

fgh^3j^4

)은 다른 모든 확장을 고정 상태로 유지하면서 단일 확장을 변경한다. 80개의 군 작용은 집합

\{f^ag^bh^nj^l,\ 0 \leq a, b \leq 1,\ 0 \leq n \leq 3,\ 0 \leq l \leq 4 \}

이다.

이 군은 아벨 군이 아니다. 예를 들어,

hj(a) = h(e^{2i\pi/5}a) = e^{4i\pi/5}a

인 반면

jh(a) = j(a) = e^{2i\pi/5}a

이고, 실제로

jh = hj^3

이다. 이 군은

(\mathbb{Z}_5 \rtimes_\varphi \mathbb{Z}_4) \times (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)

와 동형이며, 여기서

\varphi_h(j) = hjh^{-1} = j^2

이고, 반직접곱과 직접곱 순환군을 사용하여 정의된다. (

\mathbb{Z}_4

는 정규 부분군이 아님)

4. 1. 가해 유한군

가해군이 아닌 가장 작은 군은 크기가 60인 교대군

A_5

이다. 초가해군이 아닌 가장 작은 군은 크기가 12인 교대군

A_4

이다.

파이트-톰프슨 정리에 따르면, 크기가 홀수인 모든 유한군은 가해군이다. 번사이드 정리에 따르면, 크기가

p^aq^b

(

p,q

는 소수) 꼴인 유한군은 가해군이다. 실로우 부분군이 순환군인 모든 유한군은 두 순환군의 반직접곱이며, 특히 가해군이다. 이러한 군을 Z-군이라고 한다.

4. 2. 가해 리 군

리 대수가 가해 리 대수인 연결 리 군은 가해군이다. 실수 또는 복소수 상삼각 행렬의 리 군은 가해 리 군이다.

모든 유한 차원 연결 가해 리 군은 유클리드 공간과 미분동형이다.

5. 역사

가해군의 개념은 갈루아 이론에서 최초로 등장하였다. 갈루아 이론에서, 갈루아 군이 가해군인 갈루아 확대는 거듭제곱근으로 풀 수 있기 때문에 이러한 이름이 붙었다. 오늘날 가해군의 개념은 갈루아 이론뿐만 아니라 군론 전반적으로 널리 쓰인다.

역사적으로 "가해군"이라는 단어는 갈루아 이론에서 유래되었으며, 5차 방정식의 일반적인 해법 불가능성을 증명하는 과정에서 생겨났다. 구체적으로, 다항 방정식은 해당 갈루아 군이 가해군일 경우에만 근호로 풀 수 있다^[1] (이 정리는 표수 0에서만 성립한다). 이는 5차 이상의 방정식이 일반적으로 근의 공식으로 풀리지 않는다는 아벨-루피니 정리의 핵심 내용과 연결된다.

군 ''S''₅는 가해군이 아니다. 이는 {E, ''A''₅, ''S''₅}의 조성열을 가지며 (조르당-횔더 정리에 따르면 다른 모든 조성열은 이 조성열과 동치이다), ''A''₅와 ''C''₂에 동형인 몫군을 제공한다. 그리고 ''A''₅는 아벨군이 아니다. 이러한 논리를 일반화하여, ''n'' > 4일 때 ''A''_''n''이 ''S''_''n''의 정규, 극대, 비아벨 단순 부분군이라는 사실과 결합하면, ''n'' > 4일 때 ''S''_''n''이 가해군이 아님을 알 수 있다. 이는 모든 ''n'' > 4에 대해 근으로 풀 수 없는 다항식이 존재한다는 증명의 핵심 단계이다 (아벨-루피니 정리).

6. 응용

갈루아 이론에서, 갈루아 군이 가해군인 갈루아 확대는 거듭제곱근으로 풀 수 있다.^[1] 다항 방정식은 해당 갈루아 군이 가해군일 경우에만 근호로 풀 수 있다. 이는 다항식 $f \in F[x]$ 에 대해 다음과 같은 체 확대의 탑이 존재한다는 것을 의미한다.

$F = F_0 \subseteq F_1 \subseteq F_2 \subseteq \cdots \subseteq F_m=K$

이때,

#

F_i = F_{i-1}[\alpha_i]

이고,

\alpha_i^{m_i} \in F_{i-1}

이므로,

\alpha_i

는

x^{m_i} - a

의 해이며,

a \in F_{i-1}

이다.

#

F_m

은

f(x)

에 대한 분해체를 포함한다.

''n'' > 4일 때 ''S''_''n''이 가해군이 아니라는 성질은 모든 ''n'' > 4에 대해 근으로 풀 수 없는 다항식이 존재한다는 증명의 핵심 단계이다 (아벨-루피니 정리). 이러한 속성은 배링턴의 정리 증명에도 사용된다.

7. 관련 개념

준가해군(virtually solvable group): 유한 지수를 갖는 가해 부분군을 갖는 군이다. 모든 가해군은 지수가 1인 군 자체를 부분군으로 가지므로 준가해군이다.^[4]
가감산 군(hypoabelian group): 초한 도출열이 자명군에 도달하는 군이다. 모든 가해군은 가감산 군이다.
p-가해군(p-solvable group): 유한군에서 모든 조성 인자가 p-군이거나 p와 서로소인 차수를 갖는 군이다. 유한군은 모든 p에 대해 p-가해군일 때 가해군이다.^[4]

참조

_[1] 서적 Field Theory https://www.jmilne.o[...]
_[2] 서적 Theorem 5.15
_[3] 서적 Theorem 5.16
_[4] 웹사이트 p-solvable-groups https://groupprops.s[...]

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