특성 부분군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 관련 개념
- 3.2. 부분군 간의 관계
4. 예
5. 예시 (정규 부분군이지만 특성 부분군이 아닌 경우)
6. 추가 정보
참조

1. 개요

특성 부분군은 군 G의 자기 동형 사상에 대해 불변인 부분군 H로 정의되며, H char G로 표기한다. 모든 특성 부분군은 정규 부분군이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 특성 부분군은 추이적이며, 완전 특성 부분군, 언어 부분군 등과 관련된다. 예시로, 모든 군은 자기 자신과 자명 부분군을 특성 부분군으로 가지며, 사이클릭 군의 모든 부분군은 특성 부분군이다. 클라인 4원군의 차수가 2인 부분군이나 사원수 군의 차수가 4인 순환 부분군은 정규 부분군이지만 특성 부분군은 아니다.

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특성 부분군
정의
정의	군 G의 부분군 H가 G의 모든 자기 동형 사상에 대해 불변일 때, 즉 φ(H) = H for all φ ∈ Aut(G)일 때, H를 G의 특성 부분군이라고 한다.
성질
포함 관계	특성 부분군은 정규 부분군이다. 즉, G의 모든 자기 동형 사상은 G의 모든 내부 자기 동형 사상도 포함하기 때문이다.
정규 부분군의 조건	정규 부분군은 특성 부분군이 아닐 수 있다.
완전군	완전군의 자명하지 않은 정규 부분군은 특성 부분군이다.
유한군	홀수 차수의 유한군에서 모든 정규 부분군은 특성 부분군이다.
추이 관계	H가 K의 특성 부분군이고 K가 G의 특성 부분군이면, H는 G의 특성 부분군이다.
정규 부분군 추이 관계	H가 K의 정규 부분군이고 K가 G의 정규 부분군이면, H는 G의 정규 부분군이 아닐 수 있다.
예시
예시	임의의 군 G에 대해 자명한 부분군 {e}와 G 자신은 G의 특성 부분군이다.
교환자 부분군	군의 교환자 부분군은 항상 특성 부분군이다.
군의 중심	군의 중심은 항상 특성 부분군이다.
Sylow 부분군	군의 Sylow 부분군은 특성 부분군이 아닐 수 있다.

2. 정의

군 $G$ 의 부분군 $H$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $H$ 를 $G$ 의 '''특성 부분군'''이라고 한다.

임의의 $\phi\in\operatorname{Aut}(G)$ 에 대하여, $\phi(H)\subseteq H$
임의의 $\phi\in\operatorname{Aut}(G)$ 에 대하여, $\phi(H)=H$ . 즉, $H$ 는 $G$ 의 자기 동형 사상에 대하여 불변이다.

"

H

는

G

의 특성 부분군이다"라는 주장은

H\mathrelG

로 표기한다.

모든 자기 동형 사상

\phi

에 대해

\phi(H) = H

를 만족하는 것은,

\phi^{-1}(H) \subseteq H

가 역포함 관계

H \subseteq \phi(H)

를 의미하기 때문에, 더 강한 조건을 요구하는 것과 동일하다.

3. 성질

주어진 군의 모든 특성 부분군은 정규 부분군이다.

$H$ 가 $G$ 의 특성 부분군이고, $K$ 가 $H$ 의 특성 부분군이라면, $K$ 는 $G$ 의 특성 부분군이다. $H$ 가 $G$ 의 정규 부분군이고, $K$ 가 $H$ 의 특성 부분군이라면, $K$ 는 $G$ 의 정규 부분군이다.

만약 $G$ 가 주어진 지수를 갖는 유일한 부분군 $H$ 를 가진다면, $H$ 는 $G$ 에서 특성 부분군이다.

특성 부분군이라는 성질은 추이적이다. 즉, $H$ 가 $K$ 의 특성 부분군이고, $K$ 가 $G$ 의 특성 부분군이라면, $H$ 는 $G$ 의 특성 부분군이다.

또한, 정규 부분군의 모든 특성 부분군은 정규 부분군이다.

3. 1. 관련 개념

내부 자기 동형 사상에 대해 불변인 부분군은 정규 부분군(불변 부분군)이다. 특성 부분군은 모든 자기 동형 사상에 대해 불변이므로, 모든 특성 부분군은 정규 부분군이다. 하지만, 모든 정규 부분군이 특성 부분군은 아니다.

군 $G$의 모든 자기 준동형 사상에 대해 불변인 부분군은 완전 특성 부분군(완전 불변 부분군)이다. 모든 완전 특성 부분군은 특성 부분군이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.^[3]^[4]

자유군의 완전 불변 부분군의 준동형 상은 언어 부분군이다.^[3]^[4] 모든 언어 부분군은 완전 특성 부분군이다.^[3]^[4] 축소된 자유군, 특히 모든 자유군에 대해 역도 성립한다. 즉, 모든 완전 특성 부분군은 언어 부분군이다.^[3]^[4]

부분군, 정규 부분군, 특성 부분군, distinguished subgroup, 완전 특성 부분군, 언어 부분군 사이의 관계는 다음과 같다.

:부분군 ⇐ 정규 부분군 ⇐ '''특성 부분군''' ⇐ distinguished subgroup ⇐ 완전 특징적 부분군 ⇐ 언어적 부분군

3. 1. 1. 정규 부분군

내부 자기 동형 사상에 대해 불변인 부분군은 정규 부분군이며, 불변 부분군이라고도 한다. 특성 부분군은 모든 자기 동형 사상에 대해 불변이므로, 모든 특성 부분군은 정규 부분군이다. 하지만, 모든 정규 부분군이 특성 부분군은 아니다. 다음은 몇 가지 예시이다.

H를 자명하지 않은 군으로 하고, G를 직적 H × H라고 하자. 그러면 부분군 {1} × H와 H × {1}은 모두 정규 부분군이지만, 어느 것도 특성 부분군은 아니다. 특히, 이 부분군은 두 요소를 전환하는 자기 동형 사상 (x, y) → (y, x)에 대해 불변이지 않다.
이에 대한 구체적인 예시로, V를 클라인 네 그룹(이는 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 의 직적과 동형이다)라고 하자. 이 군은 아벨 군이므로 모든 부분군은 정규 부분군이다. 하지만, 항등원이 아닌 3개 원소의 모든 순열은 V의 자기 동형 사상이므로, 차수가 2인 3개의 부분군은 특성 부분군이 아니다. 여기서 V = {e, a, b, ab}이다. H = {e, a}를 고려하고 자기 동형 사상 T(e) = e, T(a) = b, T(b) = a, T(ab) = ab를 고려하면, T(H)는 H에 포함되지 않는다.
차수가 8인 사원수 군에서, 차수가 4인 각 순환 부분군은 정규 부분군이지만, 이 중 어느 것도 특성 부분군은 아니다. 하지만, 부분군 {1, −1}는 차수가 2인 유일한 부분군이므로 특성 부분군이다.
n > 2가 짝수이면, 차수가 2n인 이각형 군은 지수가 2인 3개의 부분군을 가지며, 이들은 모두 정규 부분군이다. 이 중 하나는 순환 부분군이며, 이는 특성 부분군이다. 다른 두 부분군은 이각형 군이며, 이는 상위 군의 외부 자기 동형에 의해 순열되므로 특성 부분군이 아니다.

3. 1. 2. 완전 특성 부분군

군 $G$의 모든 자기 준동형 사상에 대해 불변인 부분군은 완전 특성 부분군 (또는 완전 불변 부분군)이다. 모든 완전 특성 부분군은 특성 부분군이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.^[3]^[4]

모든 군은 자기 자신과 자명한 부분군을 완전 특성 부분군으로 갖는다. 군의 교환자 부분군은 항상 완전 특성 부분군이다.^[3]^[4]

군의 중심은 distinguished 부분군이지만, 완전 특성 부분군이 아닐 수 있다. 예를 들어 위수 12의 유한군 Sym(3) × '''Z'''/2'''Z'''는 (''π'', ''y'')를 ((1,2)^''y'', 0)으로 보내는 준동형을 가지는데, 이는 중심 1 × '''Z'''/2'''Z'''를 Sym(3) × 1 안으로 사상시켜 중심과 상의 공통 부분은 단위 원소뿐이다.

부분군, 정규 부분군, 특성 부분군, distinguished 부분군, 완전 특성 부분군, 언어적 부분군 사이의 관계는 다음과 같다.

:부분군 ⇐ 정규 부분군 ⇐ '''특성 부분군''' ⇐ distinguished subgroup ⇐ 완전 특징적 부분군 ⇐ 언어적 부분군

3. 1. 3. 언어 부분군

자유군의 완전 불변 부분군의 준동형 상은 언어 부분군이다.^[3]^[4] 모든 언어 부분군은 완전 특성 부분군이다.^[3]^[4] 모든 축소된 자유군, 특히 모든 자유군에 대해 역도 성립한다. 즉, 모든 완전 특성 부분군은 언어 부분군이다.^[3]^[4]

도출 부분군 (또는 교환자 부분군)은 한 군의 언어 부분군이다.^[3]^[4]

3. 2. 부분군 간의 관계

부분군, 정규 부분군, '''특성 부분군''', 엄격 특성 부분군, 완전 특징 부분군, 언어 부분군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: 부분군 ⇐ 정규 부분군 ⇐ '''특성 부분군''' ⇐ 엄격 특성 부분군 ⇐ 완전 특징 부분군 ⇐ 언어 부분군

4. 예

모든 군은 자기 자신과 자명 부분군을 특성 부분군으로 갖는다. 군의 중심은 항상 특성 부분군이다.^[3]^[4] 순환군의 모든 부분군은 특성 부분군이다. 교환자 부분군은 항상 완전 특성 부분군이다.^[3]^[4] 아벨 군의 꼬임 부분군은 완전 불변 부분군이다. 위상군의 항등원 성분은 항상 특성 부분군이다.

5. 예시 (정규 부분군이지만 특성 부분군이 아닌 경우)

클라인 네 그룹( $V = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ )은 아벨 군이므로 모든 부분군은 정규 부분군이다. 하지만, 항등원이 아닌 3개 원소의 모든 순열은 $V$ 의 자기 동형 사상이므로, 차수가 2인 3개의 부분군은 특성 부분군이 아니다. 예를 들어 $V = \{e, a, b, ab\}$ 이고 $H = \{e, a\}$ 일 때, 자기 동형 사상 $T(e) = e, T(a) = b, T(b) = a, T(ab) = ab$ 에 대해 $T(H)$ 는 $H$ 에 포함되지 않는다.

차수가 8인 사원수 군에서 차수가 4인 각 순환 부분군은 정규 부분군이지만, 특성 부분군은 아니다. 하지만 부분군 $\{1, -1\}$ 은 차수가 2인 유일한 부분군이므로 특성 부분군이다.

$n$ 이 짝수인 경우, 차수가 $2n$ 인 이면각군은 지수가 2인 세 개의 부분군을 가지며, 모두 정규 부분군이다. 이 중 순환 부분군은 특성 부분군이지만, 다른 두 이면각군은 외부 자기 동형에 의해 순열되므로 특성 부분군이 아니다.

6. 추가 정보

$H$ 가 $G$ 의 특성 부분군이면, $G$ 의 모든 자기 동형 사상은 몫군 $G/H$ 의 자기 동형 사상을 유도한다.^[3]^[4] $H$ 가 $G$ 의 완전 특성 부분군이면, $G$ 의 모든 자기 준동형 사상은 $G/H$ 의 자기 준동형 사상을 유도한다.

참조

_[1] 서적 Abstract Algebra John Wiley & Sons
_[2] 서적 Algebra Springer Science+Business Media
_[3] 서적 Group Theory Dover
_[4] 서적 Combinatorial Group Theory Dover
_[5] 서적 Abstract Algebra John Wiley & Sons
_[6] 서적 Algebra Springer Science+Business Media

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