폭 상태

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1. 개요
2. 정의
3. 표기법
4. 생성 및 소멸 연산자
- 4.1. 보손 생성 및 소멸 연산자
- 4.2. 페르미온 생성 및 소멸 연산자
5. 입자수 연산자
6. 동일 입자의 불가분성
7. 다중 모드 폭 상태
8. 포크 상태의 성질
9. 응용
- 9.1. 단일 광자 생성
참조

1. 개요

폭 상태는 상호작용하지 않는 동일한 입자로 구성된 다체계를 나타내는 힐베르트 공간의 원소이다. 입자의 스핀에 따라 대칭 또는 반대칭 텐서 곱으로 표현되며, 입자 수가 변하는 경우 포크 공간을 구성한다. 폭 상태는 점유수 표기법을 사용하여 각 상태의 입자 수를 표시하며, 입자수 연산자의 고유 상태이다. 보손과 페르미온의 생성 및 소멸 연산자를 통해 입자 교환에 대한 대칭성 또는 반대칭성을 나타낸다. 폭 상태는 다중 모드 시스템에서도 사용되며, 에너지 고유 상태가 아닐 수 있으며, 진공 요동과 같은 양자역학적 특성을 나타낸다. 단일 광자 생성과 같은 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

N개의 상호작용하지 않는 동일한 입자로 이루어진 다체계는 N개의 단일 입자 상태의 텐서 곱으로 표현된다. 이때 입자의 스핀에 따라 텐서 곱은 대칭 또는 반대칭 형태를 취한다.

페르미온: 반정수 스핀을 가지며 파울리 배타 원리를 따르므로, 반대칭 텐서 곱으로 표현된다.
보손: 정수 스핀을 가지며 파울리 배타 원리를 따르지 않으므로, 대칭 텐서 곱으로 표현된다.

입자 수가 변하는 경우, 각 입자 수에 대한 텐서 곱 힐베르트 공간의 직합으로 폭 공간을 구성한다. 폭 공간에서는 점유수 표기법을 사용하여 각 단일 입자 상태의 입자 수를 지정할 수 있다.

\left\{\mathbf{k}_{i}\right\}_{i \in I}

를 기본 단일 입자 힐베르트 공간에서 상태의 정규 직교 기저라 하자. 이는 "점유수 기저"라고 불리는 폭 공간의 해당 기저를 유도한다. 폭 공간의 양자 상태가 점유수 기저의 원소인 경우 '''폭 상태'''라고 한다.

폭 상태는 각 ''i''에 대해 상태는 입자수 연산자

\widehat{N__i}}

의 고유 상태이고 ''i''번째 기본 상태 '''k'''_i에 해당한다. 해당 고유값은 해당 상태의 입자 수를 나타낸다.

주어진 폭 상태는

|n__1},n__2},..n__i}...\rangle

과 같이 표시된다. 이 표현에서,

n__i}

는 i번째 상태의 입자 수 '''k''' _i를 나타내고, i번째 상태에 대한 입자 수 연산자

\widehat{N__i}}

는 다음과 같은 방식으로 폭 상태에 작용한다:

:

\widehat{N__i}}|n__1},n__2},..n__i}...\rangle = n__i}|n__1},n__2},..n__i}...\rangle

따라서 폭 상태는 고유값을 갖는 입자수 연산자의 고유상태

n__i}

이다.^[19]

폭 상태는 종종 폭 공간의 가장 편리한 기저를 형성한다. 서로 다른 입자수의 상태가 중첩 된(따라서 입자수 연산자의 고유 상태가 아닌) 폭 공간의 원소는 폭 상태가 아니다.

입자수 연산자

\widehat{N}

를

:

\widehat{N} = \sum_i \widehat{N__i}},

로 정의하면 폭 상태의 정의는 측정의 분산

\operatorname{Var}\left(\widehat{N}\right) = 0

을 보장한다. 즉, 폭 상태의 입자 수를 측정하면 항상 요동 없이 명확한 값이 반환된다.

3. 표기법

폭 상태는 점유수 표기법으로 나타낼 수 있다. 점유수 표기법은 $|n__1},n__2},..n__i}...\rangle$ 와 같이 표현하며, 여기서 $n__i}$ 는 i번째 단일 입자 상태 $_i}$ 에 있는 입자 수를 의미한다.^[19]

i번째 상태에 대한 입자 수 연산자 $\widehat{N__i}}$ 는 폭 상태에 다음과 같이 작용한다.

: $\widehat{N__i}}|n__1},n__2},..n__i}...\rangle = n__i}|n__1},n__2},..n__i}...\rangle$

즉, 폭 상태는 입자수 연산자의 고유상태이며, 고유값은 해당 상태의 입자 수 $n__i}$ 이다.^[2]

4. 생성 및 소멸 연산자

폭 상태에서 입자를 생성하거나 소멸시키는 연산자를 도입하여 다체계의 상태 변화를 기술한다.

보손 생성 및 소멸 연산자는 $b^{\dagger}__l}, b__l}$ 로 표기하며, 에르미트 연산자가 아니다.^[21] 이들은 다음과 같이 작용한다.

생성 연산자 $b^{\dagger}__l}$ :
$b^{\dagger}__l}|n__{1}}, n__{2}},n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}} +1 } |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}+1 ,...\rangle$ ^[21]
소멸 연산자 $b__l}$ :
$b__l}|n__{1}}, n__{2}},n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}}} |n__{1}}, n__{2}}, n__{3}}...n__{l}}-1 ,...\rangle$ ^[21]

페르미온 생성 및 소멸 연산자는

c^{\dagger}__l}, c__l}

로 표기하며, 이들 역시 에르미트 연산자가 아니다.^[21] 이들은 다음과 같이 작용한다.

생성 연산자 $c^{\dagger}__l}$ :
$c^{\dagger}__l}|n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}} +1 } |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}+1 ,...\rangle$ ^[21]
소멸 연산자 $c__l}$ :
$c__l}|n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}}} |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}-1 ,...\rangle$ ^[21]

이 두 연산자의 작용은 반대칭적으로 수행된다.

4. 1. 보손 생성 및 소멸 연산자

보손 시스템에서 생성 연산자와 소멸 연산자의 교환 관계는 다음과 같다.^[21]

:

\left[b^{\,}_i, b^\dagger_j\right] \equiv b^{\,}_i b^\dagger_j - b^\dagger_jb^{\,}_i = \delta_{i j},

:

\left[b^\dagger_i, b^\dagger_j\right] = \left[b^{\,}_i, b^{\,}_j\right] = 0,

여기서

[\ \, \ \ ]

는 교환자이고

\delta_{i j}

는 크로네커 델타이다.

보손 폭 상태 생성 및 소멸 연산자는 에르미트 연산자가 아니다.^[21]

폭 상태

|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3} \dots n_{\mathbf{k}_l}, \dots \rangle

에 대해,

\begin{align}\left\langle n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3} \dots n_{\mathbf{k}_l} - 1, \dots\left| b_{\mathbf{k}_l} \right|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3} \dots n_{\mathbf{k}_l}, \dots \right\rangle&= \sqrt{n_{\mathbf{k}_l}}\left\langle n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3} \dots n_{\mathbf{k}_l} - 1, \dots|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3} \dots n_{\mathbf{k}_l} - 1, \dots \right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3} \dots n_{\mathbf{k}_l}, \dots\left| b_{\mathbf{k}_l} \right|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3} \dots n_{\mathbf{k}_l} - 1, \dots \right\rangle\right)^*&= \left\langle n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3} \dots n_{\mathbf{k}_l} - 1 \dots\left| b_{\mathbf{k}_l}^\dagger \right|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3} \dots n_{\mathbf{k}_l}, \dots \right\rangle \\&= \sqrt{n_{\mathbf{k}_l} + 1}\left\langle n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3} \dots n_{\mathbf{k}_l} - 1 \dots| n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3} \dots n_{\mathbf{k}_l} + 1 \dots \right\rangle\end{align}

따라서 생성 (소멸) 연산자의 켤레는 자신이 아님이 명백하므로, 에르미트 연산자가 아니다. 하지만 생성, 소멸 연산자는 서로의 켤레 연산자이다.^[20]

생성 연산자 $b^{\dagger}__l}$ :
: $b^{\dagger}__l}|n__{1}}, n__{2}},n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}} +1 } |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}+1 ,...\rangle$ ^[21]
소멸 연산자 $b__l}$ :
: $b__l}|n__{1}}, n__{2}},n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}}} |n__{1}}, n__{2}}, n__{3}}...n__{l}}-1 ,...\rangle$ ^[21]

진공 상태(어떤 상태에도 입자가 없는 상태)는

|0__{1}},  0__{2}}, 0__{3}}...0__{l}}, ...\rangle

로 표현된다.

:

b^{\dagger}__l}|0__{1}}, 0__{2}}, 0__{3}}...0__{l}}, ...\rangle = |0__{1}}, 0__{2}}, 0__{3}}...1__{l}}, ...\rangle

:

b_{\mathbf{k}_l}|0_{\mathbf{k}_1}, 0_{\mathbf{k}_2}, 0_{\mathbf{k}_3}...0_{\mathbf{k}_l}, ...\rangle = 0

즉, ''l번째'' 생성 연산자는 ''l''-번째 상태 '''k'''_l인 입자 하나를 생성하고, 이 진공 상태는 소멸시킬 연산자가 없다는 점에서 소멸 연산자의 고정점이다.

진공 상태에 적절한 수의 생성 연산자를 작용하여 임의의 폭 상태를 생성할 수 있다.

:

|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2} ...\rangle =\frac{\left(b^\dagger_{\mathbf{k}_1}\right)^{n_{\mathbf{k}_1}}}{\sqrt{n_{\mathbf{k}_1}!}}\frac{\left(b^\dagger_{\mathbf{k}_2}\right)^{n_{\mathbf{k}_2}}}{\sqrt{n_{\mathbf{k}_2}!}}...|0_{\mathbf{k}_{1}}, 0_{\mathbf{k}_{2}}, ...\rangle

단일 상태 폭 상태

|n_\mathbf{k}\rangle

에 대해,

:

b^\dagger_\mathbf{k}|n_\mathbf{k}\rangle = \sqrt{n_\mathbf{k} + 1} |n_\mathbf{k} + 1\rangle

:

b_\mathbf{k}|n_\mathbf{k}\rangle = \sqrt{n_\mathbf{k}} |n_\mathbf{k} - 1\rangle

생성 연산자와 소멸 연산자의 교환 관계는 보손 폭 상태들이 입자 바꾸기에 대해 적절한 대칭적인 행동을 한다는 것을 보장한다. 여기서, ''l'' 과 ''m'' 두 상태들 사이의 입자들의 교환은 ''l'' 상태에 있는 입자를 소멸시키고 ''m'' 상태에 있는 입자를 생성시키는 것으로 수행된다. 만약 폭 상태

|\psi\rangle = \left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2} , .... n_{\mathbf{k}_m} ... n_{\mathbf{k}_l} ... \right\rangle

에서 시작하고, 한 입자를

k_l

상태에서

k_m

상태로 옮기고자 한다면, 폭 상태에

b_{\mathbf{k}_m}^\dagger b_{\mathbf{k}_l}

를 다음과 같이 작용한다.

교환 관계를 이용하면,

b_{\mathbf{k}_m}^\dagger.b_{\mathbf{k}_l} = b_{\mathbf{k}_l}.b_{\mathbf{k}_m}^\dagger

:

\begin{align}b_{\mathbf{k}_m}^\dagger.b_{\mathbf{k}_l} \left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, .... n_{\mathbf{k}_m} ... n_{\mathbf{k}_l} ... \right\rangle&= b_{\mathbf{k}_l}.b_{\mathbf{k}_m}^\dagger \left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, .... n_{\mathbf{k}_m} ... n_{\mathbf{k}_l} ... \right\rangle\\&= \sqrt{n_{\mathbf{k}_m} + 1}\sqrt{n_{\mathbf{k}_l}} \left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, .... n_{\mathbf{k}_{m}} + 1 ... n_{\mathbf{k}_l} - 1 ...\right\rangle\end{align}

따라서 보손 폭 상태는 교환 연산자의 작용에 따라 대칭으로 행동한다.

4. 2. 페르미온 생성 및 소멸 연산자

페르미온의 반대칭성을 유지하기 위해 페르미온 폭 상태에 대해 비에르미트 페르미온 생성 및 소멸 연산자를 도입한다.^[21]

'''생성 연산자''' $c^{\dagger}__l}$ 는 다음과 같이 작용한다.
: $c^{\dagger}__l}|n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}} +1 } |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}+1 ,...\rangle$ ^[21]
'''소멸 연산자''' $c__l}$ 는 다음과 같이 작용한다.
: $c__l}|n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}}} |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}-1 ,...\rangle$ ^[21]

이 두 가지 작용은 반대칭으로 수행된다.

페르미온 시스템에서 생성 및 소멸 연산자의 반교환 관계는 다음과 같다.

:

\begin{align}\left\{c^{\,}_i, c^\dagger_j\right\} \equiv c^{\,}_i c^\dagger_j + c^\dagger_jc^{\,}_i &= \delta_{ij}, \\\left\{c^\dagger_i, c^\dagger_j\right\} = \left\{c^{\,}_i, c^{\,}_j\right\} &= 0,\end{align}

^[21]

여기서

{\{ \, \ \} }

는 반교환자이고

\delta_{i j}

는 크로네커 델타이다. 이러한 반교환 관계는 ''페르미온 폭 상태''의 반대칭 작용을 표시하는 데 사용될 수 있다.

단일 모드 페르미온 폭 상태

\left|0_\mathbf{k}\right\rangle

에 대해, 임의의 상태의 최대 점유수는 1이므로

:

c^\dagger_\mathbf{k} \left|0_\mathbf{k}\right\rangle = \left|1_\mathbf{k}\right\rangle

이고

c^{\dagger}_\mathbf{k} \left|1_\mathbf{k}\right\rangle = 0

이다.

파울리 배타 원리에 따라, 페르미온은 오직 1개만 같은 상태를 점유 할 수 있다. 단일 모드 페르미온 폭 상태

\left|1_\mathbf{k}\right\rangle

에 대해, 입자수는 0 미만이 될 수 없으므로,

:

c_\mathbf{k} \left|1_\mathbf{k}\right\rangle = \left|0_\mathbf{k}\right\rangle

이고

c_\mathbf{k}\left|0_\mathbf{k}\right\rangle = 0

이다. 다중모드 페르미온 폭 상태

\left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, ... n_{\mathbf{k}_\beta}, n_{\mathbf{k}_\alpha}, ...\right\rangle

에 대해,

:

c_{\mathbf{k}_\alpha}\left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, ... n_{\mathbf{k}_\beta}, n_{\mathbf{k}_\alpha}, ...\right\rangle =(-1)^{\sum_{\beta < \alpha} n_\beta} \left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, ... ,n_{\mathbf{k}_\beta},1 - n_{\mathbf{k}_\alpha}, ...\right\rangle

여기서,

(-1)^{\sum_{\beta < \alpha} n_\beta}

는 Jordan–Wigner string이라 불리며, 연관된 단일 입자 상태들의 순서에 의존하며, 모든 이전 상태들의 페르미온 점유수들을 더한다.

5. 입자수 연산자

$\widehat{N__i}}$ 는 i번째 상태의 입자 수를 측정하는 연산자이다.^[19] 보손의 경우 $\widehat{N__l}}=b^{\dagger}__l}b__l}$ 이며,^[21] 페르미온의 경우 $\widehat{N__l}}=c^{\dagger}__l}c__l}$ 이다.^[21] 폭 상태는 입자수 연산자의 고유 상태이다.

주어진 폭 상태는 $|n__1},n__2},..n__i}...\rangle$ 와 같이 표시된다. 여기서 $n__i}$ 는 i번째 상태 '''k'''_i의 입자 수를 나타낸다. i번째 상태에 대한 입자 수 연산자 $\widehat{N__i}}$ 는 다음과 같이 폭 상태에 작용한다.

: $\widehat{N__i}}|n__1},n__2},..n__i}...\rangle = n__i}|n__1},n__2},..n__i}...\rangle$

즉, 폭 상태는 고유값 $n__i}$ 을 갖는 입자수 연산자의 고유상태이다.^[19]

보손 시스템에서 입자수 연산자 $\widehat{N__l}}$ 는 $\widehat{N__l}}=b^{\dagger}__l}b__l}$ 로 주어지며, 다음을 만족한다.^[4]

: $\widehat{N__l}}|n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}...\rangle=n__{l}} |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}...\rangle$

페르미온의 경우 입자수 연산자 $\widehat{N__l}}$ 는 $\widehat{N__l}}=c^{\dagger}__l}.c__l}$ 로 주어지며, 다음을 만족한다.^[4]

: $\widehat{N__l}}|n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}...\rangle=n__{l}} |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}...\rangle$

6. 동일 입자의 불가분성

양자역학에서 동일한 입자는 서로 구별할 수 없다는 기본 원리를 따른다.^[24]^[3]^[12] 즉, 임의의 폭 상태 $|1_{\mathbf{k}_1}, 1_{\mathbf{k}_2}\rangle$ 와 임의의 연산자 $\widehat{\mathbb{O}}$ 에 대해, 다음 식이 성립한다.

: $\left|\left\langle f\left|\widehat{\mathbb{O}}\right|1_{\mathbf{k}_1}, 1_{\mathbf{k}_2}\right\rangle\right|^2 =\left|\left\langle f\left|\widehat{\mathbb{O}}\right|1_{\mathbf{k}_2}, 1_{\mathbf{k}_1}\right\rangle\right|^2$

이는 두 입자의 위치를 바꾼 상태가 물리적으로 동일함을 의미한다. 이 식으로부터

: $\left\langle f\left|\widehat{\mathbb{O}}\right|1_{\mathbf{k}_1}, 1_{\mathbf{k}_2}\right\rangle = e^{i\delta}\left\langle f\left|\widehat{\mathbb{O}}\right|1_{\mathbf{k}_2}, 1_{\mathbf{k}_1}\right\rangle$

를 얻을 수 있으며, 여기서 $e^{i\delta}$ 는 위상 인자이다. 보손의 경우 $e^{i\delta} = +1$ 이고, 페르미온의 경우 $e^{i\delta} = -1$ 이다.^[24]^[3]^[12] 따라서,

보손: $\left|1_{\mathbf{k}_1}, 1_{\mathbf{k}_2}\right\rangle = +\left|1_{\mathbf{k}_2}, 1_{\mathbf{k}_1}\right\rangle$ (대칭)
페르미온: $\left|1_{\mathbf{k}_1}, 1_{\mathbf{k}_2}\right\rangle = -\left|1_{\mathbf{k}_2}, 1_{\mathbf{k}_1}\right\rangle$ (반대칭)

이다.

입자수 연산자는 보손과 페르미온을 구별하지 않고 입자의 개수만 센다. 이 둘을 구별하려면 생성 및 소멸 연산자가 필요하다.

정수 스핀을 갖는 보손은 교환 연산자에 대해 대칭적인 합성 고유 상태를 갖는다.^[21]^[4] 예를 들어, 두 입자 시스템에서

\hat{P}\left|x_1, x_2\right\rangle = \left|x_2, x_1\right\rangle

이다. 보손의 생성 및 소멸 연산자는 교환 관계

b_{\mathbf{k}_m}^\dagger.b_{\mathbf{k}_l} = b_{\mathbf{k}_l}.b_{\mathbf{k}_m}^\dagger

를 만족하여, 입자 교환에 대한 대칭성을 보장한다.^[4]

:

\begin{align}b_{\mathbf{k}_m}^\dagger.b_{\mathbf{k}_l} \left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, .... n_{\mathbf{k}_m} ... n_{\mathbf{k}_l} ... \right\rangle&= b_{\mathbf{k}_l}.b_{\mathbf{k}_m}^\dagger \left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, .... n_{\mathbf{k}_m} ... n_{\mathbf{k}_l} ... \right\rangle\\&= \sqrt{n_{\mathbf{k}_m} + 1}\sqrt{n_{\mathbf{k}_l}} \left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, .... n_{\mathbf{k}_{m}} + 1 ... n_{\mathbf{k}_l} - 1 ...\right\rangle\end{align}

반정수 스핀을 갖는 페르미온은 교환 연산자에 대해 반대칭적인 합성 고유 상태를 갖는다. 페르미온의 생성 및 소멸 연산자는 반교환 관계

c_{\mathbf{k}_m}^\dagger.c_{\mathbf{k}_l} = -c_{\mathbf{k}_l}.c_{\mathbf{k}_m}^\dagger

를 만족하여, 입자 교환에 대한 반대칭성을 보장한다.^[4]

:

c_{\mathbf{k}_m}^{\dagger}.c_{\mathbf{k}_l} \left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, .... n_{\mathbf{k}_m} ... n_{\mathbf{k}_l} ... \right\rangle =\sqrt{n_{\mathbf{k}_m} + 1}\sqrt{n_{\mathbf{k}_l}} \left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, .... n_{\mathbf{k}_m} + 1 ... n_{\mathbf{k}_l} - 1 ...\right\rangle

:

\begin{align}&c_{\mathbf{k}_{l}}.c_{\mathbf{k}_{m}}^{\dagger}|n_{\mathbf{k}_{1}}, n_{\mathbf{k}_{2}}, ....n_{\mathbf{k}_{m}}... n_{\mathbf{k}_{l}}...\rangle \\={} -&c_{\mathbf{k}_{m}}^{\dagger}.c_{\mathbf{k}_{l}}|n_{\mathbf{k}_{1}}, n_{\mathbf{k}_{2}}, .... n_{\mathbf{k}_{m}}... n_{\mathbf{k}_{l}}...\rangle \\={} -&\sqrt{n_{\mathbf{k}_{m}} + 1} \sqrt{n_{\mathbf{k}_{l}}} | n_{\mathbf{k}_{1}}, n_{\mathbf{k}_{2}}, .... n_{\mathbf{k}_{m}} + 1 ... n_{\mathbf{k}_{l}} - 1...\rangle\end{align}

또한, 페르미온은 파울리 배타 원리에 따라 한 상태에 두 개 이상의 입자가 존재할 수 없다.

7. 다중 모드 폭 상태

여러 개의 단일 입자 모드가 존재하는 경우, 각 모드의 폭 상태를 텐서 곱하여 다중 모드 폭 상태를 구성한다.

: $\left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3}... n_{\mathbf{k}_l}... \right\rangle \equiv \left|n_{\mathbf{k}_1}\right\rangle \left|n_{\mathbf{k}_2}\right\rangle \left|n_{\mathbf{k}_3}\right\rangle \ldots$

다중 모드 장에서 각 생성 및 소멸 연산자는 자신의 모드에서 작동한다. 따라서 $a_{\mathbf{k}_l}$ 과 $a^{\dagger}_{\mathbf{k}_l}$ 는 $\left|n_{\mathbf{k}_l}\right\rangle$ 에서만 작동한다. 서로 다른 모드에 해당하는 연산자는 힐베르트 공간의 서로 다른 부분 공간에서 작동하므로 전체 장은 모든 모드에 걸쳐 $|n_{\mathbf{k}_l}\rangle$ 의 직접 곱이다.

: $\left|n_{\mathbf{k}_1}\right\rangle \left|n_{\mathbf{k}_2}\right\rangle \left|n_{\mathbf{k}_3}\right\rangle \ldots \equiv\left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3}... n_{\mathbf{k}_l}... \right\rangle \equiv\left|\{n_\mathbf{k}\}\right\rangle$

생성 및 소멸 연산자는 자체 모드의 수 상태를 높이거나 낮추는 방식으로 다중 모드 상태에서 작동한다.

: $\begin{align}a__l} |n__{1}}, n__{2}}, n__{3}}... n__{l}}, ...\rangle &=\sqrt{n__{l}}} |n__{1}}, n__{2}}, n__{3}}... n__{l}}-1, ...\rangle \\a^{\dagger}__l} |n__{1}}, n__{2}}, n__{3}}... n__{l}},...\rangle &=\sqrt{n__{l}} +1 } |n__{1}}, n__{2}}, n__{3}}... n__{l}} + 1, ...\rangle\end{align}$

또한 각 모드의 수 연산자의 합인 장에 대한 총 수 연산자를 정의한다.

: $\hat{n}_{\mathbf{k}} = \sum \hat{n}_{\mathbf{k}_l}$

다중 모드 폭 상태는 고유값이 모든 모드의 총 점유 수인 총 수 연산자의 고유 벡터이다.

: $\hat{n}_{\mathbf{k}} |\{n_{\mathbf{k}}\}\rangle = \left( \sum n_{\mathbf{k}_l} \right) |\{n_{\mathbf{k}}\}\rangle$

상호 작용하지 않는 입자의 경우 수 연산자와 해밀토니언은 서로 교환하므로 다중 모드 폭 상태는 다중 모드 해밀토니언의 고유 상태가 된다.

: $\hat{H} \left|\{n_{\mathbf{k}}\}\right\rangle = \left( \sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf{k}_l} + \frac{1}{2} \right)\right) \left|\{n_{\mathbf{k}}\}\right\rangle$

하나의 모드에서의 폭 상태를 합성하고, 2개 이상의 모드(다중 모드)에서의 폭 상태를 만든다. 이 폭 상태는 같은 종류의 입자의 불가변성을 만족하는 형태여야 한다.

합성된 고유 상태에 교환 연산자 $\hat{P}$ 가 작용하면, 보손 입자의 경우에는 대칭적, 페르미온 입자의 경우에는 반대칭적이어야 한다.^[11]

예를 들어 텐서곱 표현에서의 2입자계에서는 다음과 같다.

: $\hat{P}\left|x_1, x_2\right\rangle = \left|x_2, x_1\right\rangle$

2개의 동일 입자의 포크 상태 $|1__1}, 1__2}\rangle$ 에 대해, 다음의 구별 불가능성이 성립한다. 따라서

보스 입자의 경우 $|1__1}, 1__2}\rangle=+|1__2}, 1__1}\rangle$
페르미 입자의 경우 $|1__1}, 1__2}\rangle=-|1__2}, 1__1}\rangle$

가 된다.^[12]

여기서 수 연산자는 보스 입자와 페르미 입자를 구별하지 않고 (즉, 대칭성을 고려하지 않고) 입자를 세기만 하는 연산자라는 것에 주의한다.

이 두 종류의 입자의 차이를 보려면, 생성 소멸 연산자가 필요하다.

이처럼 복수의 동일 모드가 있는 경우, 보스 입자의 포크 상태는 대칭성을, 페르미 입자의 포크 상태는 반대칭성을 가져야 한다.

이러한 성질을 만족시키기 위해 다중 모드의 포크 상태를 텐서곱을 이용하여 구성한다.

텐서곱은 입자가 페르미 입자인가 보스 입자인가에 따라, 기초가 되는 1입자 힐베르트 공간의 교대곱 또는 대칭곱이어야 한다.

이 새로운 폭 공간 표현에서는 동일한 대칭성 성질을 표현해야 한다.

따라서 각 모드

i

의 보스 입자의 생성 소멸 연산자를 다음의 교환 관계를 만족하는 연산자

\hat{b}_i^\dagger

,

\hat{b}_i

로 정의한다.^[11]

:

[\hat{b}_i, \hat{b}^\dagger_j] \equiv \hat{b}_i \hat{b}^\dagger_j - \hat{b}^\dagger_j \hat{b}_i = \delta_{i j}

:

[\hat{b}^\dagger_i, \hat{b}^\dagger_j] = [\hat{b}_i, \hat{b}_j] = 0

여기서

\delta_{i j}

는 크로네커 델타이다. 생성 소멸 연산자는 에르미트 연산자가 아니다.^[11]

각 모드의 입자 수 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:

\hat{N}_i\equiv \hat{b}_i^\dagger\hat{b}_i

이것은 에르미트 연산자이다. 이 고유값과 고유 벡터는 다음을 만족한다.

:

\hat{N}_i|n_i\rangle=n_i|n_i\rangle

또한 전 수 연산자는 각 모드

i

의 수 연산자의 합으로 정의한다.

:

\hat{n} = \sum_i \hat{n}_{i}

다중 모드에서의 '''폭 상태'''

| n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i}, \cdots \rangle

를 전수 연산자의 고유 벡터로 정의한다. 고유값은 모든 모드의 입자수(점유수)의 합이다.

:

\hat{n} | n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i}, \cdots \rangle = \left( \sum_i n_{i} \right) | n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i}, \cdots \rangle

다중 모드 폭 상태는 각 모드에서의

|n_i\rangle

의 직적 (텐서곱)으로 표시된다.

:

| n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i}, \cdots \rangle\equiv | n_1 \rangle | n_{2} \rangle \cdots| n_{i} \rangle \cdots

여기서 각 모드에서의 입자적인 해석을 함으로써, 다중 모드 전체의 상태를 각 모드의 '''입자수'''(혹은 '''점유수''')를 사용하여 나타낼 수 있다.

다중 모드의 폭 상태에서 각 생성 소멸 연산자는 해당 모드에만 작용한다. 예를 들어

\hat{b}_{i}

와

\hat{b}^\dagger_{i}

는

|n_i\rangle

에만 작용한다.^[11]

:

\begin{align}\hat{b}_{i} |n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i}, \cdots \rangle&= \sqrt{n_{i}} | n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i} - 1, \cdots \rangle\\\hat{b}^\dagger_{i} | n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i}, \cdots \rangle&= \sqrt{n_{i} + 1} | n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i} + 1, \cdots \rangle\end{align}

즉, 생성 소멸 연산자의 다중 모드 상태에 대한 작용은 해당 모드의 입자 수(또는 점유수)를 1만큼 증가 또는 감소시킬 뿐이다. 다른 모드에 해당하는 연산자는 힐베르트 공간의 다른 부분 공간에 작용한다.

예를 들어,

진공 상태(어떤 상태에도 입자가 없는 상태) $|0_{1}, 0_{2}, \cdots, 0_{i}, \cdots \rangle$ 에 모드 $i$ 의 생성 소멸 연산자가 작용하면^[11],

::

\begin{align}\hat{b}^{\dagger}_{i} | 0_{1}, 0_{2}, \cdots, 0_{i}, \cdots \rangle&= | 0_{1}, 0_{2}, \cdots, 1_{i}, \cdots \rangle \\\hat{b}_{l} | 0_{1}, 0_{2}, \cdots, 0_{i}, \cdots \rangle&=0\end{align}

생성 연산자를 진공 상태에 작용시켜 어떤 폭 상태도 만들 수 있다.

::

|n_1, n_2, \cdots\rangle=\frac{(b^{\dagger}_1)^{n_1}}{\sqrt{n_1!}}\frac{(b^{\dagger}_2)^{n_2}}{\sqrt{n_2!}}\cdots|0_1, 0_2 ,\cdots\rangle

''i''번째 모드의 입자 수 연산자

\hat{N}_{i}

는 보스 입자 [포크 상태]에 다음과 같이 작용한다.^[11]

:

\hat{N}_{i} | n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i}, \cdots \rangle= n_{i} | n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i}, \cdots \rangle

즉, 포크 상태도 입자 수 연산자의 고유 벡터가 된다.

포크 상태는 전체 입자 수의 고유 상태이므로, 전체 입자 수의 측정값의 분산은

\operatorname{Var}(\hat{N})=0

이 된다. 즉, 포크 상태에서의 전체 입자 수의 측정은 항상 요동 없이 확정 값을 제공한다.

따라서,

:

\hat{N}=\sum_i \hat{N}_{i}

8. 포크 상태의 성질

기본 1입자 힐베르트 공간의 정규 직교 기저를 $\left\{\mathbf{k}_{i}\right\}_{i \in I}$ 라고 하면, 이는 "점유수 기저"라고 불리는 포크 공간의 해당 기저를 유도한다. 포크 공간의 양자 상태는 점유수 기저의 원소인 경우 '''포크 상태'''라고 한다.

포크 상태는 각 ''i''에 대해, ''i''번째 기본 상태 '''k'''_i에 해당하는 입자 수 연산자 $\widehat{N__i}}$ 의 고유 상태이며, 해당 고유값은 상태의 입자 수를 나타낸다. 포크 상태는 $|n__1},n__2},..n__i}...\rangle$ 로 표시되며, $n__i}$ 는 i번째 상태 '''k'''_i의 입자 수를 나타낸다. i번째 상태에 대한 입자 수 연산자 $\widehat{N__i}}$ 는 다음과 같이 포크 상태에 작용한다.

: $\widehat{N__i}}|n__1},n__2},..n__i}...\rangle = n__i}|n__1},n__2},..n__i}...\rangle$

따라서 포크 상태는 고유값 $n__i}$ 를 가진 수 연산자의 고유 상태이다.^[2]

포크 상태는 종종 포크 공간의 가장 편리한 기저를 형성한다. 서로 다른 입자 수의 상태의 양자 중첩인 포크 공간의 원소는 포크 상태가 아니다.

전체 입자 수 연산자 $\widehat{N}$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $\widehat{N} = \sum_i \widehat{N__i}},$

포크 상태의 정의에 따라 $\operatorname{Var}\left(\widehat{N}\right) = 0$ 이므로, 포크 상태에서 입자 수를 측정하면 항상 변동 없이 특정 값을 얻는다.

보손은 정수 스핀을 가지며, 교환 연산자에 의한 연산에 대해 대칭적이다.^[4] 예를 들어, 텐서 곱 표현에서 두 입자 시스템의 경우 $\hat{P}\left|x_1, x_2\right\rangle = \left|x_2, x_1\right\rangle$ 이다. 이러한 대칭성을 표현하기 위해 비-에르미트 보존 생성 및 소멸 연산자 $b^{\dagger}$ 과 $b$ 를 도입한다.^[4] 이 연산자가 폭 상태에 미치는 영향은 다음과 같다.

생성 연산자 $b^{\dagger}__l}$ :
: $b^{\dagger}__l}|n__{1}}, n__{2}},n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}} +1 } |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}+1 ,...\rangle$ ^[4]
소멸 연산자 $b__l}$ :
: $b__l}|n__{1}}, n__{2}},n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}}} |n__{1}}, n__{2}}, n__{3}}...n__{l}}-1 ,...\rangle$ ^[4]

입자 수 (N)	보존적 기저 상태^[6]
0	>0,0,0...\rangle
1	>1,0,0...\rangle, $\|0,1,0...\rangle$ , $\|0,0,1...\rangle$ ,...
2	>2,0,0...\rangle, $\|1,1,0...\rangle$ , $\|0,2,0...\rangle$ ,...
$n$	>n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}},...\rangle

입자가 없는 상태는 $|0__{1}}, 0__{2}}, 0__{3}}...0__{l}}, ...\rangle$ 로 표현되며, $b^{\dagger}__l}|0__{1}}, 0__{2}}, 0__{3}}...0__{l}}, ...\rangle = |0__{1}}, 0__{2}}, 0__{3}}...1__{l}}, ...\rangle$ 이고, $b_{\mathbf{k}_l}|0_{\mathbf{k}_1}, 0_{\mathbf{k}_2}, 0_{\mathbf{k}_3}...0_{\mathbf{k}_l}, ...\rangle = 0$ 이다.^[4]
임의의 폭 상태는 진공 상태에 생성 연산자를 작용시켜 생성할 수 있다.

:

|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2} ...\rangle =\frac{\left(b^\dagger_{\mathbf{k}_1}\right)^{n_{\mathbf{k}_1}}}{\sqrt{n_{\mathbf{k}_1}!}}\frac{\left(b^\dagger_{\mathbf{k}_2}\right)^{n_{\mathbf{k}_2}}}{\sqrt{n_{\mathbf{k}_2}!}}...|0_{\mathbf{k}_{1}}, 0_{\mathbf{k}_{2}}, ...\rangle

단일 모드 폭 상태 $|n_\mathbf{k}\rangle$ 의 경우, $b^\dagger_\mathbf{k}|n_\mathbf{k}\rangle = \sqrt{n_\mathbf{k} + 1} |n_\mathbf{k} + 1\rangle$ 이고, $b_\mathbf{k}|n_\mathbf{k}\rangle = \sqrt{n_\mathbf{k}} |n_\mathbf{k} - 1\rangle$ 이다.

페르미온은 반대칭적 행동을 보이며, 이를 위해 페르미온 폭 상태에 대해 비-에르미트 페르미온 생성 연산자와 소멸 연산자

c^{\dagger}__l}

와

c__l}

를 도입한다.^[4] 페르미온 폭 상태

|\psi\rangle = |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}},...\rangle

에 대한 작용은 다음과 같다.^[4]

생성 연산자 $c^{\dagger}__l}$ :
: $c^{\dagger}__l}|n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}} +1 } |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}+1 ,...\rangle$ ^[4]
소멸 연산자 $c__l}$ :
: $c__l}|n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}},...\rangle=\sqrt{n__{l}}} |n__{1}}, n__{2}} ,n__{3}}...n__{l}}-1 ,...\rangle$

입자 수 (N)	페르미온 기본 상태^[6]
0	>0,0,0...\rangle
1	>1,0,0...\rangle, $\|0,1,0...\rangle$ , $\|0,0,1...\rangle$ ,...
2	>1,1,0...\rangle, $\|0,1,1...\rangle$ , $\|0,1,0,1...\rangle$ , $\|1,0,1,0...\rangle$ ...
...	...

$\left|0_\mathbf{k}\right\rangle$ 로 표현되는 단일 모드 페르미온 폭 상태의 경우, $c^\dagger_\mathbf{k} \left|0_\mathbf{k}\right\rangle = \left|1_\mathbf{k}\right\rangle$ 이고, $c^{\dagger}_\mathbf{k} \left|1_\mathbf{k}\right\rangle = 0$ 이다. 파울리 배타 원리에 따라 1개 이상의 페르미온은 동일한 상태를 점유할 수 없다.
$\left|1_\mathbf{k}\right\rangle$ 로 표현되는 단일 모드 페르미온 폭 상태의 경우, $c_\mathbf{k} \left|1_\mathbf{k}\right\rangle = \left|0_\mathbf{k}\right\rangle$ 이고, $c_\mathbf{k}\left|0_\mathbf{k}\right\rangle = 0$ 이다.
$\left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, ... n_{\mathbf{k}_\beta}, n_{\mathbf{k}_\alpha}, ...\right\rangle$ 로 표현되는 다중 모드 페르미온 폭 상태의 경우,

:

c_{\mathbf{k}_\alpha}\left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, ... n_{\mathbf{k}_\beta}, n_{\mathbf{k}_\alpha}, ...\right\rangle =(-1)^{\sum_{\beta < \alpha} n_\beta} \left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, ... ,n_{\mathbf{k}_\beta},1 - n_{\mathbf{k}_\alpha}, ...\right\rangle

이다. 여기서

(-1)^{\sum_{\beta < \alpha} n_\beta}

는 요르단-위그너 스트링이라고 한다.

다중 모드 장에서 각 생성 및 소멸 연산자는 자체 모드에서 작동한다. 서로 다른 모드에 해당하는 연산자는 힐베르트 공간의 서로 다른 부분 공간에서 작동하므로 전체 장은 모든 모드에 걸쳐

|n_{\mathbf{k}_l}\rangle

의 직접 곱이다.

:

\left|n_{\mathbf{k}_1}\right\rangle \left|n_{\mathbf{k}_2}\right\rangle \left|n_{\mathbf{k}_3}\right\rangle \ldots \equiv\left|n_{\mathbf{k}_1}, n_{\mathbf{k}_2}, n_{\mathbf{k}_3}... n_{\mathbf{k}_l}... \right\rangle \equiv\left|\{n_\mathbf{k}\}\right\rangle

생성 및 소멸 연산자는 자체 모드의 수 상태를 높이거나 낮추는 방식으로 다중 모드 상태에서 작동한다.

:

\begin{align}a__l} |n__{1}}, n__{2}}, n__{3}}... n__{l}}, ...\rangle &=\sqrt{n__{l}}} |n__{1}}, n__{2}}, n__{3}}... n__{l}}-1, ...\rangle \\a^{\dagger}__l} |n__{1}}, n__{2}}, n__{3}}... n__{l}},...\rangle &=\sqrt{n__{l}} +1 } |n__{1}}, n__{2}}, n__{3}}... n__{l}} + 1, ...\rangle\end{align}

각 모드의 수 연산자의 합인 장에 대한 총 수 연산자는 다음과 같다.

:

\hat{n}_{\mathbf{k}} = \sum \hat{n}_{\mathbf{k}_l}

다중 모드 포크 상태는 고유값이 모든 모드의 총 점유 수인 총 수 연산자의 고유 벡터이다.

:

\hat{n}_{\mathbf{k}} |\{n_{\mathbf{k}}\}\rangle = \left( \sum n_{\mathbf{k}_l} \right) |\{n_{\mathbf{k}}\}\rangle

비상호 작용 입자의 경우 수 연산자와 해밀토니안은 서로 교환되며, 다중 모드 포크 상태는 다중 모드 해밀토니안의 고유 상태가 된다.

:

\hat{H} \left|\{n_{\mathbf{k}}\}\right\rangle = \left( \sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf{k}_l}  + \frac{1}{2} \right)\right) \left|\{n_{\mathbf{k}}\}\right\rangle

폭 상태는 에르미트 연산자인 입자수 연산자의 고유 벡터이므로, 정규 직교 기저를 이룬다. 이 폭 상태(와 그것들의 선형 결합)로 이루어진 공간을 '''폭 공간'''이라고 한다. 폭 공간에서의 기저인 폭 상태는 "점유수 기저"라고도 불린다. 폭 공간은 각 입자수에 대한 텐서곱 힐베르트 공간의 직합이 된다.

폭 공간의 벡터 중에서, 입자수가 다른 상태의 중첩인 경우(예: 코히어런트 상태)는 수 연산자의 고유 상태가 아니므로 폭 상태가 아니다.

입자수 (N)	보스 입자 폭 공간의 기저^[14]
0	>0,0,0, \cdots \rangle
1	>1,0,0, \cdots \rangle, $\|0,1,0,\cdots\rangle$ , $\|0,0,1,\cdots\rangle$ ,...
2	>2,0,0, \cdots \rangle, $\|1,1,0,\cdots\rangle$ , $\|0,2,0,\cdots\rangle$ ,...
...	...

보스 입자 포크 상태는 입자 교환에 대해 대칭성을 나타낸다. 두 상태 간의 입자 교환은 한 상태의 어떤 입자를 소멸시키고, 다른 상태에서 입자를 생성시키는 것으로 이루어진다. 포크 상태 $|\cdots, n_m ,\cdots, n_l ,\cdots \rangle$ 에서 상태 $l$ 에서 상태 $m$ 으로 입자를 이동시키고 싶을 경우, 교환 관계에 의해 $\hat{b}_{m}^\dagger \hat{b}_{l}= \hat{b}_{l} \hat{b}_{m}^\dagger$ 이므로,

: $\begin{align}\hat{b}_{m}^\dagger \hat{b}_{l} | \cdots, n_{m}, \cdots, n_{l}, \cdots \rangle&= \hat{b}_{l} \hat{b}_{m}^\dagger | \cdots, n_{m}, \cdots, n_{l}, \cdots \rangle \\&=\sqrt{n_{m} + 1} \sqrt{n_{l}} | \cdots, n_{m} + 1, \cdots, n_{l} - 1, \cdots \rangle\end{align}$

따라서 보스 입자 포크 상태는 입자 교환에 대해 대칭적이다.

입자 수 (N)	페르미 입자 포크 공간의 기저^[14]
0	>0,0,0,\cdots\rangle
1	>1,0,0\cdots\rangle, $\|0,1,0,\cdots\rangle$ , $\|0,0,1,\cdots\rangle$ ,...
2	>1,1,0,\cdots\rangle, $\|0,1,1,\cdots\rangle$ , $\|0,1,0,1,\cdots\rangle$ , $\|1,0,1,0,\cdots\rangle$ ,...
...	...

8. 1. 에너지 고유 상태 여부

2차 양자화 이론에서 상호작용하지 않는 입자의 경우, 해밀토니언은 다음과 같이 표현된다.^[24]^[3]^[12]

:

\mathcal{H} = \sum_{n}E^{0}_{n}a^{\dagger}_n a_n = \sum_{n}E^{0}_{n}\widehat{N}

여기서

a^{\dagger}_n

과

a_n

은 각각 생성 및 소멸 연산자이고,

\widehat{N}

은 수 연산자,

E^{0}_{n}

은 각 상태의 에너지 고유값이다. 이 표현은 해밀토니언이 수 연산자와 교환 가능할 때, 즉 상호작용이 없을 때만 가능하다.

일반적으로 입자 간 상호작용이 존재하면 해밀토니언 밀도 함수

\mathfrak{H}

와 소멸 연산자

a_n

은 교환하지 않는다. 이는 해밀토니안이 위와 같은 간단한 형태로 표현될 수 없음을 의미한다. 따라서, 일반적으로 폭 상태는 시스템의 에너지 고유 상태가 아니다.조화 진동자의 경우, 수 연산자와 해밀토니안은 서로 교환한다.

:

\hat{H}=\hbar\omega\left(\hat{N}+\frac{1}{2}\right)

:

[\hat{N},\hat{H}]=0

따라서 포크 상태

|n\rangle

는 조화 진동자의 해밀토니안의 고유 상태:

|\psi_n\rangle

이기도 하다(동시 고유 상태).

:

\hat{H} | n \rangle = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)| n \rangle

즉, 상태

|n\rangle

에서의 입자 수와 에너지 측정값에는 양자적인 불확실성(요동)은 없다.

하지만, 각 모드 간의 상호작용이 없는 계를 생각할 때, 이 계의 전체 해밀토니안

\hat{H}

는 각 모드의 해밀토니안

\hat{H}_i

의 합으로 나타낸다.

:

\hat{H}=\sum_i\hat{H}_i

전체 해밀토니안과 전체 수 연산자는 서로 교환한다. 따라서 다중 모드 포크 상태는 다중 모드 해밀토니안의 고유 상태이기도 하다(동시 고유 상태).

:

\hat{H} | n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i}, \cdots \rangle = \left( \sum_i \hbar \omega \left(n_{i} + \frac{1}{2} \right) \right) | n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{i}, \cdots \rangle

8. 2. 진공 요동

진공 상태 또는

|0\rangle

는 가장 낮은 에너지 상태이고, 이 상태에서

a

와

a^\dagger

의 기대값은 0이다.

전기장, 자기장, 벡터 퍼텐셜은 동일한 일반 형식의 모드 확장을 갖는다.

:

F\left(\vec{r}, t\right) = \varepsilon a e^{i\vec{k}x - \omega t} + h.c.

따라서 이러한 장 연산자의 기대값이 진공 상태에서 사라지는 것을 쉽게 알 수 있다.

:

\langle 0|F|0 \rangle = 0

그러나 이러한 장 연산자의 제곱에 대한 기대값은 0이 아닌 것으로 표시될 수 있다. 따라서 제로 앙상블 평균에 대한 장에는 요동이 있다. 이러한 진공 요동은 양자 광학의 램 이동을 비롯한 많은 흥미로운 현상의 원인이다.^[1]

8. 3. 비고전적 성질

포크 상태의 글라우버-수다르샨 P-표현은 이러한 상태가 순전히 양자역학적이며 고전적인 대응물이 없음을 보여준다. 이 표현에서 이러한 상태의

\scriptstyle\varphi(\alpha) \,

은 디랙 델타 함수의

2n

차 도함수이므로 고전적인 확률 분포가 아니다.^[1]

9. 응용

단일 광자는 원자, 이온, 분자, 질소-공극 중심^[8], 양자점^[9]과 같은 단일 방출체를 사용하여 일상적으로 생성된다. 그러나 이러한 소스는 항상 매우 효율적이지 않아, 필요에 따라 실제로 단일 광자를 얻을 확률이 낮을 수 있으며, 종종 복잡하고 실험실 환경 밖에서는 부적합하다.

이러한 문제를 극복하기 위해 비결정론적 행동을 희생하는 다른 소스들이 일반적으로 사용된다. 헤럴드 단일 광자 소스는 확률적 2광자 소스로, 쌍이 분리되고 한 광자의 감지는 나머지 광자의 존재를 알린다. 이러한 소스는 일반적으로 주기적으로 분극된 니오브산 리튬(자발적 매개변수 하향 변환) 또는 실리콘(자발적 4파 혼합)과 같은 일부 물질의 광학적 비선형성에 의존한다.

9. 1. 단일 광자 생성

단일 광자는 단일 방출체(원자, 이온, 분자, 질소 공극 중심^[25], 양자점^[26])를 사용하여 일상적으로 생성된다. 그러나 이러한 소스는 항상 아주 효율적인 것은 아니며, 실제로 요청 시 단일 광자를 얻을 확률이 낮고, 실험실 환경에서는 복잡하고 부적합한 경우가 많다.

이러한 문제를 극복하기 위해 비결정적 작용을 희생하는 다른 소스가 일반적으로 사용된다. 예고된 단일 광자 소스는 쌍으로 분할되는 확률적 2광자 소스이며, 하나의 광자가 감지되면 나머지 하나의 존재를 알린다. 이러한 소스는 일반적으로 주기적으로 극성이 있는 니오브산 리튬 (자발적 매개변수 하향 변환) 또는 실리콘(자발적 4파 혼합)과 같은 일부 재료의 광학적 비선형성에 의존한다.^[8]^[9]^[16]^[17]

참조

_[1] 서적 Mathematical aspects of the Quantum Theory of Fields Interscience Publishers 1953
_[2] 서적 Optical coherence and quantum optics Cambridge University Press 1995
_[3] 서적 Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory Wiley-VCH 1999
_[4] 웹사이트 Quantum Mechanics 1 Lecture Notes on Identical Particles, TIFR, Mumbai http://theory.tifr.r[...]
_[5] 서적 Condensed Matter Field Theory https://books.google[...] Cambridge University Press 2006
_[6] 서적 Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction OUP Oxford 2003
_[7] 서적 Advanced Quantum Mechanics Springer 2008
_[8] 간행물 "Stable Solid-State Source of Single Photons" http://link.aps.org/[...] 2000
_[9] 간행물 "Triggered Single Photons from a Quantum Dot" http://link.aps.org/[...] 2001
_[10] 서적 Mathematical aspects of the Quantum Theory of Fields Interscience Publishers 1953
_[11] 웹사이트 Quantum Mechanics 1 Lecture Notes on Identical Particles, TIFR, Mumbai http://theory.tifr.r[...] 2018-02-25
_[12] 서적 Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory Wiley-VCH 1999
_[13] 서적 Condensed Matter Field Theory https://books.google[...] Cambridge University Press 2006
_[14] 서적 Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction OUP Oxford 2003
_[15] 서적 Advanced Quantum Mechanics Springer 2008
_[16] 간행물 "Stable Solid-State Source of Single Photons" http://link.aps.org/[...] 2000
_[17] 간행물 "Triggered Single Photons from a Quantum Dot" http://link.aps.org/[...] 2001
_[18] 서적 Mathematical aspects of the Quantum Theory of Fields https://archive.org/[...] Interscience Publishers 1953
_[19] 서적 Optical coherence and quantum optics https://archive.org/[...] Cambridge University Press 1995
_[20] 서적 Condensed Matter Field Theory https://books.google[...] Cambridge University Press 2006
_[21] 웹인용 Quantum Mechanics 1 Lecture Notes on Identical Particles, TIFR, Mumbai http://theory.tifr.r[...]
_[22] 서적 Advanced Quantum Mechanics Springer 2008
_[23] 서적 Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction OUP Oxford 2003
_[24] 서적 Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory Wiley-VCH 1999
_[25] 간행물 "Stable Solid-State Source of Single Photons" http://link.aps.org/[...] 2000
_[26] 간행물 "Triggered Single Photons from a Quantum Dot" http://link.aps.org/[...] 2001

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