폴랴코프 작용

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1. 개요

폴랴코프 작용은 끈 이론에서 사용되는 범함수로, 끈의 세계면과 목표 공간 사이의 관계를 설명한다. 이 작용은 세계면의 계량 텐서와 세계면 좌표에서 목표 공간으로의 매장을 통해 정의되며, 로런츠 대칭, 미분동형사상 불변성, 바일 불변성과 같은 대칭성을 갖는다. 폴랴코프 작용은 게이지 대칭을 고정하여 등각 게이지 조건으로 표현할 수 있으며, 오일러-라그랑주 방정식을 통해 파동 방정식과 유사한 형태의 운동 방정식을 얻을 수 있다. 양자화 과정에서는 경로 적분을 사용하며, 게이지 고정을 통해 유령장을 도입한다. 폴랴코프 작용은 남부-고토 작용과 관련이 있으며, 닫힌 끈과 열린 끈에 대한 경계 조건을 갖는다. 1976년 라르스 브링크, 파올로 디베키아, 폴 호, 스탠리 데서, 브루노 추미노에 의해 도입되었으며, 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프가 경로 적분을 도입했다.

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폴랴코프 작용

2. 정의

목표 공간의 좌표를 $X^\mu$ , 끈의 세계면 좌표를 $\xi^\alpha$ , 목표 공간의 계량 텐서를 $g_{\mu\nu}$ , 끈의 장력을 $T=1/2\pi\alpha'$ 로 쓰면, 폴랴코프 작용은 세계면의 계량 텐서 $h_{\alpha\beta}$ 와 세계면 좌표에서 목표 공간으로의 매장(embedding) $X^\mu(\xi^\alpha)$ 에 대한 범함수로 나타낼 수 있다.

2. 1. 기호 정의

목표 공간의 좌표는

X^\mu

로, 끈의 세계면 좌표는

\xi^\alpha

로 쓴다. 목표 공간의 계량 텐서는

g_{\mu\nu}

로 쓴다. 끈의 장력은

T=1/2\pi\alpha'

로 쓴다.

2. 2. 폴랴코프 작용

목표 공간의 좌표는

X^\mu

로, 끈의 세계면의 좌표는

\xi^\alpha

로 쓴다. 목표 공간의 계량 텐서를

g_{\mu\nu}

로 쓴다. 끈의 장력을

T=1/2\pi\alpha'

로 쓴다.

폴랴코프 작용은 세계면의 계량 텐서

h_{\alpha\beta}

와 세계면 좌표에서 목표 공간으로의 매장(embedding)

X^\mu(\xi^\alpha)

에 대한 범함수로, 다음과 같다.

:

S_\text{Polyakov}[h_{\alpha\beta},X^\mu]=-\frac{1}{2}T\int\mathrm d^2\xi\;\sqrt{-\det h}h^{\alpha\beta}g_{\mu\nu}X^\mu_{,\alpha}X^\nu_{,\beta}

.

3. 대칭

폴랴코프 작용은 다음과 같은 세 가지 대칭을 갖는다.

목표 공간의 로런츠 대칭 (목표 공간이 민코프스키 공간인 경우)
세계면 위의 미분동형사상 불변성
바일 불변성

이 가운데 로런츠 대칭을 제외한 나머지 두 대칭은 게이지 대칭이므로, 물리적인 의미를 갖지 않는다. 따라서 폴랴코프 작용에서 이 게이지 대칭을 고정시켜야 한다.

3. 1. 로런츠 대칭

작용은 시공간 병진 및 무한소 로렌츠 변환에 대해 불변하다.

:

X^\alpha \to X^\alpha + b^\alpha,

:

X^\alpha \to X^\alpha + \omega^\alpha_{\ \beta} X^\beta,

여기서

\omega_{\mu \nu} = -\omega_{\nu \mu}

이고,

b^\alpha

는 상수이다. 이것은 대상 다양체의 푸앵카레 대칭성을 형성한다.

첫 번째 변환에 대한 불변성은 작용

\mathcal{S}

가

X^\alpha

의 1차 미분에만 의존하기 때문에 성립한다. 두 번째 변환(로런츠 변환)에 대한 불변성의 증명은 다음과 같다.

:

\begin{align}\mathcal{S}'&= {T \over 2}\int \mathrm{d}^2\sigma\, \sqrt{-h}\, h^{ab} g_{\mu \nu} \partial_a \left( X^\mu + \omega^\mu_{\ \delta} X^\delta \right) \partial_b \left( X^\nu + \omega^\nu_{\ \delta} X^\delta \right) \\&= \mathcal{S} + {T \over 2}\int \mathrm{d}^2\sigma\, \sqrt{-h}\, h^{ab} \left( \omega_{\mu \delta} \partial_a X^\mu \partial_b X^\delta + \omega_{\nu \delta} \partial_a X^\delta \partial_b X^\nu \right) + \operatorname{O}\left(\omega^2\right) \\&= \mathcal{S} + {T \over 2}\int \mathrm{d}^2\sigma\, \sqrt{-h}\, h^{ab} \left( \omega_{\mu \delta} + \omega_{\delta \mu } \right) \partial_a X^\mu \partial_b X^\delta + \operatorname{O}\left(\omega^2\right) \\&= \mathcal{S} + \operatorname{O}\left(\omega^2\right).\end{align}

여기서 2차원 이론(세계면)의 관점에서 볼 때, 시공간의 국소적 대칭인 로런츠 변환은 세계면에서 이론의 전역적 대칭이다.

3. 2. 미분동형사상 불변성

폴랴코프 작용은 세계면 미분동형사상(좌표 변환)에 대해 불변하다. 이는 끈 이론에서 중요한 성질이다.

좌표 변환을 다음과 같이 가정한다.

:

\sigma^\alpha \rightarrow \tilde{\sigma}^\alpha\left(\sigma,\tau \right).

이 변환은 계량 텐서를 다음과 같이 변환시킨다.

:

h^{ab}(\sigma) \rightarrow \tilde{h}^{ab} = h^{cd} (\tilde{\sigma})\frac{\partial {\sigma}^a}{\partial \tilde{\sigma}^c} \frac{\partial {\sigma}^b}{\partial \tilde{\sigma}^d}.

이를 통해 다음을 알 수 있다.

:

\tilde{h}^{ab} \frac{\partial}{\partial {\sigma}^a} X^\mu(\tilde{\sigma}) \frac{\partial}{\partial \sigma^b} X^\nu(\tilde{\sigma}) =h^{cd} \left(\tilde{\sigma}\right)\frac{\partial \sigma^a}{\partial \tilde{\sigma}^c} \frac{\partial \sigma^b}{\partial \tilde{\sigma}^d} \frac{\partial}{\partial \sigma^a} X^\mu(\tilde{\sigma})\frac{\partial}{\partial {\sigma}^b} X^\nu(\tilde{\sigma}) =h^{ab}\left(\tilde{\sigma}\right)\frac{\partial}{\partial \tilde{\sigma}^a}X^\mu(\tilde{\sigma}) \frac{\partial}{\partial \tilde{\sigma}^b} X^\nu(\tilde{\sigma}).

이 변환의 야코비 행렬은 다음과 같다.

:

\mathrm{J} = \operatorname{det} \left( \frac{\partial \tilde{\sigma}^\alpha}{\partial \sigma^\beta} \right),

이로부터 다음 결과를 얻는다.

:

\begin{align}\mathrm{d}^2 \tilde{\sigma} &= \mathrm{J} \mathrm{d}^2 \sigma \\h &= \operatorname{det} \left( h_{ab} \right) \\\Rightarrow \tilde{h} &= \mathrm{J}^2 h,\end{align}

이를 통해 다음을 알 수 있다.

:

\sqrt{-\tilde{h}} \mathrm{d}^2 {\sigma} = \sqrt{-h \left(\tilde{\sigma}\right)} \mathrm{d}^2 \tilde{\sigma}.

이 변환을 합산하고

\tilde{\sigma} = \sigma

으로 다시 표기하면, 폴랴코프 작용이 좌표 변환에 대해 불변함을 알 수 있다.

3. 3. 바일 불변성

폴랴코프 작용은 바일 변환에 대해 불변하다. 바일 변환은 세계면 계량 텐서를 다음과 같이 변화시킨다.

:

h_{ab} \to \tilde{h}_{ab} = \Lambda(\sigma) h_{ab},

이 변환에 대해 다음이 성립한다.

:

\begin{align}\tilde{h}^{ab} &= \Lambda^{-1}(\sigma) h^{ab}, \\\operatorname{det} \left( \tilde{h}_{ab} \right) &= \Lambda^2(\sigma) \operatorname{det} (h_{ab}).\end{align}

이를 폴랴코프 작용에 대입하면 다음과 같다.

$\mathcal{S}',$	$= {T \over 2}\int \mathrm{d}^2 \sigma \sqrt{-\tilde{h}} \tilde{h}^{ab} g_{\mu\nu} (X) \partial_a X^\mu (\sigma) \partial_b X^\nu(\sigma),$
	$= {T \over 2}\int \mathrm{d}^2 \sigma \sqrt{-h} \left( \Lambda \Lambda^{-1} \right) h^{ab} g_{\mu \nu} (X) \partial_a X^\mu (\sigma) \partial_b X^\nu(\sigma) = \mathcal{S}.$

즉, 폴랴코프 작용이 바일 변환 하에서 불변임을 알 수 있다.

응력-에너지 텐서를 다음과 같이 정의하면,

: $T^{ab} = \frac{-2}{\sqrt{-h}} \frac{\delta S}{\delta h_{ab}}.$

그리고,

: $\hat{h}_{ab} = \exp\left(\phi(\sigma)\right) h_{ab}.$

와 같이 정의하면, 바일 대칭 때문에 작용은 $\phi$ 에 의존하지 않는다.

: $\frac{\delta S}{\delta \phi} = \frac{\delta S}{\delta \hat{h}_{ab}} \frac{\delta \hat{h}_{ab}}{\delta \phi} = -\frac12 \sqrt{-h} \,T_{ab}\, e^{\phi}\, h^{ab} = -\frac12 \sqrt{-h} \,T^a_{\ a} \,e^{\phi} = 0 \Rightarrow T^{a}_{\ a} = 0,$

여기서 함수 미분 연쇄 법칙을 사용했다.

1차원(끈)이 아닌, 작용이 세계 면적/과대 면적에 비례하는 ''n''차원(공간적으로) 확장된 물체를 고려할 경우, ''n'' = 1이 아니면 해당 폴랴코프 작용은 바일 대칭을 깨는 항을 포함한다.

3. 4. 게이지 고정

폴랴코프 작용은 로런츠 대칭, 미분동형사상 불변성, 바일 불변성을 갖는데, 이 중 로런츠 대칭을 제외한 나머지 두 대칭은 물리적인 의미를 갖지 않는 게이지 대칭이다.

이 게이지 대칭을 고정하기 위해 세계면 계량 텐서를 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

:

h_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}

1&0\\0&1

\end{pmatrix}

이 게이지 조건을 '''등각 게이지 조건'''(conformal gauge condition^영어)이라고 한다. 등각 게이지에서 폴랴코프 작용은 다음과 같다.

:

S=\frac12T\int\mathrm d^2\xi\;g_{\mu\nu}(\dot X^\mu\dot X^\nu-X'^\mu X'^\nu)

.

여기서

\dot A=\partial A/\partial\sigma^0

,

A'=\partial A/\partial\sigma^1

이다.

4. 운동 방정식

미분동형 사상과 바일 변환을 사용하여, 민코프스키 공간을 표적 공간으로 하면 물리적으로 중요하지 않은 변환 $\sqrt{-h} h^{ab} \rightarrow \eta^{ab}$ 을 할 수 있으며, 이에 따라 작용을 '등각 게이지'로 표현할 수 있다.

: $\mathcal{S} = {T \over 2}\int \mathrm{d}^2 \sigma \sqrt{-\eta} \eta^{ab} g_{\mu \nu} (X) \partial_a X^\mu (\sigma) \partial_b X^\nu(\sigma) = {T \over 2}\int \mathrm{d}^2 \sigma \left( \dot{X}^2 - X'^2 \right),$

여기서 $\eta_{ab} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$ 이다.

이러한 과정을 통해 유도된 운동 방정식은 단순한 파동 방정식 형태를 가진다.

4. 1. 오일러-라그랑주 방정식

등각 게이지 폴랴코프 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 단순한 파동 방정식이다.

:

(\ddot X-X'')^\mu=0.

여기에 게이지 고정을 위한 구속 조건(constraint|구속 조건^영어)을 부여하여야 한다. 보조장

h_{\alpha\beta}

에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:

0=\frac1{\sqrt{-h}}\frac\delta{\delta h^{\alpha\beta}}\sqrt{-h}h^{\gamma\delta}X_{,\gamma}\cdot X_{,\delta}=X_{,\alpha}\cdot X_{,\beta}-\frac12X_{,\gamma}\cdot X_{,\delta}h^{\gamma\delta}h_{\alpha\beta}

.

등각 게이지에서는 이는 다음과 같다.

:

0=\dot X^2+X'^2

:

0=\dot X\cdot X'

.

이들은 에너지-운동량 텐서

T

가 사라지는 것과 동등하며, 이를 방식 전개하면 비라소로 대수를 얻는다. 이는 양자화한 뒤 (연산자 순서에 대한 모호함을 제외하고는) 실재하는 상태에 대한 구속으로 적용하여야 한다.

X^\mu \to X^\mu + \delta X^\mu

을 대입하면, 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\delta \mathcal{S}&= T \int \mathrm{d}^2 \sigma \eta^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b \delta X_\mu \\&= -T \int \mathrm{d}^2 \sigma \eta^{ab} \partial_a \partial_b X^\mu \delta X_\mu + \left( T \int d \tau X' \delta X \right)_{\sigma=\pi} - \left( T \int d \tau X' \delta X \right)_{\sigma=0} \\&= 0.\end{align}

따라서,

:

\square X^\mu = \eta^{ab} \partial_a \partial_b X^\mu = 0.

작용의 변분 중 두 번째 부분을 만족시키기 위한 경계 조건은 다음과 같다.

닫힌 끈:
: 주기적 경계 조건: $X^\mu(\tau, \sigma + \pi) = X^\mu(\tau, \sigma).$
열린 끈:

:* 노이만 경계 조건:

\partial_\sigma X^\mu (\tau, 0) = 0, \partial_\sigma X^\mu (\tau, \pi) = 0.

:* 디리클레 경계 조건:

X^\mu(\tau, 0) = b^\mu, X^\mu(\tau, \pi) = b'^\mu.

라이트콘 좌표

\xi^\pm = \tau \pm \sigma

에서 작업하면, 운동 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\begin{align}\partial_+ \partial_- X^\mu &= 0, \\(\partial_+ X)^2 = (\partial_- X)^2 &= 0.\end{align}

따라서, 해는

X^\mu = X^\mu_+ (\xi^+) + X^\mu_- (\xi^-)

로 쓸 수 있으며, 응력-에너지 텐서는 이제 대각선이다. 해를 푸리에 급수로 전개하고 계수에 정준 교환 관계를 적용하여 운동 방정식의 두 번째 방정식을 적용하면 비라소로 연산자의 정의가 유도되고 물리적 상태에 작용할 때 사라지는 비라소로 제약 조건으로 이어진다.

4. 2. 구속 조건

보조장

h_{\alpha\beta}

에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:

0=\frac1{\sqrt{-h}}\frac\delta{\delta h^{\alpha\beta}}\sqrt{-h}h^{\gamma\delta}X_{,\gamma}\cdot X_{,\delta}=X_{,\alpha}\cdot X_{,\beta}-\frac12X_{,\gamma}\cdot X_{,\delta}h^{\gamma\delta}h_{\alpha\beta}

.

등각 게이지에서 이는 다음과 같다.

:

0=\dot X^2+X'^2

:

0=\dot X\cdot X'

.

이들은 에너지-운동량 텐서

T

가 사라지는 것과 동등하며, 이를 방식 전개하면 비라소로 대수를 얻는다. 이는 양자화한 뒤 (연산자 순서에 대한 모호함을 제외하고는) 실재하는 상태에 대한 구속으로 적용하여야 한다.

T_{ab} = 0

임을 염두에 두고 제약 조건을 도출할 수 있다.

:

\begin{align}T_{01} &= T_{10} = \dot{X} X' = 0, \\T_{00} &= T_{11} = \frac12 \left( \dot{X}^2 + X'^2 \right) = 0.\end{align}

4. 3. 비라소로 대수

등각 게이지에서 폴랴코프 작용의 구속 조건은 다음과 같다.^[1]

:

0=\dot X^2+X'^2

:

0=\dot X\cdot X'

.

이들은 에너지-운동량 텐서

T

가 사라지는 것과 동등하며, 이를 방식 전개하면 비라소로 대수를 얻는다. 이는 양자화한 뒤 (연산자 순서에 대한 모호함을 제외하고는) 실재하는 상태에 대한 구속으로 적용하여야 한다.^[1]

5. 경로 적분

고전적 폴랴코프 작용을 경로 적분을 통해 양자화하는 것을 폴랴코프 경로 적분(Polyakov path integral^영어)이라고 한다. 윅 회전을 거친 분배 범함수는 다음과 같다.

: $Z=\int dX\;dh\;\exp(-S[X,h])$

여기서 $S[X,g]$ 는 좌표( $X$ )와 세계면 계량 텐서( $h$ )에 따르는 (유클리드) 폴랴코프 작용이다. 그러나 이는 미분동형사상 및 바일 변환이라는 게이지 대칭을 지니므로, 게이지 고정이 필요하다. 예를 들어 등각 게이지를 적용하여 (국소적으로) 계량 텐서를 단위행렬( $h_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}$ )로 놓을 수 있다.

게이지 고정으로 파데예프-포포프 유령장이 생성되며, 이는 보존 끈의 임계 차원(D=26) 및 초끈의 임계 차원(D=10) 계산과 관련이 있다.

5. 1. 폴랴코프 경로 적분

고전적 폴랴코프 작용을 양자화하려면 경로 적분에 넣어야 한다. 이를 '''폴랴코프 경로 적분'''(Polyakov path integral^영어)이라고 한다. 즉 (윅 회전을 하면) 그 분배 범함수는 다음과 같다.

:

Z=\int dX\;dh\;\exp(-S[X,h])

여기서

S[X,g]

는 좌표(

X

)와 세계면 계량 텐서(

h

)에 따르는 (유클리드) 폴랴코프 작용이다. 그러나 이는 미분동형사상 및 바일 변환이라는 게이지 대칭을 지니므로, 게이지를 고정시켜야 한다. 예를 들어 등각 게이지를 적용하여 (국소적으로) 계량 텐서를 단위행렬(

h_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}

)로 놓자. 게이지를 고정시키면 이에 따라 파데예프-포포프 유령장이 생기는데, 그 작용은 다음과 같다.

:

S_g=\frac1{4\pi}\int d^2z\;b^{ab}(\partial_ac_b+\partial_bc_a-g_{ab}\partial_ca^c)

여기서

c^a

는 벡터 유령,

b^{ab}

는 무(無)대각합 대칭텐서 유령이다. 이를 '''

bc

계'''(

bc

system^영어)이라고 하며, 보존 끈의 임계 차원(D=26)의 계산에 중요한 역할을 한다. (대략, 바일 변칙을 없애기 위하여 적절한 수의 실재하는 마당

X

로

bc

계의 비라소로 중앙원소를 상쇄하여야 한다.) 반면 초끈의 경우는 보존 끈의 게이지 대칭 밖에 초대칭이 있으므로, 이에 해당하는 유령인 '''

\beta\gamma

계'''가 필요하다. 이에 따라 초끈의 임계 차원은 D=10이다.

5. 2. 게이지 고정과 유령장

경로 적분을 통해 고전적 폴랴코프 작용을 양자화하면, 이를 '''폴랴코프 경로 적분'''(Polyakov path integral^영어)이라고 한다. 윅 회전을 거친 분배 범함수는 다음과 같다.^[1]

:

Z=\int dX\;dh\;\exp(-S[X,h])

여기서

S[X,g]

는 좌표(

X

)와 세계면 계량 텐서(

h

)에 따르는 (유클리드) 폴랴코프 작용이다. 그러나 이는 미분동형사상 및 바일 변환이라는 게이지 대칭을 지니므로, 게이지 고정이 필요하다. 예를 들어 등각 게이지를 적용하여 (국소적으로) 계량 텐서를 단위행렬(

h_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}

)로 놓을 수 있다. 게이지 고정에 따라 파데예프-포포프 유령장이 나타나며, 그 작용은 다음과 같다.^[1]

:

S_g=\frac1{4\pi}\int d^2z\;b^{ab}(\partial_ac_b+\partial_bc_a-g_{ab}\partial_ca^c)

여기서

c^a

는 벡터 유령,

b^{ab}

는 무(無)대각합 대칭텐서 유령이다. 이를 '''

bc

계'''(

bc

system^영어)라고 하며, 보존 끈의 임계 차원(D=26) 계산에 중요한 역할을 한다. (대략, 바일 변칙을 없애기 위해 적절한 수의 실재하는 마당

X

로

bc

계의 비라소로 중앙원소를 상쇄해야 한다.) 반면 초끈의 경우는 보존 끈의 게이지 대칭 외에 초대칭이 존재하므로, 이에 해당하는 유령인 '''

\beta\gamma

계'''가 필요하다. 따라서 초끈의 임계 차원은 D=10이다.^[1]

5. 3. bc 시스템과 βγ 시스템

경로 적분을 통해 고전적 폴랴코프 작용을 양자화한 것을 폴랴코프 경로 적분(Polyakov path integral^영어)이라고 한다. 윅 회전을 한 후의 분배 범함수는 다음과 같다.

:

Z=\int dX\;dh\;\exp(-S[X,h])

여기서

S[X,g]

는 좌표(

X

)와 세계면 계량 텐서(

h

)에 따르는 (유클리드) 폴랴코프 작용이다. 그러나 이는 미분동형사상 및 바일 변환이라는 게이지 대칭을 가지므로, 게이지 고정이 필요하다. 예를 들어 등각 게이지를 적용하여 (국소적으로) 계량 텐서를 단위행렬(

h_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}

)로 둘 수 있다. 게이지 고정을 하면 파데예프-포포프 유령장이 생기는데, 이때의 작용은 다음과 같다.

:

S_g=\frac1{4\pi}\int d^2z\;b^{ab}(\partial_ac_b+\partial_bc_a-g_{ab}\partial_ca^c)

여기서

c^a

는 벡터 유령,

b^{ab}

는 무(無)대각합 대칭텐서 유령이다. 이를 '''

bc

계'''(

bc

system^영어)라고 하며, 보손 끈의 임계 차원(D=26)을 계산하는 데 중요한 역할을 한다. 바일 변칙을 없애려면 적절한 수의 실재하는 마당

X

로

bc

계의 비라소로 중앙원소를 상쇄해야 한다. 반면 초끈의 경우 보존 끈의 게이지 대칭 외에 초대칭이 존재하므로, 이에 해당하는 유령인 '''

\beta\gamma

계'''가 필요하다. 초끈의 임계 차원은 D=10이다.

6. 남부-고토 작용과의 관계

$h^{ab}$ 에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 작성하면 다음과 같은 결과를 얻는다.^[1]

: $\frac{\delta S}{\delta h^{ab}} = T_{ab} = 0.$

또한 다음을 알고 있다.^[1]

: $\delta \sqrt{-h} = -\frac{1}{2} \sqrt{-h} h_{ab} \delta h^{ab}.$

작용의 변분 미분을 다음과 같이 쓸 수 있다.^[1]

: $\frac{\delta S}{\delta h^{ab}} = \frac{T}{2} \sqrt{-h} \left( G_{ab} - \frac{1}{2} h_{ab} h^{cd} G_{cd} \right),$

여기서 $G_{ab} = g_{\mu \nu} \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu$ 이며, 다음으로 이어진다.^[1]

: $\begin{align}T_{ab} &= T \left( G_{ab} - \frac{1}{2} h_{ab} h^{cd} G_{cd} \right) = 0, \\G_{ab} &= \frac{1}{2} h_{ab} h^{cd} G_{cd}, \\G &= \operatorname{det} \left( G_{ab} \right) = \frac{1}{4} h \left( h^{cd} G_{cd} \right)^2.\end{align}$

보조 월드 시트 계량 텐서 $\sqrt{-h}$ 가 운동 방정식에서 계산된 경우:^[1]

: $\sqrt{-h} = \frac{2 \sqrt{-G}}{h^{cd} G_{cd}}$

그리고 다시 작용에 대입하면, 이는 남부-고토 작용이 된다.^[1]

: $S = {T \over 2}\int \mathrm{d}^2 \sigma \sqrt{-h} h^{ab} G_{ab} = {T \over 2}\int \mathrm{d}^2 \sigma \frac{2 \sqrt{-G}}{h^{cd} G_{cd}} h^{ab} G_{ab} = T \int \mathrm{d}^2 \sigma \sqrt{-G}.$

그러나 폴랴코프 작용은 양자화하기가 더 쉬운데, 이는 선형이기 때문이다.^[1]

7. 경계 조건

$X^\mu \to X^\mu + \delta X^\mu$ 을 대입하면, 다음 식을 얻는다.

: $\begin{align}\delta \mathcal{S}&= T \int \mathrm{d}^2 \sigma \eta^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b \delta X_\mu \\&= -T \int \mathrm{d}^2 \sigma \eta^{ab} \partial_a \partial_b X^\mu \delta X_\mu + \left( T \int d \tau X' \delta X \right)_{\sigma=\pi} - \left( T \int d \tau X' \delta X \right)_{\sigma=0} \\&= 0.\end{align}$

따라서, 다음이 성립한다.

: $\square X^\mu = \eta^{ab} \partial_a \partial_b X^\mu = 0.$

작용의 변분 중 두 번째 부분을 만족시키기 위한 경계 조건은 다음과 같다.

닫힌 끈: 주기적 경계 조건을 따른다.
열린 끈: 노이만 경계 조건 또는 디리클레 경계 조건을 따른다.

라이트콘 좌표

\xi^\pm = \tau \pm \sigma

에서 운동 방정식을 다시 쓰면 다음과 같다.

:

\begin{align}\partial_+ \partial_- X^\mu &= 0, \\(\partial_+ X)^2 = (\partial_- X)^2 &= 0.\end{align}

따라서, 해는

X^\mu = X^\mu_+ (\xi^+) + X^\mu_- (\xi^-)

로 쓸 수 있으며, 응력-에너지 텐서는 대각선이다. 해를 푸리에 급수로 전개하고 계수에 정준 교환 관계를 적용하여 운동 방정식의 두 번째 방정식을 적용하면 비라소로 제약 조건으로 이어진다.

7. 1. 닫힌 끈

주기적 경계 조건을 사용하며, 이에 따라

X^\mu(\tau, \sigma + \pi) = X^\mu(\tau, \sigma)

이다.

7. 2. 열린 끈

X^\mu \to X^\mu + \delta X^\mu

을 대입하면, 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\delta \mathcal{S}&= T \int \mathrm{d}^2 \sigma \eta^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b \delta X_\mu \\&= -T \int \mathrm{d}^2 \sigma \eta^{ab} \partial_a \partial_b X^\mu \delta X_\mu + \left( T \int d \tau X' \delta X \right)_{\sigma=\pi} - \left( T \int d \tau X' \delta X \right)_{\sigma=0} \\&= 0.\end{align}

따라서,

:

\square X^\mu = \eta^{ab} \partial_a \partial_b X^\mu = 0.

작용의 변분 중 두 번째 부분을 만족시키기 위한 경계 조건은 다음과 같다.

열린 끈:
노이만 경계 조건: $\partial_\sigma X^\mu (\tau, 0) = 0, \partial_\sigma X^\mu (\tau, \pi) = 0.$
디리클레 경계 조건: $X^\mu(\tau, 0) = b^\mu, X^\mu(\tau, \pi) = b'^\mu.$

8. 역사

폴랴코프 작용은 라르스 브링크, 파올로 디베키아, 폴 호^[5], 스탠리 데서, 브루노 추미노^[6]가 1976년에 도입하였고, 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프가 이를 이용한 경로 적분을 도입하였다.^[7]^[8]

8. 1. 도입

폴랴코프 작용은 라르스 브링크(Lars Brink), 파올로 디베키아(Paolo Di Vecchia), 폴 호(Paul S. Howe)^[5], 스탠리 데서(Stanley Deser), 브루노 추미노(Bruno Zumino)^[6]가 1976년에 도입하였다. 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프가 이를 이용한 경로 적분을 도입하였다.^[7]^[8]

8. 2. 발전

라르스 브링크(Lars Brink), 파올로 디베키아(Paolo Di Vecchia), 폴 호(Paul S. Howe)^[5], 스탠리 데서(Stanley Deser), 브루노 추미노^[6]가 1976년에 도입하였다. 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프가 이를 이용한 경로 적분을 도입하였다.^[7]^[8]

참조

_[1] 논문 A Complete Action for the Spinning String https://cds.cern.ch/[...] 1976
_[2] 논문 A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string https://dx.doi.org/1[...] 1976
_[3] 논문 Quantum geometry of bosonic strings https://dx.doi.org/1[...] 1981
_[4] 논문 Nonlinear Models in 2+ε Dimensions http://www.physics.r[...] 1980
_[5] 저널 A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string 1976-12-20
_[6] 저널 A complete action for the spinning string 1976-12-06
_[7] 저널 Quantum geometry of bosonic strings 1981-07-23
_[8] 저널 Quantum geometry of fermionic strings 1981-07-23

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