변칙 (물리학)

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1. 개요
2. 역사
3. 종류
4. 변칙 상쇄
5. 코보디즘과의 관계
6. 응용
참조

1. 개요

변칙(Anomaly)은 양자장론에서 고전적인 대칭이 양자화 과정에서 깨지는 현상을 의미한다. 재규격화 과정에서 발생하는 발산하는 적분이 모든 대칭성을 유지하는 방식으로 정칙화될 수 없을 때 발견되며, 키랄 변칙, 컨포멀 변칙, 게이지 변칙, 중력 변칙 등 다양한 종류가 있다. 게이지 이론의 경우 게이지 대칭이 깨지면 이론의 모순을 야기할 수 있어, 변칙 상쇄를 통해 일관성을 확보해야 한다. 변칙은 표준 모형의 페르미온 내용을 제한하며, 쿼크와 렙톤의 전하 균형을 맞추는 데 중요한 역할을 한다. 최근에는 코보디즘 이론을 통해 양자 변칙을 체계적으로 분류하려는 연구가 진행되고 있다.

2. 역사

물리학의 장론에서 대칭성이란 어떤 물리계의 작용과 경로 적분 측도를 변화시키지 않는 변환을 의미한다. 하지만 어떤 경우에는 작용은 불변하더라도 경로 적분 측도가 불변하지 않아, 겉보기에는 대칭성이 있는 것처럼 보이지만 실제로는 대칭성이 깨지는 현상이 발생할 수 있다. 이를 양자 변칙(Quantum Anomaly) 또는 양자 이상이라고 부른다.

만약 이러한 겉보기 대칭성이 전체 시스템에 걸쳐 적용되는 대역적 대칭성이라면, 이는 단순히 해당 이론이 그 대칭성을 갖지 않는다는 것을 의미할 뿐이다. 그러나 게이지 대칭성과 같이 국소적인 변환에 대한 대칭성에서 변칙이 발생하면, 이론의 일관성이 깨져 이론 자체가 성립하지 못하게 되는 심각한 문제를 야기할 수 있다.

3. 종류

장론에서 대칭성이란 작용과 경로 적분 측도를 불변하게 하는 변환을 의미한다. 하지만 때로는 작용은 불변이지만 경로 적분 측도를 불변하게 하지 않는 겉보기 대칭성이 실제로는 대칭성이 아닌 경우가 있는데, 이러한 현상을 양자 변칙(quantum anomaly^영어)이라고 부른다. 양자 변칙은 깨지는 대칭성의 종류에 따라 다양하게 분류할 수 있다.

주요 양자 변칙의 종류는 다음과 같다.

키랄 변칙 (축 변칙)
등각 변칙 (스케일 불변성의 변칙 포함)
게이지 변칙
전역 변칙
중력 변칙 (미분 동형 사상 변칙)
코니시 변칙
혼합 변칙
패리티 변칙
't Hooft 변칙 (변칙 일치 조건)

만약 겉보기 대칭성이 전역 대칭성이라면, 이는 단순히 해당 이론이 그 대칭성을 갖지 않는다는 것을 의미한다. 그러나 만약 게이지 대칭이라면, 이론 자체를 정의할 수 없게 되는 심각한 문제를 일으킬 수 있다. 각 변칙의 구체적인 내용과 의미는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

3. 1. 게이지 변칙

바일 페르미온을 포함하는 게이지 이론에서는 게이지 대칭이 양자화 과정을 거치면서 깨지는 경우가 발생할 수 있는데, 이를 '''게이지 변칙'''(gauge anomaly^영어)이라고 한다. 게이지 변칙이 존재하면 게이지 보손의 물리적인 가로 자유도 외에 비물리적인 세로 자유도 및 시간꼴 자유도가 이론에서 상쇄되지 않아 이론 자체가 모순을 내포하게 된다. 따라서 이론의 무모순성을 확보하기 위해서는 게이지 변칙이 반드시 상쇄되어야 한다.

게이지 변칙이 상쇄되기 위해서는 게이지 군의 표현이 특정 대수적 조건을 만족해야 한다. 표현의 생성원을

t^a

라고 할 때, 다음의 조건이 충족되어야 한다.

:

\operatorname{tr}(t^a\{t^b,t^c\})=0

여기서

\operatorname{tr}

은 행렬의 대각합을 의미하며,

\{,\}

는 반교환자를 나타낸다. 바일 페르미온은 짝수 시공간 차원에서만 정의되므로, 게이지 변칙 또한 짝수 차원에서만 발생할 수 있다.

게이지 변칙의 상쇄 조건은 입자 물리학의 표준 모형을 구성하는 데 매우 중요한 제약 조건으로 작용한다. 표준 모형은 카이랄 게이지 이론이기 때문에 게이지 변칙이 발생할 수 있으며, 이 변칙이 상쇄되기 위해서는 입자들의 종류와 전하가 특정 관계를 만족해야 한다. 예를 들어, 약한 아이소스핀 SU(2)_L과 약한 초전하 U(1)_Y 사이의 혼합 변칙이 상쇄되려면, 표준 모형의 각 세대 내에서 모든 페르미온(쿼크와 렙톤)들의 약한 초전하의 합이 0이 되어야 한다.^[11]^[12] 이는 결과적으로 각 세대 내 쿼크와 렙톤의 전하 합이 0이 되도록 요구하며 (

-1+3\times\frac{2-1}{3}=0

), 예를 들어 전자의 전하와 양성자의 전하가 크기는 같고 부호는 반대인 이유를 설명하는 데 기여한다.

구체적으로, 두 개의 외부 SU(2) 게이지장(

W^a, W^b

)과 하나의 U(1) 하이퍼차지 게이지장(

B

)이 상호작용하는 삼각형 파인만 도표를 고려할 때, 변칙 상쇄 조건은 다음과 같이 표현된다.

:

\sum_{all ~doublets}\!\!\!\! \mathrm{Tr} ~T^a T^b Y \propto \delta^{ab}  \sum_{all ~doublets} Y=\sum_{all ~doublets} Q =0 ~,

여기서 합은 해당 세대의 모든 SU(2) 이중항 페르미온에 대해 이루어진다. 이 조건은 각 세대에서 렙톤과 쿼크의 전하가 정확히 균형을 이루도록 강제한다. 표준 모형의 변칙 상쇄 요구는 또한 당시 발견되지 않았던 3세대 쿼크인 탑 쿼크의 존재를 예측하는 근거 중 하나가 되기도 했다.^[13]

게이지 변칙은 일반적으로 1-루프 수준의 파인만 도표(특히 페르미온 루프가 있는 삼각형 도형)를 통해 정확하게 계산될 수 있다. 벡터 게이지 대칭과 관련된 변칙은 항상 키랄 변칙의 형태를 띤다. 이 외에도 일반 상대성 이론의 미분동형사상 불변성과 관련된 중력 변칙도 존재한다.

3. 1. 1. 큰 게이지 변칙 (위튼 변칙)

대부분의 게이지 변칙은 작은 게이지 변환(small gauge transformation|작은 게이지 변환^영어, 항등 변환과 호모토픽하게 연속적으로 변형될 수 있는 변환)과 관련된다. 하지만 특수한 비가환 게이지 이론에서는 위상적으로 구별되는 큰 게이지 변환(large gauge transformation|큰 게이지 변환^영어)에 대해서도 변칙이 발생할 수 있다. 이러한 가능성은 에드워드 위튼에 의해 처음 지적되었으며,^[21] 이를 큰 게이지 변칙 또는 위튼 변칙(Witten anomaly|위튼 변칙^영어)이라고 부른다.

큰 게이지 변칙은 전역 대칭과 관련된 변칙, 즉 전역 변칙성의 한 형태로 볼 수 있다. 특히, 이는 게이지 대칭 중 항등원과 연속적으로 연결되지 않은, 즉 위상적으로 분리된 대칭 변환과 관련된 문제이다. 이러한 변칙은 특정 차원의 시공간에서 중력과 상호작용하는 카이랄 페르미온이나 자기 쌍대 미분 형식을 포함하는 이론, 그리고 대표적으로 4차원 SU(2) 게이지 이론에서 나타날 수 있다.

4차원 민코프스키 공간에서의 SU(2) 게이지 이론을 예로 들어보자. 일반적으로 게이지 변환은 시공간의 각 점에서 특수 유니타리 군 SU(2)의 원소를 선택하는 함수로 정의된다. 무한대에서 항등원으로 수렴하는 게이지 변환들의 집합을 고려하면, 이는 위상적으로 4차원 구면에서 SU(2) 군으로 가는 함수들의 집합과 동등하게 볼 수 있다. 이러한 함수들의 집합은 연속적이지 않고, 위상수학적으로 구별되는 두 개의 조각으로 나뉜다. 이는 4차원 구면의 네 번째 호모토피 군 π₄(S³)이 두 개의 원소를 갖는 순환군 Z₂와 같다는 사실에 해당한다. 하나는 항등 변환을 포함하는 조각이고, 다른 하나는 위상적으로 분리된 조각이다.

만약 이 SU(2) 게이지 이론이 홀수개의 맛(flavor)을 가진 카이랄 페르미온을 포함한다면, 위상적으로 분리된 두 종류의 게이지 변환 아래에서 이론의 경로 적분은 서로 다른 부호를 가지게 된다. 즉, 경로 적분 과정에서 모든 가능한 게이지 설정들을 더할 때, 서로 부호가 반대인 기여들이 쌍을 이루어 정확히 상쇄된다. 결과적으로 총 경로 적분 값은 0이 되어 이론이 물리적으로 존재할 수 없게 된다. 이것이 바로 위튼 SU(2) 변칙이다.^[4]

2018년에는 왕(Wang), 원(Wen), 위튼(Witten)에 의해 SU(2) 게이지 이론에서 홀수개의 스핀-3/2 카이랄 페르미온을 포함하는 경우, 특정 조건(스핀 구조가 없는 다양체)에서 또 다른 미묘한 전역 변칙이 발생할 수 있음이 밝혀졌다. 이를 '새로운 SU(2) 변칙'이라고 부른다.^[5] 위튼 변칙과 새로운 SU(2) 변칙 모두 Z₂ 형태의 변칙이며, 더 높은 스핀을 가진 페르미온에서도 유사한 변칙들이 나타날 수 있다.^[5] 이러한 SU(2) 변칙 연구는 SO(10) 대통일 이론과 같은 다른 물리 이론의 일관성을 검증하는 데에도 중요한 역할을 한다.^[5]^[6]

3. 2. 축변칙 (카이랄 변칙)

축변칙(axial anomaly^영어, chiral anomaly^영어)은 전기역학 등과 같은 이론에서 축벡터 흐름

\bar\psi\gamma^5\gamma^\mu\psi

이 보존되지 않는 현상을 말한다. 고전 이론에서는 벡터 흐름(전류)

\bar\psi\partial_\mu\psi

과 축벡터 흐름이 모두 보존되지만, 양자화를 거치면 벡터 흐름만이 보존되고 축벡터 흐름은 보존되지 않는다.

아벨적인 전역 대칭에서의 변칙성은 양자장론에서 문제를 일으키지 않으며 종종 발생한다. 예를 들어 키랄 변칙성이 이에 해당한다. 이러한 변칙 대칭은 경계 조건을 경로 적분 공식에 고정하는 방식으로 해결할 수 있다.

장론에서 대칭성이란 작용과 경로 적분 측도를 불변하게 만드는 변환을 의미한다. 그런데 작용은 불변이지만 경로 적분 측도를 불변하게 하지 않는 겉보기 대칭성이 존재할 수 있으며, 이는 실제로는 대칭성이 아닌 경우이다. 이러한 현상을 양자 이상(quantum anomaly)이라고 부른다. 만약 이 겉보기 대칭성이 전역적(global) 대칭성이라면 해당 이론이 그 대칭성을 갖지 않는다는 의미에 그치지만, 만약 게이지 대칭성이라면 이론 자체를 정의할 수 없게 되는 심각한 문제를 야기한다.

축변칙은 인스턴톤 효과에 의해 깨지는 QCD의 양자 이상 현상이기도 하다.

3. 3. 눈금 변칙

눈금 변칙(Scale anomaly)은 눈금잡기 대칭(scaling symmetry)이 깨지는 현상을 말하며, 온곳 변칙(conformal anomaly)의 대표적인 예시이다. 눈금잡기 대칭은 등각대칭의 부분군이며, 이 대칭을 따르는 성질을 눈금 불변성이라고 한다.

고전적으로 눈금 불변성을 가지는 이론이라도 양자장론에서는 이 대칭이 깨질 수 있다. 특히 질량이 없는 입자를 다루는 재규격화 가능한 이론(초재규격화 가능한 경우는 제외)은 고전적으로 눈금 불변성을 가지지만, 양자 효과를 고려하기 위해 조절 과정을 거치면 특정 에너지 눈금(조절 눈금)이 도입된다. 이로 인해 재규격화군 흐름에 따라 에너지 눈금이 변하면서 눈금 불변성이 깨지게 된다. 즉, 이론의 상호작용 세기 등이 에너지 눈금에 따라 변하게 되는 것이다. 물리학에서 널리 나타나는 이러한 눈금 불변성의 위반은 재규격화를 통해 정량적으로 이해할 수 있다.

예를 들어, 질량이 없는 입자로 이루어진 양자 색역학(QCD)은 고전적으로는 눈금 불변성을 가지지만, 실제로는 높은 에너지 눈금에서는 상호작용이 약해지는 점근 자유성을 보이고, 낮은 에너지 눈금에서는 재규격화군 흐름에 따라 상호작용이 매우 강해진다. 강한 핵력이 짧은 거리에서는 약하게 작용하고 먼 거리에서는 강하게 작용하는 현상 역시 이러한 눈금 변칙성 때문이다.

3. 4. 중력 변칙

게이지 이론은 손지기 변칙 외에도 중력 변칙을 겪을 수 있다. 중력 변칙은 일반상대론의 미분동형사상 대칭이 깨지는 현상을 말한다. 이 현상은 가환 게이지 이론에서만 발생하며, 이론 자체를 모순되게 만드는 심각한 문제를 일으킨다. 이러한 문제를 피하기 위해서는 이론에 포함된 모든 가환 생성원의 대각합이 각각 0이어야 한다는 조건이 필요하다.

게이지 대칭에서 발생하는 변칙 현상(게이지 이상)은 이론의 일관성을 해치기 때문에 문제가 된다. 이는 게이지 대칭이 음의 노름을 갖는 비물리적인 자유도(예: 시간 방향으로 편광된 광자)를 상쇄하는 데 필수적이기 때문이다. 따라서 물리학자들은 이러한 변칙 현상을 상쇄하여 게이지 대칭과 일관성을 갖는 이론을 구축하려고 노력하며, 이 과정에서 이론에 추가적인 제약 조건이 생기기도 한다. 입자 물리학의 표준 모형에서 게이지 이상을 상쇄하는 것이 대표적인 예이다. 게이지 이론의 변칙 현상은 게이지군의 위상 수학 및 기하학과도 중요한 관련이 있다.

게이지 대칭에서의 변칙은 1-루프 수준에서 정확하게 계산될 수 있다. 트리 레벨(0 루프)에서는 고전적인 이론이 그대로 나타난다. 하나 이상의 루프를 포함하는 파인만 도표에는 항상 내부 보손 전파자가 포함되는데, 보손은 게이지 불변성을 깨뜨리지 않고도 질량을 가질 수 있으므로, 이러한 도표에 대한 파울리-빌라스 정규화를 통해 대칭을 유지하는 것이 가능하다. 만약 도표의 정규화 과정이 특정 대칭과 일치한다면, 해당 도표는 그 대칭과 관련된 변칙을 생성하지 않는다.

벡터 게이지 변칙은 항상 키랄 변칙의 한 형태이다. 중력 변칙은 게이지 변칙의 또 다른 유형이다.

보다 일반적으로, 장론에서 대칭성이란 작용과 경로 적분 측도를 모두 불변하게 만드는 변환을 의미한다. 하지만 작용은 불변이지만 경로 적분 측도가 불변하지 않아 겉보기 대칭성이 실제로는 대칭성이 아닌 경우가 있는데, 이를 양자 변칙이라고 부른다. 만약 이 겉보기 대칭성이 대역적 대칭성이라면 단순히 해당 이론이 그 대칭성을 갖지 않는다는 의미에 그치지만, 게이지 대칭의 경우에는 이론 자체를 정의할 수 없게 만드는 심각한 문제를 야기한다.

3. 5. 전역 변칙

전역 변칙성은 전역 대칭 전류 보존이 양자역학적으로 위반되는 현상을 의미한다.

일부 전역 변칙성은 섭동 이론의 파인만 다이어그램 계산으로는 포착할 수 없는데, 이를 비섭동적 전역 변칙성(non-perturbative global anomaly)이라고 한다. 대표적인 예로는 위튼이 발견한 위튼 변칙(Witten anomaly)^[4]과 왕-웬-위튼(Wang–Wen–Witten) 변칙^[5]이 있다.

아벨 전역 대칭에서의 변칙성은 양자장론에서 일반적으로 심각한 문제를 일으키지 않으며, 경로 적분 공식에서 경계 조건을 적절히 설정하여 해결할 수 있는 경우가 많다. 키랄 변칙성이 이러한 경우의 예이다.

반면 비가환 게이지 이론에서는 전역 변칙성이 이론의 일관성을 해칠 수 있다. 중요한 예로 4차원 민코프스키 공간에서의 SU(2) 게이지 이론을 들 수 있다. 이 이론에서 무한대에서 사라지는 게이지 변환들의 집합은 위상수학적으로 서로 연결되지 않은 두 개의 부분으로 나뉜다. 이는 게이지 변환 공간의 네 번째 호모토피 군이 π₄(SU(2)) = '''Z'''_''2'' (차수 2의 순환군)라는 사실과 관련 있으며, 이는 항등 변환을 포함하는 성분과 그렇지 않은 분리된 성분, 두 개의 연결 성분이 존재함을 의미한다.

만약 이 SU(2) 게이지 이론이 홀수 개의 맛(flavor)을 가진 바일 페르미온(Weyl fermion)과 결합한다면, 항등 성분과 분리된 성분에 속하는 게이지 변환들은 물리적 상태에 작용할 때 서로 부호가 다른 위상(phase)을 부여하게 된다. 그 결과, 경로 적분에서 모든 가능한 물리적 구성(configuration)들의 기여를 합산하면, 서로 다른 부호를 가진 기여들이 쌍으로 나타나 상쇄되어 총합이 0이 된다. 이는 해당 이론이 양자역학적으로 일관되지 않아 존재할 수 없음을 의미하며, 이를 위튼 SU(2) 변칙이라고 부른다.^[4]

2018년에는 왕(Wang), 웬(Wen), 위튼(Witten)에 의해 더 미묘한 형태의 전역 변칙성이 발견되었다.^[5] 이는 홀수 개의 (아이소-)스핀-3/2 바일 페르미온과 결합된 SU(2) 게이지 이론에서 나타나며, 스핀 구조(spin structure)가 없는 특정 비-스핀 다양체(non-spin manifold) 위에서만 감지될 수 있다. 이를 새로운 SU(2) 변칙 또는 왕-웬-위튼 변칙이라고 부른다.^[5]

위튼 변칙과 새로운 SU(2) 변칙은 모두 동역학적 게이지 변칙과 전역 대칭의 't Hooft 변칙과 유사한 측면을 가진다.^[4]^[5] 두 변칙 모두 수학적으로 차수 2의 유한군 '''Z'''_''2''로 분류되며(모드 2 클래스), 4차원과 5차원 시공간에서 유사성을 보인다.^[5] 일반적으로, SU(2) 게이지 이론에서 (아이소-)스핀 (2N+1)/2 표현의 페르미온이 홀수 개 있으면 위튼 변칙이 발생할 수 있고, (아이소-)스핀 (4N+3)/2 표현의 페르미온이 홀수 개 있으면 새로운 SU(2) 변칙이 발생할 수 있다 (N은 자연수).^[5] 반정수 스핀 표현을 갖는 페르미온의 경우, 모든 전역 SU(2) 변칙은 이 두 가지 유형의 변칙과 그 선형 결합으로 분류된다는 것이 알려져 있다.^[5]

새로운 SU(2) 변칙은 SO(10) 대통일 이론(GUT)의 일관성을 확인하는 데 중요한 역할을 하기도 했다. 특히 스핀(10) 게이지 군과 16차원 스피너 표현의 카이랄 페르미온을 포함하는 이론이 특정 비-스핀 다양체 위에서 잘 정의되는지를 판단하는 데 사용되었다.^[5]^[6]

3. 6. 고차 변칙

전역 대칭의 개념은 고차 전역 대칭으로 일반화될 수 있다.^[7] 일반적인 0-form 대칭에서 전하를 띤 객체는 입자인 반면, n-form 대칭에서 전하를 띤 객체는 n차원의 확장된 연산자이다. 예를 들어, 위상적 세타 항

\theta=\pi

를 갖는 SU(2) 게이지장만을 포함하는 4차원 순수 양-밀스 이론은 0-form 시간 반전 대칭과 1-form '''Z'''_''2'' 중심 대칭 사이에 혼합된 고차 트후프트 변칙('t Hooft anomaly)을 가질 수 있다는 것이 밝혀졌다.^[8]

4차원 순수 양-밀스 이론에서 나타나는 이러한 't Hooft anomaly는 5차원 가역 위상적 장론 또는 수학적으로 5차원 경계 불변량으로 정확하게 기술될 수 있다. 이는 고차 대칭과 관련된 '''Z'''_''2'' 클래스에 대한 anomaly 유입(anomaly inflow) 개념을 일반화하는 것이다.^[9] 다시 말해, 4차원 경계에서 발생하는 고차 anomaly를 설명하기 위해, 위상적 세타 항

\theta=\pi

를 갖는 4차원 순수 양-밀스 이론을 특정 '''Z'''_''2'' 클래스 가역 위상적 장론의 경계 조건으로 간주할 수 있다.^[10]

3. 7. 기타 변칙

U(1)_A 키랄 변칙: 인스턴톤 효과에 의해 깨지는 양자 색역학(QCD)의 양자 변칙이다.
와일 변칙(컨포멀 변칙): 끈 이론의 와일 대칭성에 대한 게이지 변칙이다. 이 변칙이 사라져야 한다는 조건으로부터 끈 이론의 대상 공간(target space) 차원이 결정된다.
코니시 변칙
혼합 변칙
패리티 변칙
't Hooft 변칙 (변칙 일치 조건)

4. 변칙 상쇄

게이지 이론의 일관성을 유지하기 위해서는 변칙성을 상쇄하는 것이 필수적이다. 이러한 변칙 상쇄는 카이랄 게이지 이론인 표준 모형에서 페르미온의 종류와 성질을 제한하는 데 매우 중요한 역할을 한다.

예를 들어, SU(2) 게이지 대칭과 U(1) 하이퍼차지 대칭이 섞인 혼합 변칙성이 사라지려면, 한 세대(generation)에 속하는 모든 페르미온의 전하 합이 0이 되어야 한다.^[11]^[12] 이는 결과적으로 쿼크와 렙톤의 전하가 서로 균형을 이루어야 함을 의미하며, 예를 들어 양성자의 전하와 전자의 전하를 합하면 0이 되어야 한다는 조건으로 나타난다.

구체적으로, 삼각형 파인만 도표에서 외부 게이지 보손으로 두 개의 SU(2) 장( $W^a$ , $W^b$ )과 하나의 하이퍼차지 장( $B$ )이 상호작용할 때, 변칙이 상쇄될 조건은 다음과 같은 수식으로 표현될 수 있다.

: $\sum_{all ~doublets}\!\!\!\! \mathrm{Tr} ~T^a T^b Y \propto \delta^{ab} \sum_{all ~doublets} Y=\sum_{all ~doublets} Q =0 ~,$

여기서 $T^a$ , $T^b$ 는 SU(2) 생성자, $Y$ 는 하이퍼차지를 나타낸다. 이 조건은 결국 해당 상호작용에 관여하는 모든 입자들의 전하( $Q$ )의 합이 0이 되어야 함을 뜻한다. 표준 모형의 각 세대에서 렙톤과 쿼크의 전하 합은 $-1+3\times\frac{2-1}{3}=0$ 으로 이 조건을 만족시킨다. 따라서 양성자의 전하와 전자의 전하의 합은 $Q_p + Q_e = 0$ 이 된다.

표준 모형에서 이러한 변칙 상쇄 조건은 이론의 일관성을 보장할 뿐만 아니라, 실험적으로 발견되기 전에 3세대 쿼크인 탑 쿼크의 존재를 예측하는 데 사용되기도 했다.^[13]

표준 모형 외에도 변칙을 상쇄하는 다른 이론적인 메커니즘들이 존재한다.

액시온
천-사이먼스 이론
그린-슈바르츠 메커니즘
리우빌 작용

5. 코보디즘과의 관계

코보디즘 이론은 이상 현상을 분류하는 현대적인 설명을 제공한다.^[14] 이 접근법에 따르면, 이상 현상은 크게 두 가지로 나뉜다.

하나는 섭동적 국소 이상 현상으로, 이는 이론의 자유 부분(free part)에 해당한다. 이러한 종류의 이상 현상은 파인만-다이슨 그래프를 통해 확인할 수 있으며, 정수 '''Z''' 클래스로 분류된다. 다른 하나는 비섭동적 전역 이상 현상으로, 이는 이론의 비틀림 부분(torsion part)에 해당하며 순환군 '''Z'''/''n'''''Z''' 클래스로 분류된다.

물리학의 표준 모형과 카이랄 게이지 이론은 20세기 후반 연구를 통해 섭동적 국소 이상 현상으로부터 자유롭다는 것이 확인되었다. 즉, 파인만 도표 계산에서 나타나는 종류의 이상 현상은 이 이론들에서 상쇄된다. 그러나 이러한 이론들에 비섭동적 전역 이상 현상이 존재하는지 여부는 오랫동안 불분명한 문제로 남아 있었다.

최근 코보디즘 이론에 기반한 연구^[15]^[16]^[17]들은 이 문제를 다루고 있다. 이 연구들을 통해 새롭게 발견된 비자명한 전역 이상 현상들은 표준 모형이나 카이랄 게이지 이론과 같은 이론들에 추가적인 제약을 가할 가능성을 제시한다.

또한, 이상 현상 유입(anomaly inflow)이라는 개념을 통해 섭동적 국소 이상 현상과 비섭동적 전역 이상 현상 모두를 통합적으로 설명할 수 있다. 이는 1차원 더 높은 차원에서 정의되는 아티야, 파토디, 싱어의 에타 불변량^[18]^[19]을 사용하여 공식화된다. 이 에타 불변량은 섭동적 국소 이상 현상이 존재하지 않는 경우, 그 자체가 코보디즘 불변량이 된다.^[20]

6. 응용

게이지 이론의 일관성을 위해 변칙(anomaly)을 상쇄하는 것은 매우 중요하다. 이러한 변칙 상쇄 요구 조건은 표준 모형을 구성하는 페르미온(기본 입자)의 종류와 성질을 제한하는 데 결정적인 역할을 한다. 표준 모형은 키랄 대칭성을 가진 게이지 이론이기 때문이다.

예를 들어, 약한 상호작용과 관련된 SU(2) 대칭성과 전자기 상호작용과 관련된 U(1) 대칭성이 섞인 '혼합 변칙성'이 존재하지 않으려면, 한 세대(generation)에 속하는 모든 페르미온의 전하 합이 0이 되어야 한다.^[11]^[12] 이는 쿼크와 렙톤의 전하가 서로 정확히 상쇄되어야 함을 의미한다. 구체적으로 각 세대에서 렙톤과 쿼크의 전하를 모두 더하면 0이 되어야 한다 ( $\sum_{all ~doublets} Q = -1+3\times\frac{2-1}{3}=0$ ). 이는 결과적으로 양성자의 전하와 전자의 전하가 크기는 같고 부호는 반대여야 함을 뒷받침한다.

표준 모형에서 이러한 변칙 상쇄 조건을 만족시키기 위해서는, 당시까지 발견되지 않았던 3세대 쿼크, 즉 탑 쿼크의 존재가 필수적이었다. 이후 탑 쿼크는 실제로 발견되어 표준 모형의 예측력을 보여주는 중요한 사례가 되었다.^[13]

또한, 헤라르뒤스 엇호프트가 제시한 변칙 일치 조건은 변칙이 이론의 에너지 규모(고에너지 또는 저에너지)에 상관없이 일관되게 나타나야 한다는 원리이다. 이 조건은 단순히 입자물리학뿐만 아니라, 응집물질물리학 등 다양한 물리 시스템에서 물질의 상(phase) 변화를 이해하는 데 중요한 도구로 활용된다. 즉, 특정 대칭성이 낮은 에너지 상태에서도 변칙을 통해 그 흔적을 남기는지를 분석하여 물질의 상태를 파악하는 데 도움을 준다.

참조

_[1] 논문 Anomalous Ward identities in spinor field theories
_[2] 서적 Gauge Theory of Elementary Particle Physics Oxford Science Publications 1984
_[3] 웹사이트 Dissipative Anomalies in Singular Euler Flows https://www-n.oca.eu[...]
_[4] 논문 An SU(2) Anomaly 1982-11
_[5] 논문 A New SU(2) Anomaly 2019-05
_[6] 논문 Nonperturbative definition of the standard models 2020-06-01
_[7] 논문 Generalized Global Symmetries 2015-02
_[8] 논문 Theta, Time Reversal, and Temperature 2017-05
_[9] 논문 Quantum 4d Yang-Mills Theory and Time-Reversal Symmetric 5d Higher-Gauge Topological Field Theory 2019-10
_[10] 논문 Quantum 4d Yang-Mills Theory and Time-Reversal Symmetric 5d Higher-Gauge Topological Field Theory 2019-10
_[11] 간행물 "An anomaly-free version of Weinberg's model."
_[12] 논문 Comment on anomaly cancellation in the standard model
_[13] 서적 Why String Theory? https://www.taylorfr[...] CRC Press 2016-08-19
_[14] 논문 Reflection positivity and invertible topological phases
_[15] 논문 Dai-Freed anomalies in particle physics 2019-08
_[16] 논문 Global anomalies in the Standard Model(s) and Beyond 2020-07
_[17] 논문 Beyond Standard Models and Grand Unifications: Anomalies, Topological Terms, and Dynamical Constraints via Cobordisms 2020-07
_[18] 간행물 Spectral asymmetry and Riemannian geometry
_[19] 간행물 Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I
_[20] 논문 Anomaly Inflow and the eta-Invariant
_[21] 저널 An SU(2) Anomaly

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