프로인드-루빈 콤팩트화

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1. 개요
2. 전개
- 2.1. 수식 설명
3. 예
- 3.1. 11차원 초중력
- 3.2. 10차원 IIB 초중력
4. 끈 이론 관점
5. 역사
참조

1. 개요

프로인드-루빈 콤팩트화는 일반 상대성 이론과 p차 형식 게이지 장이 결합된 고차원 시공간의 해를 찾는 방법이다. 이 해는 초구와 반 더 시터르 공간의 곱으로 표현되며, S-이중성을 통해 콤팩트화 결과를 상호 변환할 수 있다. 11차원 초중력은 $\mathbb S^4\times\operatorname{AdS}_7$ 또는 $\mathbb S^7\times\operatorname{AdS}_4$ 로, 10차원 IIB 초중력은 $\mathbb S^5\times\operatorname{AdS}_5$ 로 콤팩트화될 수 있으며, 이 콤팩트화들은 AdS/CFT 대응성에 중요한 역할을 한다. 끈 이론에서 브레인의 거동은 프로인드-루빈 콤팩트화와 밀접하게 관련되어 있으며, 다양한 차원의 브레인을 안정화시키는 역할을 한다. 이 개념은 1980년 페테르 프레운드와 마크 루빈에 의해 처음 소개되었다.

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프로인드-루빈 콤팩트화

2. 전개

D차원 시공간에서 일반 상대성 이론과 p^영어차 형식 게이지 장이 존재할 때, 특정 조건을 만족하면 D차원 시공간이 p^영어차원 초구(S|p^영어)와 (D-p^영어)차원 반 더 시터르 공간(AdS|D-p^영어)의 곱으로 분리될 수 있다. 이러한 과정을 프로인드-루빈 콤팩트화라고 한다.^[1]

11차원 초중력의 경우, 3-형식 반대칭 텐서가 4-형식 장 세기를 가지므로, 7차원 또는 4차원의 공간적 차원을 콤팩트화하는 것이 가능하다. 따라서, 큰 규모의 시공간은 4차원 또는 7차원으로 나타나게 되는데, 이 중 4차원이 현상학적 관점에서 더 적합하다고 알려져 있다.^[1]

2. 1. 수식 설명

D^영어차원 시공간 위에, 일반 상대성 이론과

p

차 형식 게이지 장이 존재한다고 가정하면, 장 방정식은 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

R_{\mu\nu}-\frac12 Rg_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}

:

\nabla_{\mu_1}F^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_p}=0

:

T_{\mu_p}{}^{\nu_p}=F_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_p}F^{\nu_1\nu_2\cdots\nu_p}-\frac1{2p}F_{\rho_1\rho_1\cdots\rho_p}F^{\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_p}\delta^{\nu_p}_{\mu_p}

이 경우, 다음의 공간

:

\mathbb S^p\times\operatorname{AdS}_{D-p}

위에 다음과 같은 장론의 해를 정의할 수 있다. (

\mathbb S^p

는

p

차원 초구,

\operatorname{AdS}_{D-p}

는

D-p

차원 반 더 시터르 공간이다.)^[1]

:

R_{D-p}= -8\pi G\frac{(s-1)(d-s)}{(d-2)}

:

R_p=8\pi G\frac{(d-s-1)}{(d-2)}

:

F^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_p}\propto\epsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_s}_{\mathbb S^p}

여기서

\epsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_s}_{\mathbb S^p}

는 초구

\mathbb S^p

의 레비치비타 기호이며,

R_p

는 초구

\mathbb S^p

의 스칼라 곡률,

R_{D-p}

는

\operatorname{AdS}_{D-p}

의 스칼라 곡률이다.^[1]

S-이중성에 의하여,

p

차 장세기를

D-p

차 장세기

\tilde F=*F

로 쌍대화할 수 있으며, 이 경우 콤팩트화 결과는

\mathbb S^{D-p}\times\operatorname{AdS}_p

가 된다.^[1]

일반 상대성 이론을 ''d''차원 시공간에서 고려할 때, 반대칭 텐서장(외부 소스 없음)이 존재하면, 아인슈타인 방정식과 반대칭 텐서의 운동 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

\begin{align}R^{\mu \nu}-\frac{1}{2}R g^{\mu \nu} = 8 \pi T^{\mu \nu}, ~~~~\nabla_\mu F^{\mu \, \alpha_2 ... \alpha_s} = 0\end{align}

여기서 응력-에너지 텐서는 다음과 같다.^[1]

:

T^{\mu \nu} = F_{\alpha_1 ... \alpha_{s-1}}~^\mu F^{\alpha_1 ... \alpha_{s-1} \nu}-\frac{1}{2s} F_{\alpha_1 ... \alpha_{s}} F^{\alpha_1 ... \alpha_{s}}g^{\mu \nu}

랭크 ''s''의 반대칭 텐서인 장 세기

F

는 일부 ''s''차원 다양체에서 레비-치비타 텐서에 비례하는 솔루션에 대한 자연스러운 가정을 갖는다.^[1]

:

F^{\mu_1 ... \mu_{s}}=(\epsilon^{\mu_1 ... \mu_{s}}/\sqrt{g_s})  f

여기서 인덱스

\mu_i

는 주변 ''d''차원 시공간의 차원 중 ''s''개를 가리키고,

g_s

는 이 ''s''차원 부분 공간의 계량 텐서의 행렬식이며,

f

는 자연 단위계에서 질량 제곱의 차원을 갖는 상수이다.^[1]

장 세기는 ''s''차원 부분 다양체에서만 0이 아니므로, 계량

g

는 자연스럽게 다음과 같은 블록 대각선 형태의 두 부분으로 분리된다.^[1]

:

g_{\mu \nu}=\begin{bmatrix}g_{ m n}(x^p) & 0 \\0 & g_{\bar{m} \bar{n}}(x^{\bar{p}})\end{bmatrix}

여기서

m

,

n

,

p

는 장 세기

F

와 동일한 ''s''차원을 확장하고,

\bar{m}

,

\bar{n}

,

\bar{p}

는 나머지 ''d-s''차원을 덮는다. ''d''차원 공간을 두 부분 공간의 곱으로 분리하면, 아인슈타인 방정식으로 이 두 부분 다양체의 곡률을 계산할 수 있으며, 다음을 얻는다.^[1]

:

\begin{align}R_{d-s} &= \frac{(s-1)(d-s)}{(d-2)}\lambda, ~ ~ R_{s}=-\frac{s(d-s-1)}{(d-2)}\lambda \\\lambda &= 8 \pi G \sgn(g_s) f^2\end{align}

''s''차원 및 ''(d-s)''차원 부분 다양체의 리치 곡률은 부호가 반대이다. 하나는 양의 곡률을 가져야 하고, 다른 하나는 음의 곡률을 가져야 하므로, 이 다양체 중 하나는 콤팩트 공간이어야 한다. 결과적으로, 콤팩트 다양체의 크기보다 훨씬 큰 규모에서, 우주는 기본 ''d''차원과는 달리 ''s'' 또는 ''(d-s)''차원을 갖는 것처럼 보인다.^[1]

3. 예

11차원 초중력과 10차원 IIB 초중력 등에서 프로인드-루빈 콤팩트화가 나타난다. 이러한 콤팩트화는 AdS/CFT 대응성에 핵심적인 역할을 하며, M5-막, M2-막, D3-막과 관련된다.^[1]^[2]

3. 1. 11차원 초중력

11차원 초중력은 3차 형식 퍼텐셜

A_{\mu\nu\rho}

(즉, 4차 형식 장세기

F_{\mu\nu\rho\sigma}

)을 가지며, 따라서 이 이론은 자연스럽게

\mathbb S^4\times\operatorname{AdS}_7

또는

\mathbb S^7\times\operatorname{AdS}_4

로 콤팩트화된다.

3. 2. 10차원 IIB 초중력

10차원 IIB 초중력은 자연스럽게

\mathbb S^5\times\operatorname{AdS}_5

로 콤팩트화된다.

4. 끈 이론 관점

끈 이론에서 브레인의 거동은 프로인드-루빈 콤팩트화와 밀접하게 관련되어 있다. 다양한 차원의 브레인은 다양한 랭크의 반대칭 텐서장에 의해 안정화되며, 브레인 묶음 근처의 시공간 기하학은 프로인드-루빈 콤팩트화를 통해 왜곡된다.^[2]

전자기장에 결합하여 전하를 띤 입자를 안정화하는 방식과 유사하게, 끈 이론에서 다양한 랭크의 반대칭 텐서장의 존재는 다양한 차원의 브레인을 안정화시킨다. 결과적으로, 브레인 묶음 근처 시공간의 기하학은 프로인드-루빈 콤팩트화가 실현되는 방식으로 왜곡된다.^[2]

IIB형 끈 이론에는 3차원 D-브레인을 허용하는 5형식 장력 $F_5$ 가 있으며, D3-막 묶음의 지평선 근처 기하학은 5차원 반 드 시터 공간 곱하기 5차원 구, $AdS_5 \times S^5$ 이며, 이는 5차원에서 콤팩트하다. 이 기하학은 AdS/CFT 대응성의 중요한 부분이다.^[2]

마찬가지로, M-이론과 그 저에너지 극한인 11차원 초중력은 4-형식 장력을 포함하며, 이는 M2-막 및 M5-막을 안정화시킨다. 이들 브레인의 묶음의 지평선 근처 기하학은 각각 $AdS_4 \times S^7$ 및 $AdS_7 \times S^4$ 이다.

11차원 초중력은 3차 형식 퍼텐셜 $A_{\mu\nu\rho}$ (즉, 4차 형식 장세기 $F_{\mu\nu\rho\sigma}$ )을 가지며, 따라서 이 이론은 자연스럽게 $\mathbb S^4\times\operatorname{AdS}_7$ 또는 $\mathbb S^7\times\operatorname{AdS}_4$ 로 콤팩트화된다.

10차원 IIB 초중력은 자연스럽게 $\mathbb S^5\times\operatorname{AdS}_5$ 로 콤팩트화된다.

이 세 콤팩트화들은 AdS/CFT 대응성에 핵심적으로 등장하며, 각각 M5-막 · M2-막 · D3-막에 대응한다.

5. 역사

1980년 루마니아 태생의 물리학자 피터 조지 올리버 프로인드(Peter George Oliver Freund|페테르 제오르제 올리베르 프레운드^영어, 1936~)와 미국의 물리학자 마크 루빈(Mark A. Rubin^영어)이 도입하였다.^[3]

참조

_[1] 논문 Dynamics of dimensional reduction https://www.research[...] 1980-12-01
_[2] 논문 The Large-N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity 1999-04-01
_[3] 논문 Dynamics of dimensional reduction 1980-12-01

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