프로트의 정리

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1. 개요
2. 역사
3. 프로트 정리
- 3.1. 적용 예제
4. 프로트 소수 목록
5. 거대 프로트 소수
참조

1. 개요

프로트의 정리는 프랑수아 프로트가 발표한 소수 판별 정리이다. 프로트 정리는 특정 형태의 수, 즉 k * 2ⁿ + 1 (k는 홀수) 형태의 수가 소수인지 판별하는 데 사용되며, 이 정리를 만족하는 소수를 프로트 소수라고 한다. 2024년 1월 기준으로 알려진 가장 큰 프로트 소수는 10223 · 2^31172165 + 1로, 9,383,761자리의 숫자이며, 2016년에 발견되었다.

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프로트의 정리
수학
분야	정수론
증명된 사람	외젠 샤를 카탈랑
증명된 해	1878년
같이 보기	페르마 소수
공식 설명
공식	k⋅2n + 1 꼴의 수가 소수일 필요충분조건

2. 역사

프랑수아 프로트(1852–1879)는 1878년경에 이 정리를 발표했다.^[7]^[8] 프로트는 농부였던 아마추어 수학자였다.

3. 프로트 정리

''p'' = 3 = 1(2¹) + 1일 때, 2^(3-1)/2 + 1 = 3은 3으로 나누어 떨어지므로 3은 소수이다.
''p'' = 5 = 1(2²) + 1일 때, 3^(5-1)/2 + 1 = 10은 5로 나누어 떨어지므로 5는 소수이다.
''p'' = 13 = 3(2²) + 1일 때, 5^(13-1)/2 + 1 = 15626은 13으로 나누어 떨어지므로 13은 소수이다.
''p'' = 9는 소수가 아니므로, ''a''^(9-1)/2 + 1이 9로 나누어 떨어지는 ''a''는 없다.

첫 번째 프로트 소수는 다음과 같다.

:3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153 ….

현재 알려진 가장 큰 프로트 소수는 10223 · 2^31172165 + 1이며, 9,383,761자리의 숫자이다.^[3] 이 소수는 2016년 11월 6일에 발표된 PrimeGrid 자원 봉사 컴퓨팅 프로젝트의 Peter Szabolcs에 의해 발견되었다.^[4] 2024년 1월 기준으로 알려진 11번째로 큰 소수이며, 2023년에 그 기록이 깨지기 전까지는 가장 큰 비-메르센 소수였다.^[5] 또한 가장 큰 콜버트 수이기도 하다. 두 번째로 큰 알려진 프로트 소수는 PrimeGrid에 의해 발견된 202705· 2^21320516 + 1이다.^[6]

이 정리에 대한 증명은 포클링턴-레머 소수성 검사를 사용하며, 페팽의 검사의 증명과 매우 유사하다. 증명은 참고 문헌의 Ribenboim의 책 52페이지에서 찾을 수 있다.

3. 1. 적용 예제

p = 3

일 때,

2^{\frac {3-1} 2} + 1 = 2^1 + 1 = 3

는 3으로 나누어떨어진다. 그러므로 3은 소수이다.^[9]

p = 5

일 때,

3^{\frac {5-1} 2} + 1 = 3^2 + 1 = 10

는 5로 나누어떨어진다. 그러므로 5는 소수이다.^[9]

p = 13

일 때,

5^{\frac {13-1} 2} + 1 = 5^6 + 1 = 15626

는 13으로 나누어떨어진다. 그러므로 13은 소수이다.^[9]

p = 9

일 때, 소수가 아니므로 9로 나누어떨어지는 수

a^4 + 1

의

a

는 존재하지 않는다.^[9]

가장 작은 프로트 소수부터 차례대로 나열하면 3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153 등이다.^[3]

2020년을 기준으로 지금까지 알려진 프로트 소수 중에서 가장 큰 수는 2016년에 발견된 10223 × 2^31172165 + 1이다. 이 소수는 9,383,761자리이고, 현재까지 발견된 소수들 중 메르센 소수가 아닌 소수 중에서는 가장 큰 소수이다.^[9]^[3] 이 소수는 2016년 11월 6일에 발표된 PrimeGrid 자원 봉사 컴퓨팅 프로젝트의 Peter Szabolcs에 의해 발견되었다.^[4] 2024년 1월 기준으로 알려진 11번째로 큰 소수이며, 2023년에 그 기록이 깨지기 전까지는 가장 큰 비-메르센 소수였다.^[5] 또한 가장 큰 콜버트 수이기도 하다. 두 번째로 큰 알려진 프로트 소수는 PrimeGrid에 의해 발견된

202705\cdot 2^{21320516} + 1

이다.^[6]

4. 프로트 소수 목록

가장 작은 프로트 소수부터 차례대로 나열하면 다음과 같다.

:3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153

2020년을 기준으로 지금까지 알려진 프로트 소수 중에서 가장 큰 수는 2016년에 발견된 10223 × 2^31172165 + 1이다.^[9] 이 소수는 9,383,761자리이고, 현재까지 발견된 소수들 중 메르센 소수가 아닌 소수 중에서는 가장 큰 소수이다.^[9]^[3] 이 소수는 2016년 11월 6일에 발표된 PrimeGrid 자원 봉사 컴퓨팅 프로젝트의 Peter Szabolcs에 의해 발견되었다.^[4] 2024년 1월 기준으로 알려진 11번째로 큰 소수이며, 2023년에 그 기록이 깨지기 전까지는 가장 큰 비-메르센 소수였다.^[5]

5. 거대 프로트 소수

가장 작은 프로트 소수부터 차례대로 나열하면 다음과 같다.

:3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153

2020년을 기준으로 지금까지 알려진 프로트 소수 중에서 가장 큰 수는 2016년에 발견된 10223 × 2^31172165 + 1이다. 이 소수는 9,383,761자리이고, 현재까지 발견된 소수들 중 메르센 소수가 아닌 소수 중에서는 가장 큰 소수이다.^[9] 이 소수는 2016년 11월 6일에 발표된 PrimeGrid 자원 봉사 컴퓨팅 프로젝트의 Peter Szabolcs에 의해 발견되었다.^[3]^[4] 2024년 1월 기준으로 알려진 11번째로 큰 소수이며, 2023년에 그 기록이 깨지기 전까지는 가장 큰 비-메르센 소수였다.^[5] 또한 가장 큰 콜버트 수이기도 하다. 두 번째로 큰 알려진 프로트 소수는 PrimeGrid에 의해 발견된 202705 × 2^21320516 + 1이다.^[6]

참조

_[1] 서적 The New Book of Prime Number Records https://archive.org/[...] Springer
_[2] 서적 Prime Numbers and Computer Methods for Factorization https://archive.org/[...] Birkhauser
_[3] 웹사이트 The Top Twenty: Proth http://primes.utm.ed[...]
_[4] 웹사이트 World Record Colbert Number discovered! http://www.primegrid[...]
_[5] 웹사이트 The Top Twenty: Largest Known Primes http://primes.utm.ed[...]
_[6] 웹사이트 The Top Twenty: Largest Known Primes http://primes.utm.ed[...]
_[7] 간행물 Theoremes sur les nombres premiers
_[8] 서적 History of the Theory of Numbers Chelsea
_[9] 웹사이트 최대 소수 기록 http://primes.utm.ed[...]

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