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행렬의 합동

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목차

1. 개요

행렬의 합동은 체 K 위의 두 n × n 행렬 A, B에 대해 특정한 가역 행렬 P가 존재하여 PᵀAP = B를 만족하는 관계를 의미한다. 대칭 행렬은 대각 행렬과 합동이며, 복소수 대칭 행렬은 1과 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 합동이다. 실수 대칭 행렬은 1, -1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 합동이며, 1과 -1의 개수는 합동의 불변량이다. 표수가 2가 아닌 체 위의 반대칭 행렬은 몇 개의 2x2 행렬과 영행렬의 직합과 합동이다.

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행렬의 합동
정의
정의행렬 합동은 선형대수학에서 두 행렬 사이의 관계를 나타내는 개념이다.
형식적 정의
정의체 F 위의 n×n 행렬 A, B에 대해, 가역 행렬 P가 존재하여 B = PAPᵀ를 만족하면 A와 B는 합동이다. 여기서 Pᵀ는 P의 전치 행렬이다.
성질
성질합동은 행렬의 동치 관계이다. 즉, 반사성, 대칭성, 추이성을 만족한다.
A와 B가 합동이면, A의 랭크와 B의 랭크는 같다.
A와 B가 합동이면, A가 대칭 행렬일 때 B도 대칭 행렬이다.
복소수 행렬의 경우, 두 행렬이 합동일 필요충분조건은 그 랭크가 같은 것이다.
실수 대칭 행렬의 경우, 두 행렬이 합동일 필요충분조건은 그 양의 고윳값의 개수와 음의 고윳값의 개수가 각각 같은 것이다 (실베스터의 관성 법칙).
응용
응용이차 형식의 표현: 행렬 합동은 이차 형식을 간단하게 표현하는 데 사용될 수 있다.
고윳값 문제: 행렬 합동은 고윳값 문제를 해결하는 데 도움을 줄 수 있다.
관련 개념
관련 개념행렬 동치 (Matrix equivalence)
행렬 상사 (Matrix similarity)
합동 변환 (Congruence transformation)
참고 문헌
참고 문헌Matrix congruence - Wikipedia
Halmos, Paul R. Finite dimensional vector spaces. Van Nostrand, 1958, p. 134.

2. 정의

체 K 위의 두 n\times n 행렬 A,B\in\operatorname{Mat}(n;K)에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 P\in\operatorname{GL}(n;K)가 존재한다면, A와 B는 서로 합동이라고 한다.

:P^\top AP=B

여기서 (-)^\top는 전치 행렬을 의미한다. 행렬의 합동 관계는 동치 관계를 만족시킨다.

실베스터의 관성 법칙에 따르면, 실수 성분을 가지는 두 대칭 행렬이 서로 합동일 경우, 이 두 행렬은 양수, 음수, 0인 고유값의 개수가 각각 동일하다. 다시 말해, 각 부호(양수, 음수, 0)에 해당하는 고유값의 개수는 관련된 이차 형식에서 변하지 않는 불변량이다.[2]

3. 성질

행렬의 합동은 동치 관계를 이룬다.

4. 예

행렬의 합동 변환을 통해 주어진 행렬을 더 간단한 형태로 바꾸는 예를 살펴볼 수 있다. 예를 들어, 대칭 행렬은 특정 조건을 만족하는 대각 행렬과 합동이며, 반대칭 행렬은 특정 형태의 블록 대각 행렬과 합동임을 보일 수 있다. 이러한 변환은 행렬의 성질을 파악하는 데 유용하게 사용된다. 구체적인 내용은 아래 섹션에서 자세히 다룬다.

4. 1. 대칭 행렬

표수가 2가 아닌 체 K의 원소를 성분으로 가지는 대칭 행렬 A\in\operatorname{Mat}(n;K)는 항상 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 P\in\operatorname{GL}(n;K)가 존재한다.

:P^\top AP=\begin{pmatrix}

d_1\\

&\ddots\\

&&d_r\\

&&&0\\

&&&&\ddots\\

&&&&&0\end{pmatrix}\qquad(d_i\ne 0,\;0\le r\le n)

여기서 P^\top는 행렬 P의 전치 행렬을 나타낸다. 이 대각 행렬에서 0이 아닌 대각 원소의 개수 r은 원래 행렬 A의 계수와 같다.

이러한 성질은 수학적 귀납법을 이용하거나, 쌍선형 형식 또는 이차 형식의 관점에서 다양한 방법으로 증명될 수 있다. 증명 과정에서는 행렬의 기본 변환이나 벡터 공간의 기저 변환 등을 활용하여 주어진 대칭 행렬과 합동인 대각 행렬을 구체적으로 찾는 방법을 보여준다.

4. 1. 1. 복소수 대칭 행렬

복소수를 성분으로 가지는 대칭 행렬 A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb C)는 대각 원소가 1 또는 0으로만 이루어진 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 P\in\operatorname{GL}(n;\mathbb C)가 항상 존재한다.

:P^\top AP=\begin{pmatrix}

\left.\begin{matrix}1\\&\ddots\\&&1\end{matrix}\right\}{\scriptstyle r}\\

&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!

\begin{matrix}0\\&\ddots\\&&0\end{matrix}

\end{pmatrix}\qquad(0\le r\le n)

여기서 P^\top는 행렬 P의 전치 행렬을 나타낸다. 위 식에서 대각 원소 중 1의 개수 r은 합동 변환에 대해 변하지 않는 완전한 불변량이다. 즉, 어떤 가역 행렬 P를 선택하든 P^\top AP의 대각 원소에 나타나는 1의 개수는 항상 일정하다.

4. 1. 2. 실수 대칭 행렬

실수 성분을 가지는 대칭 행렬 A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)는 항상 특정한 형태의 대각 행렬과 합동이다. 이는 어떤 가역 행렬 P\in\operatorname{GL}(n;\mathbb R)가 존재하여, P^\top AP를 계산했을 때 다음과 같은 대각 행렬이 된다는 의미이다.

:P^\top AP=\begin{pmatrix}

\left.\begin{matrix}1\\&\ddots\\&&1\end{matrix}\right\}{\scriptstyle p}\\

&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!

\left.\begin{matrix}-1\\&\ddots\\&&-1\end{matrix}\right\}{\scriptstyle q}\\

&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!

\begin{matrix}0\\&\ddots\\&&0\end{matrix}

\end{pmatrix}\qquad(0\le p,q\le p+q\le n)

이때, 대각선 상에 나타나는 1의 개수 p와 -1의 개수 q는 원래 행렬 A가 어떤 행렬이든, 그리고 어떤 가역 행렬 P를 사용하든 변하지 않는 고유한 값이다. 즉, p와 q는 행렬 합동 변환에 대한 완전한 불변량이다. 이 중요한 성질을 실베스터 관성 법칙이라고 부른다.

실베스터 관성 법칙에 따르면, 서로 합동인 두 실수 대칭 행렬은 양수 고유값, 음수 고유값, 그리고 0인 고유값의 개수가 각각 동일하다. 다시 말해, 각 부호(양수, 음수, 0)를 가지는 고유값의 개수는 해당 행렬과 관련된 이차 형식의 불변량으로 작용한다.[2]

4. 2. 반대칭 행렬

표수가 2가 아닌 체 K 위의 반대칭 행렬 A\in\operatorname{Mat}(n;K)는 몇 개의 2\times 2 행렬 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}과 하나의 영행렬의 직합과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 P\in\operatorname{GL}(n;K)가 존재한다.[3]

:P^\top AP=\begin{pmatrix}

\left.\begin{matrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\\&\ddots\\&&\ddots\\&&&\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\end{matrix}\right\}{\scriptstyle 2k}\\

&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!

\begin{matrix}0\\&\ddots\\&&0\end{matrix}

\end{pmatrix}\qquad(0\le 2k\le n)

참조

[1] 서적 Finite dimensional vector spaces Van Nostrand
[2] 논문 A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares http://www.maths.ed.[...] 2007-12-30
[3] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1971


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