행렬의 합동

1. 개요

행렬의 합동은 체 K 위의 두 n × n 행렬 A, B에 대해 특정한 가역 행렬 P가 존재하여 PᵀAP = B를 만족하는 관계를 의미한다. 대칭 행렬은 대각 행렬과 합동이며, 복소수 대칭 행렬은 1과 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 합동이다. 실수 대칭 행렬은 1, -1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 합동이며, 1과 -1의 개수는 합동의 불변량이다. 표수가 2가 아닌 체 위의 반대칭 행렬은 몇 개의 2x2 행렬과 영행렬의 직합과 합동이다.

2. 정의

체 $K$ 위의 두 $n\backslash times\; n$ 행렬 $A,B\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;K)$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 $P\backslash in\backslash operatorname\{GL\}(n;K)$가 존재한다면, $A$와 $B$는 서로 합동이라고 한다.
:$P^\backslash top\; AP=B$
여기서 $(-)^\backslash top$는 전치 행렬을 의미한다. 행렬의 합동 관계는 동치 관계를 만족시킨다.

실베스터의 관성 법칙에 따르면, 실수 성분을 가지는 두 대칭 행렬이 서로 합동일 경우, 이 두 행렬은 양수, 음수, 0인 고유값의 개수가 각각 동일하다. 다시 말해, 각 부호(양수, 음수, 0)에 해당하는 고유값의 개수는 관련된 이차 형식에서 변하지 않는 불변량이다.

3. 성질

행렬의 합동은 동치 관계를 이룬다.

4. 예

행렬의 합동 변환을 통해 주어진 행렬을 더 간단한 형태로 바꾸는 예를 살펴볼 수 있다. 예를 들어, 대칭 행렬은 특정 조건을 만족하는 대각 행렬과 합동이며, 반대칭 행렬은 특정 형태의 블록 대각 행렬과 합동임을 보일 수 있다. 이러한 변환은 행렬의 성질을 파악하는 데 유용하게 사용된다. 구체적인 내용은 아래 섹션에서 자세히 다룬다.

4.1. 대칭 행렬

표수가 2가 아닌 체 $K$의 원소를 성분으로 가지는 대칭 행렬 $A\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;K)$는 항상 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 $P\backslash in\backslash operatorname\{GL\}(n;K)$가 존재한다.
:$P^\backslash top\; AP=\backslash begin\{pmatrix\}$
d_1\\
&\ddots\\
&&d_r\\
&&&0\\
&&&&\ddots\\
&&&&&0\end{pmatrix}\qquad(d_i\ne 0,\;0\le r\le n)
여기서 $P^\backslash top$는 행렬 $P$의 전치 행렬을 나타낸다. 이 대각 행렬에서 0이 아닌 대각 원소의 개수 $r$은 원래 행렬 $A$의 계수와 같다.

이러한 성질은 수학적 귀납법을 이용하거나, 쌍선형 형식 또는 이차 형식의 관점에서 다양한 방법으로 증명될 수 있다. 증명 과정에서는 행렬의 기본 변환이나 벡터 공간의 기저 변환 등을 활용하여 주어진 대칭 행렬과 합동인 대각 행렬을 구체적으로 찾는 방법을 보여준다.

4.1.1. 복소수 대칭 행렬

복소수를 성분으로 가지는 대칭 행렬 $A\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; C)$는 대각 원소가 1 또는 0으로만 이루어진 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 $P\backslash in\backslash operatorname\{GL\}(n;\backslash mathbb\; C)$가 항상 존재한다.
:$P^\backslash top\; AP=\backslash begin\{pmatrix\}$
\left.\begin{matrix}1\\&\ddots\\&&1\end{matrix}\right\}{\scriptstyle r}\\
&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\begin{matrix}0\\&\ddots\\&&0\end{matrix}
\end{pmatrix}\qquad(0\le r\le n)
여기서 $P^\backslash top$는 행렬 P의 전치 행렬을 나타낸다. 위 식에서 대각 원소 중 1의 개수 $r$은 합동 변환에 대해 변하지 않는 완전한 불변량이다. 즉, 어떤 가역 행렬 P를 선택하든 $P^\backslash top\; AP$의 대각 원소에 나타나는 1의 개수는 항상 일정하다.

4.1.2. 실수 대칭 행렬

실수 성분을 가지는 대칭 행렬 $A\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; R)$는 항상 특정한 형태의 대각 행렬과 합동이다. 이는 어떤 가역 행렬 $P\backslash in\backslash operatorname\{GL\}(n;\backslash mathbb\; R)$가 존재하여, $P^\backslash top\; AP$를 계산했을 때 다음과 같은 대각 행렬이 된다는 의미이다.

:$P^\backslash top\; AP=\backslash begin\{pmatrix\}$
\left.\begin{matrix}1\\&\ddots\\&&1\end{matrix}\right\}{\scriptstyle p}\\
&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\left.\begin{matrix}-1\\&\ddots\\&&-1\end{matrix}\right\}{\scriptstyle q}\\
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\begin{matrix}0\\&\ddots\\&&0\end{matrix}
\end{pmatrix}\qquad(0\le p,q\le p+q\le n)

이때, 대각선 상에 나타나는 1의 개수 $p$와 -1의 개수 $q$는 원래 행렬 $A$가 어떤 행렬이든, 그리고 어떤 가역 행렬 $P$를 사용하든 변하지 않는 고유한 값이다. 즉, $p$와 $q$는 행렬 합동 변환에 대한 완전한 불변량이다. 이 중요한 성질을 실베스터 관성 법칙이라고 부른다.

실베스터 관성 법칙에 따르면, 서로 합동인 두 실수 대칭 행렬은 양수 고유값, 음수 고유값, 그리고 0인 고유값의 개수가 각각 동일하다. 다시 말해, 각 부호(양수, 음수, 0)를 가지는 고유값의 개수는 해당 행렬과 관련된 이차 형식의 불변량으로 작용한다.

4.2. 반대칭 행렬

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 반대칭 행렬 $A\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;K)$는 몇 개의 $2\backslash times\; 2$ 행렬 과 하나의 영행렬의 직합과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 $P\backslash in\backslash operatorname\{GL\}(n;K)$가 존재한다.
:$P^\backslash top\; AP=\backslash begin\{pmatrix\}$
\left.\begin{matrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\\&\ddots\\&&\ddots\\&&&\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\end{matrix}\right\}{\scriptstyle 2k}\\
&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\begin{matrix}0\\&\ddots\\&&0\end{matrix}
\end{pmatrix}\qquad(0\le 2k\le n)