위상군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 힐베르트의 다섯 번째 문제
6. 표현론
7. 호모토피 이론
8. 일반화
참조

1. 개요

위상군은 군과 위상 공간의 구조를 동시에 갖는 수학적 대상이다. 군의 연산과 역원 사상이 연속 함수일 때 해당 군을 위상군이라 정의하며, 곱위상을 사용하여 곱셈 사상의 연속성을 정의한다. 위상군은 범주론적으로 위상 공간 범주에서의 군 대상이며, 위상군의 준동형은 연속인 군 준동형을 의미하고, 동형은 군 동형이면서 위상 공간 사이의 동형 사상이기도 하다. 위상군은 하르 측도, 폰트랴긴 쌍대성 등의 성질을 가지며, 위상은 병진 불변성을 나타낸다. 위상군은 균등 공간으로 간주될 수 있으며, 여러 가지 정리와 성질들을 통해 그 구조를 파악할 수 있다. 위상군의 부분군과 몫군은 위상군이 되며, 힐베르트의 다섯 번째 문제는 위상군의 분류에 영향을 미쳤다. 위상군은 표현론과 호모토피 이론에서 중요한 역할을 하며, 반위상군, 준위상군, 파라위상군 등으로 일반화될 수 있다.

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하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군에서 정의되고 군 연산에 불변하는 측도로, 하르 정리에 의해 곱셈 상수를 제외하고 유일하게 존재하며, 르베그 측도의 일반화로서 추상 조화 해석과 수리 통계학 등에 활용된다.
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위상군

2. 정의

군이자 위상 공간인 ''G''에 대해, 다음과 같은 군 연산과 역원 사상이 모두 연속 함수이면 ''G''를 '''위상군'''이라고 한다.^[1]

군 연산(곱셈):
역원 사상:

여기서 는 곱위상을 갖는 위상 공간으로 간주한다.

범주론적으로 위상군은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 군 대상으로 정의할 수 있다. 이는 일반적인 군이 집합과 함수의 범주의 군 대상인 것과 마찬가지이다.

위상군과 연속 군 준동형들의 범주는 라고 한다.

위상군 에서, 곱셈 사상이 연속이라는 것은 모든 와 의 임의의 근방 에 대해, 의 근방 와 의 근방 가 존재하여 가 성립하는 것을 의미한다. (여기서 ).

역원 사상이 연속이라는 것은 모든 와 의 임의의 근방 에 대해, 의 근방 가 존재하여 가 성립하는 것을 의미한다. (여기서 )

위상이 군 연산과 호환되는지 확인하기 위해서는 다음 사상이 연속임을 확인하는 것으로 충분하다.

:

; 덧셈 표기

덧셈 군의 경우, 다음 두 연산이 연속이면 위상군이다.

:

:

; 하우스도르프성

많은 저자들이^[2] 위상군의 위상이 하우스도르프 공간이어야 한다는 조건을 추가하기도 한다.

; 범주론적 정의

범주론의 언어로, 위상군은 위상 공간 범주에서 군 대상으로 정의될 수 있다.

; 위상군 준동형과 동형

위상군 , 사이의 사상 가 '''위상군 준동형'''이라는 것은, 그것이 연속인 군 준동형일 때를 말한다. 위상군의 '''동형'''은, 군 동형이면서, 또한 밑을 이루는 위상 공간 사이의 동형 사상이기도 하다.

위상군과 위상군 준동형은 범주를 이룬다.

3. 성질

국소 콤팩트 하우스도르프 위상군의 경우, 하르 측도라는 측도가 (규격화를 무시하면) 표준적으로 존재한다.^[1] 국소 콤팩트 아벨 위상군의 경우, 폰트랴긴 쌍대성이 존재한다.

위상군에서 군 연산은 다음과 같다.

:,

역원 사상은 다음과 같다.

:, ^[1]

여기서 는 곱 위상을 갖는 위상 공간으로 간주된다.

위의 두 연산이 연속 함수이면, 해당 위상은 '군 연산과 호환된다'고 하며, '군 위상'이라고 한다.

곱셈 사상의 연속성은 모든 와 의 인 모든 근방에 대해, 의 와 의 인 근방이 존재하여 가 성립할 때 (여기서 }) 연속이다.

역원 사상의 연속성은 모든 와 의 인 모든 근방에 대해, 의 인 근방이 존재하여 가 성립할 때 (여기서 }) 연속이다.

위상이 군 연산과 호환됨을 보이려면, 다음 사상이 연속임을 확인하는 것으로 충분하다.

:,

이는 모든 와 의 인 모든 근방에 대해, 의 와 의 인 근방이 존재하여 가 성립함을 의미한다.

덧셈 군에서는 다음 두 연산이 연속이면 된다.

:,

:, .

많은 저자들이^[2] 에 대한 위상이 하우스도르프 공간이어야 한다고 요구한다. 위상군이 반드시 하우스도르프일 필요는 없지만, 표준 몫을 취함으로써 표준적으로 하우스도르프 위상군과 연관될 수 있다.

범주론에서 위상군은 위상 공간 범주에서 군 대상으로 정의될 수 있다. 위상군 준동형은 연속 군 준동형 를 의미하며, 위상군은 준동형과 함께 범주를 형성한다. 위상군 간의 군 준동형은 어떤 점에서도 연속일 경우에만 연속이다.

위상군의 동형은 기본 위상 공간의 동형 사상이기도 한 군 동형 사상이다. 모든 비 이산 위상군은 이산 위상으로 고려될 때도 위상군이지만, 기저 군은 동일하지만 위상군으로는 동형 사상이 존재하지 않는다.

모든 위상군의 위상은 병진 불변이다. 임의의 $a \in G$ 에 대해, 이 원소에 의한 왼쪽 또는 오른쪽 곱셈이 의 동형사상을 생성한다. 임의의 및 에 대해, 부분 집합 가 열린 집합 (또는 닫힌 집합)인 것은, 그 왼쪽 이동 및 오른쪽 이동 에 대해서도 마찬가지이다.

만약 이 위상군 의 항등원에서의 근방 기저라면, 모든 에 대해,

$x \mathcal{N} := \{x N : N \in \mathcal{N}\}$

는 에서 의 근방 기저이다. 따라서 위상군의 모든 군 위상은 항등원에서의 어떤 근방 기저에 의해 완전히 결정된다.

만약 가 의 임의의 부분 집합이고 가 의 열린 부분 집합이라면, 는 의 열린 부분 집합이다. 위상군 의 역 연산 은 에서 자신으로의 동형 사상이다.

집합 는 일 때, 대칭이라고 한다. 여기서 이다. 가환 위상군에서 모든 대칭 집합의 폐포는 대칭이다. 만약 가 가환 위상군 의 임의의 부분 집합이라면, , , 그리고 집합들도 대칭이다.

가환 위상군 에서 항등원의 임의의 근방 에 대해, 을 만족하는 항등원의 대칭 근방 이 존재한다. 여기서 은 필연적으로 항등원의 대칭 근방이다. 따라서 모든 위상군은 항등원에서 대칭 집합으로 구성된 근방 기저를 갖는다.

만약 가 국소 콤팩트 가환군이라면, 항등원의 의 임의의 근방 에 대해, 을 만족하는 항등원의 대칭 상대 콤팩트 근방 이 존재한다(여기서 도 대칭이다). 모든 위상군은 '왼쪽 균등 구조'와 '오른쪽 균등 구조'로 균등 공간으로 볼 수 있다. 만약 가 가환군이 아니라면, 이 둘은 일치하지 않을 수 있다. 균등 구조를 통해 위상군에 대한 완비성, 균등 연속성, 그리고 균등 수렴과 같은 개념을 이야기할 수 있다.

만약 가 가환 위상군 의 열린 부분 집합이고 가 콤팩트 집합 를 포함한다면, 항등원의 근방 이 존재하여 가 성립한다.

균등 공간으로서, 모든 가환 위상군은 완전 정규 공간이다. 결과적으로, 항등원 1을 갖는 곱셈 위상군 에 대해 다음은 동치이다.

는 T₀-공간 (콜모고로프)이다.

는 T₂-공간 (하우스도르프)이다.

는 T_3½ (티호노프)이다.

는 에서 닫혀 있다.

, 여기서 는 의 항등원의 근방 기저이다.

어떤 에 대해 이면, 를 만족하는 항등원의 근방 가 에 존재한다.

가환 위상군의 부분군은 고립점을 가질 때에만 이산적이다. 만약 가 하우스도르프가 아니라면, 항등원의 폐포인 에 대한 몫군 으로 이동하여 하우스도르프 군을 얻을 수 있다. 이는 의 콜모고로프 몫을 취하는 것과 동등하다.

위상군 가 주어졌다고 하자. 모든 위상 공간과 마찬가지로, 에 대한 거리 가 존재하여 에 동일한 위상을 유도할 경우, 는 거리화 가능하다고 말한다.

'''비르크호프-카쿠타니 정리'''는 위상군 에 대한 다음 조건들이 동치임을 나타낸다.

1. 는 (하우스도르프 공간이고) 제1 가산 공간이다.

2. 는 거리화 가능하다 (위상 공간으로서).

3. 에 주어진 위상을 유도하는 좌불변 거리가 있다.

4. 에 주어진 위상을 유도하는 우불변 거리가 있다.

또한, 모든 위상군 에 대해 다음은 동치이다.

1. 는 제2 가산 공간이고 국소 콤팩트 (하우스도르프) 공간이다.

2. 는 폴란드 공간이고 국소 콤팩트 (하우스도르프) 공간이다.

3. 는 적절하게 거리화 가능하다 (위상 공간으로서).

4. 에 주어진 위상을 유도하는 좌불변, 적절한 거리가 있다.

모든 가환 위상군에서, 콤팩트 집합 와 닫힌 집합 의 곱(군이 곱셈을 가정할 경우) 는 닫힌 집합이다. 또한, 의 임의의 부분 집합 과 에 대해, 가 성립한다.

만약 가 가환 위상군 의 부분군이고, 이 항등원의 에서의 근방이며, 이 닫혀 있다면, 는 닫혀 있다. 하우스도르프 가환 위상군의 모든 이산 부분군은 닫혀 있다.

위상군 이론의 동형 정리는 일반적인 군론에서 항상 참이 아니다. 이는 전단사 준동형 사상이 위상군의 동형 사상이 될 필요가 없기 때문이다. 위상군에 대한 제1 동형 정리의 버전은 다음과 같다. 만약 가 연속 준동형 사상이라면, 에서 로의 유도된 준동형 사상은 사상 가 이미지 위에 열려 있을 경우에만 동형 사상이다. 그러나 제3 동형 정리는 위상군에 대해 거의 그대로 참이며, 쉽게 확인할 수 있다.

3. 1. 군론적 성질

위상군

G

의 임의의 부분군은 부분 공간 위상에 대하여 위상군을 이룬다. 위상군

G

의 임의의 정규 부분군

N\vartriangleleft G

에 대한 몫군

G/N

은 몫위상을 주면 위상군을 이룬다. 닫힌 정규 부분군의 경우, 몫군은 하우스도르프 공간이다. 열린 정규 부분군의 경우, 몫군은 이산 공간이다.

위상군

G

에서, 항등원을 포함하는 연결 성분

G_0

는

G

의 닫힌 정규 부분군을 이루며, 몫군

G/G_0

은 완전 분리 공간이다.

위상군

G

의 부분군

H\le G

에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.

열린닫힌집합이다.
내부가 공집합이다.

모든 열린 부분군은 닫힌 부분군이다. 유한 지표 부분군의 경우, 열린 부분군과 닫힌 부분군인 것은 서로 동치이다. 콤팩트 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 동치이다.

3. 2. 위상수학적 성질

모든 위상군은 완비 정칙 공간이다. 따라서, 위상군에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

콜모고로프 공간이다.
T1 공간이다.
하우스도르프 공간이다.
티호노프 공간이다.
자명한 부분군 $\{1\}$ 이 닫힌집합이다.

위상군의 기본군은 항상 아벨 군이다. 위상군의 0차 호모토피 군

\pi_0(G)

는 (일반적인 위상 공간의 경우와 달리) 실제로 군을 이루며, 이는 아벨 군이지 않을 수 있다.

'''버코프-가쿠타니 정리'''(Birkhoff–Kakutani theorem^영어)에 따르면, 위상군

G

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

제1 가산 공간이다. 즉, $1_G$ 가 가산 국소 기저를 갖는다.
유사 거리화 가능 공간이다.
(왼쪽 불변 유사 거리화 가능성) $G$ 의 위상은 어떤 유사 거리 함수 $d\colon G\times G\to[0,\infty)$ 로부터 유도되며, 이는 $\forall g,h,k\in G\colon d(kg,kh)=d(g,h)$ 를 만족한다.
(오른쪽 불변 유사 거리화 가능성) $G$ 의 위상은 어떤 유사 거리 함수 $d\colon G\times G\to[0,\infty)$ 로부터 유도되며, 이는 $\forall g,h,k\in G\colon d(gk,hk)=d(g,h)$ 를 만족한다.

'''비르크호프-가쿠타니 정리''' (수학자 가렛 비르크호프와 가쿠타니 시즈오의 이름을 딴)는 위상군

G

에 대한 다음 세 조건이 동치임을 나타낸다.

1.

G

는 (하우스도르프 공간이고) 제1 가산 공간이다 (동치: 항등원 1이

G

에서 닫혀 있고, 1에 대한

G

에서 가산 근방 기저가 있다).

2.

G

는 거리화 가능하다 (위상 공간으로서).

3.

G

에 주어진 위상을 유도하는 좌불변 거리가 있다.

4.

G

에 주어진 위상을 유도하는 우불변 거리가 있다.

또한, 모든 위상군

G

에 대해 다음은 동치이다.

1.

G

는 제2 가산 공간이고 국소 콤팩트 (하우스도르프) 공간이다.

2.

G

는 폴란드 공간이고 국소 콤팩트 (하우스도르프) 공간이다.

3.

G

는 적절하게 거리화 가능하다 (위상 공간으로서).

4.

G

에 주어진 위상을 유도하는 좌불변, 적절한 거리가 있다.

균등 공간으로서, 모든 가환 위상군은 완전 정규 공간이다. 결과적으로, 항등원 1을 갖는 곱셈 위상군

G

에 대해 다음은 동치이다.

$G$ 는 T₀-공간 (콜모고로프)이다.

$G$ 는 T₂-공간 (하우스도르프)이다.

$G$ 는 T_3½ (티호노프)이다.

$\{ 1 \}$ 는 $G$ 에서 닫혀 있다.

$\{ 1 \} := \bigcap_{N \in \mathcal{N}} N$ , 여기서 $\mathcal{N}$ 는 $G$ 의 항등원의 근방 기저이다.

어떤 $x \in G$ 에 대해 $x \neq 1$ 이면, $x \not\in U$ 를 만족하는 항등원의 근방 $U$ 가 $G$ 에 존재한다.

위상군은 모든 위상 공간 중에서 특히 호모토피 유형 측면에서 특별하다. 한 가지 기본적인 점은 위상군

G

가 분류 공간

BG

(온화한 가설 하에서 위상 공간에 대한 주

G

-다발을 분류)이라는 경로 연결된 위상 공간을 결정한다는 것이다. 군

G

는 호모토피 범주에서

BG

의 고리 공간과 동형이다.

예를 들어, 위상군

G

의 기본군은 아벨 군이다. 또한, 임의의 체 ''k''에 대해 코호몰로지 환

H^*(G,k)

는 호프 대수의 구조를 갖는다.

3. 3. 균등 공간 구조

위상군은 두 가지 방식으로 균등 공간으로 볼 수 있다. '왼쪽 균등 구조'는 모든 왼쪽 곱셈을 균등 연속 사상으로 바꾸는 반면, '오른쪽 균등 구조'는 모든 오른쪽 곱셈을 균등 연속 사상으로 바꾼다.^[1] 만약

G

가 가환군이 아니라면, 이 둘은 일치하지 않을 수 있다. 균등 구조를 통해 위상군에 대한 완비성, 균등 연속성, 그리고 균등 수렴과 같은 개념을 이야기할 수 있다.

이 문서에서는 앞으로 고려하는 모든 위상군이 항등원

0

을 갖는 가환 가법 위상군이라고 가정한다.

X

의 '''대각선'''은 다음과 같은 집합이다.

\Delta_X := \{(x, x) : x \in X\}

그리고

0

을 포함하는 모든

N \subseteq X

에 대해, '''정규 근방''' 또는 '''

N

주변의 정규 근방'''은 다음과 같은 집합이다.

\Delta_X(N) := \{(x, y) \in X \times X : x - y \in N\} = \bigcup_{y \in X} [(y + N) \times \{y\}] = \Delta_X + (N \times \{0\})

위상군

(X, \tau)

에 대해,

X

의 '''정규 균등 구조'''는 모든 정규 근방

\Delta(N)

의 집합에 의해 유도된 균등 구조이며, 여기서

N

은

X

에서

0

의 모든 근방을 나타낸다.

즉, 이는

X \times X

에 대한 다음 전필터의 상위 닫힘이다.

\left\{\Delta(N) : N \text{는 } X \text{에서 } 0 \text{의 근방이다}\right\}

여기서 이 전필터는 정규 균등 구조의 근방 기저라고 알려진 것을 형성한다.

가환 가법군

X

에 대해, 근방의 기본 시스템

\mathcal{B}

은 모든

B \in \mathcal{B}

에 대해, 모든

x, y, z \in X

에 대해

(x, y) \in B

인 경우에만

(x + z, y + z) \in B

이면 '''평행 이동 불변 균등 구조'''라고 한다. 균등 구조

\mathcal{B}

는 평행 이동 불변인 근방 기저를 갖는 경우 '''평행 이동 불변'''이라고 한다.

모든 가환 위상군의 정규 균등 구조는 평행 이동 불변이다.
원점의 모든 근방의 필터 대신 원점의 근방 기저를 사용해도 동일한 정규 균등 구조가 생성된다.
모든 근방 $\Delta_X(N)$ 은 대각선 $\Delta_X := \Delta_X(\{0\}) = \{(x, x) : x \in X\}$ 을 포함한다. 왜냐하면 $0 \in N$ 이기 때문이다.
만약 $N$ 이 대칭이면 (즉, $-N = N$ ), $\Delta_X(N)$ 은 대칭이다 (즉, $\Delta_X(N)^{\operatorname{op}} = \Delta_X(N)$ ) 그리고

\Delta_X(N) \circ \Delta_X(N) = \{(x, z) : \text{ 다음이 존재한다 } y \in X \text{ such that } x, z \in y + N\} = \bigcup_{y \in X} [(y + N) \times (y + N)] = \Delta_X + (N \times N).

정규 균등 구조에 의해 $X$ 에 유도된 위상은 $X$ 가 시작한 위상과 동일하다 (즉, $\tau$ 이다).

균등 공간의 일반 이론은 "코시 사전 필터"와 "코시 넷"에 대한 자체 정의를 가지고 있다.

X

에 대한 정규 균등성은 아래에 설명된 정의로 축소된다.

x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i \in I}

가

X

의 넷이고

y_{\bull} = \left(y_j\right)_{j \in J}

가

Y

의 넷이라고 가정한다.

I \times J

를

(i, j) \leq \left(i_2, j_2\right)

가

i \leq i_2

이고

j \leq j_2.

인 경우에만 정의하여 방향 집합으로 만든다. 그러면

x_{\bull} \times y_{\bull}: = \left(x_i, y_j\right)_{(i, j) \in I \times J}

는 '''곱 넷'''을 나타낸다. 만약

X = Y

라면 이 넷의 이미지에 덧셈 맵

X \times X \to X

을 적용한 것이 두 넷의 '''합'''을 나타낸다.

x_{\bull} + y_{\bull}: = \left(x_i + y_j\right)_{(i, j) \in I \times J}

그리고 비슷하게 '''차'''는 곱 넷에 뺄셈 맵을 적용한 이미지로 정의된다.

x_{\bull} - y_{\bull}: = \left(x_i - y_j\right)_{(i, j) \in I \times J}.

넷

x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i \in I}

이 가법 위상군

X

에 있을 때, 다음과 같은 조건을 만족하면 '''코시 넷'''이라고 부른다.

\left(x_i - x_j\right)_{(i, j) \in I \times I} \to 0 \text{ in } X

또는, 동등하게는

X

에서

0

의 모든 근방

N

에 대해, 어떤

i_0 \in I

가 존재하여

x_i - x_j \in N

가 모든 인덱스

i, j \geq i_0.

에 대해 성립한다.

'''코시 수열'''은 수열인 코시 넷이다.

만약

B

가 가법군

X

의 부분 집합이고

N

이

0

을 포함하는 집합이라면,

B

를 '''

N

-작은 집합''' 또는 '''

N

차 작은 집합'''이라고 부르며, 만약

B - B \subseteq N

를 만족하면 된다.

가법 위상군

X

에 대한 사전 필터

\mathcal{B}

는 다음의 동등한 조건을 만족하면 '''코시 사전 필터'''라고 부른다.

$\mathcal{B} - \mathcal{B} \to 0$ in $X$ , 여기서 $\mathcal{B} - \mathcal{B} := \{B - C : B, C \in \mathcal{B}\}$ 는 사전 필터이다.

$\{B - B : B \in \mathcal{B}\} \to 0$ in $X$ , 여기서 $\{B - B : B \in \mathcal{B}\}$ 는 $\mathcal{B} - \mathcal{B}$ 와 동등한 사전 필터이다.

$X$ 에서 $0$ 의 모든 근방 $N$ 에 대해, $\mathcal{B}$ 는 어떤 $N$ -작은 집합을 포함한다(즉, $B - B \subseteq N$ 을 만족하는 어떤 $B \in \mathcal{B}$ 가 존재한다).

그리고

X

가 가환인 경우 다음도 성립한다.

$X$ 에서 $0$ 의 모든 근방 $N$ 에 대해, 어떤 $B \in \mathcal{B}$ 와 어떤 $x \in X$ 가 존재하여 $B \subseteq x + N$ 이다.

위 조건은 $X$ 에서 $0$ 의 주어진 근방 기저에 대해 확인하는 것만으로 충분하다.

만약

\mathcal{B}

가 가환 위상군

X

에 대한 사전 필터이고

x \in X

라면,

\mathcal{B} \to x

in

X

는

x \in \operatorname{cl} \mathcal{B}

이고

\mathcal{B}

가 코시인 경우에만 성립한다.

모든

S \subseteq X

에 대해, 전필터

\mathcal{C}

'''''on

S

'''''는 반드시

\wp(S)

의 부분 집합이다. 즉,

\mathcal{C} \subseteq \wp(S)

이다.

위상군

X

의 부분 집합

S

는 다음의 동치 조건 중 하나를 만족하면 '''완비 부분 집합'''이라고 한다.

S 위의 모든 코시 전필터 \mathcal{C} \subseteq \wp(S)가 S의 적어도 한 점으로 수렴한다.
- 만약 $X$ 가 하우스도르프 공간이라면 $S$ 위의 모든 전필터는 $X$ 의 최대 한 점으로 수렴할 것이다. 그러나 $X$ 가 하우스도르프 공간이 아니라면 전필터는 $X$ 의 여러 점으로 수렴할 수 있다. 이는 망(net)에도 동일하게 적용된다.
$S$ 의 모든 코시 망이 $S$ 의 적어도 한 점으로 수렴한다.

$S$ 위의 모든 코시 필터 $\mathcal{C}$ 가 $S$ 의 적어도 한 점으로 수렴한다.

$S$ 는 $S$ 에 $X$ 의 표준 균등성에 의해 유도된 균등성을 부여했을 때, 완비 균등 공간이다. ("완비 균등 공간"의 점-집합 위상 정의에 따름)

부분 집합

S

는

S

의 모든 코시 수열 (또는 동등하게,

S

위의 모든 기본 코시 필터/전필터)이

S

의 적어도 한 점으로 수렴하면 '''수열적 완비 부분 집합'''이라고 한다.

중요하게도, ''' $S$ 외부로의 수렴이 허용된다''': 만약 $X$ 가 하우스도르프 공간이 아니고, $S$ 위의 모든 코시 전필터가 $S$ 의 어떤 점으로 수렴한다면, $S$ 위의 일부 또는 모든 코시 전필터가 ''또한'' 보충 집합 $X \setminus S$ 의 점(들)로 수렴하더라도 $S$ 는 완비가 된다. 간단히 말해서, $S$ 위의 이러한 코시 전필터가 ''오직'' $S$ 의 점으로만 수렴해야 한다는 요구 사항은 없다. 이는 $S$ 의 코시 망의 수렴에도 적용된다.
* 결과적으로, 가환 위상군 $X$ 가 하우스도르프 공간이 아니라면, 폐포 $\{0\}$ 의 모든 부분 집합, 예를 들어 $S \subseteq \operatorname{cl} \{0\}$ 는 완비이다 (분명히 컴팩트하고 모든 컴팩트 집합은 반드시 완비이기 때문이다). 따라서 특히, $S \neq \varnothing$ 인 경우 (예를 들어 $S$ 가 $S = \{0\}$ 와 같은 단일 집합인 경우), $S$ 는 $S$ 의 ''모든'' 코시 망 (및 $S$ 위의 모든 코시 전필터)이 $\operatorname{cl} \{0\}$ 의 ''모든'' 점으로 수렴하지만, $\operatorname{cl} \{0\}$ 안에 있는 점을 포함하여, $S$ 가 완비일 것이다.
* 이 예는 또한 하우스도르프 공간이 아닌 공간의 완비 부분 집합 (사실, 컴팩트 부분 집합조차도)이 닫혀 있지 않을 수 있음을 보여준다 (예를 들어, $\varnothing \neq S \subseteq \operatorname{cl} \{0\}$ 인 경우 $S$ 는 $S = \operatorname{cl} \{0\}$ 인 경우에만 닫혀 있다).

가환 위상군

X

는 다음의 동치 조건 중 하나를 만족하면 '''완비군'''이라고 한다.

$X$ 는 자체의 부분 집합으로서 완비하다.

$X$ 의 모든 코시 망이 $X$ 의 적어도 한 점으로 수렴한다.

X 안에 0의 근방이 존재하고, 이 근방이 X의 완비 부분 집합이기도 하다.
- 이는 모든 국소 컴팩트 가환 위상군이 완비임을 의미한다.
표준 균등성을 부여하면, X는 완비 균등 공간이 된다.
- 균등 공간의 일반 이론에서, 균등 공간은 $(X, \tau)$ 의 각 코시 필터가 $X$ 의 어떤 점으로 수렴하면 완비 균등 공간이라고 한다.

위상군은 자신이 수열적 완비 부분 집합이면 '''수열적 완비'''라고 한다.

'''근방 기저''':

C

가 가환 위상군

X

의 완비화이고,

X \subseteq C

이며,

\mathcal{N}

이

X

에서 원점의 근방 기저라고 가정한다. 그러면 집합의 모임

\left\{ \operatorname{cl}_C N : N \in \mathcal{N} \right\}

는

C

에서 원점의 근방 기저이다.

X

와

Y

가 위상군이고,

D \subseteq X

이고,

f : D \to Y

가 사상이라고 하자. 그러면

f : D \to Y

는 '''균등 연속'''이며,

X

에서 원점의 모든 근방

U

에 대해,

Y

에서 원점의 근방

V

가 존재하여 모든

x, y \in D

에 대해,

y - x \in U

이면

f(y) - f(x) \in V

이다.

3. 4. 부분군과 몫군

위상군

G

의 임의의 부분군은 부분 공간 위상에 대해 위상군을 이룬다. 위상군

G

의 임의의 정규 부분군

N\vartriangleleft G

에 대한 몫군

G/N

은 몫위상을 주면 위상군을 이룬다. 닫힌 정규 부분군의 경우, 몫군은 하우스도르프 공간이다. 열린 정규 부분군의 경우, 몫군은 이산 공간이다.

위상군

G

에서, 항등원을 포함하는 연결 성분

G_0

는

G

의 닫힌 정규 부분군을 이루며, 몫군

G/G_0

은 완전 분리 공간이다.^[1]

만약

H

가

G

의 정규 부분군이라면, 몫군

G/H

는 몫 위상을 부여받았을 때 위상군이 된다. 이는

H

가

G

에서 닫혀 있을 때에만 하우스도르프 공간이다. 예를 들어, 몫군

\mathbb{R/Z}

는 원군

S^1

과 동형이다.

어떤 위상군에서도, 항등원을 포함하는 연결 성분은 닫힌 정규 부분군이다. 만약

C

가 항등원 연결 성분이고

a

가

G

의 임의의 점이라면, 왼쪽 잉여류

aC

는

a

를 포함하는

G

의 성분이다. 따라서

G

에서

C

의 모든 왼쪽 잉여류(또는 오른쪽 잉여류)의 모임은

G

의 모든 성분의 모임과 같다. 이로부터 몫군

G/C

는 전순서 불연결 공간임을 알 수 있다.^[1]

위상군 이론의 동형 정리는 일반적인 군론에서 항상 참이 아니다. 이는 전단사 준동형 사상이 위상군의 동형 사상이 될 필요가 없기 때문이다. 예를 들어, 제1 동형 정리의 고유한 버전은 위상군에 대해 거짓이다. 만약

f:G\to H

가 위상군의 사상(즉, 연속 준동형 사상)이라면, 유도된 준동형 사상

\tilde {f}:G/\ker f\to \mathrm{Im}(f)

가 위상군의 동형 사상인 것은 반드시 참이 아니다. 그것은 전단사 연속 준동형 사상이 될 것이지만, 반드시 동형 사상이 되지는 않을 것이다. 즉, 위상군 범주에서 역원을 가질 필요가 없을 것이다.

위상군에 대한 제1 동형 정리의 버전이 있으며, 다음과 같이 나타낼 수 있다. 만약

f : G \to H

가 연속 준동형 사상이라면,

G/\ker(f)

에서

\mathrm{im}(f)

로의 유도된 준동형 사상은 사상

f

가 이미지 위에 열려 있을 경우에만 동형 사상이다.^[1] 그러나 제3 동형 정리는 위상군에 대해 거의 그대로 참이며, 쉽게 확인할 수 있다.

4. 예시

군에 이산 위상을 부여하거나 비이산 위상을 부여하여 위상군으로 만들 수 있다.^[7] 모든 리 군은 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다. 모든 사유한군 역시 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다.

수론에서 이델 군 및 갈루아 확대의 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 은 자연스럽게 위상군을 이룬다. 대수기하학에서 에탈 기본군은 사유한군이므로 자연스럽게 위상군을 이룬다.

모든 위상 벡터 공간은 덧셈에 대하여 아벨 위상군을 이룬다. 만약 위상 벡터 공간이 유한 차원 실수 벡터 공간이 아니라면, 이는 리 군이 아니다. 실수 또는 복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 위에 유니터리 작용소들의 군 $\operatorname U(\mathcal H)$ 는 작용소 노름을 부여하면 위상군을 이룬다.

유리수의 덧셈군 $\mathbb Q$ 는 위상군을 이루며, 이는 리 군이 아니다.

모든 위상환은 덧셈군으로서 위상군을 이룬다. 모든 군은 이산 위상을 부여하여 자명하게 위상군으로 만들 수 있다. 이러한 군을 이산군이라고 한다.^[7] 이러한 의미에서 위상군의 이론은 일반적인 군의 이론을 포괄한다. 비이산 위상 (즉, 자명한 위상) 역시 모든 군을 위상군으로 만든다.

실수 $\mathbb{R}$ 은 통상적인 위상을 갖는 덧셈에 대해 위상군을 이룬다. 유클리드 차원 공간 역시 덧셈에 대해 위상군을 이루며, 더 일반적으로는 모든 위상 벡터 공간이 (아벨) 위상군을 이룬다. 아벨 위상군의 다른 예로는 원군 또는 임의의 자연수 에 대한 원환면 등이 있다.

고전군은 비아벨 위상군의 중요한 예이다. 예를 들어, 실수 성분을 갖는 가역적인 × 행렬의 일반 선형군 은 을 유클리드 공간 의 부분 공간으로 간주하여 정의된 위상을 갖는 위상군으로 볼 수 있다. 또 다른 고전군은 직교군 인데, 이는 에서 자기 자신으로 가는 모든 선형 사상 중에서 모든 벡터의 길이를 보존하는 군이다. 직교군은 위상 공간으로서 콤팩트하다. 유클리드 기하학의 많은 부분은 직교군의 구조 또는 과 밀접하게 관련된 의 등거리 변환의 군을 연구하는 것으로 볼 수 있다.

지금까지 언급된 군은 모두 리 군인데, 이는 군 연산이 연속일 뿐만 아니라 미분 다양체에서 미분 가능하다는 것을 의미한다. 리 군은 가장 잘 이해되는 위상군이며, 리 군에 대한 많은 문제는 리 대수에 대한 순수하게 대수적인 문제로 변환한 다음 해결할 수 있다.

리 군이 아닌 위상군의 예로는 $\mathbb{R}$ 에서 상속된 위상을 갖는 유리수의 덧셈군 $\mathbb{Q}$ 가 있다. 이것은 가산 공간이며, 이산 위상을 갖지 않는다. 수론의 중요한 예는 소수 에 대한 ''p''-진 정수의 군 인데, 이는 유한군 의 ''n''이 무한대로 갈 때의 역극한을 의미한다. 군 는 콤팩트하다는 점에서 잘 동작하지만 (실제로 칸토어 집합과 위상 동형이다), 전체 비연결이라는 점에서 (실수) 리 군과 다르다. 더 일반적으로는 와 같은 콤팩트 군뿐만 아니라 와 같은 국소 콤팩트 군을 포함하는 ''p''-진 리 군의 이론이 있는데, 여기서 는 ''p''-진수의 국소 콤팩트한 체이다.

군 는 프로유한군이며, 그 위상이 곱 위상에 의해 유도되도록, 유한군 $\mathbb{Z} / p^n$ 에 이산 위상이 부여된 곱 $\prod_{n \geq 1} \mathbb{Z} / p^n$ 의 부분군과 동형이다. 수론에서 중요한 프로유한군의 또 다른 큰 부류는 절대 갈루아 군이다.

일부 위상군은 무한 차원 리 군으로 볼 수 있는데, 이 문구는 여러 다른 예시 집합을 포함하도록 비공식적으로 이해하는 것이 가장 좋다. 예를 들어, 바나흐 공간 또는 힐베르트 공간과 같은 위상 벡터 공간은 덧셈에 대해 아벨 위상군이다. 연구된 다른 무한 차원 군으로는 루프 군, Kac–Moody 군, 미분 동형 사상 군, 동형 사상 군, 게이지 군 등이 있으며 성공 정도는 다양하다.

곱셈 항등원을 갖는 모든 바나흐 대수에서 가역 원소의 집합은 곱셈에 대해 위상군을 이룬다. 예를 들어, 힐베르트 공간에서 가역적인 유계 작용소의 군이 이런 식으로 나타난다.

5. 힐베르트의 다섯 번째 문제

글리슨, 몽고메리, 지핀은 힐베르트의 다섯 번째 문제를 해결하여, 위상 다양체인 위상군 G가 리 군이 됨을 증명하였다.^[1] 즉, G는 매끄러운 다양체의 구조를 가지며, 군 연산이 매끄럽게 된다.^[1] G는 실해석적 구조를 가지며, 선형대수의 대상인 G의 리 대수를 정의할 수 있다.^[1] 이는 연결된 군 G를 피복 공간까지 결정한다.^[1]

이 정리는 더 광범위한 위상군에도 적용된다. 모든 콤팩트 군은 콤팩트 리 군의 역 극한이다.^[1] 중요한 예시로 프로유한군이 있는데, 이는 유한 군의 역 극한이다.^[1] ''p''-진 정수의 군 ''p''-adic integer|p진 정수^영어와 체의 절대 갈루아 군은 프로유한군이다.^[1] 모든 연결 국소 콤팩트 군은 연결 리 군의 역 극한이다.^[1] 완전하게 비연결 국소 콤팩트 군은 항상 콤팩트 열린 부분군을 포함하며, 이는 필연적으로 프로유한군이다.^[1]

6. 표현론

위상군 ''G''의 위상 공간 ''X''에 대한 '''표현'''은 각 ∈ ''G''에 대해 ''V''에서 자기 자신으로의 사상 ''v'' ↦ ''gv''가 선형이 되도록 하는 ''V''에 대한 ''G''의 연속 작용이다.

군 작용과 표현 이론은 유한군에서 일어나는 현상을 일반화하여 콤팩트 군에 대해 특히 잘 이해되고 있다. 예를 들어, 콤팩트 군의 모든 유한 차원(실수 또는 복소수) 표현은 기약 표현의 직합이다. 콤팩트 군의 무한 차원 유니타리 표현은 힐베르트 공간의 기약 표현의 직합으로 분해될 수 있으며, 이는 모두 유한 차원이다. 이는 피터-바일 정리의 일부이다.^[1]

예를 들어, 푸리에 급수 이론은 복소 힐베르트 공간 에서 원군 의 유니타리 표현의 분해를 설명한다. 의 기약 표현은 모두 1차원이며, 정수 ''n''에 대해 형태를 갖는다 (여기서 은 곱셈군 의 부분군으로 간주). 이들 각 표현은 에서 중복도 1로 나타난다.

모든 콤팩트 연결 리 군의 기약 표현은 분류되었다. 특히, 각 기약 표현의 특성은 바일 지표 공식으로 주어진다.

더 일반적으로, 국소 콤팩트 군은 Haar 측도에 의해 주어진 측도와 적분의 자연스러운 개념을 허용하므로 조화 해석학의 풍부한 이론을 가지고 있다. 국소 콤팩트 군의 모든 유니타리 표현은 기약 유니타리 표현의 직적분으로 설명될 수 있다. (''G''가 I형인 경우 분해는 본질적으로 고유하며, 이는 아벨 군과 반단순 리 군과 같은 가장 중요한 예를 포함한다.^[2])

기본적인 예는 푸리에 변환으로, 힐베르트 공간 에서 덧셈군 $\mathbb{R}$ 의 작용을 $\mathbb{R}$ 의 기약 유니타리 표현의 직적분으로 분해한다. $\mathbb{R}$ 의 기약 유니타리 표현은 모두 1차원이며, ''a'' ∈ $\mathbb{R}$ 에 대해 형태를 갖는다.

국소 콤팩트 군의 기약 유니타리 표현은 무한 차원일 수 있다. Langlands 분류 허용 가능한 표현과 관련된 표현 이론의 주요 목표는 반단순 리 군에 대한 유니타리 쌍대(모든 기약 유니타리 표현의 공간)를 찾는 것이다. 유니타리 쌍대는 와 같은 많은 경우에 알려져 있지만, 모두 알려져 있지는 않다.

국소 콤팩트 아벨 군 ''G''의 경우, 모든 기약 유니타리 표현은 차원이 1이다. 이 경우, 유니타리 쌍대 $\hat{G}$ 는 군이며, 실제로 다른 국소 콤팩트 아벨 군이다. 폰트랴긴 쌍대성은 국소 콤팩트 아벨 군 ''G''에 대해 $\hat{G}$ 의 쌍대가 원래 군 ''G''라고 명시한다. 예를 들어, 정수 의 쌍대군은 원군 이고, 실수의 군 $\mathbb{R}$ 은 자체 쌍대와 동형이다.

모든 국소 콤팩트 군 ''G''는 기약 유니타리 표현을 충분히 갖는다. 예를 들어, ''G''의 점을 구별하기에 충분한 표현 (젤판트-라이코프 정리). 반대로, 국소 콤팩트가 아닌 위상군에 대한 표현 이론은 지금까지 특별한 상황에서만 개발되었으며, 일반적인 이론을 기대하는 것은 합리적이지 않을 수 있다. 예를 들어, 힐베르트 공간에 대한 모든 표현이 자명한 아벨 바나흐-리 군이 많이 있다.^[3]

7. 호모토피 이론

위상군은 호모토피 유형 측면에서 특별하다. 위상군 G|G^영어는 분류 공간 BG|BG^영어를 결정하며, 이는 G|G^영어의 호모토피 유형에 다양한 제약을 가한다.

예를 들어, 위상군 G|G^영어의 기본군은 아벨 군이다. 또한, 임의의 체 ''k''에 대한 코호몰로지 환 H*(G, k)|H*(G, k)^영어는 호프 대수의 구조를 가지며, 이는 위상군의 가능한 코호몰로지 환에 대한 강력한 제약을 가한다. 특히, 유리 코호몰로지 환이 각 차원에서 유한 차원인 경로 연결된 위상군 G|G^영어가 있다면, 이 환은 $\mathbb{Q}$ 위의 자유 등급 가환 대수, 즉, 짝수 차수의 생성자에 대한 다항식 환과 홀수 차수의 생성자에 대한 외대수의 텐서곱이어야 한다.

연결된 리 군 G|G^영어는 최대 컴팩트 부분군 ''K''를 가지며, 이는 켤레에 의해 유일하고, ''K''의 G|G^영어로의 포함은 호모토피 동치이다. 따라서 리 군의 호모토피 유형을 설명하는 것은 컴팩트 리 군의 경우로 축소된다.

마지막으로, 콤팩트 연결 리 군은 빌헬름 킬링, 엘리 카르탕, 헤르만 바일에 의해 분류되었다. 그 결과, 리 군의 가능한 호모토피 유형에 대한 본질적으로 완전한 설명이 있다.

8. 일반화

위상군의 다양한 일반화는 연속성 조건을 약화시켜 얻을 수 있다.

반위상군은 각 ''c''|c^영어 ∈ ''G''에 대해 ''x'' ↦ ''xc''와 ''x'' ↦ ''cx''로 정의된 두 함수 ''G'' → ''G''가 연속인 위상을 가진 군 ''G''이다.
준위상군은 원소를 역원으로 매핑하는 함수도 연속인 반위상군이다.
파라위상군은 군 연산이 연속인 위상을 가진 군이다.

참조

_[1] 문서
_[2] 서적 1997
_[3] 논문 Metrics in locally compact groups http://www.numdam.or[...] 1974
_[4] 간행물 Proper metrics on locally compact groups, and proper affine isometric actions on 2006
_[5] MathWorld Continuous Group
_[6] MathWorld Topological Group
_[7] 서적 1997

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