각부족

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1. 개요
2. 다면체의 각부족
3. 데카르트의 정리
4. 비유클리드 기하학에서의 각부족
- 4.1. 쌍곡 기하학에서의 각부족
- 4.2. 구면 기하학에서의 각부족
5. 예시
참조

1. 개요

각부족은 다면체의 꼭짓점이나 고차원 도형의 피크에서 각들의 합이 완전한 원(360도 또는 2π 라디안)에 미치지 못하는 정도를 나타내는 개념이다. 데카르트의 정리에 따르면, 구와 위상동형인 다면체의 모든 꼭짓점의 각부족의 총합은 720도(4π 라디안)이다. 쌍곡 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도에서 모자란 정도를, 구면 기하학에서는 내각의 합이 180도에서 초과하는 정도를 각부족으로 정의하며, 삼각형의 넓이와 관련된다.

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각부족
개요
정의	다면체의 각 부족은 꼭짓점에서 만나는 면의 각도의 합이 360°보다 부족한 양
설명	각 부족은 표면이 구부러지는 정도를 측정
관련 개념	가우스-보네 정리
상세 내용
공식 (각 부족)	δ = 2π - ∑θᵢ (δ: 각 부족, θᵢ: 꼭짓점에서 만나는 각 면의 각도)
설명 (공식)	각 부족은 2π (360°)에서 꼭짓점에서 만나는 모든 각도의 합을 뺀 값
다면체 각 부족의 총합	4π
예시
정다면체 (각 부족)	모든 꼭짓점에서 동일한 각 부족을 가짐
사면체 (각 부족)	모든 꼭짓점에서 약 0.55129 라디안 또는 31.589°의 각 부족을 가짐
큐브 (각 부족)	모든 꼭짓점에서 π/2 라디안 또는 90°의 각 부족을 가짐
활용
응용 분야	일반 상대성 이론 우주론 그래프 이론
참고 자료
관련 서적	Geometry and the Imagination by David Hilbert and S. Cohn-Vossen A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds by Jon Pierre Fortney

2. 다면체의 각부족

다면체에서 한 꼭짓점의 각부족(角不足, angular defect)은 그 꼭짓점 주위에 모이는 모든 면의 각의 합을 2π 라디안(360°)에서 뺀 값이다. 만약 다면체가 볼록 다면체라면, 각 꼭짓점의 각부족은 항상 양수이다. 반면, 비볼록 다면체의 경우 일부 꼭짓점에서는 각의 합이 2π 라디안을 초과하여 각부족이 음수가 될 수도 있다.

구와 위상동형인, 즉 구멍이 없는 다면체에서는 모든 꼭짓점의 각부족을 합하면 항상 4π 라디안(720°)이 된다. 이를 데카르트의 정리(Descartes' theorem on total angular defect)라고 한다.^[2]

더 일반적으로, 오일러 지표가 $\chi$ (카이)인 다면체의 총 각부족 합은 2π $\chi$ 와 같다. 구와 위상동형인 다면체는 오일러 지표가 2이므로( $\chi = 2$ ), 총 각부족 합은 $2\pi \times 2 = 4\pi$ 가 된다.

이 결과는 가우스-보넷 정리가 다면체에 적용된 특수한 경우로 볼 수 있다. 다면체에서 가우스 곡률은 꼭짓점에 집중되어 있으며, 각 꼭짓점에서의 각부족은 그 점에서의 가우스 곡률과 같다. 모서리나 면에서의 가우스 곡률은 0이다.

각부족의 개념은 더 높은 차원의 초다면체로도 확장될 수 있다.

2. 1. 볼록 다면체의 각부족

볼록 다면체의 경우, 각 꼭짓점에서의 각부족은 항상 양수이다.

예를 들어, 모든 면이 정오각형으로 이루어진 정십이면체를 생각해 보자. 각 꼭짓점에서는 정오각형의 내각 3개가 모인다. 정오각형의 내각은 108°이므로, 한 꼭짓점에서의 부족각은 360° − (108° + 108° + 108°) = 36°이다. 정십이면체는 꼭짓점이 모두 20개이므로, 부족각의 총합은 36° × 20 = 720°이다.

다른 정다면체에 대해서도 같은 방법으로 계산하면 다음 표와 같은 결과를 얻을 수 있다.

정다면체	꼭짓점 수	한 꼭짓점에 모이는 도형	부족각	부족각의 총합
정사면체	4	3개의 정삼각형	π (180°)	$4\pi\,$
정팔면체	6	4개의 정삼각형	${2 \pi\over 3}$ (120°)	$4\pi$
정육면체	8	3개의 정사각형	${\pi\over 2}$ (90°)	$4\pi\,$
정이십면체	12	5개의 정삼각형	${\pi\over 3}$ (60°)	$4\pi\,$
정십이면체	20	3개의 정오각형	${\pi\over 5}$ (36°)	$4\pi\,$

2. 2. 비볼록 다면체의 각부족

모든 비볼록 다면체가 음의 각부족(결함)을 갖는 꼭짓점을 가져야 한다고 생각하기 쉽지만, 오일러 지표가 양수(위상적으로 구와 같은 경우)인 경우에는 그렇지 않을 수 있다.

예를 들어, 정육면체의 한 면을 정사각뿔로 대체한 경우를 생각해보자. 만약 정사각뿔을 정육면체 바깥쪽으로 붙이면 늘어난 정사각뿔이 되는데, 이는 볼록 다면체이며 모든 꼭짓점의 각부족은 양수이다. 반대로 정사각뿔을 정육면체 안쪽으로 들어가도록 붙이면, 이 다면체는 오목하지만 각부족은 이전과 동일하게 모두 양수로 유지된다.

자기 교차 다면체 중에서도 모든 꼭짓점의 각부족이 양수인 예시가 있다. 작은 별모양 십이면체와 큰 별모양 십이면체는 각각 12개의 볼록한 꼭짓점을 가지며, 이 꼭짓점들의 각부족은 모두 양수이다.

2. 3. 고차원 도형의 각부족

각부족의 개념은 더 높은 차원으로 확장될 수 있다. 고차원 도형에서는 특정 피크에서 세포들의 이각 합이 완전한 원(360도 또는 2π 라디안)에 미치지 못하는 양으로 각부족이 정의된다.

3. 데카르트의 정리

구와 위상동형(topologically equivalent)인 다면체, 즉 표면을 찢거나 구멍을 내지 않고 늘리거나 줄여서 구의 형태로 만들 수 있는 다면체에 대해, 각 꼭짓점에서의 각부족(angular defect)을 모두 합하면 항상 720도( $4\pi$ 라디안)가 된다는 정리이다. 이 정리는 다면체가 반드시 볼록할 필요는 없다는 점에서도 적용된다.^[1] 각 꼭짓점의 각부족은 360도에서 그 꼭짓점에 모이는 모든 면의 내각의 합을 뺀 값이다.

예를 들어, 모든 면이 정오각형으로 이루어진 정십이면체를 생각해 보자. 각 꼭짓점에는 정오각형 3개가 모인다. 정오각형의 한 내각은 108°이므로, 한 꼭짓점에서의 각부족은 $360^\circ - (108^\circ + 108^\circ + 108^\circ) = 360^\circ - 324^\circ = 36^\circ$ 이다. 정십이면체는 꼭짓점이 20개 있으므로, 모든 꼭짓점의 각부족의 총합은 $36^\circ \times 20 = 720^\circ$ 가 된다.

다른 정다면체에 대해서도 각부족의 총합을 계산하면 다음과 같다.

정다면체	꼭짓점 수 (V)	한 꼭짓점에 모이는 면과 내각 합	각 꼭짓점의 각부족 ( $\delta$ )	총 각부족 ( $\sum \delta$ )
정사면체	4	정삼각형 3개 (60° × 3 = 180°)	$360^\circ - 180^\circ = 180^\circ \ (\pi)$	$180^\circ \times 4 = 720^\circ \ (4\pi)$
정육면체	8	정사각형 3개 (90° × 3 = 270°)	$360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \ (\pi/2)$	$90^\circ \times 8 = 720^\circ \ (4\pi)$
정팔면체	6	정삼각형 4개 (60° × 4 = 240°)	$360^\circ - 240^\circ = 120^\circ \ (2\pi/3)$	$120^\circ \times 6 = 720^\circ \ (4\pi)$
정십이면체	20	정오각형 3개 (108° × 3 = 324°)	$360^\circ - 324^\circ = 36^\circ \ (\pi/5)$	$36^\circ \times 20 = 720^\circ \ (4\pi)$
정이십면체	12	정삼각형 5개 (60° × 5 = 300°)	$360^\circ - 300^\circ = 60^\circ \ (\pi/3)$	$60^\circ \times 12 = 720^\circ \ (4\pi)$

데카르트의 정리는 더 일반적으로 오일러 지표 $\chi$ 를 사용하여 표현될 수 있다. 다면체의 오일러 지표는 $\chi = V - E + F$ (V: 꼭짓점 수, E: 모서리 수, F: 면 수)로 계산되며, 구와 위상동형인 다면체의 경우 $\chi = 2$ 이다. 일반화된 데카르트 정리에 따르면, 다면체의 총 각부족은 $2\pi\chi$ 와 같다. 만약 다면체에 $g$ 개의 구멍(genus)이 있다면, 오일러 지표는 $\chi = 2 - 2g$ 가 되고, 총 각부족은 $2\pi(2-2g)$ 가 된다.^[2]

이 정리는 가우스-보네 정리의 특수한 경우로 볼 수 있다. 가우스-보네 정리는 표면의 가우스 곡률의 총 적분값이 $2\pi\chi$ 와 같다는 내용이다. 다면체의 경우, 표면의 곡률은 꼭짓점에 집중되어 있고(면과 모서리에서는 0), 각 꼭짓점에서의 곡률 적분값이 바로 그 꼭짓점의 각부족과 같다.

데카르트 정리는 다면체의 꼭짓점 수( $V$ )를 계산하는 데 사용될 수도 있다. 모든 면의 내각의 총합에 총 각부족( $2\pi\chi$ )을 더하면, 그 결과는 각 꼭짓점마다 360°씩 할당한 값, 즉 $V \times 360^\circ$ (또는 $V \times 2\pi$ )와 같다.

데카르트 정리의 역은 알렉산드로프의 유일성 정리로 알려져 있다. 이 정리는 유한 개의 점을 제외하고는 국소적으로 평평하며(곡률 0), 그 점들에서의 각부족의 합이 $4\pi$ 가 되는 거리 공간은 볼록 다면체의 표면으로 유일하게 실현될 수 있음을 보여준다.

4. 비유클리드 기하학에서의 각부족

비유클리드 기하학, 특히 쌍곡 기하학과 구면 기하학에서도 각부족의 개념이 확장되어 적용된다. 이들 기하학에서 삼각형 내각의 합은 180도(π 라디안)와 다르며, 그 차이는 삼각형의 넓이와 비례 관계를 가진다.^[3] 구체적으로 쌍곡삼각형에서는 내각의 합이 180도보다 작아 각부족이 발생하고, 구면삼각형에서는 내각의 합이 180도보다 커서 각과잉(angular excess)이 발생하는데, 두 경우 모두 그 크기가 삼각형의 넓이에 비례한다.

4. 1. 쌍곡 기하학에서의 각부족

균일한 가우스 곡률을 가지는 쌍곡공간에서 쌍곡삼각형의 내각의 합은 180도(π 라디안)보다 작다. 쌍곡 삼각형의 내각 총합을 ''A''라고 할 때, 각부족은

\pi - A

로 정의되며, 이 값은 삼각형의 넓이에 비례한다.^[3]

4. 2. 구면 기하학에서의 각부족

구면 기하학에서 구면 삼각형의 내각의 총합을 ''A''라고 할 때, ''A'' - π 를 각부족(angular defect) 또는 각과잉(angular excess)이라고 한다. 구면 삼각형의 넓이는 이 각과잉 값에 비례한다.^[3]

5. 예시

정다면체 중 하나인 정십이면체를 예로 들어 보자. 정십이면체는 모든 면이 정오각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭짓점에서는 정오각형 면 3개가 만난다. 정오각형의 한 내각의 크기는 108°이다. 따라서 한 꼭짓점에서의 각부족은 360°에서 모이는 세 내각의 합을 뺀 값, 즉 360° − (108° + 108° + 108°) = 36°가 된다. 이는 π/5 라디안 또는 원 한 바퀴(360°)의 1/10에 해당한다. 정십이면체는 꼭짓점이 모두 20개이므로, 각부족의 총합은 각 꼭짓점의 각부족에 꼭짓점 수를 곱한 36° × 20 = 720° (또는 4π 라디안)이다.

다른 플라톤 다면체(정다면체)에 대해서도 같은 방법으로 각부족을 계산할 수 있으며, 그 결과는 다음 표와 같다. 모든 정다면체의 총 각부족은 항상 720° (4π 라디안)으로 같다.

정다면체	꼭짓점 수	한 꼭짓점에 모이는 도형	각 꼭짓점의 각부족	각부족의 총합
정사면체	4	3개의 정삼각형	$\pi \ (180^\circ )$	$4\pi$
정팔면체	6	4개의 정삼각형	${2 \pi\over 3} \ (120^\circ )$	$4\pi$
정육면체	8	3개의 정사각형	${\pi\over 2}\ (90^\circ )$	$4\pi$
정이십면체	12	5개의 정삼각형	${\pi\over 3}\ (60^\circ )$	$4\pi$
정십이면체	20	3개의 정오각형	${\pi\over 5}\ (36^\circ )$	$4\pi$

참조

_[1] 서적 Progymnasmata de solidorum elementis
_[2] 서적 Progymnasmata de solidorum elementis
_[3] 서적 Invention nouvelle en l'algebre

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