거리 측정 (우주론)

} \sin\left(\frac{\sqrt

d_C(z)}{d_H}\right) & \Omega_k<0\end{cases}

평평한 우주($\backslash Omega\_k=0$)에서는 공변거리와 같다 ($d\_M\; =\; d\_C$).

• '''각지름거리''' ($d\_A$): 천체의 실제 크기와 하늘에서 보이는 각지름 사이의 관계를 나타내는 거리. 표준 잣대를 이용한 거리 측정에 사용된다.

:$d\_A(z)\; =\; \backslash frac\{d\_M(z)\}\{1+z\}$

• '''광도거리''' ($d\_L$): 천체의 고유 광도와 관측되는 밝기 사이의 관계를 나타내는 거리. Ia형 초신성과 같은 표준 촛불을 이용한 거리 측정에 사용된다.

:$d\_L(z)=(1+z)\; d\_M(z)$

에서링턴 상호성 정리에 의해 $d\_L\; =\; (1+z)^2\; d\_A$ 관계가 성립한다.

• '''광행거리''' ($d\_T$): 빛이 천체에서 출발하여 관측자에게 도달하기까지 이동한 시간($t$)에 광속 $c$를 곱한 거리($d\_T\; =\; c\; \backslash cdot\; t$). "과거 시점 거리(lookback distance)"라고도 불린다.

:$d\_T(z)\; =\; d\_H\; \backslash int\_0^z\; \backslash frac\{d\; z\text{'}\}\{(1+z\text{'})E(z\text{'})\}$

2. 1. 공변 거리 (Comoving Distance)

우주론에서 '''공변거리'''(共變距離, Comoving distance^영어)는 우주의 팽창 효과를 고려하여 정의되는 거리 척도이다. 이는 허블 흐름과 함께 움직이는, 즉 우주의 전반적인 팽창 외에 개별적인 움직임(특이속도)이 없는 가상의 '기본 관측자'들 사이의 거리로 정의되며, 우주가 팽창하더라도 그 값이 변하지 않는 특징을 가진다. 공변거리는 현재 시점에서의 고유거리와 같다.^[11]

공변거리는 관측 가능한 적색편이$z$와 우주의 구성 성분(물질 밀도 $\backslash Omega\_m$, 암흑 에너지 밀도 $\backslash Omega\_\backslash Lambda$, 곡률 $\backslash Omega\_k$ 등)을 나타내는 우주론적 매개변수들을 이용하여 계산된다. 일반적으로는 수치적분을 통해 값을 구하지만, 특정한 우주 모형 가정 하에서는 닫힌 형태의 해석적 해를 얻을 수도 있다.^[10][1]

이 공변거리는 가로 공변거리, 각지름거리, 광도거리 등 다른 여러 우주론적 거리들을 정의하는 기초가 된다. 예를 들어, 가로 공변거리는 공변거리와 우주의 곡률을 이용하여 정의되며, 각지름거리와 광도거리는 다시 가로 공변거리와 적색편이를 통해 계산된다. 따라서 공변거리는 우주의 기하학적 구조와 거리를 이해하는 데 핵심적인 개념이다.

2. 1. 1. 공변 거리의 정의

표준 우주론에서 '''공변 거리'''와 '''고유 거리'''는 우주론자들이 물체 사이의 거리를 측정하기 위해 사용하는 두 개의 밀접하게 관련된 거리 척도이다. 공변 거리는 현재 시점에서의 고유 거리로 생각할 수 있다.^[11]

공변 거리 $d\_C$는 기본 관측자, 즉 허블 흐름과 함께 움직이는 관측자 사이의 거리이다. 이 거리는 우주의 팽창 효과를 고려하여 보정되었기 때문에 시간에 따라 변하지 않는다. 공변 거리는 관측자로부터 천체까지의 시선 방향(LOS)을 따라 놓인 무수히 많은 가까운 기본 관측자들 사이의 고유거리를 모두 더하여(적분하여) 얻는 값이다. 여기서 고유 거리는 특정 우주 시점에서 측정한 실제 거리를 의미한다.

공변 거리는 아래의 식을 통해 계산할 수 있다.

:$d\_C(z)\; =\; d\_H\; \backslash int\_0^z\; \backslash frac\{dz\text{'}\}\{E(z\text{'})\}$

여기서 $d\_H$는 허블 거리, $z$는 적색편이, $E(z)$는 무차원 허블 매개변수이다. 이 적분은 일반적으로 수치적으로만 계산 가능하지만, 특정 우주 모형에서는 닫힌 형태의 해가 존재한다. 예를 들어, 복사 밀도($\backslash Omega\_r$)와 곡률($\backslash Omega\_k$)을 무시할 수 있는 우주($\backslash Omega\_r=\backslash Omega\_k=0$)의 경우, 공변 거리는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$d\_C(z)\; =\; d\_H\; \backslash Omega\_m^\{-1/3\}\backslash Omega\_\backslash Lambda^\{-1/6\}[f((1+z)(\backslash Omega\_m/\backslash Omega\_\backslash Lambda)^\{1/3\})-f((\backslash Omega\_m/\backslash Omega\_\backslash Lambda)^\{1/3\})]$

:$f(x)\backslash equiv\backslash int\_0^x\; \backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{x^3+1\}\}$

여기서 $\backslash Omega\_m$은 현재의 물질 밀도, $\backslash Omega\_\backslash Lambda$는 암흑 에너지 밀도이다. 공변 거리를 계산할 때는 관측자와 천체 모두 특이속도가 없다고 가정했을 때의 적색편이 $z$ 값을 사용해야 한다.

공변 거리에 척도인자$a$를 곱하면 특정 시간에서의 고유거리 $d$가 된다. 즉, 우리가 현재 관측하는 빛이 과거의 특정 시점(척도인자$a$에 해당하는)에 천체에서 방출될 당시의 천체까지의 고유 거리는 다음과 같다.

:$d\; =\; a\; \backslash cdot\; d\_C$

이론적으로 공변 거리는 시차를 이용하여 측정할 수 있다. 각도로 표시되는 시차는 현재 시점에서 태양을 통과하며 멀리 떨어진 천체를 중심으로 하는 가상의 원 둘레 길이에 대한 천문단위 길이의 비율과 관련되기 때문이다.^[11] 하지만 실제로는 메가파섹 단위 이상의 거리에 있는 천체들은 시차가 극도로 작아서 현재 기술로는 측정하기 어렵다. 예를 들어, 가이아 우주 망원경은 매우 밝은 별의 시차를 약 7 마이크로 아크초($7\; \backslash times\; 10^\{-6\}$ 초)의 정밀도로 측정할 수 있지만, 우리 국부은하군 너머에 있는 은하들의 시차는 이보다 훨씬 작아 측정이 불가능하다.

2. 1. 2. 공변 거리와 고유 거리 (Proper Distance)

표준 우주론에서 '''공변거리'''와 '''고유거리'''는 우주론자들이 물체 사이의 거리를 측정하는 데 사용하는 두 가지 밀접하게 관련된 거리 측정 방법이다. 공변거리는 현재 시점에서의 고유거리로 이해할 수 있다.

'''공변거리'''($d\_C$)는 허블 흐름과 함께 움직이는, 즉 우주의 전반적인 팽창 외에 개별적인 움직임(특이속도)이 없는 가상의 '기본 관측자'들 사이의 거리이다. 이 거리는 우주의 팽창 효과를 제거했기 때문에 시간에 따라 변하지 않는다. 공변거리는 관측자로부터 특정 천체까지 시선(LOS)을 따라 놓인 무수히 많은 가까운 기본 관측자들 사이의 고유거리를 모두 더하여(적분하여) 얻는다.

공변거리는 다음과 같은 적분식으로 계산된다.

$$d\_C(z)\; =\; d\_H\; \backslash int\_0^z\; \backslash frac\{dz\text{'}\}\{E(z\text{'})\}$$

여기서 $d\_H$는 허블 거리, $z$는 적색편이, $E(z)$는 무차원 허블 매개변수이다.

$$E(z)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash Omega\_r(1+z)^4+\backslash Omega\_m(1+z)^3+\backslash Omega\_k(1+z)^2+\backslash Omega\_\backslash Lambda\}$$

$\backslash Omega\_r,\; \backslash Omega\_m,\; \backslash Omega\_k,\; \backslash Omega\_\backslash Lambda$는 각각 현재 우주의 복사, 물질, 곡률, 암흑 에너지 밀도 매개변수이다. 일반적으로 이 적분은 수치적분으로만 계산할 수 있다.

다만, 특정 우주 모형에서는 닫힌 형태의 해가 존재한다. 예를 들어, 복사 밀도와 물질 밀도가 0이거나($\backslash Omega\_r=\backslash Omega\_m=0$), 암흑 에너지 밀도가 0인($\backslash Omega\_\backslash Lambda=0$) 경우이다. 현재 우리 우주는 복사 밀도와 곡률이 거의 0($\backslash Omega\_r\; \backslash approx\; 0,\; \backslash Omega\_k\; \backslash approx\; 0$)에 가깝다고 여겨지며, 이 경우 공변거리는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$$d\_C(z)\; =\; d\_H\; \backslash Omega\_m^\{-1/3\}\backslash Omega\_\backslash Lambda^\{-1/6\}[f((1+z)(\backslash Omega\_m/\backslash Omega\_\backslash Lambda)^\{1/3\})-f((\backslash Omega\_m/\backslash Omega\_\backslash Lambda)^\{1/3\})]$$

여기서 $f(x)\backslash equiv\backslash int\_0^x\; \backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{x^3+1\}\}$이다.

공변거리를 계산할 때는 관측자와 천체 모두 특이속도가 없다고 가정했을 때의 적색편이 $z$ 값을 사용해야 한다.

'''고유거리'''($d$)는 특정 우주론적 시간에서 두 물체 사이의 실제 거리를 의미한다. 우주의 팽창 때문에 고유거리는 시간이 지남에 따라 계속 변한다(증가한다).

공변거리와 고유거리 사이의 관계는 척도인자$a$ (보통 현재 시점의 척도인자를 1로 정의하며, $a\; =\; 1/(1+z)$ 관계를 가짐)를 통해 표현된다. 특정 시점에서의 고유거리는 그 시점의 척도인자와 공변거리를 곱한 값이다.

$$d\; =\; a\; \backslash cdot\; d\_C$$

즉, 공변거리는 척도인자가 1인 현재 시점($a=1,\; z=0$)에서의 고유거리와 같다.

공변거리는 원리적으로 시차를 통해 측정될 수 있는 거리와 관련이 있다. 시차(각도)는 현재 시점에서 태양을 지나 먼 천체를 중심으로 하는 원 둘레에 대한 천문단위 길이의 비율과 관계되기 때문이다.^[11] 하지만 메가파섹(Mpc) 단위 이상으로 멀리 떨어진 천체들은 시차가 극도로 작아 현재 기술로는 직접 측정하기 어렵다. 예를 들어 가이아 우주 망원경은 매우 밝은 별에 대해 수 마이크로초(") 정밀도의 시차를 측정하지만, 우리 국부은하군 외부 은하들의 시차는 이보다 훨씬 작아 측정할 수 없다.

2. 2. 가로 공변 거리 (Transverse Comoving Distance)

가로 공변거리($d\_M$)는 특정 적색편이$z$에서 관측자와 천체 사이의 거리를 나타내는 척도 중 하나이다. 이 거리는 우주의 곡률을 고려하여 공변거리$d\_C(z)$를 기반으로 계산된다. 특히, 우주가 평평하다고 가정될 때($\backslash Omega\_k=0$), 가로 공변거리는 공변거리와 동일한 값을 가진다. 이 거리는 같은 적색편이에 있는 천체들 사이의 공간적 분리를 측정하는 데 유용하게 사용된다.

2. 2. 1. 가로 공변 거리의 정의

'''가로 공변거리'''(transverse comoving distance^eng)는 공변거리$d\_C(z)$와 우주의 곡률을 나타내는 $\backslash Omega\_k$ 값을 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:

d_C(z) & \Omega_k=0 \text{ (평평한 우주)}\\

\frac{d_H}{\sqrt

} \sin\left(\frac{\sqrt

d_C(z)}{d_H}\right) & \Omega_k<0 \text{ (열린 우주)}\end{cases}

여기서 $d\_H$는 허블 거리이고, $\backslash sinh$는 쌍곡선 함수 중 쌍곡사인 함수, $\backslash sin$은 삼각 함수 중 사인 함수를 의미한다.

이 정의에서 주목할 점은, 우주가 평평하다고 가정할 때 ($\backslash Omega\_k\; =\; 0$), 가로 공변거리는 공변거리$d\_C(z)$와 같아진다는 것이다. 이는 $\backslash Omega\_k\; \backslash to\; 0$ 일 때 위 식의 극한값이 $d\_C(z)$가 되기 때문이다.

가로 공변거리는 같은 적색편이$z$ 값을 가지며 하늘에서 각도 $\backslash delta\backslash theta$ 만큼 떨어져 보이는 두 천체 사이의 공변거리를 계산하는 데 사용된다. 이 두 천체 사이의 거리는 $\backslash delta\backslash theta\; \backslash cdot\; d\_M(z)$로 주어진다.

2. 3. 각지름 거리 (Angular Diameter Distance)

각지름 거리(Angular diameter distance)는 우주론에서 사용하는 거리 측정 방법 중 하나로, 천체의 실제 크기와 관측되는 각 크기 사이의 관계를 이용하여 거리를 정의한다. 적색편이가 $z$인 천체까지의 각지름 거리 $d\_A(z)$는 가로 공변거리$d\_M(z)$와 다음과 같은 관계를 가진다.^[1][10]

$d\_A(z)\; =\; \backslash frac\{d\_M(z)\}\{1+z\}$

이 식에서 $(1+z)$ 항은 빛이 천체를 떠난 시점의 우주 팽창 효과를 반영한다. 즉, 과거의 우주는 현재보다 작았기 때문에 같은 공변거리에 있는 천체라도 더 큰 각도로 보이게 된다.

각지름 거리는 크기를 이미 알고 있는 천체, 즉 표준 잣대(standard ruler)의 각 크기를 측정하여 거리를 알아내는 데 유용하게 사용된다. 대표적인 예로 바리온 음향 진동(Baryon Acoustic Oscillations, BAO) 연구가 있다.^[10] 천체의 실제 크기 $x$와 관측된 각 크기 $\backslash delta\backslash theta$를 알면, 각지름 거리는 $d\_A(z)\; =\; x/\backslash delta\backslash theta$로 계산할 수 있다.

다만, 실제 관측에서는 관측자(예: 태양계)와 천체의 특이속도를 고려한 보정이 필요할 수 있다.^[10]

2. 3. 1. 각지름 거리의 정의

각지름 거리는 천체의 실제 크기 $x$와 관측되는 각 크기 $\backslash delta\backslash theta$ 사이의 관계를 통해 정의되는 거리 척도이다. 적색편이가 $z$인 천체까지의 각지름 거리 $d\_A(z)$는 다음과 같이 계산된다.

$d\_A(z)\; =\; \backslash frac\{x\}\{\backslash delta\backslash theta\}$

이 정의는 크기를 이미 알고 있는 천체, 즉 표준 잣대(standard ruler)의 각 크기를 측정하여 거리를 알아내는 데 유용하게 사용된다. 대표적인 예로 바리온 음향 진동(Baryon Acoustic Oscillations, BAO) 연구가 있다.

각지름 거리는 가로 공변거리$d\_M(z)$와 다음과 같은 관계를 가진다.

$d\_A(z)\; =\; \backslash frac\{d\_M(z)\}\{1+z\}$

여기서 $(1+z)$ 항은 빛이 천체를 떠난 시점의 우주 팽창 효과를 반영한다. 즉, 빛이 방출될 당시의 우주는 현재보다 $(1+z)$배 작았으므로, 동일한 공변거리에 있는 천체라도 더 큰 각도로 보이게 된다.

이 관계식들은 관측자(예: 태양계)와 관측 대상 천체가 서로에 대해 시선 방향으로 특이속도(peculiar velocity)를 갖지 않는 이상적인 경우에 정확히 성립한다. 만약 특이속도가 존재한다면, 관측된 적색편이 값 대신 우주 팽창에 의한 적색편이 값을 사용해야 한다. 또한, 태양계 자체의 특이속도(약 370 km/s) 때문에 관측 방향에 따라 계산된 각지름 거리 $d\_A$ 값은 약 0.99867배에서 1.00133배 사이의 보정이 필요할 수 있다. 만약 관측자가 천체를 향해 속도 $v$로 움직인다면, 관측되는 천체의 각 크기는 $\backslash sqrt\{(1+v/c)/(1-v/c)\}$의 비율만큼 작아지게 되므로 이 효과 역시 고려해야 한다.

2. 3. 2. 표준 잣대와 각지름 거리

적색편이가 $z$이고 실제 크기가 $x$인 천체가 관측자에게 $\backslash delta\backslash theta$의 각 크기로 보일 때, 이 천체까지의 '''각지름 거리'''는 $d\_A(z)\; =\; x\; /\; \backslash delta\backslash theta$로 정의된다. 이 각지름 거리는 우주론에서 표준 잣대를 관측하는 데 중요한 역할을 한다. 대표적인 예로 바리온 음향 진동 연구에서 표준 잣대로 활용되는 특정 구조의 크기를 측정하는 데 사용된다.

다만, 각지름 거리를 실제 관측에 적용할 때는 지구의 고유 속도를 고려해야 한다. 관측된 적색편이 값 자체도 지구의 움직임에 영향을 받으며, 계산된 각지름 거리 $d\_A$ 역시 태양계의 움직임에 따라 방향별로 0.99867에서 1.00133 사이의 보정 계수를 적용해야 한다. 만약 관측자가 어떤 천체를 향해 속도 $v$로 움직인다면, 그 천체의 각지름은 거리와 관계없이 $\backslash sqrt\{(1+v/c)\; /\; (1-v/c)\}$ 배만큼 작아 보이게 된다.

2. 4. 광도 거리 (Luminosity Distance)

광도 거리($d\_L$)는 가로 공변거리$d\_M(z)$와 적색편이$z$를 이용하여 $d\_L(z)=(1+z)\; d\_M(z)$로 정의된다.^[1]

실제 관측에서는 천체의 고유 광도$L$을 알고 있을 때, 관측된 광속$S$를 측정하여 광도 거리를 $d\_L(z)=\backslash sqrt\{L/4\backslash pi\; S\}$로 계산할 수 있다. 이 방법은 Ia형 초신성과 같은 표준 양초의 거리를 측정하는 데 중요하게 사용되며, 이를 통해 암흑 에너지에 의한 우주 팽창의 가속 현상이 발견되었다.

2. 4. 1. 광도 거리의 정의

광도 거리($d\_L$)는 가로 공변거리($d\_M$)와 적색편이$z$를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:$d\_L(z)=(1+z)\; d\_M(z)$

이 관계식은 관측자(지구)와 관측 대상 천체가 서로에 대해 특이속도를 갖지 않을 경우에 엄밀하게 성립한다. 만약 특이속도가 존재한다면, 계산 시 약간의 보정이 필요하다. 즉, 가로 공변거리 $d\_M$을 계산할 때는 천체의 특이속도를 고려한 적색편이를 사용해야 하지만, 위 식의 $(1+z)$ 항에는 실제로 관측된 적색편이 값을 사용해야 한다. 또한, 천체의 특이속도 중 우리에게서 멀어지는 방향의 속도 성분 $v$를 고려하여 $\backslash sqrt\{(1+v/c)/(1-v/c)\}$라는 보정 계수를 추가로 곱해주어야 한다.

이렇게 정의된 광도 거리는 에서링턴 상호성 정리에 의해 각지름거리($d\_A$)와 $d\_L(z)=(1+z)^2\; d\_A(z)$의 관계를 만족한다.

실제 천문학에서는 멀리 있는 천체의 고유한 밝기, 즉 광도$L$을 알고 있을 때, 지구에서 관측되는 빛의 세기인 광속$S$를 측정하여 광도 거리를 계산할 수 있다. 이 계산식은 $d\_L(z)=\backslash sqrt\{L/4\backslash pi\; S\}$로 주어지며, 위에서 정의한 $d\_L(z)$와 동일한 값을 제공한다. 이 방법은 Ia형 초신성과 같이 광도가 일정한 것으로 알려진 표준 양초를 이용한 거리 측정에 매우 중요하게 사용된다. 특히, Ia형 초신성의 광도 거리 관측은 암흑 에너지의 존재와 그로 인한 우주 팽창의 가속 현상을 발견하는 데 결정적인 역할을 했다.

2. 4. 2. 표준 촉광과 광도 거리

멀리 떨어진 천체의 고유 광도$L$을 알고 있다면, 관측된 플럭스$S$를 측정하여 '''광도 거리''' $d\_L(z)\; =\; \backslash sqrt\{L\; /\; 4\backslash pi\; S\}$를 계산할 수 있다. 이 값은 Ia형 초신성과 같이 밝기가 알려진 표준 촛불을 이용하여 거리를 측정하는 데 중요하게 사용된다. 특히, 표준 촛불 관측을 통한 광도 거리 측정은 우주 팽창이 암흑 에너지에 의해 가속되고 있다는 사실을 처음으로 밝혀내는 데 결정적인 역할을 했다.

지구의 특이 속도를 고려할 때, 거리 계산 시 해당 적색편이 값을 사용해야 한다. 또한, $(1+z)$ 인자는 측정된 적색편이$z$를 사용해야 하며, 천체의 특이 속도에 대한 추가적인 보정을 $\backslash sqrt\{(1+v/c)\; /\; (1-v/c)\}$ 인자를 곱하여 수행해야 한다. 여기서 $v$는 우리로부터 멀어지는 천체의 특이 속도 성분이다. 이러한 방식으로 계산된 광도 거리는 에테링턴 상호성 정리에 따라, 측정된 적색편이$z$에 $(1+z)^2$을 곱한 각지름 거리와 같다.

2. 5. 광행 거리 (Light-Travel Distance)

우주론에서 거리를 정의하는 방법은 여러 가지가 있으며, 이들은 작은 적색편이$z$ 값에서는 서로 비슷한 값을 가진다. 이 거리들은 일반적으로 관측 가능한 양인 적색편이 $z$의 함수로 표현된다. 여러 거리 측정 방식 중 하나로 '''광행거리'''(Light-Travel Distance, LTD)가 있다.^[3]

광행거리는 빛이 특정 천체에서 출발하여 관측자에게 도달하기까지 걸린 시간에 광속$c$를 곱한 값으로 정의된다. 이는 빛이 우주 공간을 여행한 시간을 직접적으로 나타내므로 "과거 시점 거리"라고도 불린다.^[3] 예를 들어, 광행거리를 기준으로 한 관측 가능한 우주의 반지름은 우주의 나이인 약 138억 년에 광속을 곱한 138억 광년에 해당한다.

광행거리는 특정 적분식을 통해 계산되며, 우주의 나이와 밀접한 관련이 있어 특정 적색편이를 가진 천체가 빛을 방출했을 당시의 우주 나이를 추정하는 데 사용될 수 있다. 광행거리의 자세한 계산 방법과 우주의 나이와의 관계는 하위 섹션에서 다룬다.^[10][1]

2. 5. 1. 광행 거리의 정의

광행거리(Light travel distance)는 아래의 식으로 구할 수 있다.

$d\_T(z)\; =\; d\_H\; \backslash int\_0^z\; \backslash frac\{d\; z\text{'}\}\{(1+z\text{'})E(z\text{'})\}$

이 거리 $d\_T$는 빛이 천체에서 관찰자에게 도달하는 데 걸린 시간에 광속을 곱한 값이다. 예를 들어, 이 거리 측정 방식을 사용하면 관측 가능한 우주의 반지름은 우주의 나이인 약 138억 년에 빛의 속도(1광년/년)를 곱한 값, 즉 약 138억 광년이 된다. 이는 "과거 시점" 또는 "과거 시점 거리"라고도 불린다.^[3]

특정 조건에서는 광행거리에 대한 닫힌 형태의 해가 존재한다. 예를 들어, 우주 상수($\backslash Omega\_\backslash Lambda$)가 존재하고 복사($\backslash Omega\_r$)와 물질($\backslash Omega\_m$) 밀도가 0인 경우($\backslash Omega\_r=\backslash Omega\_m=0$), 해는 역쌍곡선 함수 $\backslash text\{arcosh\}$ 또는 $\backslash text\{arsinh\}$ (우주 상수의 부호에 따라 역삼각 함수)를 포함하는 형태로 나타난다. 만약 복사 밀도와 우주 상수가 0인 경우($\backslash Omega\_r=\backslash Omega\_\backslash Lambda=0$)에는 $d\_T(z)$에 대한 닫힌 형태의 해가 존재하지만, 반대로 광행거리 $d\_T$로부터 적색편이$z$를 구하는 함수 $z(d\_T)$에 대한 닫힌 형태의 해는 없다.

우주의 나이는 광행거리를 이용하여 $\backslash lim\_\{z\backslash to\backslash infty\}\; d\_T(z)/c$ 로 표현할 수 있으며, 특정 적색편이 $z$인 천체가 빛을 방출한 시점부터 현재까지 경과된 시간은 $t(z)\; =\; d\_T(z)/c$ 로 계산할 수 있다.

적색편이로부터 광행거리를 계산하는 웹사이트들이 존재한다.^[4][5][6][7]

2. 5. 2. 광행 거리와 우주의 나이

광행거리(Light Travel Distance, LTD)는 빛이 특정 적색편이$z$를 가진 천체로부터 관측자에게 도달하는 데 걸린 시간(우주 시간, 과거 시점 시간) $\backslash Delta\; t$에 광속$c$를 곱한 거리이다. 즉, $d\_T\; =\; c\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; t$ 이다. 이 거리는 다음 적분식으로 계산된다.^[10]

$d\_T(z)\; =\; d\_H\; \backslash int\_0^z\; \backslash frac\{d\; z\text{'}\}\{(1+z\text{'})E(z\text{'})\}$

여기서 $d\_H$는 허블 거리이며, $E(z)$는 무차원 허블 매개변수 $E(z)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash Omega\_r(1+z)^4+\backslash Omega\_m(1+z)^3+\backslash Omega\_k(1+z)^2+\backslash Omega\_\backslash Lambda\}$ 이다.

광행거리는 빛이 이동한 경로의 길이 자체를 의미하지는 않지만, 빛이 이동하는 데 걸린 시간을 직접적으로 나타낸다. 예를 들어, 이 거리 측정 방식을 사용하면 관측 가능한 우주의 반지름은 우주의 나이(약 138억 년)에 광속(1 광년/년)을 곱한 값, 즉 약 138억 광년이 된다.^[3] 이 때문에 "과거 시점 거리(lookback distance)"라고도 불린다.^[3]

우주의 나이$T\_0$는 $z\; \backslash to\; \backslash infty$ 일 때의 광행시간 $t\_L(z)\; =\; d\_T(z)/c$의 극한값, 즉 $T\_0\; =\; \backslash lim\_\{z\backslash to\backslash infty\}\; d\_T(z)/c$로 계산된다. 적색편이 $z$인 천체에서 빛이 출발한 후 현재까지 경과한 시간(즉, 빛의 이동 시간 또는 과거 시점 시간)은 $t\_L(z)\; =\; d\_T(z)/c$ 이다. 따라서 해당 천체가 빛을 방출했을 당시의 우주의 나이는 $T\_\{age\}(z)\; =\; T\_0\; -\; t\_L(z)$ 가 된다.

특정 조건 하에서는 광행거리에 대한 닫힌 형태의 해가 존재한다. 예를 들어, 우주 모델에서 복사 에너지 밀도와 물질 밀도가 모두 0 ($\backslash Omega\_r=\backslash Omega\_m=0$)이라고 가정하면, 광행거리는 역쌍곡선 함수 ($\backslash text\{arcosh\}$ 또는 $\backslash text\{arsinh\}$) 또는 역삼각함수를 포함하는 닫힌 형태로 표현될 수 있다. 만약 복사 에너지 밀도와 암흑 에너지 밀도가 0 ($\backslash Omega\_r=\backslash Omega\_\backslash Lambda=0$)이라면, $d\_T(z)$에 대한 닫힌 형태의 해는 존재하지만, 반대로 광행거리 $d\_T$로부터 적색편이 $z$를 구하는 닫힌 형태의 해는 없다.

적색편이로부터 광행거리를 계산해주는 웹사이트들이 있다.^[4][5][6][7]

3. 특이 속도 (Peculiar Velocity)

적색편이를 이해할 때 실제로는 두 가지 개념을 구분해야 한다.

첫 번째는 우주론적 적색편이이다. 이는 관측하는 우리(지구)와 관측 대상 천체가 우주 전체의 팽창과 함께 움직이는 기준, 즉 우주 마이크로파 배경으로 정의할 수 있는 허블 흐름에 대해 상대적으로 움직이지 않을 때 이론적으로 관측되는 적색편이 값이다.

두 번째는 실제로 관측되는 적색편이이다. 이는 우주론적 적색편이뿐만 아니라, 관측 대상 천체 자체의 특이 속도(peculiar velocity, 또는 고유 속도)와 관측자인 우리 자신(지구, 태양계)의 특이 속도로 인해 발생하는 도플러 효과까지 포함된 값이다. 즉, 천체나 관측자가 허블 흐름에 대해 추가적으로 갖는 상대적인 운동 속도가 관측되는 적색편이에 영향을 미친다.

예를 들어, 우리 태양계는 사자자리와 바다뱀자리 사이 방향으로 허블 흐름에 대해 약 370km/s의 특이 속도로 움직이고 있다. 이 때문에 해당 방향으로 멀리 있는 천체를 관측할 경우, 실제 적색편이를 나타내는 $1+z$ 값은 태양계의 특이 속도가 없다고 가정했을 때보다 약 1.0012배 작게 측정된다. 반대로, 정반대 방향에 있는 천체는 같은 비율만큼 $1+z$ 값이 크게 측정된다. 참고로 지구가 태양 주위를 공전하는 속도는 약 30km/s 정도로, 태양계의 특이 속도에 비하면 작은 편이다.

따라서 정밀한 우주 거리 측정을 위해서는 이러한 특이 속도의 영향을 고려하여 관측된 적색편이 값을 보정해야 할 필요가 있다.

4. 에서링턴 상호성 정리 (Etherington's Distance Duality)

에서링턴 상호성 정리는 표준 촉광(Standard candle)의 광도 거리 $d\_L$와 각지름 거리 $d\_A$ 사이의 관계를 설명하는 정리이다.^[8] 이 관계는 다음과 같은 식으로 표현된다.

$d\_L\; =\; (1+z)^2\; d\_A$

여기서 $z$는 천체의 적색편이이다.

광도 거리는 천체와 관측자의 특이속도를 고려하여 보정될 수 있다. 예를 들어, 천체의 특이 속도에 대한 보정을 $\backslash sqrt\{(1+v/c)\; /\; (1-v/c)\}$ (여기서 $v$는 우리로부터 멀어지는 천체의 특이 속도 성분)와 같은 계수를 곱하여 수행할 수 있다. 이렇게 보정된 광도 거리는 해당 천체의 측정된 적색편이 $z$에 대해 $(1+z)^2$을 곱한 각지름 거리와 같아지며, 이는 에서링턴 상호성 정리에 따른 결과이다.

참조

_[1] 논문 Distance measures in cosmology
_[2] 서적 Principles of Physical Cosmology https://archive.org/[...] Princeton University Press
_[3] 웹사이트 Cosmology Calculator https://cosmocalc.ic[...] 2022
_[4] 웹사이트 UCLA Cosmological Calculator http://www.astro.ucl[...] 2015
_[5] 웹사이트 UCLA Cosmological Calculator http://www.astro.ucl[...] 2018
_[6] 웹사이트 ICRAR Cosmology Calculator https://cosmocalc.ic[...] 2022
_[7] 웹사이트 KEMPNER Cosmology Calculator https://www.kempner.[...] 2022
_[8] 간행물 LX. On the Definition of Distance in General Relativity Philosophical Magazine
_[9] 서적 Principles of Physical Cosmology https://archive.org/[...] Princeton University Press
_[10] 논문 Distance measures in cosmology
_[11] 문서
_[12] 간행물 LX. On the Definition of Distance in General Relativity Philosophical Magazine

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