거울 대칭 가설

3. 거울 다양체 구성

처음에 거울 대칭 다양체를 구성하는 과정은 다소 엉성하였다. 본질적으로 일반 5차 삼중체 $X\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{CP\}^4$에 대하여 다중 특이점을 가진 1-매개변수 칼라비-야우 다양체 족 $X\_\backslash psi$이 존재해야 한다. 여기서 이 특이점들을 블로우업 한 후 특이점을이 없어지며 뒤집힌 호지 다이아몬드를 가진 새로운 칼라비-야우 다양체 $X^\backslash vee$가 구성된다. 특히, 다음과 같은 동형사상들이 존재한다:

$H^q(X,\backslash Omega\_X^p)\; \backslash cong\; H^q(X^\backslash vee,\; \backslash Omega\_\{X^\backslash vee\}^\{3-p\}).$

가장 중요한 것은 다음과 같은 동형사상이다.

$H^1(X,\backslash Omega\_X^1)\; \backslash cong\; H^1(X^\backslash vee,\; \backslash Omega\_\{X^\backslash vee\}^\{2\})$

여기서 $H^1(X,\backslash Omega\_X^1)$의 상태에 대한 끈 이론( $X$의 ''A-모형'')은 $H^1(X^\backslash vee,\; \backslash Omega\_\{X^\backslash vee\}^\{2\})$의 상태를 갖는 끈 이론( $X^\backslash vee$의 ''B-모형'')과 상호 교환된다. A-모형의 끈 이론은 $X$의 켈러 구조 또는 심플렉틱 구조에만 의존하는 반면, B-모형은 $X^\backslash vee$의 복소 구조에만 의존한다.

드워크족(Dwork 족)은 5차 삼중체의 거울 다양체를 구성하는 데 사용되는 특수한 칼라비-야우 다양체 족이다.^[13][16] 이 족은 하나의 복소 매개변수 ψ로 정의되며, 다음과 같은 사영족으로 주어진다.

> $X\_\backslash psi\; =\; \backslash text\{Proj\}\; \backslash left($

\frac{\mathbb{C}[\psi][x_0,\ldots, x_4]}{(x_0^5 + \cdots + x_4^5 - 5\psi x_0x_1x_2x_3x_4)}

\right)

이는 복소 평면 $\backslash text\{Spec\}(\backslash mathbb\{C\}[\backslash psi])$ 위에서 정의된다. 이 족의 복소 변형 차원은 단 하나이며, 이는 $\backslash psi$ 값의 변화에서 비롯된다. 이는 거울 다양체 $\backslash check\{X\}$의 호지 다이아몬드에 $\backslash dim\; H^\{2,1\}(\backslash check\{X\})\; =\; 1.$이 성립하기 때문에 중요하다.

$X\_\backslash psi$ 족은 다음과 같은 대칭군(Symmetry Group)을 가진다.

> $G\; =\; \backslash left\backslash \{\; (a\_0,\backslash ldots,\; a\_4)\; \backslash in\; (\backslash mathbb\{Z\}/5)^5\; :\; \backslash sum\; a\_i\; =\; 0\; \backslash right\backslash \}$

이 군은 다음과 같이 작용한다.

> $(a\_0,\backslash ldots,a\_4)\backslash cdot\; [x\_0:\backslash cdots:x\_4]\; =\; [e^\{\; a\_0\backslash cdot\; 2\backslash pi\; i/5\}x\_0:\backslash cdots\; :\; e^\{\; a\_4\; \backslash cdot\; 2\backslash pi\; i/5\}x\_4]$

$X\_\backslash psi$의 사영성은 조건 $\backslash sum\_i\; a\_i\; =\; 0.$을 만족시키는 이유이다.

이 대칭군을 이용하여 몫 다양체 $X\_\backslash psi\; /\; G$를 구성할 수 있다. $X\_\backslash psi\; /\; G$는 100개의 특이점을 가지는데, 이를 crepant resolution하여 특이점을 해소할 수 있다.^[2][5]

> $\backslash check\{X\}\; \backslash to\; X\_\backslash psi\; /\; G$

이를 통해 새로운 칼라비-야우 다양체 $\backslash check\{X\}$를 얻는다. 이 다양체가 $X\_\backslash psi$의 거울 다양체가 된다.

일반 5차 삼중체^[13][14]는 5차 동차다항식으로 정의된다. 이 다항식은 선형 다발 $f\; \backslash in\; \backslash Gamma(\backslash mathbb\{P\}^4,\backslash mathcal\{O\}\_\{\backslash mathbb\{P\}^4\}(5))$^[15][16]의 global section으로도 묘사된다. 대역 단면의 선형 공간 차원은 126이다. 이 다항식들은 두 가지 동등성을 가지는데, 첫째는 대수적 토러스 $\backslash mathbb\{G\}\_m$로 스케일링하는 다항식^[17]이고, 둘째는 사영적 동등성은 24 차원인 $\backslash mathbb\{P\}^4$의 자기동형군 $\backslash text\{PGL\}(5)$에 의해 주어진다는 것이다. 따라서 126 - 24 - 1 = 101 이므로, 이것은 기하 불변 이론을 사용하여 구성 할 수 있는 101 차원 매개 변수 공간$U\_\{\backslash text\{smooth\}\}\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{P\}(\backslash Gamma(\backslash mathbb\{P\}^4,\backslash mathcal\{O\}\_\{\backslash mathbb\{P\}^4\}(5)))/PGL(5)$을 준다. 집합 $U\_\{\backslash text\{smooth\}\}$은 $\backslash mathbb\{P\}^4$안의 매끄러운 칼라비-야우 5차 삼중체를 정의하는 다항식들의 동치류들에 해당한다.^[18]

세르 쌍대성과 각 칼라비-야우 다양체에 자명한 표준 선다발 $\backslash omega\_X$이 있다는 사실을 이용하여, deformation 공간에는 다음과 같은 동형사상:$H^1(X,T\_X)\; \backslash cong\; H^2(X,\backslash Omega\_X)$과 $H^3(X)$위의 호지 구조의 $(2,1)$ 부분을 가진다. 렙셰츠 초평면 정리를 이용하면, 유일한 자명하지 않은 코호몰로지 군은 $H^3(X)$이다. 왜냐하면 다른 것들은 $H^i(\backslash mathbb\{P\}^4)$와 동형이기 때문이다. 오일러 지표와 top 천 특성류인 오일러 특성류를 사용하면 이 군의 차원은 204이다.

$\backslash dim\; H^2(X,\backslash Omega\_X)\; =\; h^\{1,2\}\; =\; 101$은 칼라비-야우 다양체의 모듈라이 공간의 차원이다. Bogomolev-Tian-Todorov 정리로 인해 이러한 모든 deformation들이 방해받지 않으므로 매끄러운 공간 $U\_\{\backslash text\{smooth\}\}$은 사실 5차 삼중체의 모듈라이 공간다. 이 구성의 요점은, 이 모듈라이 공간의 복소 매개 변수가 거울 다양체의 켈러 매개 변수로 변환되는 것이다.

3. 1. 5차 삼중체의 거울 다양체

$X\_\backslash psi\; =\; \backslash text\{Proj\}\; \backslash left($

\frac{\mathbb{C}[\psi][x_0,\ldots, x_4]}{(x_0^5 + \cdots + x_4^5 - 5\psi x_0x_1x_2x_3_4)}

\right)

$G\; =\; \backslash left\backslash \{\; (a\_0,\backslash ldots,\; a\_4)\; \backslash in\; (\backslash mathbb\{Z\}/5)^5\; :\; \backslash sum\; a\_i\; =\; 0\; \backslash right\backslash \}$

$(a\_0,\backslash ldots,a\_4)\backslash cdot\; [x\_0:\backslash cdots:x\_4]\; =\; [e^\{\; a\_0\backslash cdot\; 2\backslash pi\; i/5\}x\_0:\backslash cdots\; :\; e^\{\; a\_4\; \backslash cdot\; 2\backslash pi\; i/5\}x\_4]$

$\backslash check\{X\}\; \backslash to\; X\_\backslash psi\; /\; G$

3. 1. 1. 복소 모듈라이 공간

3. 1. 2. 드워크 족

$X\_\backslash psi\; =\; \backslash text\{Proj\}\; \backslash left($

\frac{\mathbb{C}[\psi][x_0,\ldots, x_4]}{(x_0^5 + \cdots + x_4^5 - 5\psi x_0x_1x_2x_3x_4)}

\right)

$G\; =\; \backslash left\backslash \{\; (a\_0,\backslash ldots,\; a\_4)\; \backslash in\; (\backslash mathbb\{Z\}/5)^5\; :\; \backslash sum\; a\_i\; =\; 0\; \backslash right\backslash \}$

$(a\_0,\backslash ldots,a\_4)\backslash cdot\; [x\_0:\backslash cdots:x\_4]\; =\; [e^\{\; a\_0\backslash cdot\; 2\backslash pi\; i/5\}x\_0:\backslash cdots\; :\; e^\{\; a\_4\; \backslash cdot\; 2\backslash pi\; i/5\}x\_4]$

$\backslash check\{X\}\; \backslash to\; X\_\backslash psi\; /\; G$

3. 2. 일반적인 구성 방법

4. 끈 이론과 거울 대칭

끈 이론에서 거울 대칭은 중요한 역할을 한다. 끈 이론의 비선형 시그마 모형은 $\backslash phi:\; \backslash Sigma\; \backslash to\; X$ 형태의 맵 집합을 연구한다. 여기서 $\backslash Sigma$는 종수 $g$의 대수 곡선(세계면)이고, $X$는 칼라비-야우 다양체이다.^[8] 이 때, 칼라비-야우 다양체는 시공간의 여분 차원을 나타낸다. 거울 대칭은 서로 다른 기하학적 구조를 가진 칼라비-야우 다양체가 동일한 물리적 결과를 낳을 수 있음을 의미한다.

공간 $X$는 적분 가능한 거의 복소 구조 $J\; \backslash in\; \backslash text\{End\}(TX)$인 복소 구조를 가지며, 켈러 다양체이므로 심플렉틱 기하학적 구조 $\backslash omega$(켈러 형식)를 가진다. 이를 복소화한 복소화된 켈러 형식 $$\backslash omega^\backslash mathbb\{C\}\; =\; B\; +\; i\backslash omega$$는 닫힌 $(1,1)$-형식이므로, 코호몰로지류는 $$[\backslash omega^\backslash mathbb\{C\}]\; \backslash in\; H^1(X,\backslash Omega\_X^1)$$에 속한다. 거울 대칭은 복소 구조 $J$와 복소화된 심플렉틱 구조 $\backslash omega^\backslash mathbb\{C\}$의 변형(모듈 공간)을 연구한다. 물리학적 관점에서,^[8] 칼라비-야우 다양체 $X$의 초등각장론은 거울 다양체 $X^\backslash vee$의 이중 초등각장론과 동등해야 한다. 여기서 등각은 곡선 $\backslash Sigma$ 상의 복소 구조의 동치류와 동일한 등각 동치를 의미한다.

비선형 시그마 모형에는 '''A-모형'''과 '''B-모형'''이라는 두 가지 변형이 있는데, 이는 쌍 $(X,\backslash omega^\backslash mathbb\{C\})$과 $(X,J)$ 및 그 모듈을 고려한다.^[12]

4. 1. A-모형과 B-모형

4. 1. 1. A-모형의 상관 함수

4. 1. 2. B-모형의 상관 함수

4. 2. 거울 가설

5. 호몰로지 거울 대칭

막심 콘체비치(Maxim Kontsevich)가 제안한 호몰로지 거울 대칭(Homological Mirror Symmetry)은 거울 대칭을 보다 추상적인 범주론적 관점에서 이해하려는 시도이다.

5. 1. 개요

5. 2. 연구 동향

6. 한국의 거울 대칭 연구

6. 1. 주요 연구 분야

6. 2. 국제 협력

참조

_[1] 논문 A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory 1991-07-29
_[2] 웹사이트 The Quintic 3-fold and Its Mirror https://ocw.mit.edu/[...]
_[3] arXiv Rational curves on Calabi-Yau threefolds 1993-12-29
_[4] 문서 for example, as a set, a Calabi-Yau manifold is the subset of [[complex projective space]]$\backslash \{[x\_0:x\_1:x\_2:x\_3:x\_4]\; \backslash in\; \backslash mathbb\{CP\}^4\; :\; x\_0^5\; +\; x\_1^5\; +\; x\_2^5\; +\; x\_3^5\; +\; x\_4^5\; =\; 0\; \backslash \}$
_[5] 논문 Mirror symmetry and rational curves on quintic threefolds: a guide for mathematicians
_[6] 문서 Which can be thought of as the $\backslash mathbb\{C\}^*$-[[Group action|action]] on $\backslash mathbb\{C\}^5\; -\; \backslash \{\; 0\backslash \}$ constructing the [[complex projective space]] $\backslash mathbb\{CP\}^4$
_[7] 문서 More generally, such moduli spaces are constructed using projective equivalence of schemes in a fixed projective space on a fixed [[Hilbert scheme]]
_[8] 서적 Mirror symmetry and algebraic geometry American Mathematical Society 1999
_[9] arXiv The Higgs boson for mathematicians. Lecture notes on gauge theory and symmetry breaking 2020-07-24
_[10] 서적 J-holomorphic curves and symplectic topology American Mathematical Society 2012
_[11] 논문 Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry https://projecteucli[...] 1994
_[12] 서적 Mirror symmetry American Mathematical Society 2003
_[13] 웹인용 The Quintic 3-fold and Its Mirror https://ocw.mit.edu/[...]
_[14] 문서 for example, as a set, a Calabi-Yau manifold is the subset of [[complex projective space]]$\backslash \{[x\_0:x\_1:x\_2:x\_3:x\_4]\; \backslash in\; \backslash mathbb\{CP\}^4\; :\; x\_0^5\; +\; x\_1^5\; +\; x\_2^5\; +\; x\_3^5\; +\; x\_4^5\; =\; 0\; \backslash \}$
_[15] 논문 A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory 1991-07-29
_[16] 논문 Mirror symmetry and rational curves on quintic threefolds: a guide for mathematicians
_[17] 문서 Which can be thought of as the $\backslash mathbb\{C\}^*$-[[Group action|action]] on $\backslash mathbb\{C\}^5\; -\; \backslash \{\; 0\backslash \}$ constructing the [[complex projective space]] $\backslash mathbb\{CP\}^4$
_[18] 문서 More generally, such moduli spaces are constructed using projective equivalence of schemes in a fixed projective space on a fixed [[Hilbert scheme]]