깎은 정십이면체

1. 개요

깎은 정십이면체는 정십이면체의 꼭짓점을 깎거나 모서리를 확장하여 만들 수 있는 아르키메데스 다면체 중 하나이다. 32개의 면(정삼각형 20개, 정십각형 12개), 90개의 모서리, 60개의 꼭짓점을 가지며, 정이십면체 대칭을 갖는 준정다면체이다. 깎은 정십이면체는 겉넓이, 부피, 외접구 반지름을 계산하는 공식이 존재하며, 깎은 정십이면체 그래프는 60개의 꼭짓점과 90개의 변을 가진 정규 아르키메데스 그래프이다. 또한, 깎은 정십이면체는 증대 다면체 구성을 통해 다양한 존슨의 다면체를 생성하는 데 사용될 수 있다.

2. 구성

깎은 정십이면체는 정십이면체의 각 꼭짓점을 잘라내어 만들거나, 정십이면체의 모서리를 밀어내 오각형 면을 십각형 면으로, 꼭짓점을 삼각형으로 만들어 구성할 수 있다. 깎은 정십이면체는 32개의 면, 90개의 모서리, 60개의 꼭짓점을 가진다.

깎은 정십이면체는 데카르트 좌표계를 사용하여 구성할 수도 있다. 원점을 중심으로 하는 모서리 길이가 2φ − 2^영어일 때, 다음 좌표들의 짝수 순열 조합은 깎은 정십이면체의 꼭짓점 좌표가 된다.

* (0, ±1/φ^영어, ±(2 + φ))
* (±1/φ^영어, ±φ, ±2φ)
* (±φ, ±2, ±(φ + 1))

여기서 φ = (1 + √5)/2^영어는 황금비이다.

2.1. 공식

한 모서리의 길이가 $a$인 깎은 정십이면체의 겉넓이 $A$와 부피 $V$, 외접구의 반지름은 다음과 같다.

:$A\; =\; 5\backslash left(\backslash sqrt\{3\}+6\backslash sqrt\{5+2\backslash sqrt\{5\}\}\backslash right)\; a^2\; \backslash approx\; 100.991a^2$
:$V\; =\; \backslash frac\{5\}\{12\}\; \backslash left(99+47\backslash sqrt\{5\}\backslash right)\; a^3\; \backslash approx\; 85.040a^3$
:외접구 반지름: $\backslash frac\{\backslash sqrt\{74+30\backslash sqrt\{5\}\}\}\{4\}a\; \backslash approx\; 2.969449a$

3. 성질

깎은 정십이면체는 아르키메데스 다면체 중 하나로, 매우 대칭적인 준정다면체이다. 정이십면체와 같은 정이십면체 대칭을 갖는다. 모든 꼭짓점에서는 정삼각형 1개와 정십각형 2개가 만나며, 깎은 정십이면체의 꼭짓점 도형은 $3\; \backslash cdot\; 10^2$이다. 깎은 정십이면체의 쌍대다면체는 삼각십이면체이며 카탈랑 다면체에 속하고, 깎은 정십이면체와 같은 대칭성을 갖는다.

깎은 정십이면체는 키랄성이 없어서 거울상과 합동이다.

깎은 정십이면체의 두 정십각형 면 사이의 이면각은 116.57°이고, 정삼각형과 정십각형 사이의 이면각은 142.62°이다.

변의 길이가 $a$일 때 겉넓이 $A$와 부피 $V$는 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
A &= 5 \left(\sqrt{3}+6\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right) a^2 &&\approx 100.991a^2 \\
V &= \frac{5}{12} \left(99+47\sqrt{5}\right) a^3 &&\approx 85.040a^3
\end{align}

4. 그래프

수학의 그래프 이론 분야에서, 깎은 정십이면체 그래프는 아르키메데스 도형 중 하나인 깎은 정십이면체의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프이다. 60개의 꼭짓점과 90개의 변을 가지며, 정규 아르키메데스 그래프이다.

5. 관련 다면체

깎은 정십이면체는 증대 다면체 구성에 적용될 수 있다. 예를 들어 깎은 정십이면체에 오각뿔을 부착하여 존슨의 다면체를 만들 수 있는데, 여기에는 증대 깎은 정십이면체, 이중 증대 깎은 정십이면체, 메타 이중 증대 깎은 정십이면체, 삼중 증대 깎은 정십이면체가 있다.

5.1. 비슷한 다면체