사영

1. 개요

사영은 자기 자신과의 합성 결과가 같은 멱등원인 사상 또는 오른쪽 역원을 갖는 사상을 의미한다. 사영의 개념은 집합론, 관계형 데이터베이스, 구면 기하학, 선형대수학, 미분 위상수학, 위상수학, 범주론 등 다양한 수학 분야에서 활용된다. 예를 들어, 집합론에서는 데카르트 곱의 원소를 특정 성분으로 보내는 사영 맵이 있으며, 선형대수학에서는 멱등원인 선형 변환을 사영이라고 한다.

2. 정의

일반적으로, 정의역과 공역이 동일한 집합(또는 수학적 구조)인 사상은, 이 사상이 멱등원일 경우 사영이라고 불린다. 즉, 사영은 자기 자신과의 합성과 동일하다. 사영은 또한 오른쪽 역원을 가지는 사상을 지칭할 수도 있다. 이 두 가지 개념은 다음과 같이 연관되어 있다. 집합 A^영어에서 자기 자신으로의 멱등 사상 p^영어가 주어졌을 때 () 를 p^영어의 이미지라고 하자. π^영어를 A^영어에서 B^영어로의 사상으로 간주되는 사상 p^영어로 표기하고, i^영어를 B^영어에서 A^영어로의 주입으로 표기하면 (), 를 얻는다 (따라서 π^영어는 오른쪽 역원을 가진다). 반대로, π^영어가 오른쪽 역원 i^영어를 가지면 는 이므로, 가 멱등원임을 의미한다.

3. 여러 분야에서의 활용

사영의 원래 개념은 여러 수학적 상황으로 확장되거나 일반화되었다. 이는 기하학과 관련이 있는 경우가 많지만, 항상 그런 것은 아니다.

* 집합론에서는 원소를 주어진 동치 관계에 따른 동치류로 보내거나, 고정된 x에 대해 함수 f를 f(x) 값으로 보내는 매핑을 사영이라 한다.
* 관계형 데이터베이스 및 질의 언어에서 사영은 특정 속성 집합으로 튜플을 제한하는 단항 연산이다.
* 구면 기하학에서 구를 평면으로 사영하는 것은 프톨레마이오스가 그의 저서 Planisphaerium에서 사용했으며, 스테레오그래픽 사영 등으로 알려져 있다.
* 선형대수학에서 사영은 두 번 적용해도 변하지 않는 선형 변환으로, 멱등원 연산자를 의미한다.
* 미분 위상수학에서 모든 올다발은 정의의 일부로 사영 맵을 포함하며, 이는 국소적으로 곱 위상의 사영 맵과 같다.
* 위상수학에서 수축은 그 이미지에 대한 항등 사상으로 제한되는 연속 사상이며, 사영 맵의 일반화로 간주될 수 있다.
* 한 벡터를 다른 벡터로 스칼라 투영하는 경우가 있다.
* 범주론에서 집합의 데카르트 곱 개념은 임의의 범주로 일반화될 수 있으며, 곱은 각 인자에 대한 표준 사영 사상을 갖는다.

3.1. 집합론

* j^번째 사영 맵으로 전형화된 연산은 $\backslash text\{proj\}\_j$로 표기되며, 데카르트 곱 $X\_1\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; X\_j\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; X\_n$의 원소 $\backslash mathbf\{x\}\; =\; (x\_1,\; \backslash dots,\; x\_j,\; \backslash dots,\; x\_n)$를 값 $\backslash text\{proj\}\_j(\backslash mathbf\{x\})\; =\; x\_j$로 보낸다. 이 맵은 항상 전사 함수이며, 각 공간 $X\_k$에 위상이 있는 경우 이 맵은 또한 연속이며 열린 사상이다.
* 원소를 주어진 동치 관계 하에서의 동치류로 보내는 매핑은 표준 사영으로 알려져 있다.
* 평가 맵은 고정된 $x$에 대해 함수 $f$를 값 $f(x)$로 보낸다. 함수 공간 $Y^X$는 데카르트 곱 $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; X\}\; Y$로 식별될 수 있으며, 평가 맵은 데카르트 곱으로부터의 사영 맵이다.

3.2. 관계형 데이터베이스

관계형 데이터베이스 및 질의 언어에서 사영은 $\backslash Pi\_\{a\_1,\; \backslash ldots,a\_n\}(\; R\; )$로 표기되는 단항 연산이다. 여기서 $a\_1,\backslash ldots,a\_n$은 속성 이름의 집합이다. 이러한 사영의 결과는 R의 모든 튜플이 $\backslash \{a\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash \}$ 집합으로 제한될 때 얻어지는 집합으로 정의된다. R은 데이터베이스 관계이다.

3.3. 기하학

구면 기하학에서 구를 평면으로 사영하는 방법은 프톨레마이오스가 그의 저서 Planisphaerium에서 사용했다.(~150) 이 방법은 스테레오그래픽 사영이라고 하며, 구에 접선인 평면과 접점의 반대편에 있는 극 C를 사용한다. C를 제외한 구 위의 모든 점 P는 P에 대해 사영된 점에서 평면과 교차하는 선 CP를 결정한다. 이 대응은 무한대에서의 점이 C에 대응하도록 포함될 때 구를 평면에 대한 일점 컴팩트화로 만들며, 그렇지 않은 경우에는 평면에 대한 사영이 없다. 일반적인 예시는 리만 구에 대응하는 컴팩트화가 있는 복소 평면이다. 또는 반구는 정사영을 사용하여 평면으로 사영되는 경우가 많다.

3.4. 선형대수학

선형대수학에서 사영은 두 번 적용해도 변경되지 않는 선형 변환을 의미한다. 즉, 를 만족하는 멱등원 연산자이다. 예를 들어, 3차원에서 점 를 으로 보내는 매핑은 사영이다. 이러한 유형의 사영은 매핑의 정의역에 대해 차원, 공역에 대해 차원으로 자연스럽게 일반화될 수 있다. 직교 사영의 경우 공간은 곱으로 분해될 수 있으며, 사영 연산자는 그 의미에서도 사영이다.

3.5. 미분 위상수학

올다발은 정의의 일부로 사영 맵을 포함한다. 적어도 국소적으로 이 맵은 곱 위상의 의미에서 사영 맵과 같으며, 따라서 열린 사상이고 전사 함수이다.

3.6. 위상수학

위상수학에서 수축은 연속 사상이며, 그 이미지에 대한 항등 사상으로 제한된다. 이는 멱등 조건을 만족하며, 사영 사상의 일반화로 간주될 수 있다. 수축의 이미지는 원래 공간의 수축이라고 한다. 항등 사상에 호모토피인 수축은 변형 수축으로 알려져 있다.

3.7. 범주론

범주론에서, 집합의 데카르트 곱 개념은 임의의 범주로 일반화될 수 있다. 일부 대상의 곱은 각 인자에 대한 표준 사영 사상을 갖는다. 특수한 경우로 집합의 데카르트 곱에서의 사영, 위상 공간의 곱 위상(항상 전사 함수이고 열린 사상) 또는 군의 직접곱에서의 사영 등이 있다. 이러한 사상은 종종 에피모피즘이거나 전사 함수일 수 있지만, 그럴 필요는 없다.