나폴레옹 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 증명
5. 나폴레옹 삼각형의 성질
- 5.1. 변의 길이와 넓이
- 5.2. 무게 중심
6. 나폴레옹 점
7. 일반화
참조

1. 개요

나폴레옹 정리는 임의의 삼각형의 각 변을 외부에 정삼각형으로 확장하거나 내부에 정삼각형으로 확장했을 때, 각 정삼각형의 무게중심을 연결하면 정삼각형이 된다는 기하학 정리이다. 이 정리는 외측 나폴레옹 삼각형과 내측 나폴레옹 삼각형으로 구분되며, 1825년 윌리엄 러더퍼드에 의해 처음 공개되었으나 나폴레옹 보나파르트가 제시했다는 증거는 없다. 이 정리는 다양한 방법으로 증명될 수 있으며, 나폴레옹 점과 같은 관련 개념과 여러 일반화된 형태로 확장되어 연구되고 있다.

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나폴레옹 정리
개요
나폴레옹 정리 시각화
유형	기하학
관련 개념	정삼각형, 삼각형
발견자	(알려지지 않음, 나폴레옹과 관련되었다고 전해짐)
설명
내용	삼각형의 각 변에 정삼각형을 그리고, 각 정삼각형의 중심을 연결하면 새로운 정삼각형이 된다는 정리이다.
추가 설명	원래 삼각형 내부에 정삼각형을 만들 때도 성립한다.
역사
최초 언급	1825년 윌리엄 러더퍼드에 의해 언급됨
관련 인물	나폴레옹 보나파르트 (정리와 관련되었다고 전해짐) 윌리엄 러더퍼드
응용 및 확장
관련 정리	페르마 점 반 오벨 정리 미켈 점
응용 분야	삼각형의 성질 연구

2. 정의

삼각형 $ABC$ 의 바깥쪽에 정삼각형 $E_ABC$ , $E_BCA$ , $E_CAB$ 가 만들어지도록 점 $E_A$ , $E_B$ , $E_C$ 를 잡는다. (예를 들어 $E_A$ 는 $BC$ 에 대하여 $A$ 의 반대쪽에 위치한다.) 그리고 이 정삼각형들의 무게 중심을 각각 $N_A$ , $N_B$ , $N_C$ 라고 한다. 마찬가지로, 삼각형 $ABC$ 의 안쪽에 정삼각형 $E_A'BC$ , $E_B'AC$ , $E_C'AB$ 가 만들어지도록 점 $E_A'$ , $E_B'$ , $E_C'$ 를 잡는다. (예를 들어 $E_A'$ 는 $BC$ 에 대하여 $A$ 와 같은 쪽에 위치한다.) 그리고 이 정삼각형들의 무게 중심을 각각 $N_A'$ , $N_B'$ , $N_C'$ 라고 한다. '''나폴레옹 정리'''에 따르면, 삼각형 $N_AN_BN_C$ 와 $N_A'N_B'N_C'$ 은 모두 정삼각형이다.

삼각형 $N_AN_BN_C$ 를 삼각형 $ABC$ 의 '''외측 나폴레옹 삼각형'''(outer Napoleon triangle^영어)이라고 하고, 삼각형 $N_A'N_B'N_C'$ 를 삼각형 $ABC$ 의 '''내측 나폴레옹 삼각형'''(inner Napoleon triangle^영어)이라고 한다. 즉, 나폴레옹 정리는 임의의 삼각형의 내측 및 외측 나폴레옹 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.

3. 역사

1825년 영국의 수학자 윌리엄 러더퍼드(William Rutherford^영어)가 《레이디스 다이어리》(The Ladies' Diary^영어)에 기고한 글에서 처음 공개되었다.^[26] 이 정리는 프랑스의 황제 나폴레옹 보나파르트의 이름이 붙었으나, 나폴레옹이 제시했다는 증거는 존재하지 않는다.^[26]

1826년 ''Ladies' Diary''에서 발췌한 기하학적 및 해석적 증명

나폴레옹에게 이 정리가 귀속되는 경우가 많지만, 이 주장에 의문을 제기하는 여러 논문이 작성되었다.^[7]^[8] 1825년 ''Ladies' Diary'' 47페이지에 나폴레옹 정리가 인쇄물에 처음 등장했으며, 나폴레옹의 이름은 언급되지 않았다.

윌리엄 러더퍼드는 유능한 수학자였지만, 스스로 증명할 수 있는 정리에 대한 증명을 요청한 이유는 알려지지 않았다. 동료들에게 도전하기 위해 질문을 던졌거나, 더 우아한 해법을 얻기를 바랐을 수도 있다. 1820년대 ''Ladies' Diary''의 편집자는 초보자를 위한 연습 문제를 포함하여 다양한 문제를 포함하는 것을 목표로 했다.

문제나 1826년에 출판된 답변에서 나폴레옹에 대한 언급은 없었다. 편집자는 일부 투고를 생략했던 것으로 보인다. 러더퍼드는 인쇄된 해답 이후 이름을 올린 해결자 중 한 명으로 나타나지 않지만, 우드번 학교의 동료들을 포함하여 해결책을 보냈음이 분명하다. 우드번 문제 해결 그룹은 ''A Historical, Geographical, and Descriptive View of the County of Northumberland ...'' (2nd ed. Vol. II, pp. 123–124)에 기록될 정도로 유명했다.

이 결과가 나폴레옹의 정리로 처음 언급된 것은 1911년에 출판된 Faifofer의 ''Elementi di Geometria'' 제17판으로 여겨졌지만,^[9] Faifofer는 이전 판에서도 나폴레옹을 언급했다. 1867년 백과사전에 나폴레옹의 이름이 언급되었기 때문에 논쟁의 여지가 있다. Faifofer가 이전 판에서 사용했던 문제는 토마스 모스가 1754년 ''Ladies Diary''에서 제시한 문제였으며, 윌리엄 베빌이 이듬해 해결한 내용에서 나폴레옹 정리의 씨앗을 알아볼 수 있다. 두 결과는 이후 적어도 다음 백 년 동안 대중적인 연감의 문제 페이지에서 반복적으로 언급되었다.

삼각형의 변에 정삼각형을 놓는 것은 정사각형을 놓는 피타고라스 명제의 변형과 유사한 관심사였다. 1864년 ''Lady's and Gentleman's Diary''에 실린 윌리엄 메이슨의 상금 문제는 이와 관련하여 15페이지에 달하는 해답과 해설을 포함한다. 1900년대 초까지 ''Educational Times''에 이러한 종류의 문제가 계속 실렸다.

1820년 10월 더블린 대학교 시험에서 금메달 후보자들을 위해 출제된 문제 중 세 문제가 나폴레옹 정리와 관련 있었다.^[10]

1829년 ''신사의 일기 또는 수학 보고''의 문제 1249에서 이 주제를 다루었으며, 다음 해의 문제에서 해결책이 나타났다. T. S. 데이비스는 1826년 ''철학 잡지''에 기고한 논문을 바탕으로 결과를 일반화했다. 1750년대 중반부터 1860년대 중반까지 연감의 문제 페이지에 관련된 항목들이 있었다.

나폴레옹의 이름은 1867년 ''챔버스 백과사전''에서 이 결과와 관련하여 언급되었다.^[11] 그러나 그 결과는 적어도 1834년 교과서에서 증명과 함께 나타났다.^[12] 톰슨은 각주에서 이 제안을 1823년에 출판된 ''더블린 문제''에서 접했다고 언급했다. 1837년, 톰슨은 벨파스트의 전 학생인 아담 D. 글래스고 씨가 제공한 증명을 추가했다. 톰슨은 1825년 ''여성 일기''나 1829년 ''신사 일기''를 알지 못하는 것으로 보이며, J. S. 매케이는 후자를 알지 못한 채 전자를 언급했다. R. C. 아치볼드는 ''미국 수학 월간''에서 ''신사 일기''의 문제 1249를 언급했지만, 1826년 ''여성 일기''에 처음 출판된 해결책은 우선 순위 문제에 대해 전지적이지 않다는 것을 보여준다.

4. 증명

나폴레옹 정리의 증명 방법은 여러 가지가 있다. 좌표를 사용하지 않는 기하학적 증명,^[5] 삼각법을 이용한 증명,^[18] 대칭성을 기반으로 하는 접근 방식,^[6] 및 복소수를 이용한 증명이 있다.^[18]

그림에서 △ABC는 원래 삼각형이고, △AZB, △BXC, △CYA는 이 삼각형의 각 변을 한 변으로 하는 정삼각형이며, 점 L, M, N은 이 정삼각형들의 무게중심이다. 이때, 바깥쪽에 만들어진 정삼각형들의 무게중심을 연결하여 만든 삼각형 △LMN(녹색)은 정삼각형이다.

△LMN이 정삼각형임을 증명하는 방법 중 하나는 닮음 변환을 이용하는 것이다. 점 A를 중심으로 M을 N으로 30° 회전하고, 같은 중심에서 √3 배 확대하면 C를 Z로 옮길 수 있다. 마찬가지로 점 B를 중심으로 L을 N으로 30° 회전하고, 같은 중심에서 √3 배 확대하면 역시 C를 Z로 옮길 수 있다. 따라서 MN = LN이고, 이 두 변 사이의 각도는 60°가 된다.^[3]^[4]

4. 1. 닮음을 이용한 증명

삼각형

N_AN_BC

와

E_AAC

는 서로 닮음이다. 삼각형

N_AN_BC

를

C

를 중심으로 30도 회전한 뒤

C

를 중심으로 하고

1/\sqrt 3

를 비로 하는 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형

E_AAC

를 얻을 수 있기 때문이다. 마찬가지로, 삼각형

N_AN_CB

와

E_AAB

역시 서로 닮음이며, 이에 대한 닮음비 역시

1/\sqrt 3

이다. 따라서

:

N_AN_B=\frac 1{\sqrt 3}E_AA=N_AN_C

가 성립한다.

MN

이 점

A

를 중심으로 시계 방향으로 30° 회전하고 같은 중심에서 비율

\sqrt 3

의 닮음 변환을 거치면

CZ

가 되며,

LN

또한 점

B

를 중심으로 반시계 방향으로 30° 회전하고 같은 중심에서 비율

\sqrt 3

의 닮음 변환을 거치면

CZ

가 된다. 각 나선 닮음 변환^[3]은

A(\sqrt 3, -30^\circ),\ B(\sqrt 3, 30^\circ)

이다. 이는

MN = LN

를 의미하며, 이들 사이의 각도는 60°여야 한다.^[4]

4. 2. 외접원을 이용한 증명

삼각형

E_ABC

,

E_BCA

,

E_CAB

의 외접원이 같은 점을 지난다는 사실을 먼저 보이겠다.^[27] 편의상 삼각형

E_ABC

,

E_BCA

의 외접원의

C

가 아닌 교점을

P

라고 하자. 그리고

P

가

BC

,

AC

에 대하여 각각

A

,

B

와 같은 쪽에 위치한다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

:

\angle BPC=180^\circ-\angle BE_AC=120^\circ

:

\angle APC=180^\circ-\angle AE_BC=120^\circ

따라서,

:

\angle APB=360^\circ-\angle BPC-\angle APC=120^\circ=180^\circ-\angle E_CAB

이며,

P

는 삼각형

E_CAB

의 외접원 위의 점이다. 즉, 세 외접원은 모두 이 점을 지난다.

이제 외측 나폴레옹 삼각형

N_AN_BN_C

의 세 내각이 60도임을 보이겠다. 편의상

\angle N_BN_AN_C

에 대해서만 증명하면 충분하다. 삼각형

E_ABC

와

E_BCA

의 외접원의 중심선

N_AN_B

는 공통현

PC

의 수직 이등분선이다. 마찬가지로 삼각형

E_ABC

와

E_CAB

의 외접원의 중심선

N_AN_C

역시 공통현

PB

의 수직 이등분선이다. 따라서 다음이 성립한다.

:

\angle N_BN_AN_C=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle BPC=60^\circ

4. 3. 삼각법을 이용한 증명

외측 나폴레옹 삼각형

N_AN_BN_C

의 변

N_AN_B

의 길이를 원래 삼각형

ABC

의 세 변의 길이

BC=a

,

CA=b

,

AB=c

에 대한 함수로 나타낼 수 있다. 이 함수가 대칭 함수라면 남은 두 변

N_BN_C

,

N_CN_A

의 길이 역시 같은 함수로 표현되므로 증명이 완성된다. 삼각형

N_AN_BC

에서

:

\angle N_ACN_B=C+60^\circ

:

N_AC=\frac 1{\sqrt 3}a,\;N_BC=\frac 1{\sqrt 3}b

이므로, 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.^[18]

:

\begin{align}{N_AN_B}^2&=N_AC^2+N_BC^2-2\cdot N_AC\cdot N_BC\cdot\cos\angle N_ACN_B\\&=\frac 13(a^2+b^2-2ab\cos(C+60^\circ))\\&=\frac 13\left(a^2+b^2-ab\cos C+\sqrt 3ab\sin C\right)\\&=\frac 16(a^2+b^2+c^2+4\sqrt 3S)\end{align}

여기서

S

는 삼각형

ABC

의 넓이이다. 마지막 함수는

a

,

b

,

c

의 순열에 대하여 불변이므로 대칭 함수가 맞다.

4. 4. 복소수를 이용한 증명

이 정삼각형임을 쉽게 알 수 있는 방법은 이 점 를 중심으로 시계 방향으로 30° 회전하고 같은 중심에서 비율 의 닮음 변환을 거치면 가 되며, 또한 점 를 중심으로 반시계 방향으로 30° 회전하고 같은 중심에서 비율 의 닮음 변환을 거치면 가 된다는 것을 관찰하는 것이다. 각 나선 닮음 변환^[3]은 이다. 이는 를 의미하며, 이들 사이의 각도는 60°여야 한다.^[4]

5. 나폴레옹 삼각형의 성질

나폴레옹 정리에 따르면, 임의의 삼각형 $ABC$ 에 대해 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형은 모두 정삼각형이다. 외측 나폴레옹 삼각형 $N_AN_BN_C$ 는 삼각형 $ABC$ 의 각 변에 외접하는 정삼각형들의 무게 중심을 이은 것이고, 내측 나폴레옹 삼각형 $N_A'N_B'N_C'$ 는 각 변에 내접하는 정삼각형들의 무게 중심을 이은 것이다.

내부 및 외부 나폴레옹 삼각형의 중심은 원래 삼각형의 무게중심과 일치한다.^[13]^[14]

5. 1. 변의 길이와 넓이

삼각형

ABC

의 꼭짓점

A

,

B

,

C

의 대변의 길이를

a

,

b

,

c

라고 하고, 넓이를

S

라고 할 경우, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형

N_AN_BN_C

,

N_A'N_B'N_C'

의 변의 길이는 다음과 같다.

:

N_AN_B=N_BN_C=N_CN_A=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+4\sqrt 3S}6}

:

N_A'N_B'=N_B'N_C'=N_C'N_A'=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2-4\sqrt 3S}6}

넓이는 다음과 같다.

:

S_{\triangle N_AN_BN_C}=\frac{a^2+b^2+c^2+4\sqrt 3S}{8\sqrt 3}

:

S_{\triangle N_A'N_B'N_C'}=\frac{a^2+b^2+c^2-4\sqrt 3S}{8\sqrt 3}

특히, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 넓이의 차는 원래 삼각형의 넓이와 같다.^[27]

내부 나폴레옹 삼각형의 면적은 면적

\triangle

를 가진 삼각형의 경우 다음과 같다.

:

\text {Area(inner)} = -\frac{\triangle}{2} + \frac{\sqrt{3}}{24}(a^2+b^2+c^2)\ge 0,

여기서

a, b, c

는 원래 삼각형의 변의 길이이며, 바이첸뵈크 부등식에 의해 원래 삼각형이 정삼각형인 경우에만 등식이 성립한다. 그러나 대수적인 관점에서^[15] 내부 삼각형은 "후진"이며 그 ''대수적'' 면적은 이 식의 음수이다.^[16]

외부 나폴레옹 삼각형의 면적은^[17] 다음과 같다.

:

\text {Area(outer)} = \frac{\triangle}{2} + \frac{\sqrt{3}}{24}(a^2+b^2+c^2).

해석 기하학적으로, 외부 나폴레옹 삼각형의 세 변 각각의 길이는 다음과 같다.^[18]

:

\text{Side(outer)} = \sqrt}}.

후자의 두 방정식 간의 관계는 정삼각형의 면적이 변의 제곱 곱하기

\sqrt{3} / 4.

와 같다는 것이다.

5. 2. 무게 중심

삼각형의 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심은 같으며,^[27] 이는 원래 삼각형의 무게 중심과 일치한다. 다음은 외측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심이 원래 삼각형의 무게 중심과 같다는 사실을 벡터에 대한 선형 변환을 사용하여 증명한 것이다. 내측 나폴레옹 삼각형 역시 같은 방법으로 증명할 수 있다.

삼각형

ABC

의 무게 중심을

G

라고 하자. 편의상 삼각형

ABC

의 꼭짓점이 시계 반대 방향으로 열거되었다고 하자. 삼각형

ABC

의 평면 위의 벡터들에 대한 변환

T

를 모든 벡터를 시계 반대 방향으로 60도 회전시키는 변환이라고 하자. 즉, 평면 위 임의의 점

X

,

Y

에 대하여

:

\overrightarrow{XY}

와

:

T(\overrightarrow{XY})

사이의 유향각은 시계 반대 방향 60도이다. 그렇다면

T

는 선형 변환이다. 삼각형

E_ABC

는 정삼각형이고 꼭짓점이 시계 방향으로 열거되었으므로

:

\overrightarrow{CE_A}=T(\overrightarrow{CB})

이며, 또한

N_A

은 삼각형

E_ABC

의 무게 중심이므로

:

\begin{align}\overrightarrow 0&=\overrightarrow{N_AE_A}+\overrightarrow{N_AB}+\overrightarrow{N_AC}\\&=\overrightarrow{N_AC}+\overrightarrow{CE_A}+\overrightarrow{N_AB}+\overrightarrow{N_AC}\\&=\overrightarrow{N_AB}+2\overrightarrow{N_AC}+T(\overrightarrow{CB})\end{align}

이다. 마찬가지로,

:

\overrightarrow 0=\overrightarrow{N_BC}+2\overrightarrow{N_BA}+T(\overrightarrow{AC})

:

\overrightarrow 0=\overrightarrow{N_CA}+2\overrightarrow{N_CB}+T(\overrightarrow{BA})

가 성립한다. 세 등식의 양변을 서로 더하면

:

\begin{align}\overrightarrow 0&=\overrightarrow{N_AB}+2\overrightarrow{N_AC}+\overrightarrow{N_BC}+2\overrightarrow{N_BA}+\overrightarrow{N_CA}+2\overrightarrow{N_CB}\\&=3(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})

3(\overrightarrow{GN_A}+\overrightarrow{GN_B}+\overrightarrow{GN_C})\\

&=-3(\overrightarrow{GN_A}+\overrightarrow{GN_B}+\overrightarrow{GN_C})\end{align}

를 얻는다. 즉,

G

는 외측 나폴레옹 삼각형

N_AN_BN_C

의 무게 중심이다.

내부 및 외부 나폴레옹 삼각형의 중심은 원래 삼각형의 무게중심과 일치한다. 이러한 일치는 1867년 Chambers's Encyclopaedia에서 언급되었다. 해당 항목에는 서명이 없다. 당시 에든버러 대학교 자연철학 교수였던 피터 테이트(P. G. 테이트)가 기고자 명단에 올라 있으며, 에든버러 대학교의 수학 튜터인 J. U. 힐하우스는 "백과사전의 정규 직원과 짧거나 긴 시간 동안 연결된 다른 문학가" 명단에 올라 있었다. 그러나 1867년의 ''사원수에 관한 기초 논문''^[13]의 189(e)절에서 테이트는 이 문제를 다루었다. (사실, 1831년 Gentleman's Diary의 질문 1265에 대한 데이비스의 언급을 그대로 반영했지만, 현재는 사원수의 설정에서 다루었다.)

만약 삼각형의 변의 중점에 외향으로 수직선을 세우고, 각각 해당 변에 비례한다면, 그 끝점의 평균점은 원래 삼각형의 평균점과 일치한다. 새로운 삼각형이 정삼각형이 되도록 각 수직선의 비를 원래 삼각형 해당 변의 절반으로 구하시오.

테이트는 임의의 삼각형의 변에 외향으로 세워진 정삼각형의 평균점이 정삼각형을 이룬다고 결론을 내렸다. 이 내용은 1873년과 1890년에 출판된 후속 판과 1873년 필립 켈랜드와 공동 저술한 그의 추가 저서 ''사원수 입문''^[14]에도 유지되었다.

6. 나폴레옹 점

나폴레옹 삼각형의 꼭짓점과 원래 삼각형의 꼭짓점을 잇는 세 직선(AL, BM, CN)은 한 점에서 만난다. 이 점을 나폴레옹 점이라고 한다.

나폴레옹 점은 키페르트 점의 ''θ''=30°인 경우에 해당하며, 키페르트 쌍곡선 위에 존재한다.

7. 일반화

삼각형 $ABC$ 의 바깥쪽에 $P+Q+R=180^\circ$ 를 만족하는 점 $P$ , $Q$ , $R$ 을 잡으면, 삼각형 $PBC$ , $AQC$ , $ABR$ 의 외접원은 한 점에서 만난다. 특히, 이 삼각형들이 정삼각형일 때 이 조건이 만족되며, 세 외접원이 만나는 점은 제1 나폴레옹 점이 된다.

또한, 삼각형 $ABC$ 의 바깥쪽에 삼각형 $PBC$ , $AQC$ , $ABR$ 가 닮음이고 대응점이 일치하도록 점 $P$ , $Q$ , $R$ 을 잡고, 각 삼각형의 무게중심을 $D$ , $E$ , $F$ 라고 하면, 삼각형 $DEF$ 는 이 세 삼각형과 닮음이다. 나폴레옹 정리는 이 경우가 정삼각형인 특수한 경우이다.

7. 1. 페트르-더글라스-노이만 정리

임의의 n각형 A₀의 변에 꼭지각이 2kπ/n인 이등변 삼각형을 세우고, 이 삼각형들의 자유로운 꼭지점들로 이루어진 n각형에 대해 다른 k 값을 사용하여 이 과정을 반복한다면, 즉 1 ≤ k ≤ n − 2의 모든 값들을 (임의의 순서로) 사용한다면, 정n각형 A_n−2가 형성되며, 이 정n각형의 무게중심은 A₀의 무게중심과 일치한다.^[19]

7. 2. 나폴레옹-바를로티 정리

다각형의 변 위에 정n각형을 구성하여 얻은 정n각형의 중심은 원래 다각형이 정n각형의 아핀 변환일 경우에만 정n각형을 형성한다.^[20]^[21]

7. 3. 다오 탄 오아이의 일반화

육각형 이 주어졌을 때, 각 변을 기준으로 정삼각형을 안쪽 또는 바깥쪽으로 만들고, 각 정삼각형의 꼭짓점을 라고 표시한다. 만약 , , 가 각각 , , 의 무게중심이라면, , , 는 정삼각형을 이룬다.^[22]

'''다오의 첫 번째 일반화''': 정삼각형 △ABG, DHC, IEF가 번갈아 가며 AB, CD, EF의 외부에 또는 내부에 만들어진 육각형 ABCDEF가 주어졌을 때, A₁, B₁, C₁을 각각 △FGC, △BHE, △DIA의 무게중심이라고 하고, A₂, B₂, C₂를 각각 △DGE, △AHF, △BIC의 무게중심이라고 하면, △A₁B₁C₁과 △A₂B₂C₂는 정삼각형이다.^[23] (예를 들어 점 A와 F, B와 C, D와 E가 일치하도록 하면 다오 탄 오아이의 결과는 나폴레옹 정리로 축소된다.)

다오의 두 번째 일반화: 세 개의 닮음 이등변삼각형 BA₀C, CB₀A, AC₀B가 모두 외부로 향하고 가 에서 까지인 시뮬레이션

'''다오의 두 번째 일반화''': 삼각형 가 주어졌을 때, 세 개의 닮음 이등변삼각형 BA₀C, CB₀A, AC₀B를 모두 외부 또는 모두 내부로 만들고 밑각을 로 한다. 점 A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂가 반직선 위에 놓이도록 하여 다음을 만족하게 한다.

:

:

그러면 두 개의 삼각형 A₁B₁C₁과 A₂B₂C₂는 정삼각형이다.^[24]

'''다오의 세 번째 일반화''': 삼각형 가 주어졌을 때 를 첫 번째(또는 두 번째) 페르마 점으로 하고, 를 키퍼트 쌍곡선 위의 임의의 점으로 한다. 를 선 위의 임의의 점이라고 하자. 를 지나고 에 수직인 선은 와 A₀에서 만난다. B₀, C₀을 순환적으로 정의하면 A₀B₀C₀는 정삼각형이다.^[25]

참조

_[1] 학술 2012
_[2] 웹사이트 Napoleon's Theorem - from Wolfram MathWorld http://mathworld.wol[...] Mathworld.wolfram.com 2013-08-29
_[3] MathWorld Spiral Similarity
_[4] 웹사이트 Napoleon's Theorem via Two Rotations http://www.cut-the-k[...]
_[5] 서적 Geometry Revisited 1967
_[6] 웹사이트 Proof #2 (an argument by symmetrization) http://www.cut-the-k[...] Cut-the-knot.org null
_[7] 간행물 Per la storia dei teoremi attribuiti a Napoleone Buonaparte e a Frank Morley
_[8] 저널 Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen?
_[9] 서적 Elementi di Geometria
_[10] 서적 Dublin problems: a collection of questions proposed to the candidates for the gold medal at the general examinations, from 1816 to 1822 inclusive. Which is succeeded by an account of the fellowship examination, in 1823 http://dbooks.bodlei[...] G. and W. B. Whittaker 1823
_[11] 간행물 Chambers's Encyclopaedia https://archive.org/[...] 1867
_[12] 서적 The First Six and the Eleventh and Twelfth Books of Euclid's Elements; with Notes and Illustrations, and an Appendix in Five Books. By James Thomson, LL.D. https://books.google[...] 1834
_[13] 문서 Clarendon Press, Oxford 1867
_[14] 문서 Macmillan, London 1873
_[15] 웹사이트 Inner Napoleon Triangle http://mathworld.wol[...]
_[16] 서적 Geometry Revisited 1967
_[17] 웹사이트 Outer Napoleon Triangle http://mathworld.wol[...]
_[18] MathPages Napoleon's Theorem
_[19] 저널 Isogonal Prismatoids 1997
_[20] 학술 Intorno ad una generalizzazione di un noto teorema relativo al triangolo 1952
_[21] 학술 Una proprietà degli n-agoni che si ottengono transformando in una affinità un n-agono regolare 1955
_[22] 학술 Jha and Savaran’s generalisation of Napoleon’s theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries http://geometry-math[...] 2022
_[23] 학술 Geometric Proofs and Further Generalizations of Dao Than Oai’s Napoleon Hexagon Theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries https://geometry-mat[...] 2023
_[24] 학술 A family of Napoleon triangles associated with the Kiepert configuration http://journals.camb[...] 2015
_[25] 학술 Some new equilateral triangles in a plane geometry https://geometry-mat[...] 2018
_[26] 저널 인용
_[27] 서적 인용
_[28] 서적 인용

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