수직 이등분선

1. 개요

수직 이등분선은 평면에서 선분의 중점을 지나면서 해당 선분과 수직으로 만나는 직선이다. 선분의 양 끝점으로부터 거리가 같은 점들의 자취이며, 이등변삼각형의 밑변 수직 이등분선은 꼭지각의 이등분선이자 중선이다. 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 한 점에서 만나며, 이 점은 외접원의 중심인 외심이다. 수직 이등분선은 작도를 통해 그릴 수 있으며, 3차원 공간에서는 수직 이등분면, 고차원 유클리드 공간에서는 수직 이등분 초평면으로 일반화된다.

2. 정의

평면 위에서 선분 AB의 수직 이등분선은 선분 AB의 중점을 지나면서 선분 AB에 수직인 직선이다.

3. 성질

평면 위에서 선분 $AB$의 수직 이등분선은 두 끝점 $A,B$와 거리가 같은 점들의 자취이다. 즉, 평면 위의 점 $P$에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $P$는 선분 $AB$의 수직 이등분선 위의 점이다.
* $PA=PB$

평면 위에서 $AB=AC$를 만족시키는 이등변 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 밑변 $BC$의 수직 이등분선은 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 점 $A$를 지나는 중선이자 각 $\backslash angle\; A$의 이등분선이다.

평면 위에서 원의 현의 수직 이등분선은 원의 중심을 지난다.

평면 위에서 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 공점선이다. 삼각형의 세 수직 이등분선의 교점은 삼각형의 외접원의 중심이며, 이를 삼각형의 외심이라고 한다.

4. 작도

주어진 선분의 수직 이등분선은 컴퍼스와 자를 이용하여 작도할 수 있다.

4.1. 작도 방법

주어진 선분의 양 끝점을 중심으로 하고, 선분의 길이와 같은 반지름을 갖는 두 원을 그린다. 두 원의 교점을 잇는 직선을 그으면, 이 직선이 주어진 선분의 수직 이등분선이 된다.

5. 일반화

수직 이등분선은 3차원 이상의 고차원 공간으로 일반화될 수 있다.

5.1. 수직 이등분면

3차원 공간에서 선분 AB^영어의 수직 이등분면(垂直二等分面, perpendicular bisecting plane^영어)은 선분 AB^영어의 중점을 지나고 선분 AB^영어에 수직인 평면이다. 이는 두 끝점 A^영어, B^영어와의 거리가 같은 공간 속 점의 자취이다.

5.2. 수직 이등분 초평면

양의 정수 $d$가 주어졌다고 하자. $d$차원 유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^d$에서, 선분 $AB$의 수직 이등분 초평면(perpendicular bisecting hyperplane^영어)은 선분 $AB$의 중점을 지나고 선분 $AB$와 직교하는 $(d-1)$차원 부분 아핀 공간이다. 이는 $d=2$일 경우 수직 이등분선이고 $d=3$일 경우 수직 이등분면이다.