높이척도

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 공식
- 2.2. 물리적 의미
3. 온도와의 환산 (지구 대기)
- 3.1. 대표적인 온도와 스케일 하이트
4. 행성별 스케일 하이트
- 4.1. 행성 및 위성
5. 강착 원반에서의 스케일 하이트
- 5.1. 얇은 원반 근사
- 5.2. 자기장 내에서의 원반 스케일 하이트
참조

1. 개요

높이척도는 행성 대기에서 대기압이 'e'의 인자로 감소하는 고도의 증가분을 의미하며, 특정 온도에서 일정하게 유지된다. 높이척도는 볼츠만 상수, 기체 상수, 온도, 분자 질량, 몰 질량, 중력 가속도 등을 사용하여 계산하며, 압력은 높이에 따라 지수적으로 감소한다. 지구 대기의 경우, 높이척도는 온도에 따라 다르며, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성, 타이탄, 천왕성, 해왕성, 명왕성 등 태양계 내 행성 및 위성의 대기 척도 높이가 각각 다르다. 또한, 강착 원반에서도 높이척도 개념이 사용되며, 디스크의 두께를 나타내는 지표로 활용된다.

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높이척도
정의
정의	어떤 양이 e의 인자만큼 감소하는 거리를 말한다.
척도 높이	대기의 밀도가 표면값의 1/e로 감소하는 높이를 말한다.
상세
공식
공식	H = kT/mg
H	척도 높이
k	볼츠만 상수 (1.38 x 10^-23 J/K)
T	평균 대기 온도 (K)
m	분자의 평균 질량 (kg)
g	중력 가속도 (m/s²)
행성별 척도 높이
금성	15.9 km
지구	8.4 km
화성	11.1 km
목성	27 km
토성	59.5 km
천왕성	27.7 km
해왕성	19.1-20.3 km
타이탄	약 40 km
추가 설명

2. 정의

행성 대기에서, '''높이척도'''(scale height)는 대기압이 ''e'' 배만큼 감소하는 수직 거리(고도 증가분)를 의미한다.^[1]^[2] 높이척도는 특정 온도에서는 일정하게 유지되는 경향이 있다. 즉, 고도가 높이척도만큼 증가할 때마다 대기압은 약 37%(1/''e'') 수준으로 감소하며, 이는 대기압이 고도에 따라 지수적으로 감소하는 특성을 나타내는 중요한 척도이다.^[4]

2. 1. 기본 공식

행성 대기에서, 높이척도(''H'')는 대기압이 자연로그의 밑 ''e''(약 2.718) 배만큼 감소하는 고도 증가량을 의미한다. 높이척도는 특정 온도에서는 일정하게 유지된다. 높이척도는 다음 두 가지 식 중 하나로 계산할 수 있다.^[1]^[2]

H = \frac{k_\text{B}T}{mg},

또는 이와 동등하게,

H = \frac{RT}{Mg},

여기서 각 기호는 다음과 같다.

''k''_B = 볼츠만 상수 (약 1.381 × 10^-23 J·K^-1)
''R'' = 몰 기체 상수
''T'' = 평균 대기 온도 (K 단위). 지구의 경우 약 250,000이다.^[3]
''m'' = 기체 분자의 평균 질량 (kg 단위)
''M'' = 대기 입자의 평균 몰 질량 (kg/mol 단위). 지구의 경우 약 0.029 kg/mol이다.
''g'' = 해당 위치에서의 중력 가속도 (m/s² 단위)

특정 고도에서의 압력(''P'', 단위 면적당 힘)은 그 위쪽에 있는 대기의 무게 때문에 발생한다. 고도 ''z''에서 대기의 밀도가 ''ρ''이고 압력이 ''P''라고 할 때, 고도가 ''dz''만큼 미소하게 증가하면 압력은 ''dP''만큼 감소한다. 이 감소량은 두께 ''dz''인 대기층의 무게와 같다.

따라서 다음 관계식이 성립한다.

\frac{dP}{dz} = -g\rho,

여기서 ''g''는 중력 가속도이다. ''dz''가 매우 작다면 ''g''를 상수로 간주할 수 있다. 음(-) 부호는 고도가 증가하면 압력이 감소한다는 것을 의미한다.

이제 대기를 평균 분자량 ''M''을 가진 이상 기체로 가정하고, 온도 ''T''에서의 이상 기체 상태 방정식을 사용하면 밀도 ''ρ''를 다음과 같이 표현할 수 있다.^[17]

\rho = \frac{MP}{RT}.

(또는 볼츠만 상수 ''k''_B와 분자 평균 질량 ''m''을 사용하면

\rho = \frac{mP}{k_\text{B}T}

이다.)

위의 두 식(압력 변화율과 상태 방정식)을 결합하면 다음과 같다.

\frac{dP}{P} = \frac{-Mg}{RT} dz

앞서 정의한 높이척도 ''H'' = ''RT''/(''Mg'') (또는 ''H'' = ''k''_B''T''/(''mg''))를 이용하면 다음과 같이 정리된다.

\frac{dP}{P} = - \frac{dz}{H}.

이 식은 온도가 변하지 않는 한 ''H''가 일정함을 보여준다. 위 식을 적분하고, 고도 ''z'' = 0(해수면 등 기준 고도)에서의 압력을 ''P''₀라고 가정하면, 임의의 고도 ''z''에서의 압력 ''P''는 다음과 같이 주어진다.

P = P_0\exp\left(-\frac{z}{H}\right).

이 식은 압력이 고도에 따라 지수적으로 감쇠한다는 것을 보여준다.^[4] 고도가 ''H''만큼 증가할 때마다 압력은 ''1/e''배로 감소한다.

밀도 또한 이상 기체 법칙에 따라 압력과 비례하므로, 높이에 따라 지수적으로 감소한다. 예를 들어, 해수면에서의 평균 밀도 ''ρ''₀는 약 1.2 kg/m³이다.

2. 2. 물리적 의미

대기의 대기압은 그 위에 놓인 공기의 무게 때문에 발생한다. 특정 고도 ''z''에서 대기의 밀도가 ''ρ''이고 압력이 ''P''라고 할 때, 고도가 미소량 d''z''만큼 증가하면 압력은 d''P''만큼 변화한다. 이 압력 변화는 해당 높이의 공기층 무게에 해당하므로, 다음과 같은 관계식으로 표현할 수 있다.

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}=-g\rho

여기서 ''g''는 중력 가속도이다. 미소 높이 변화 d''z''에 대해서는 ''g''를 상수로 간주할 수 있다. 식의 음(-) 부호는 고도가 증가함에 따라 압력이 감소한다는 것을 나타낸다.

대기를 이상 기체로 가정하고 이상 기체 상태 방정식을 사용하면, 밀도 ''ρ''는 다음과 같이 표현할 수 있다.^[17]

\rho=\frac{MP}{kT}

여기서 ''M''은 공기 분자의 평균 몰 질량, ''k''는 볼츠만 상수, ''T''는 절대 온도이다.

위의 두 식을 결합하여 압력 ''P''에 대해 정리하면 다음과 같다.

\frac{\mathrm{d}P}{P}=-\frac{Mg}{kT}\mathrm{d}z

이 식에서

H = \frac{kT}{Mg}

로 정의되는 양이 바로 높이척도(scale height)이다. 이를 이용하여 식을 다시 쓰면 다음과 같다.

\frac{\mathrm{d}P}{P}=-\frac{\mathrm{d}z}{H}

만약 온도 ''T''가 고도에 따라 변하지 않는다고 가정하면, 높이척도 ''H'' 역시 상수가 된다. 이 상태에서 위 식을 적분하면 고도 ''z''에서의 압력 ''P''를 구할 수 있다. 기준 고도(''z'' = 0, 예를 들어 해수면)에서의 압력을 ''P''₀라고 하면, 고도 ''z''에서의 압력 ''P''는 다음과 같이 주어진다.

P=P_{0}e^{-\frac{z}{H}}

이 식은 대기압 ''P''가 고도 ''z''에 따라 지수적으로 감소한다는 것을 보여준다.^[4] 높이척도 ''H''는 압력이 기준 고도에서의 값(''P''₀)에 비해

1/e

(약 37%) 배로 감소하는 고도를 의미한다. 즉, 고도가 ''H''만큼 증가할 때마다 압력은 약 63% 감소한다.

3. 온도와의 환산 (지구 대기)

지구 대기의 경우, 높이척도 ''H''는 절대온도 ''T''에 거의 비례한다. 이는 높이척도 계산식 $H = \frac{k_\text{B}T}{mg}$ 에서 볼츠만 상수 ''k''_B, 분자의 평균 질량 ''m'', 중력 가속도 ''g''가 특정 고도 범위에서 비교적 일정하다고 가정할 때 성립하는 관계이다.^[1]^[2] 따라서 온도와 높이척도 사이에는 대략적인 환산 관계가 존재하며, 지구 대기의 평균 분자량과 해수면 근처의 중력 가속도를 이용해 계산한 환산 계수 $\frac{k_\text{B}}{mg}$ 는 약 29.26 m/K이다.^[3] 이는 온도가 1 K 변할 때 높이척도가 약 29.26m 정도 변함을 의미한다. 대표적인 온도에 따른 구체적인 높이척도 값은 아래 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

3. 1. 대표적인 온도와 스케일 하이트

지구의 경우, 해수면에서의 압력 ''P''₀는 약 1.01×10⁵ Pa이고, 건조한 대기의 평균 분자량은 ''M'' = 28.964 u = 4.808×10^-26 kg이다. 여기서 u는 원자 질량 단위를 의미한다. 또한 중력 가속도 ''g''는 9.81 m/s²이다. 이러한 값들을 지구 대기 스케일 하이트 공식의 온도 부분을 제외한 부분에 대입하면, 온도와의 환산 계수를 다음과 같이 얻을 수 있다.

:

\frac{k}{Mg} = \frac{1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}}{(4.808\times10^{-26}\ \mathrm{kg})\times(9.8\ \mathrm{m/s^2)}} = 29.26\ \mathrm{m/K}

이 계산 결과는 온도(''T'')와 스케일 하이트(''H'') 사이의 관계를 보여주며, 대표적인 값들은 아래 표와 같다.

온도 T (K)	온도 T (°C)	스케일 하이트 H (m)
290 K	약 17°C	8500m
273 K	0°C	8000m
260 K	약 -13°C	7610m
210 K	약 -63°C	6000m

4. 행성별 스케일 하이트

(내용 없음)

4. 1. 행성 및 위성

다음은 태양계 내 특정 천체의 대략적인 대기 척도 고도이다.

금성: 15.9km^[5]
지구: 8.5km^[6]
화성: 11.1km^[7]
목성: 27km^[8]
토성: 59.5km^[9]
타이탄: 21km^[10]
천왕성: 27.7km^[11]
해왕성: 19.1km–20.3km^[12]
명왕성: 약 50km^[13]

5. 강착 원반에서의 스케일 하이트

높이척도는 대기 과학 외에도 다양한 분야에서 사용되는 개념이다. 우주 물리학에서는 특히 강착 원반을 설명할 때 중요한 역할을 한다. 강착 원반에서는 원반의 높이 방향(수직 방향)으로 가스의 밀도나 압력과 같은 물리량이 지수 함수적으로 감소하는 경향을 보이는데, 이때 특징적인 감소 거리, 즉 높이척도를 정의할 수 있다. 이 높이척도는 해당 강착 원반의 두께를 가늠하는 중요한 지표로 활용된다.

강착 원반의 높이척도는 주로 원반 내 가스의 온도, 중심 천체(별 등)의 질량, 가스의 평균 분자 질량, 그리고 중심 천체로부터의 거리 등에 의해 결정된다. 일반적으로 원반은 중심 천체에서 멀어질수록 더 두꺼워지는 경향(flaring)을 보인다. 또한, 원반 내 자기장의 존재 유무나 세기에 따라서도 높이척도가 달라질 수 있다.^[14]^[15]^[16]

5. 1. 얇은 원반 근사

별과 같은 중심 물체 주위의 가스 디스크에서 힘의 균형을 도식적으로 묘사한 그림

원시별과 같이 응축된 중심 물체 주위의 가스 디스크의 경우, 행성의 높이척도와 유사하게 디스크 높이척도를 유도할 수 있다. 중심 물체에 비해 질량이 매우 작은 가스 디스크를 가정한다. 이 디스크는 별로부터 받는 중력의 수직 성분(''z'' 방향)과 가스 압력 기울기가 정역학적 평형 상태에 있다고 가정한다. 중력 성분은 디스크의 중간 평면을 향한다.

\frac{dP}{dz} = -\frac{GM_*\rho z}{(r^2 + z^2)^{3/2}}

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

''G'': 중력 상수
''r'': 별 또는 중심 응축 물체 중심으로부터의 거리에 대한 반경 좌표
''z'': 디스크 중간 평면(또는 별의 중심)으로부터의 거리에 대한 높이/고도 좌표
''M''_*: 별 또는 중심 응축 물체의 질량
''P'': 디스크 내 가스의 압력
$\rho$ : 디스크 내 가스 질량 밀도

얇은 디스크 근사, 즉

z \ll r

인 경우, 정역학적 평형 방정식은 다음과 같이 간단해진다.

\frac{dP}{dz} \approx -\frac{GM_*\rho z}{r^3}

가스 압력 ''P''는 이상 기체 법칙을 사용하여 나타낼 수 있다.

P = \frac{\rho k_\text{B} T}{\bar{m}}

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

''T'': 디스크 내 가스의 온도. 온도는 ''r''의 함수이지만 ''z''와는 독립적이라고 가정한다.
$k_\text{B}$ : 볼츠만 상수
$\bar{m}$ : 가스의 평균 분자 질량

이상 기체 법칙과 정역학적 평형 방정식을 결합하면 밀도

\rho

에 대한 미분 방정식을 얻을 수 있다.

\frac{d\rho}{dz} \approx -\frac{GM_* \bar{m}\rho z}{k_\text{B} Tr^3}

이 미분 방정식의 해는 다음과 같은 가우시안 분포 형태를 가진다.

\rho = \rho_0 \exp\left(-\left(\frac{z}{h_D}\right)^2 \right)

여기서

\rho_0

는 별 중심으로부터 거리 ''r''인 지점에서 디스크 중간 평면(

z=0

)에서의 가스 질량 밀도이며,

h_D

는 디스크 높이척도(disk scale height)로 다음과 같이 정의된다.

h_D = \sqrt{\frac{2k_\text{B} Tr^3}{GM_* \bar{m}}} \approx0.0306 \sqrt{\frac{(T/100~\text{K})(r/1~\text{au})^3}{(M_* / M_\odot)(\bar{m}/2~\text{amu})}}~\text{au}

이때

M_\odot

는 태양 질량,

\text{au}

는 천문 단위,

\text{amu}

는 원자 질량 단위이다.

근사적으로 온도 ''T''가 반경 ''r''에 따라 크게 변하지 않는다고 가정하면,

h_D \propto r^{3/2}

관계를 얻는다. 이는 디스크가 중심 물체로부터 반경 방향으로 멀어짐에 따라 수직 방향으로 더 두꺼워짐(flaring)을 의미한다.

디스크 내 가스 온도 ''T''가 높이 ''z''에 대해 일정하다고 가정했기 때문에, 여기서 유도된

h_D

는 때때로 등온 디스크 높이척도(isothermal disk scale height)라고 불린다.

5. 2. 자기장 내에서의 원반 스케일 하이트

중심 천체 주위의 얇은 가스 원반 내 자기장은 원반의 높이 척도를 변경할 수 있다.^[14]^[15]^[16] 예를 들어, 완벽하게 전도성이 없는 원반이 폴로이드 자기장(초기 자기장이 원반 평면에 수직인 경우)을 통과하며 회전하면, 원반 내부에 토로이드 자기장(원반 평면에 평행한 자기장)이 생성된다. 이 토로이드 자기장은 원반을 ''압착''하여 압축하는 효과를 낸다. 이 경우, 원반의 가스 밀도는 다음과 같이 표현될 수 있다.^[16]

\rho(r, z) = \rho_0(r) \exp\left(-\left(\frac{z}{h_D}\right)^2\right) -\rho_\text{cut}(r) \left[1 - \exp\left(-\left(\frac{z}{h_D}\right)^2\right)\right],

여기서 ''컷오프'' 밀도

\rho_\text{cut}

는 다음과 같다.

\rho_\text{cut}(r) = (\mu_0 \sigma_D r)^2 \frac{B_z^2}{\mu_0}\left(\frac{\Omega_*}{\Omega_K} - 1\right)^2,

이때 각 변수는 다음을 의미한다.

:

\mu_0

: 진공의 투자율

:

\sigma_D

: 원반의 전기 전도도

:

B_z

:

z

방향(원반에 수직 방향) 폴로이드 자기장의 자기 선속 밀도

:

\Omega_*

: 중심 천체의 회전 각속도 (만약 폴로이드 자기장이 중심 천체와 무관하다면,

\Omega_*

는 0으로 설정할 수 있다.)

:

\Omega_K

: 중심 천체로부터 거리

r

에서 원반의 케플러 각속도

이 공식들을 이용하면, 자기장의 영향을 받는 원반의 최대 높이(

H_B

)는 다음과 같이 계산된다.

H_B = h_D \sqrt{\ln\left(1 + \rho_0/\rho_\text{cut}\right)},

또한, e-폴딩(e-folding) 자기장 높이 척도(

h_B

)는 다음과 같다.

h_B = h_D \sqrt{\ln\left(1 + \frac{1 - 1/e}{1/e + \rho_\text{cut}/\rho_0} \right)}.

참조

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_[3] 웹사이트 Daniel J. Jacob: "Introduction to Atmospheric Chemistry", Princeton University Press, 1999 https://web.archive.[...] 2013-04-18
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_[5] 웹사이트 Venus Fact Sheet http://nssdc.gsfc.na[...] NASA 2013-09-28
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